一、无穷小的比较
例如,
x
x
x 3
lim
2
0?
x
x
x
s inlim
0?
2
2
0
1s i n
lim
x
x
x
x ?
.1s i n,s i n,,,0 22 都是无穷小时当 xxxxxx ?
极限不同,反映了趋向于零的“快慢”程度不
同,;32 要快得多比 xx;s i n 大致相同与 xx
不可比,
,0?
,1?
xx
1s inlim
0??,不存在
观
察
各
极
限
型）（ 00；记作
高阶的无穷小是比，就说如果
)(
,0lim)1(
???
???
?
?
o
定义,,0,,???? 且穷小是同一过程中的两个无设;,0lim)3( 是同阶的无穷小与就说如果 ?????? C;~;,1lim
??
???
?
?
记作
是等价的无穷小与则称如果特殊地，
低阶的无穷小．是比，就说如果２ ??????lim)(
.
,0,0lim)4(
无穷小
阶的的是就说如果 kkCk ?????
?
?
，03lim
2
0
?
? x
x
x
?
，1s i nlim 0 ?? x xx?;30 2 高阶的无穷小是比时，当 xxx ??
).0()3(2 ?? xxox即
．是等价无穷小与时，当 xxx s i n0??
).0(~s i n ?xxx即
例如,
例 1,s int a n,0,的三阶无穷小为时当证明 xxxx ??
解 3
0
s i nt a nlim
x
xx
x
?
?
?
)co s1s inco s1(l im 2
0 x
x
x
x
xx
????
?
,21?
.s i nt a n 的三阶无穷小为 xxx ??
2000
c o s1l ims inl im
c o s
1l im
x
x
x
x
x xxx
????
???
的主要部分．是称为
必要条件是等价无穷小的的充分与定理
???????
??
).(
1
o
证 必要性,设 ?? ~
1li mli m ?
?
??
?
???
，0?
．，即 )()( ??????????? oo
充分性,设 )( ????? o
?
????
?
? )(limlim o ）（１＋
?
?? )(li m o
，1?
．??? ~
意义,用等价无穷小可给出函数的近似表达
式,
例如,
),(s i n xoxx ??
).(21co s1 22 xoxx ???
,0时当 ?x
xy co s1 ??
221y x?
常用等价无穷小,,0时当 ?x
)0(~1)1(,
2
1
~c o s1,1~
)1ln(~a r c t a n~a r c s in~t a n~s in~
2 ?????
?
aaxxxxex
xxxxxx
ax
.21~co s1,~s i n 2xxxx ?
例２
解
)1ln (lim
1lim
00 u
u
x
e
u
x
x ?
??
??
?
.1lim
0 x
e x
x
?
?
求
,1 ue x ??令 ),1ln( ux ??即
,0,0 ?? ux 有时则当
u
u
u
10
)1ln (
1lim
?
?
?
u
u
u
1
0
)1ln (lim
1
?
?
?
eln
1?,1?
.1~),1l n (~0 ??? xexxxx 时，即，当
二、等价无穷小代换
定理２ (等价无穷小代换定理 )
.limlim,lim~,~ ? ?? ????? ?? ?? ??? ?? 则存在且设
证 ??lim )lim( ?? ??? ?? ??? ???
?
? ??
? ?
? ??
? ?
?? limlimlim,lim
??
???
例３,co s1 2ta nlim
2
0 x
x
x ??
求
解,2~2ta n,21~co s1,0 2 xxxxx ?? 时当
2
2
0
2
1
)2(
lim
x
x
x ?
?原式
.8?
若未定式的分子或分母为若干个因子的乘积，则
可对其中的任意一个或几个无穷小因子作等价无
穷小代换，而不会改变原式的极限,
不能滥用等价无穷小代换,
切记，只可对函数的因子作等价无穷小代换，
对于代数和中各无穷小不能分别代换,
注意
例４,a rcs i ns i n)1(l i m
0 x
xx
x
?
