有理函数的定义,
两个多项式的商表示的函数称之,
mm
mm
nn
nn
bxbxbxb
axaxaxa
xQ
xP
????
?????
?
?
?
?
1
1
10
1
1
10
)(
)(
?
?其中 m, n 都是非负整数；
naaa,,,10 ? 及
mbbb,,,10 ? 都是实数，并且 00 ?a, 00 ?b,
一、有理函数的积分
假定分子与分母之间没有公因式
,)1( mn ?这有理函数是 真分式 ；
,)2( mn ?这有理函数是 假分式 ；
利用多项式除法,假分式可以化成一个
多项式和一个真分式之和,
例 1 12
3
?
??
x
xx,
1
1
2 ??? xx
难点 将有理函数化为部分分式之和,
（ 1）分母中若有因式,则分解后为 kax )( ?
,)()( 121 ax Aax Aax A kkk ?????? ? ?
有理函数化为部分分式之和的一般规律,
其中 kAAA,,,21 ? 都是常数,
特殊地：,1?k 分解后为 ;axA?
（ 2）分母中若有因式,其中 kqpxx )( 2 ??
则分解后为 042 ?? qp
qpxx
NxM
qpxx
NxM
qpxx
NxM kk
kk ??
???
??
??
??
?
? 212
22
2
11
)()( ?
其中 ii NM,都是常数 ),,2,1( ki ??,
特殊地：,1?k 分解后为 ;2 qpxx
NMx
??
?
真分式化为部分分式之和的 待定系数法
65
3
2 ??
?
xx
x
)3)(2(
3
??
??
xx
x,
32 ???? x
B
x
A
),2()3(3 ????? xBxAx?
),23()(3 BAxBAx ??????
??
?
???
???
,3)23(
,1
BA
BA,
6
5
??
?
?
???
B
A
65
3
2 ??
??
xx
x,
3
6
2
5
???
??
xx
例 1
2)1(
1
?xx
,1)1( 2 ????? x Cx BxA
)1()1()1(1 2 ????? xCxBxxA
代入特殊值来确定系数 CBA,,
取,0?x 1?? A 取,1?x 1?? B
取,2?x BA,并将 值代入 )1( 1??? C
.11)1( 11 2 ????? xxx2)1( 1?? xx
例 2
例 3
.
1
5
1
5
2
21
5
4
2x
x
x ?
??
?
?
?
)1)(21(
1
2xx ??
),21)(()1(1 2 xCBxxA ?????
,)2()2(1 2 ACxCBxBA ??????
?
?
?
?
?
??
??
??
,1
,02
,02
CA
CB
BA
,51,52,54 ????? CBA
,121 2x CBxxA ? ???
)1)(21(
1
2xx ???
整理得
例 4 求积分,)1( 1 2 dxxx? ?
dxxx? ? 2)1( 1 dxxxx? ?
?
?
??
?
????? 1
1
)1(
11
2
dxxdxxdxx ??? ????? 11)1( 11 2
.)1l n(11ln Cxxx ??????
解
例 5 求积分
解
.)1)(21( 1 2? ?? dxxx
dx
x
x
dx
x ?? ?
??
?
?
? 2
1
5
1
5
2
21
5
4
? ?? dxxx )1)(21( 1 2
dxxdxxxx ?? ?????? 22 1 1511 251)21l n (52
.a rcta n51)1l n(51)21l n(52 2 Cxxx ??????
例 6 求积分
解
.
1
1
632
dx
eee
xxx?
???
令 6xet ?,ln6 tx ??,6 dttdx ?
dx
eee
xxx?
??? 6321
1
dttttt 61 1 23 ????? ?
dtttt? ??? )1)(1( 16 2 dt
t
t
tt? ??
??
?
?
?
??
??? 21
33
1
36
Ctttt ??????? a rcta n3)1l n(23)1l n(3ln6 2
dttttt? ?????? ?????? 21 331 36
.)a r c t a n (3)1l n (23)1l n (3 636 Ceeex
xxx
???????
2
3)1l n(3ln6 ???? tt dt
tt
td? ?
???
?
22
2
1
13
1
)1(
说明 将有理函数化为部分分式之和后，只出
现三类情况,
)1( 多项式； ;)()2( nax A? ;)()3( 2 nqpxx NMx ?? ?
讨论积分,)( 2? ??
? dx
qpxx
NMx
n
,42
22
2 pqpxqpxx ???
?
??
?
? ?????
令 tpx ?? 2
,4
2
2 pqa ??,
2
MpNb ??则
? ?? ?? dxqpxx NMx n)( 2
? ?? dtat Mt n)( 22 ? ?? dtat b n)( 22
,222 atqpxx ????,bMtNMx ???记
,1)2( ?n ? ??
