一、隐函数的导数
定义,,)( 称为隐函数由方程所确定的函数 xyy ?
.)( 形式称为显函数xfy ?
0),( ?yxF )( xfy ? 隐函数的显化
问题,隐函数不易显化或不能显化如何求导?
隐函数求导法则,
用复合函数求导法则直接对方程两边求导,
例 1
.,
0
0?
???
x
yx
dx
dy
dx
dy
y
eexy
的导数
所确定的隐函数求由方程
解,求导方程两边对 x
0???? dxdyeedxdyxy yx
解得,y
x
ex
ye
dx
dy
?
??,0,0 ?? yx由原方程知
0
00
?
?? ?
???
y
xy
x
x ex
ye
dx
dy,1?
例 2
.
,)
2
3
,
2
3
(
,3
33
线通过原点
在该点的法并证明曲线的切线方程点
上求过的方程为设曲线
C
CxyyxC ??
解,求导方程两边对 x yxyyyx ????? 3333 22
)23,23(2
2
)23,23( xy
xyy
?
????
.1??
所求切线方程为 )23(23 ???? xy,03 ??? yx即
2
3
2
3 ??? xy法线方程为,xy ?即 显然通过原点,
例 3,)1,0(,144 处的值在点求设 yyxyx ?????
解 求导得方程两边对 x
)1(044 33 ?????? yyyxyx
得代入 1,0 ?? yx ;4110 ?? ??yxy
求导得两边再对将方程 x)1(
04)(12212 3222 ??????????? yyyyyxyx
得41
1
0 ??
?
?
y
xy,1,0 ?? yx代入,16
1
1
0 ????
?
?
y
xy
二、对数求导法
观察函数,,)4( 1)1( s i n2
3
x
x xyex
xxy ?
?
???
方法,
先在方程两边取对数,然后利用隐函数的求导
方法求出导数,
--------对数求导法
适用范围,
.)( )( 的情形数多个函数相乘和幂指函 xvxu
例 4
解
]142)1(3 111[)4( 1)1( 2
3
??????? ????? xxxex xxy x
等式两边取对数得
xxxxy ??????? )4l n (2)1l n (31)1l n (ln
求导得上式两边对 x
142)1(3 111 ???????? xxxyy
.,)4( 1)1( 2
3
yex xxy x ?? ??? 求设
例 5
解
.),0(s i n yxxy x ??? 求设
等式两边取对数得 xxy lns inln ??
求导得上式两边对 x
xxxxyy
1s inlnc o s1 ?????
)1s inln( co s xxxxyy ??????
)s inln( co ss i n x xxxx x ???
一般地
)0)(()()( )( ?? xuxuxf xv
)()(1)(ln xfdxdxfxfdxd ???又
)(ln)()( xfdxdxfxf ????
])( )()()(ln)([)()( )( xu xuxvxuxvxuxf xv ???????
)(ln)()(ln xuxvxf ???
三、由参数方程所确定的函数的导数
.
,
)(
)(
定的函数称此为由参数方程所确
间的函数关系与确定若参数方程 xy
ty
tx
?
?
?
?
?
?
?
例如
??
?
?
?
,
,2
2ty
tx
2
xt ?
22 )
2(
xty ???
4
2x
? xy 21???
消去参数
问题, 消参困难或无法消参如何求导?
t
),()( 1 xttx ??? ?? 具有单调连续的反函数设函数
)]([ 1 xy ??? ??
,0)(,)(),( ???? ttytx ??? 且都可导再设函数
由复合函数及反函数的求导法则得
dx
dt
dt
dy
dx
dy ??
dt
dxdt
dy 1??
)(
)(
t
t
?
?
?
??
dt
dx
dt
dy
dx
dy
?即
,)( )( 中在方程
??
?
?
?
ty
tx
?
?
,)( )( 二阶可导若函数
??
?
??
??
ty
tx
)(2
2
dx
dy
dx
d
dx
yd ?
dx
dt
t
t
dt
d )
)(
)((
? ?