?
求
解,~a r c s i n,~s i n,0 xxxxx 时当 ?
x
xx
x
)1(lim
0
??
?
原式,1? )1(lim 0 ?? xx
例５,2s i n s i nta nl i m 3
0 x
xx
x
?
?
求
解,~s i n,~t a n,0 xxxxx 时当 ?
30 )2(lim x
xx
x
??
?
原式,0?
解,0时当 ?x
)co s1(ta ns i nta n xxxx ???,21~ 3x
,2~2s i n xx
3
3
0 )2(
2
1
lim
x
x
x ?
?原式,
16
1?
错
?
例 6,3s i n 1co s5t a nlim
0 x
xx
x
??
?
求
解 ),(55t a n xoxx ??? ),(33s in xoxx ??
).(21co s1 22 xoxx ???
)(3
)(
2
1
)(5
lim
22
0 xox
xoxxox
x ?
???
?
?
原式
x
xo
x
xo
x
x
xo
x )(
3
)(
2
1)(
5
lim
2
0
?
???
?
?,
3
5?
三、小结
1、无穷小的比较
反映了同一过程中,两无穷小趋于零的速度
快慢,但并不是所有的无穷小都可进行比较,
2、等价无穷小的代换,
求极限的又一种方法,注意适用条件,
高 (低 )阶无穷小 ; 等价无穷小 ; 无穷小的阶,
思考题
任何两个无穷小都可以比较吗？
思考题解答
不能,例当 时 ???x
,1)( xxf ? x xxg s i n)( ? 都是无穷小量
但 ???? )( )(lim xf xgx x
x s inlim???
不存在且不为无穷大
故当 时 ???x )( xf 和 )( xg 不能比较,
一,填空题：
1,
x
x
x 2s i n
3ta n
l i m
0?
=__ ______ __.
2,
m
n
x
x
x
)(s i n
a r c s i n
l i m
0?
=__ ______,
3,
x
x
x
)21l n (
lim
0
?
?
=__ ______ _.
4,
xx
xx
x
a r c t a n
1s i n1
lim
2
0
??
?
=__ ______,
5,
n
n
n
x
2
s i n2l i m
??
=__ ______,
6, xax
n
x
1)1(lim
1
0
??
?
= _ _ _ _ _ _ _ _ _,
练 习 题
7,当 0?x 时,)0(
3
??? aaxa
对于 x 是 ___ ____ 阶无穷小,
8,当 0?x 时，无穷小 xc o s1 ? 与
n
mx 等价，则
,_ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _,nm ?
二、求下列各极限：
1,
x
xx
x
3
0
s i n
s i nta n
lim
?
?；
2,
??
??
??
?
?
?
ee
lim ；
3,
x
xx
x
?? s i ns i n
lim
0
?
?；
4,
ax
ax
ax
?
?
?
ta nta n
lim ；
三,证明：若 ??,是无穷小，则 )(0~ ????? ???,
四、设 f(x)=
1
)c o s (
2
s i n
l i m
2
12
?
??
?
??
n
n
n x
bxaxx
?
求,1, )( xf 的表达式,
2,确定 ba,的值,使得 )1()(l i m
1
fxf
x
?
?
，
)1()(lim
1
??
??
fxf
x
,
一,1,
2
3； 2,
?
?
?
?
?
??
?
?
nm
nm
nm
,
,1
,0； 3, 2 ； 4, ? ；
5,
x； 6,
n
a； 7, 3 ； 8,
2
1
,2.
二,1,
2
1； 2,
?
e； 3,
?? ?； 4,
a
2
se c
.
练习题答案
四,1,
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
??
??
?
??
?
?
1),co s (
1,
2
)co s (1
1,
2
)co s (1
1,
2
s i n
xbxa
x
ba
x
ba
x
x
x；
2,
0,),1,0(2 ????? bkka ?
.