? dx
qpxx
NMx
n)( 2
122 ))(1(2 ????? natn
M,
)(
1
22? ?? dtatb n
这三类积分均可积出,且原函数都是初等函数,
结论 有理函数的原函数都是初等函数,
,1)1( ?n ? ?? ? dxqpxx NMx2
)l n(2 2 qpxxM ??? ;2a r c t a n Ca
px
a
b ???
三角有理式的定义,
由三角函数和常数经过有限次四则运算
构成的函数称之．一般记为 )co s,(s i n xxR
2co s2s i n2s i n
xxx ??
2
s e c
2
t a n2
2 x
x
?,
2
t a n1
2
t a n2
2 x
x
?
?
,2s i n2co sco s 22 xxx ??
二、三角函数有理式的积分
2
s e c
2
t a n1
c o s
2
2
x
x
x
?
?,
2
t a n1
2
t a n1
2
2
x
x
?
?
?
令 2ta n xu ?
,1 2s i n 2uux ??,11c o s 2
2
u
ux
?
??
ux a r c t a n2?
duudx 21 2??
? ?dxxxR )co s,(s i n,1 211,1 2 22
2
2 duuu
u
u
uR
???
??
?
?
?
?
??
（万能置换公式）
例 7 求积分,co ss i n1 s i n? ?? dxxx x
解,1 2s i n 2uux ??
2
2
1
1c o s
u
ux
?
??,
1
2
2 duudx ??
由万能置换公式
? ?? dxxx x co ss i n1 s i n duuu u? ??? )1)(1( 2 2
duuu uuu? ?? ????? )1)(1( 112 2
22
duuu uu? ?? ???? )1)(1( )1()1( 2
22
duuu? ??? 211 duu? ?? 1 1
ua r cta n? )1l n(21 2u?? Cu ??? |1|ln
2t an
xu ??
2
x? |
2s e c|ln
x?,|
2ta n1|ln C
x ???
例 8 求积分,s i n14? dxx
解（一）,2ta n xu ?,1 2s i n 2uux ??,1 2 2 duudx ??
? dxx4s i n1 duu uuu? ???? 4 642 8 331
Cuuuu ?????? ]3333 1[81
3
3,
2
t a n
24
1
2
t a n
8
3
2
t a n8
3
2
t a n24
1
3
3 C
xx
xx
??
?
?
?
?
?
???
?
?
?
?
?
?
??
解（二） 修改万能置换公式,xu ta n?令
,1s i n 2uux ??,1 1 2 duudx ??
? dxx4s i n1
du
u
u
u
? ??
?
?
?
?
?
?
?
? 24
2
1
1
1
1
duu u? ?? 4
21
Cuu ???? 13 1 3,co tco t31 3 Cxx ????
解（三） 可以不用万能置换公式,
? dxx4s i n1 dxxx )co t1(cs c 22? ??
x d xxx d x 222 c s cc o tc s c? ??? )(c o t xd?
.co t31co t 3 Cxx ????
结论 比较以上三种解法,便知万能置换不一定
是最佳方法,故三角有理式的计算中先考
虑其它手段,不得已才用万能置换,
例 9 求积分,s i n3s i n s i n1? ?? dxxx x
解 2c o s2s i n2s i ns i n
BABABA ????
? ?? dxxx xs i n3s i n s i n1 ? ?? dxxx xco s2s i n2 s i n1
? ?? dxxx x 2co ss i n4 s i n1
?? dxxx 2co ss i n 141 ?? dxx2co s141
? ?? dxxx xx 2
22
c o ss i n
c o ss i n
4
1
?? dxx2co s141
?? ?? dxxdxxx s i n141co ss i n41 2?? dxx2co s141
?? ??? dxxxdx s i n141)(co sco s141 2?? dxx2co s141
xco s4
1?
2t a nln4
1 x?,ta n
4
1 Cx ??
讨论类型 ),,( n baxxR ? ),,( n ecx baxxR ??
解决方法 作代换去掉根号,
例 10 求积分 ? ? dxx xx 11
解 令 tx x ??1,1 2tx x ???
三、简单无理函数的积分
,112 ?? tx ? ?,12 22 ??? t td tdx
? ? dxx xx 11 ? ? ? ? dtt ttt? ???? 222 121? ??? 12 2
2
t
dtt
dtt? ?????? ???? 1112 2 Cttt ?????? 11ln2
.11ln12
2
C
x
xx
x
x ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
? ??????
例 11 求积分,11
1
3? ??? dxxx
解 令 16 ?? xt,6 5 dxdtt ??
? ??? dxxx 3 11 1 dtttt 523 61 ??? ?
dtt t? ?? 16
3
Ctttt ?????? |1|ln6632 23
.)11l n (6131312 663 Cxxxx ??????????