? ??
)(
1
)(
)()()()(
2 tt
tttt
??
????
???
????????
.)( )()()()( 32
2
t
tttt
dx
yd
?
????
?
????????即
例 6
解
dt
dx
dt
dy
dx
dy
?
t
t
c o s1
s i n
?? taa
ta
co s
s i n
??
2
co s1
2
s i n
2
?
?
?
?? ?
?tdx
dy
.1?
.方程
处的切线在求摆线 2)c o s1( )s i n( ??
??
?
??
?? t
tay
ttax
.),12(,2 ayaxt ???? ?? 时当
所求切线方程为
)12( ???? ?axay
)22( ???? axy即
例 7
解
.)2(;)1(
,
2
1
s i n
,c o s
,
,,
0
0
2
0
0
0
的速度大小炮弹在时刻
的运动方向炮弹在时刻求
其运动方程为发射炮弹
发射角以初速度不计空气的阻力
t
t
gttvy
tvx
v
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
x
y
o
v
xv
yv
0v
.
,
)1(
0
0
可由切线的斜率来反映
时刻的切线方向轨迹在
时刻的运动方向即在
t
t
)c o s(
)
2
1s in(
0
2
0
??
???
?
tv
gttv
dx
dy
?
?
c o s
s i n
0
0
v
gtv ??
.co ss i n
0
00
0 ?
????
? v
gtv
dx
dy
tt
轴方向的分速度为时刻沿炮弹在 yxt,)2( 0
00 )co s( 0 ttttx tvdt
dxv
?? ???? ?co s0v?
00 )2
1s in( 2
0 tttty gttvdt
dyv
?? ????? 00 s i n gtv ?? ?
时刻炮弹的速度为在 0t?
22 yx vvv ?? 2020020 s i n2 tggtvv ??? ?
例 8
解
.
s i n
c o s
3
3
表示的函数的二阶导数求由方程
?
?
?
?
?
tay
tax
dt
dx
dt
dy
dx
dy
?
)s i n(co s3
co ss i n3
2
2
tta
tta
?? tta n??
)(2
2
dx
dy
dx
d
dx
yd ?
)co s(
)t a n(
3 ?
???
ta
t
tta
t
s inc o s3
s e c
2
2
?
??
ta
t
s i n3
s e c 4?
四、相关变化率
.
,
,
,)()(
变化率称为相关变化率
这样两个相互依赖的之间也存在一定关系
与从而它们的变化率之间存在某种关系
与而变量都是可导函数及设
dt
dy
dt
dx
y
xtyytxx ??
相关变化率问题,
已知其中一个变化率时如何求出另一个变化率?
例 9
解
,5 0 0./1 4 0,
5 0 0
率是多少观察员视线的仰角增加
米时当气球高度为秒米其速率为上升
米处离地面铅直一汽球从离开观察员
则的仰角为
观察员视线其高度为秒后设气球上升
,
,,
?
ht
5 0 0ta n
h??
求导得上式两边对 t dtdhdtd ??? 5 0 01s ec 2 ??
,/140 秒米?dtdh? 2s e c,5 00 2 ?? ?米时当 h
)/(14.0 分弧度?? dtd ? 仰角增加率
?
米500
米500
例 10
解
,20
,1 2 0,4 0 0 0
,/8
0
3
水面每小时上升几米米时
问水深的水槽顶角为米形状是长为
水库秒的体流量流入水库中米河水以
则水库内水量为
水深为设时刻
),(
),(
tV
tht
234 0 0 0)( htV ?
求导得上式两边对 t dtdhhdtdV ?? 38000
,/2 8 8 0 0 3 小时米?dtdV?
