一、初等函数的求导问题
xxx
xx
xx
C
t a ns e c)( s e c
s e c)( t a n
c o s)( s i n
0)(
2
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1.常数和基本初等函数的导数公式
xxx
xx
xx
xx
c o tc s c)( c s c
c s c)( c o t
s i n)( c o s
)(
2
1
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???
???
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ax
x
aaa
a
xx
ln
1)( l o g
ln)
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x
x
ee xx
1)(ln
)(
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2
2
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1
)( a r c s i n
x
x
x
x
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2
2
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1
)c o t(
1
1
)( a r c c o s
x
x
x
x
?
???
?
???
arc
2.函数的和、差、积、商的求导法则
设 ) ( ),( x v v x u u ? ? 可导，则
（ 1 ） v u v u ? ? ? ? ) (,（ 2 ） u c cu ? ? ? ) (
（ 3 ） v u v u uv ? ? ? ? ? ) (,（ 4 ） ) 0 ( ) ( 2 ? ? ? ? ? ? v v v u v u v u,
( 是常数 ) C? ?
3.复合函数的求导法则
).()()(
)]([)(),(
xufxy
dx
du
du
dy
dx
dy
xfyxuufy
?
??
???????
???
或导数为
的则复合函数而设
利用上述公式及法则初等函数求导问题可完全解
决,
注意,初等函数的导数仍为初等函数,
例 1,的导数求函数 xxxy ???
解 )(2 1 ??????? xxxxxxy
))(2 11(2 1 ??????? xxxxxxx
))2 11(2 11(
2
1
xxxxxx ??????
.
8
124
2
2
xxxxxx
xxxx
????
????
例 2,)]( s i n[ 的导数求函数 nnn xfy ??
解 )]( s i n[)]( s i n[1 nnnnn xfxnfy ?????? ?
)( s i n)( s i n1 nnn xxn ? ???? ? 1co s ??? n nxx
).( s i n)]( s i n[)( s i n
)]( s i n[co s
1
113
nnnnn
nnnnn
xxfx
xfxxn
? ??????
?????
?
??
二、双曲函数与反双曲函数的导数
xx co s h)( s i n h ?? xx s i n h)( co s h ??
x
xx
co s h
s i nhta nh ??
x
xxx
2
22
c o s h
s i n hc o s h)( ta n h ????
即 xx 2c o s h
1)( t an h ??
同理
)11(11 22 xxxx ????? 21 1 x??
1
1
2 ?? x
21
1
x??
)1l n (s i n h 2xxx ???? ar
2
2
1
)1()s i n h(
xx
xxx
??
??????
ar
ar )c o s h( ?x
ar )ta n h( ?x
例 3,)ha r c t a n ( t a n 的导数求函数 xy ?
解 )(t a n hta nh1 1 2 ????? xxy
xx 22 c o s h
1
t a n h1
1 ?
??
x
x
x 2
2
2 c o s h
1
c o s h
s i n h
1
1
?
?
?
xx 22 s i n hc o s h
1
??,s i n h21
1
2 x??
三、小结
任何初等函数的导数都可以按常数和基本初
等函数的求导公式和上述求导法则求出,
关键, 正确分解初等函数的复合结构,
思考题
幂函数在其定义域内（ ）,
（ 1 ） 必可导； （ 2 ）必不可导；
（ 3 ）不一定可导；
思考题解答
正确地选择是 （ 3）
例 3
2
)( xxf ? ),( ?????x
在 处不可导,0?x ?)1(
2)( xxf ? ),( ?????
在定义域内处处可导,?)2(
一,填空题：
1, 设
n
x
x
y
ln
?,则 y ? = _ ___ __ ___ _.
2, 设
x
y
1
c o sln?,则 y ? = _ ___ __ ___ _.
3, 设
xxy ??
，则 y
?
= _ ___ __ ___ _.
4, 设
tt
tt
ee
ee
y
?
?
?
?
?,则 y ? = _ ___ __ ___,
5, 设
)9 9 9()2)(1()( ???? xxxxxf ??
则
)0(f ?
= __ __ __ ___ _.
二,求下列函数的导数：
1, )1t a n h ( 2xy ?? ；
2, ?y s i n har )1( 2 ?x ；
练 习 题
3, ?y c o s har )(
2 x
e ；
4,
x
xey
c o s h
s i n h? ；
5,
2
)
2
( a r c t a n
x
y ? ；
6,
x
ey
1
s i n
2
?
? ；
7,
2
1
2
a r c s i n
t
t
y
?
?,
一,1,
1
ln1
?
?
n
x
xn； 2,
xx
1
ta n
1
2； 3,
xxx
x
?
?
4
12；
4,
t
2
c o s h
1； 5, -99 9!.
二,1,
)1(c o s h
2
22
x
x
?； 2,
22
2
24
?? xx
x；
3,
1
2
4
2
?
x
x
e
e； 4, )s i n h(c o s h
2c o s h
xxe
x
? ；
5,
2
a r c t a n
4
4
2
x
x?； 6,
x
e
xx
1
s i n
2
2
2
s i n
1 ?
? ；
练习题答案
7,
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1,
1
2
1,
1
2
2
2
2
2
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t
t
t
y,