说明 无理函数去根号时,取根指数的 最小公倍数,
例 12 求积分,1213? ??? dxxx
x
解 先对分母进行有理化
原式 ? ?????? ???? dxxxxx xxx )1213)(1213( )1213(
? ???? dxxx )1213(
)13(1331 ??? ? xdx )12(1221 ??? ? xdx
.)12(31)13(92 2
3
2
3
Cxx ?????
简单无理式的积分,
有理式分解成部分分式之和的积分,
（注意：必须化成真分式）
三角有理式的积分,（万能置换公式）
（注意：万能公式并不万能）
四、小结
思考题
将分式分解成部分分式之和时应注意什么？
思考题解答
分解后的部分分式必须是最简分式,
一,填空题：
1, ?? ?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
dx
xx
CBx
x
A
dx
x 111
3
23
，其 ?A ____,
?B ____ __ _ _,?C ___ __ _ __ __ ；
2,
? ? ? ? ? ?
?? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
dx
x
C
x
B
x
A
dx
xx
x
11111
1
22
2
,
其中
?A
____ _,
?B
__ ___,?C ___ ___ _ ；
3,计算 ?
?
,
s i n2 x
dx
可用万能代换 ?xs i n __ _ __ __ ___ _,
?dx _ _ __ __ ___ __ __ ；
4,计算 ?
??
,
mbax
dx
令 ?t ___,?x __ _,?dx ___ _,
练习题
5,有理函数的原函数都是 __ ___ __ __,
二、求下列不定积分：
1,
? ?? ?? ?
?
??? 321 xxx
x d x； 2,
? ?? ?
?
?? xxx
dx
22
1；
3,
?
?
dx
x
4
1
1； 4,
?
? x
dx
2
s i n3；
5, ?
?? 5c o ss i n2 xx
dx； 6, ?
??
??
dx
x
x
11
11；
7, ?
?
?
x
dx
x
x
1
1； 8, ?
??
3
42
)1()1( xx
dx
,
三、求下列不定积分 （用以前学过的方法）：
1,
? ?
?
?
dx
x
x
3
1； 2,
?
?
?
dx
xx
x
s i n
c o s1；
3,
?
?
24
1 xx
dx； 4,
?
dx
x
x
3
2
c o s
s i n；
5,
?
?
dx
x
x
28
3
)1(； 6, dx
x
x
?
? s i n1
s i n；
7,
?
?
dx
xxx
x
)(
3
3； 8,
?
?
dx
e
xe
x
x
2
)1(；
9,
?
?? dxxx
22
)]1[l n ( ； 10,
?
? xdxx a r c s i n1
2；
11, dx
xx
xx
?
? c o ss i n
c o ss i n； 12, ?
?? ))(( xbax
dx
.
二,1, C
xx
x
?
??
?
3
4
)3)(1(
)2(
ln
2
1；
2, Cx
xx
x
??
??
a r c ta n
2
1
)1()1(
ln
4
1
22
4；
3, )12a r c ta n (
4
2
12
12
ln
8
2
2
2
??
??
??
x
xx
xx
C??? )12a r c t a n (
4
2；
一,1, 2,1,1 ? ； 2, -1,
2
1
,
2
1； 3,
22 1
2
,
1
2
u
du
u
u
??；
4, bax ?,
a
bt ?2
,dt
a
t2； 5,初等函数,
练习题答案
4, C
x
?
3
ta n2
a r c ta n
32
1；
5, C
x
?
?
5
1
2
ta n3
a r c ta n
5
1；
6, Cxxx ?????? )11l n (414 ；
7,
xx
xx
???
???
11
11
ln C
x
x
?
?
?
?
1
1
a r c ta n2,或
Cx
x
x
??
??
a r c s i n
11
ln
2；
8, C
x
x
?
?
?
?
3
1
1
2
3
.
三,1, C
xx
?
?
?
? 1
1
)1(2
1
2；
2, Cxx ?? )si nl n ( ；
3, C
x
x
x
x
?
?
?
?
?
2
3
32
1
3
)1(；
4, Cxx
x
x
??? )t a nl n ( s e c
2
1
c o s2
s i n
2；
5, Cx
x
x
??
?
4
8
4
a r c ta n
8
1
)1(8；
6, Cx
x
??
?
2
ta n1
2
,或
Cxxx ??? t a ns e c；
7, C
x
x
?
?
66
)1(
ln ；
8, Ce
e
xe
x
x
x
???
?
)1l n (
1；
9,
Cxxxx
xxx
??????
??
2)1l n (12
)]1[l n
22
22；
10, xx
xx
a r c s i n1
24
)( a r c s i n
2
2
?? C
x
??
4
2；
11, C
x
x
xx ?
?
?
??
s i n21
c o s21
ln
22
1
)c o s( s i n
2
1；
12, C
xb
ax
?
?
?
a r c t a n2,