小时米 /1 0 4.0?dtdh 水面上升之速率
060
,20 米时当 ?? h
五、小结
隐函数求导法则, 直接对方程两边求导 ;
对数求导法, 对方程两边取对数,按隐函数的求
导法则求导 ;
参数方程求导, 实质上是利用复合函数求导法则 ;
相关变化率, 通过函数关系确定两个相互依赖的
变化率 ; 解法, 通过建立两者之间的关系,用链
式求导法求解,
思考题
设
?
?
?
?
?
)(
)(
ty
tx
?
?
，由
)(
)(
t
t
y
x
?
?
?
?
?? )0)(( ?? t?
可知
)(
)(
t
t
y
x
?
?
??
??
???,对吗？
思考题解答
不对,
? ?xx ydxdy ???? dxdtdtyd x ??? )(1)( )( ttt
t ??
?
??
??
?
??
?
?
?
??
一,填空题：
1, 设 01552
223
????? yxyyxx 确定了 y 是x 的函
数，则
)1,1(
dx
dy
=_______ _, ?
2
2
dx
yd
______ __.
2, 曲线 7
33
??? xyyx 在点 （ 1, 2 ）处的切线方程
是 ________ ___.
3, 曲线
?
?
?
?
?
tty
ttx
s i n
c o s
在
2
?
?t
处的法线方程 ______ __.
4, 已知
?
?
?
?
?
tey
tex
t
t
s i n
c o s
,则
dx
dy
=______ ；
3
?
?t
dx
dy
=______,
5, 设
yx
exy
?
?
,则
dx
dy
=____ ____,
练 习 题
二,求下列方程所确定的隐函数 y 的二阶导数
2
2
dx
yd
：
1,
y
xey ?? 1 ；
2, )t a n ( yxy ?? ；
3,
y
x
xy ? )00( ?? yx,,
三,用对数求导法则求下列函数的导数：
1,
2
x
xy ? ；
2,
5
4
)1(
)3(2
?
??
?
x
xx
y ；
3,
x
exxy ?? 1s i n,
四,求下列参数方程所确定的函数的二阶导数
2
2
dx
yd
：
1,
?
?
?
?
?
tby
tax
s i n
c o s；
2,
?
?
?
???
??
)()(
)(
tftfty
tfx
设 )( tf
??
存在且不为零,
五,求由参数方程
?
?
?
??
??
tty
tx
a r c ta n
)1l n (
2
所确定的函数的
三阶导数
3
3
dx
yd
,
六、设
)( xf
满足
xx
fxf
3
)
1
(2)( ??
，求
)( xf ?
,
七,在中午十二点正甲船的 6 公里 / 小时的速率向
东行驶，乙船在甲船之北 16 公里，以 8 公里 / 小
时的速率向南行驶，问下午一点正两船相距的速
率为多少？
八,水注入深 8 米，上顶直径 8 米的正圆锥形容器中，
其速率为每分钟 4 立方米，当水深为 5 米时，其
表面上升的速率为多少？
一,1,
3
4
,
5210
)(1020846
2
2
??
???????
xxy
yxyyyxxyx；
2,
02311 ??? yx
3, 0
22
???
??
yx ；
4, 32,
s i nc o s
c o ss i n
??
?
?
tt
tt； 5,
yx
yx
ex
ye
?
?
?
?
.
二,1,
3
2
)2(
)3(
y
ye
y
?
?；
2, - )(ta n)(c s c2
32
yxcyx ?? ；
3,
3
22
)1(l n
)1(l n)1(l n
?
???
yxy
xxyy
.
练习题答案
三,1, )1ln2(
1
2
?
?
xx
x；
2, ]
1
5
3
4
)2(2
1
[
)1(
)3(2
5
4
?
?
?
?
??
??
xxxx
xx；
3, ]
)1(2
c o t
1
[1s i n
2
1
x
x
x
e
e
x
x
exx
?
???,
四,1,
ta
b
32
s i n； 2,
)(
1
tf ??
.
五、
3
4
8
1
t
t ?
,六、
2
1
2
x
?,
七,-2.8( 公里 / 小时 ).
八,204.0
25
16
?
?
( 米 / 分 ).