一、计算函数增量的近似值
,
,0)()( 00
很小时
且处的导数在点若
x
xfxxfy
?
???
例 1
,05.0
,10
问面积增大了多少厘米
半径伸长了厘米的金属圆片加热后半径
解,2rA ??设,05.0,10 厘米厘米 ??? rr
rrdAA ?????? ?2 05.0102 ???? ).( 2厘米??
.)( 0 xxf ???? 00 xxxx dyy ?? ??
二、计算函数的近似值;)(.1 0 附近的近似值在点求 xxxf ?
)()( 00 xfxxfy ?????,)( 0 xxf ????
.)()()( 000 xxfxfxxf ??????? )( 很小时x?
例 1,0360c o s o 的近似值计算 ?
解,c o s)( xxf ?设 )(,s i n)( 为弧度xxxf ????
,3 6 0,30 ????? xx?
.2 3)3(,21)3( ??????? ff
)3603co s (0360co s o ?????? 3603si n3c os ??????
3602
3
2
1 ????,4 9 2 4.0?;0)(.2 附近的近似值在点求 ?xxf
.)0()0()( xffxf ?????
,)()()( 000 xxfxfxxf ????????
.,00 xxx ???令
常用近似公式 )( 很小时x
.)1l n ()5(;1)4();(t a n)3(
);(si n)2(;
1
11)1(
xx
xexxx
xxxx
n
x
x
n
??
???
????
为弧度
为弧度
证明,1)()1( n xxf ??设,)1(1)(
11 ???? nx
nxf
.1)0(,1)0( nff ???
xffxf )0()0()( ????,1 nx??
例 2,计算下列各数的近似值
解
.)2(;5.9 9 8)1( 03.03 ?e
33 5.110005.998)1( ??
3 )
10 00
5.11(10 00 ?? 3 0015.0110 ??
)00 15.0311(10 ???,995.9?
03.01)2( 03.0 ???e,97.0?
三、误差估计
由于测量仪器的精度、测量的条件和测量的方法
等各种因素的影响，测得的数据往往带有误差，
而根据带有误差的数据计算所得的结果也会有误
差，我们把它叫做 间接测量误差,
定义,
.,
,
的绝对误差叫做那末为
它的近似值如果某个量的精度值为
aaAa
A
?
.的相对误差叫做的比值而绝对误差与 aa aAa ?
问题,在实际工作中,绝对误差与相对误差无法求得?
办法,将误差确定在某一个范围内,
.
,
,
,
,,
的相对误差限
叫做测量而的绝对误差限叫做测量那末
即又知道它的误差不超过
测得它的近似值是如果某个量的精度值是
A
a
A
aA
aA
A
A
A
A
?
?
???
?
通常把绝对误差限与相对误差限简称为 绝对误
差 与 相对误差,
例 3
.
,,005.041.2
误差并估计绝对误差与相对
求出它的面积米正方形边长为 ?
解 则面积为设正方形边长为,,yx.2xy ?
,41.2 时当 ?x ).(80 81.5)41.2( 22 my ??
41.241.2 2 ?? ?? xx xy,82.4?
,005.0?x?边长的绝对误差为?
005.082.4 ??? y?面积的绝对误差为 ).(02 41.0 2m?
y
y?面积的相对误差为?
8081.5
0241.0? %.4.0?
四、小结
近似计算的基本公式
.)0()0()( xffxf ????
00 xxxx dyy ?? ??,)( 0 xxf ???
),()()()( 000 xxxfxfxf ?????
,很小时当 x?
,0时当 ?x
一,填空题,
1, 利用公式 ))(()()(
000
xxxfxfxf ???? 计算 )( xf
时，要求 ______ 很小,
2, 当 0?x 时, 由 公 式 dyy ?? 可 近 似 计 算
_ _ _ _ _ _ _)1l n ( ?? x ； _ _ _ _ _ _ _ _t a n ?x,由此得
_ _ _ _ _ _ _45t a n ?? ； _ _ _ _ _ _ _ _002.1ln ?,
二,利用微分计算当 x 由 ?45 变到 0145 ??,时，函数
xy c o s? 的增量的近似值 ( 017453.01 ?? 弧度 ).
三,已知单摆的振动周期
g
l
T ?? 2, 其中 9 8 0?g 厘
米 / 秒
2
,l 为摆长 （单位为厘米），设原摆长为 20
厘米，为使周期 T 增大 0.05 秒，摆长约需加长多
少？
练 习 题
四,求近似值：
1, ?1 3 6ta n ； 2, 5 0 0 2.0a r c s i n ； 3, 3 9 9 6,
五、设 0?A,且
n
AB ??,证明
1?
???
n
n n
nA
B
ABA,并计算
10
1 0 0 0 的近似值,
六、已知测量球的直径 D 有 1% 的相对误差，问用公式
3
6
DV
?
? 计算球的体积时，相对误差有多大？
七、某厂生产 （教材 2-1 8 图）所示的扇形板，半径 R = 2 0 0
毫米，要求中心角 ? 为 ?55 产品检验时，一般用测量
弦长 L 的办法来间接测量中心角 ?,如果测量弦长 L
时的误差 L? = 0,1 毫米，问由此而引起的中心角测量
误差 ?? 是多少？
一,1,
0
xx ? ； 2, 0 0 2.0,0 1 3 0 9.0,,xx,
二,0021.0
2160
2
???,
三、约需加长 2.23 厘米,
四,1, - 0.96509 ； 2, 7430
o
? ； 3, 9.9867,
五,1.9953,
六,3%,
七、
0 0 0 5 6.0?
?
?
( 弧度 )=
551 ???
,
练习题答案