一、曲线凹凸的定义
问题,如何研究曲线的弯曲方向?
x
y
o
x
y
o 1x 2x
)(xfy ?
图形上任意弧段位
于所张弦的上方
x
y
o
)(xfy ?
1x 2x
图形上任意弧段位
于所张弦的下方
A
B C
定义
．的（或凸弧）上的图形是（向上）凸在
那末称如果恒有
的（或凹弧）上的图形是（向上）凹在
那末称恒有点
上任意两如果对上连续在区间设
I
xf
xfxfxx
f
Ixf
xfxfxx
fxx
IIxf
)(,
2
)()(
)
2
(;)(
,
2
)()(
)
2
(,,
,)(
2121
2121
21
?
?
?
?
?
?;)(],[)(,)(
),(,],[)(
的或凸内的图形是凹在那末称的或凸
内的图形是凹且在内连续在如果
baxf
babaxf
二、曲线凹凸的判定
x
y
o
)(xfy ?
x
y
o
)(xfy ?
a b
A
B
递增)( xf ? a b
B
A
0???y 递减)( xf ? 0???y
定理 1
.],[)(,0)()2(;],[)(,0)()1(
),(,
),(,],[)(
上的图形是凸的在则
上的图形是凹的在则
内若在一阶和二阶导数
内具有在上连续在如果
baxfxf
baxfxf
ba
babaxf
???
???
例 1,3 的凹凸性判断曲线 xy ?
解,3 2xy ???,6 xy ???
时，当 0?x,0???y
为凸的；在曲线 ]0,( ???
时，当 0?x,0???y 为凹的；在曲线 ),0[ ???
.)0,0( 点是曲线由凸变凹的分界点注意到,
三、曲线的拐点及其求法
连续曲线上凹凸的分界点称为 曲线的拐点,定理 2 如果 )( xf 在 ),( 00 ?? ?? xx 内存在二阶导
数,则点 ? ?)(,00 xfx 是拐点的必要条件是 0)( 0" ?xf,
1、定义
注意,拐点处的切线必在拐点处穿过曲线,
2、拐点的求法
证,)( 二阶可导xf?,)( 存在且连续xf ??
,])([)( 0 两边变号在则 xxfxf ?????
,))(,( 00 是拐点又 xfx?
,)( 0 取得极值在 xxf ??,条件由可导函数取得极值的
.0)( ???? xf
方法 1,
,0)(
,)(
0
0
??? xf
xxf
且
的邻域内二阶可导在设函数;))(,(,)()1( 000 即为拐点点变号两近旁 xfxxfx ??
.))(,(,)()2( 000 不是拐点点不变号两近旁 xfxxfx ??
例 2
.
143 34
凹、凸的区间
的拐点及求曲线 ??? xxy
解 ),(,????D?
,1212 23 xxy ??? ).32(36 ???? xxy
,0???y令,32,0 21 ?? xx得
x )0,(?? ),32( ??)32,0(0 32
)(xf ??
)(xf
? ? ?0 0
凹的 凸的 凹的 拐点 拐点 )1,0( )2711,32(
).,32[],32,0[],0,( ????凹凸区间为
方法 2,
.)(
))(,(,0)(,0)(
,)(
0000
0
的拐点线
是曲那末而
且的邻域内三阶可导在设函数
xfy
xfxxfxf
xxf
?
???????
例 3,)]2,0([c o ss i n 的拐点内求曲线 ??? xxy
解,s inc o s xxy ???,c o ss in xxy ?????
.s inc o s xxy ??????
,0???y令,47,43 21 ???? xx得
2)43( ?????f,0? 2)47( ??????f,0?
内曲线有拐点为在 ]2,0[ ?? ).0,47(),0,43( ??
.)(
))(,(,)( 000
的拐点是连续曲线
也可能点不存在若
xfy
xfxxf
?
??注意,
例 4,3 的拐点求曲线 xy ?
解,0时当 ?x,31 3
2?
?? xy,94 3
5?
???? xy
.,,0 均不存在是不可导点 yyx ????
,0,)0,( ????? y内但在 ;]0,( 上是凹的曲线在 ??
,0,),0( ????? y内在,),0[ 上是凸的曲线在 ??
.)0,0( 3 的拐点是曲线点 xy ??
四、小结
曲线的弯曲方向 —— 凹凸性 ;
改变弯曲方向的点 —— 拐点 ;
凹凸性的判定,
拐点的求法 1,2,
思考题
设 )( xf 在 ),( ba 内二阶可导，且 0)( 0 ??? xf,
其中 ),(0 bax ?,则,( 0x ))( 0xf 是否一定为
曲线 )( xf 的拐点？举例说明,
思考题解答
因为 0)( 0 ??? xf 只是,( 0x ))( 0xf 为拐点
的 必要条件,
故,( 0x ))( 0xf 不一定是拐点,
例 4)( xxf ? ),( ????? 0)0( ???f
但 )0,0( 并不是曲线 )( xf 的拐点,
一,填空题：
1, 若函数 )( xfy ? 在 （ ba,）可导，则曲线 )( xf 在 ( ba,)
内取凹的充要条件是 ______ _____ _.
2, 曲线上 ________ ____ 的点，称作曲线的拐点,
3, 曲线 )1l n (
2
xy ?? 的拐点为 _____ ____ _.
4, 曲线
)1l n ( xy ??
拐点为 ______ _,
二,求曲线
x
ey
a r c t a n
? 的拐点及凹凸区间,
三,利用函数图形的凹凸性，证明不等式：
2
2
yxyx
e
ee
?
?
?
)( yx ?
.
四、求曲线
?
?
?
?
?
?
?
2
s i n2
c o t2
ay
ax
的拐点,
练 习 题
五,试证明曲线
1
1
2
?
?
?
x
x
y 有三个拐点位于同一直线
上,
六,问 a 及 b 为何值时，点 (1,3 ) 为曲线
23
bxaxy ??
的拐点？
七,试决定
22
)3( ?? xky 中 k 的值,使曲线的拐点处
的法线通过原点,
一,1, ),()( baxf 在? 内递增或 0)(),,( ???? xfbax ；
2,凹凸部分的分界点；
3, ]2,(),,2[),
2
,2(
2
????
e； 4,
)2ln,1(),2ln,1( ?
.
二、拐点 ),
2
1
(
2
1
a r c t a n
e,在 ]
2
1
,( ?? 内是凹的,
在 ),
2
1
[ ?? 内是凸的,
四、拐点
)
2
3
,
3
32
( aa
及
)
2
3
,
3
32
( aa?
.
五,).
)32(4
31
,32(),
)32(4
31
,32(),1,1(
?
?
?
?
?
???
练习题答案
-2 2 4
-1.5
-1
-0.5
0.5
六、
2
9
,
2
3
??? ba,
七,
8
2
??k,
第五题图
? ?
?