一、函数极值的定义
o x
y
a b
)(xfy ?
1x 2x 3x 4x 5x 6x
o x
y
o x
y
0x 0x
.)()(
,)()(,,
,;)()(
,)()(,,
,
,),(
,),()(
0
00
0
0
00
0
0
的一个极小值是函数
就称均成立外除了点任何点
对于这邻域内的的一个邻域如果存在着点
的一个极大值是函数
就称均成立外除了点任何点
对于这邻域内的的一个邻域如果存在着点
内的一个点
是内有定义在区间设函数
xfxf
xfxfxx
x
xfxf
xfxfxx
x
ba
xbaxf
?
?
定义
函数的极大值与极小值统称为 极值,使函数取得
极值的点称为 极值点,
二、函数极值的求法
设 )( xf 在点 0x 处具有导数,且
在 0x 处取得极值,那末必定 0)( 0' ?xf,定理 1(必要条件 )
定义
.)(
)0)((
的驻点做函数
叫的实根即方程使导数为零的点
xf
xf ??
注意,
.
,)(
是极值点但函数的驻点却不一定
点的极值点必定是它的驻可导函数 xf
例如,,3xy ?,00 ?? ?xy,0 不是极值点但 ?x
(1) 如果 ),,(
00
xxx ??? 有 ;0)(
'
?xf 而 ),(
00
??? xxx,
有 0)(
'
?xf,则 )( xf 在
0
x 处取得极大值,
(2) 如果 ),,(
00
xxx ??? 有 ;0)(
'
?xf 而 ),(
00
??? xxx
有 0)(
'
?xf,则 )( xf 在
0
x 处取得极小值,
(3) 如果当 ),(
00
xxx ??? 及 ),(
00
??? xxx 时,)(
'
xf
符号相同,则 )( xf 在
0
x 处无极值,定理 2(第一充分条件 )
x
y
o x
y
o0x 0x
? ? ? ?
(是极值点情形 )
x
y
o x
y
o0x 0x
?
?
?
?
求极值的步骤,
);()1( xf ?求导数;0)()2( 的根求驻点，即方程 ?? xf;,)()3( 判断极值点在驻点左右的正负号检查 xf ?
.)4( 求极值
(不是极值点情形 )
例 1
解
.593)( 23 的极值求出函数 ???? xxxxf
963)( 2 ???? xxxf
，令 0)( ?? xf,3,1 21 ??? xx得驻点 列表讨论
x )1,( ??? ),3( ??)3,1(?1? 3
)(xf?
)(xf
? ? ?
?
0 0
? ?
极
大
值
极
小
值
)3(f极小值,22??)1( ?f极大值,10?
)3)(1(3 ??? xx
593)( 23 ???? xxxxf
M
m
图形如下
设 )( xf 在
0
x 处具有二阶导数,
且 0)(
0
'
?xf,0)(
0
''
?xf,那末
(1) 当 0)( 0
''
?xf 时,函数 )( xf 在
0
x 处取得极大值 ;
(2) 当 0)( 0
''
?xf 时,函数 )( xf 在
0
x 处取得极小值,定理 3(第二充分条件 )
证 )1( x xfxxfxf x ? ???????? ?? )()(lim)( 0000?,0?
异号，与故 xxfxxf ?????? )()( 00
时，当 0?? x )()( 00 xfxxf ?????有,?
时，当 0?? x )()( 00 xfxxf ?????有,?
所以, 函数 )( xf 在 0x 处取得极大值, 同理可证 (2),
例 2
解
.20243)( 23 的极值求出函数 ???? xxxxf
2463)( 2 ???? xxxf
，令 0)( ?? xf,2,4 21 ??? xx得驻点
)2)(4(3 ??? xx
,66)( ???? xxf?
???? )4(f?,018 ? )4( ?f故极大值,60?
??? )2(f,018 ? )2(f故极小值,48??
20243)( 23 ???? xxxxf 图形如下
M
m
注意,
.2
,)(,0)( 00
仍用定理
处不一定取极值在点时 xxfxf ???
例 3
解
.)2(1)( 3
2
的极值求出函数 ??? xxf
)2()2(32)( 3
1
????? ? xxxf
.)(,2 不存在时当 xfx ??
时，当 2?x ;0)( ?? xf
时，当 2?x,0)( ?? xf
.)(1)2( 的极大值为 xff ??
.)( 在该点连续但函数 xf
注意,函数的不可导点,也可能是函数的极值点,
M
三、小结
极值是函数的局部性概念,极大值可能小于极小
值,极小值可能大于极大值,
驻点和不可导点统称为 临界点,
函数的极值必在 临界点 取得,
判别法
第一充分条件 ;
第二充分条件 ;
(注意使用条件 )
思考题
下命题正确吗？ 如果 0x 为 )( xf 的极小值点，那么必存在
0x 的某邻域，在此邻域内,)( xf 在 0x 的左侧
下降，而在 0x 的右侧上升,
思考题解答
不正确,
例 ?
?
?
?
?
?
???
?
0,2
0),
1
s i n2(2
)(
2
x
x
x
x
xf
当 0?x 时,?? )0()( fxf )
1s i n2(2
xx ? 0?
于是 0?x 为 )( xf 的极小值点
当 0?x 时，
当 0?x 时，
,0)1s i n2(2 ?? xx x1cos 在 –1和 1之间振荡
因而 )( xf 在 0?x 的两侧都不单调,
故命题不成立,
xxxxf
1co s)1s i n2(2)( ????
一,填空题：
1, 极值反映的是函数的 ___ __ ___ 性质,
2, 若函数 )( xfy ? 在
0
xx ? 可导，则它在点
0
x 处到
得极值的必要条件中为 ___ __ ___ _ _ _,
3, 函数
3
2
)1(2 ??? xy 的 极 值 点 为 ___ _ ___ _ ；
3
1
)1(23 ??? xy 的极值为 ___ ___ ___ _,
4, 已知函数
?
?
?
??
?
?
0,1
0,
)(
3
xx
xx
xf
x
当
_ _ _ _ _ _ _?x
时，
为极_ _ _ _ _ _ _ _?y
小值 ； 当
时_ _ _ _ _ _ _ _?x
，
为极_ _ _ _ _ _ _ _?y
大值,
练 习 题
二、求下列函数的极值：
1, xey
x
c o s? ；
2,
x
xy
1
? ；
3, 方程 0
2
?? ye
yx
所确定的函数 )( xfy ? ；
4,
?
?
?
?
?
?
?
?
0,0
0,
2
1
x
xe
y
x
.
三,证明题：
1, 如果 dcxbxaxy ????
23
满足条
03
2
?? acb
，
则函数无极值,
2,设 )( xf 是有连续的二阶导数的偶函数 0)( ??? xf,
则 0?x 为 )( xf 的极值点,
一,1,局部； 2, 0)(
0
?? xf ；
3, (1,2),无； 4, 1,0,)
1
(,
1
3
e
ee;
二,1,极大值
??
?
???
?
k
eky
2
4
2
2
)2
4
(,极小值
),2,1,0(
2
2
))12(
4
(
)12(
4
?????????
?
???
?
keky
k；
2,极大值
e
eey
1
)( ? ；
3,极小值
1)0( ??y；
4,极小值
0)0( ?y
.
练习题答案