一、问题的提出
实例,正方形金属薄片受热后面积的改变量,
20xA?
0x
0x
,00 xxx ??变到设边长由
,20xA ?正方形面积?
2020 )( xxxA ??????
.)(2 20 xxx ????? )1( )2(;,的主要部分且为的线性函数 Ax ??
.,很小时可忽略当的高阶无穷小 xx ??
:)1(
:)2(
x?
x?
2)( x?
xx ?0
xx ?0
再例如,
.,
0
3
yx
xxy
??
?
求函数的改变量时为
处的改变量在点设函数
3030 )( xxxy ?????
.)()(33 32020 xxxxx ???????? )1( )2(
,很小时当 x?
.3 20 xxy ?????
),()2( xox ?? 的高阶无穷小是
既容易计算又是较好的近似值
问题,这个线性函数 (改变量的主要部分 )是否
所有函数的改变量都有?它是什么?如何求?
二、微分的定义
定义
.),(
,)(
,)(
),(
)()()(
,
,)(
00
0
0
0
00
00
xAdyxdfdy
xxxfy
xAxxfy
xA
xoxAxfxxfy
xxx
xfy
xxxx
???
??
???
?
??????????
??
?
??
即或记作
的微分相应于自变量增量在点
为函数并且称可微在点
则称函数无关的常数是与其中成立
如果在这区间内及
在某区间内有定义设函数
.的线性主部叫做函数增量微分 ydy ?(微分的实质 )
由定义知,;)1( 的线性函数是自变量的改变量 xdy ?;)()2( 高阶无穷小是比 xxodyy ?????;,0)3( 是等价无穷小与时当 ydyA ??
dy
y??
xA
xo
??
??? )(1 ).0(1 ??? x;)(,)4( 0 有关和但与无关的常数是与 xxfxA ?
).(,)5( 线性主部很小时当 dyyx ???
三、可微的条件
).(,)(
)(
00
0
xfAxxf
xxf
??且处可导在点数
可微的充要条件是函在点函数
定理
证 (1) 必要性,)( 0 可微在点 xxf?
),( xoxAy ???????,)( xxoAxy ???????
x
xoA
x
y
xx ?
???
?
?
????
)(limlim
00则,A?
).(,)( 00 xfAxxf ??且可导在点即函数
(2) 充分性
),()( 0 xxxfy ?????????从而
,)( 0 ?????? xfxy即
,)( 0 可导在点函数 xxf?
),(l im 00 xfxyx ????? ??
),0(0 ???? x?
),()( 0 xoxxf ??????
.)(,)( 00 Axfxxf ??且可微在点函数?
).(,0xfA ???? 可微可导
.)(),(,
,)(
xxfdyxdfdy
xxfy
???
?
即或记作微分
称为函数的的微分在任意点函数
例 1
解
.02.0,23 时的微分当求函数 ???? xxxy
xxdy ??? )( 3?,3 2 x??
02.0
2
2
02.0
2 3
??
?
??
? ???
x
x
x
x xxdy,24.0?
.,
,
xdxdx
xx
??
?
即记作
称为自变量的微分的增量通常把自变量
.)( dxxfdy ??? ).( xfdxdy ??
".",微商导数也叫该函数的导数
之商等于与自变量的微分即函数的微分 dxdy
四、微分的几何意义
)(xfy?
0x
M
N
T
dy y?
)( xo?
） x
y
o ?
x?
几何意义,(如图 )
.
,
对应的增量
就是切线纵坐标
坐标增量时
是曲线的纵当
dy
y?
xx ??0
P
.
,,
MNMP
Mx
可近似代替曲线段切线段
的附近在点很小时当 ?
五、微分的求法
dxxfdy )(??
求法, 计算函数的导数,乘以自变量的微分,
1.基本初等函数的微分公式
x d xxxdx d xxxd
x d xxdx d xxd
x d xxdx d xxd
dxxxdCd
co tcs c)( cs ct a ns ec)( s ec
cs c)( co ts ec)( t a n
s i n)( co sco s)( s i n
)(0)(
22
1
???
???
???
???
???
dx
x
xddx
x
xd
dx
x
xddx
x
xd
dx
x
xddx
ax
xd
dxeedadxaad
a
xxxx
22
22
1
1
)co t(
1
1
)( a rct a n
1
1
)( a rcc o s
1
1
)( a rcs i n
1
)( l n
ln
1
)( l o g
)(ln)(
?
??
?
?
?
??
?
?
??
??
2,函数和、差、积、商的微分法则
2)()(
)()(
v
u d vvd u
v
u
du d vvd uuvd
C d uCuddvduvud
?
???
????
arc
例 2
解
.),ln( 2 dyexy x 求设 ??
,21 2
2
x
x
ex
xey
?
????,21
2
2
dx
ex
xedy
x
x
?
???
例 3
解
.,c o s31 dyxey x 求设 ??
)( c o s)(c o s 3131 xdeedxdy xx ???? ??
.s i n)( c o s,3)( 3131 xxee xx ?????? ???
dxxedxexdy xx )s i n()3(c o s 3131 ??????? ??
.)s i nc o s3(31 dxxxe x ??? ?
六、微分形式的不变性;)(,)1( dxxfdyx ??是自变量时若
则微函数
的可即另一变量是中间变量时若
),(
,)2(
tx
tx
??
),()( xfxfy ?? 有导数设函数
dttxfdy )()( ? ???
,)( dxdtt ?? ??,)( dxxfdy ???
结论,
的微分形式总是
函数是自变量还是中间变量无论
)(
,
xfy
x
?
微分形式的不变性
dxxfdy )(??
例 4
解
.,s i n dybxey ax 求设 ??
)(s i n)(c o s axdebxbxbxdedy axax ????? ??
dxaebxbdxbxe axax )(s i nc o s ??????? ??
.)s i nc o s( dxbxabxbe ax ?? ?
例 3
解
.),12s i n ( dyxy 求设 ??
.12,s i n ??? xuuy?
u d udy co s?? )12()12co s ( ??? xdx
dxx 2)12co s ( ???,)12co s (2 dxx ??
例 5
解
在下列等式左端的括号中填入适当的函数,使
等式成立,
).()()( s i n)2(;c o s)()1( 2 xdxdt dtd ???
,co s)( s in)1( td ttd ?????
)( s i n1co s tdtd t ?????
.co s)s i n1( td tCtd ??????
);s i n1( td ???
dx
x
dxxx
xd
xd
2
1
co s2
)(
)( s i n)2( 22 ??
,c o s4 2xxx?
).()c o s4()( s i n 22 xdxxxxd ??
七、小结
微分学所要解决的两类问题,
函数的变化率问题
函数的增量问题 微分的概念
导数的概念
求导数与微分的方法,叫做 微分法,
研究微分法与导数理论及其应用的科学,叫
做 微分学,
导数与微分的联系,,可微可导 ?
★
★
导数与微分的区别,
.,,
,))((
),()(.1
000
00
它是无穷小实际上的定义域是
它的线性函数是而微分
处的导数是一个定数在点函数
R
xxxxxfdy
xfxxf
????
?
))((limlim 00
00
xxxfdy xxxx ??? ???,0?
.
))(,()()(
)(,))(,(
)()(,.2
0
000
000
0
的纵坐标增量线方程在点
处的切在点是曲线
而微分处切线的斜率点
在是曲线从几何意义上来看
x
xfxxfyxx
xfdyxfx
xfyxf
??
??
??
★
思考题 因为一元函数 )( xfy ? 在
0x 的可微性与
可导性是等价的，所以有人说,微分就是导
数，导数就是微分”，这说法对吗？
思考题解答
说法不对,
从概念上讲，微分是从求函数增量引
出线性主部而得到的，导数是从函数变化
率问题归纳出函数增量与自变量增量之比
的极限，它们是完全不同的概念,
一,填空题,
1, 已知函数
2
)( xxf ? 在点 x 处的自变量的增量 为
0.2,对应的函数增量的线性全部是 dy =0.8,那么
自变量 x 的始值为 __________,
2, 微分的几何意义是 __________,
3, 若
)( xfy ?
是可微函数，则当 0?? x 时,
dyy ??
是关于 x? 的 ________ 无穷小,
4,
x d xd ?si n___ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ?
,
5,
dxed
x2
___ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ?
,
6,
x d xd 3s e c___ _ _ _ _ _ _ _ _ _
2
?
,
7,
x
exy
22
?
,
____________
22
dxdedy
x
??
,
8,
_ _ _ _ _ _ _ _ _)
2
(a r c ta n
2
?
x
e
d dxde
x
_ _ _ _ _ _ _ _?
,
练 习 题
二,求下列函数的微分,
1,
1
2
?
?
x
x
y ；
2,
2
)]1[l n ( xy ?? ；
3,
2
1a r c s i n xy ?? ；
4,
2
2
1
1
a r c ta n
x
x
y
?
?
? ；
5,
xey
x
3c o s
3??
?
，求
3
?
?x
dy ；
6,求由方程
22
)c o s ( yxxy ? 所确定的 y 微分,
一,1, - 2 ；
2,曲线的切线上点的纵坐标的相应增量；
3,高阶； 4, Cx ??
?
c o s
1；
5, Ce
x
?
? 2
2
1； 6, Cx ?3t a n
3
1；
7,
x
ex
22
,； 8,
x
x
x
x
e
e
e
e
4
2
4
2
22
,
2
22
??
,
二,1, dxx
2
3
2
)1(
?
? ；
2,
dx
x
x
1
)1l n (2
?
?；
练习题答案
3,
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
???
?
?
10,
1
01,
1
2
2
x
x
dx
x
x
dx
dy ；
4, dx
x
x
4
1
2
?；
5, dx3 ；
6, dx
x
y
.