一、基本概念
1.集合, 具有某种特定性质的事物的 总体,
组成这个集合的事物称为该集合的 元素,
},,,{ 21 naaaA ??
}{ 所具有的特征xxM ?
有限集
无限集
,Ma ?,Ma ?
.,,的子集是就说则必若 BABxAx ??
.BA ?记作
数集分类, N----自然数集 Z----整数集
Q----有理数集 R----实数集
数集间的关系,,,,RQQZZN ???
.,,相等与就称集合且若 BAABBA ?? )( BA ?
},2,1{?A例如
},023{ 2 ???? xxxC,CA ?则
不含任何元素的集合称为 空集, )( ?记作
例如,}01,{ 2 ??? xRxx
规定
??
空集为任何集合的子集,
2.区间, 是指介于某两个实数之间的全体实数,
这两个实数叫做区间的端点,
.,,baRba ??? 且
}{ bxax ?? 称为开区间,),( ba记作
}{ bxax ?? 称为闭区间,],[ ba记作
o xa b
o xa b
}{ bxax ??
}{ bxax ??
称为半开区间,
称为半开区间,
),[ ba记作
],( ba记作
}{),[ xaxa ???? }{),( bxxb ????
o xa
o xb
有限区间
无限区间
区间长度的定义,
两端点间的距离 (线段的长度 )称为区间的长度,
3.邻域,,0,??? 且是两个实数与设 a
).(0 aU ?记作
,叫做这邻域的中心点 a,叫做这邻域的半径?
.}{)( ??? ????? axaxaU
xa??a ??a
??
,邻域的去心的点 ?a
.}0{)( ?? ???? axxaU
,}{ 邻域的称为点数集 ?? aaxx ??
4.常量与变量,
在某过程中数值保持不变的量称为 常量,
注意 常量与变量是相对“过程”而言的,
通常用字母 a,b,c等表示常量,
而数值变化的量称为 变量,
常量与变量的表示方法,
用字母 x,y,t等表示 变 量,
5.绝对值,
??
?
??
??
0
0
aa
aaa
)0( ?a
运算性质, ;baab ?;baba ?,bababa ?????
)0( ?? aax ;axa ???
)0( ?? aax ;axax ??? 或
绝对值不等式,
二、函数概念
例 圆内接正多边形的周长
nnrS n
?? s i n2
?,5,4,3?n
3S 5
S4S 6S
圆内接正 n 边形
O
r n?
因变量 自变量
.)(,000 处的函数值为函数在点称时当 xxfDx ?
.}),({ 称为函数的值域
函数值全体组成的数集
DxxfyyW ???
变量 y 按照一定法则总有
确定的数值和它对应，则称 y 是 x 的 函数,记作
定义 设 x 和 y 是两个变量,D 是一个给定的数集，
数集 D叫做这个函数的 定义域 )( xfy ?
如果对于每个数 Dx ?,
(
(
)
)
0x
)( 0xf
自变量
因变量
对应法则 f
函数的两要素, 定义域 与 对应法则,
x
y
D
W
约定, 定义域是自变量所能取的使算式有意义
的一切实数值,
21 xy ??例如,]1,1[,?D
21
1
xy ??例如,)1,1(,?D
定义,
.)(
}),(),{(
的图形函数
称为点集
xfy
DxxfyyxC
?
???
o x
y
),( yx
x
yW
D
?
如果自变量在定
义域内任取一个数值
时，对应的函数值总
是只有一个，这种函
数叫做单值函数，否
则叫与多值函数,
．例如,222 ayx ??
(1) 符号函数
?
?
?
?
?
??
?
?
??
01
00
01
s g n
x
x
x
xy
当
当
当
几个特殊的函数举例
1
-1
x
y
o
xxx ?? s g n
(2) 取整函数 y=[x]
[x]表示不超过 的最大整数
1 2 3 4 5
-2
-4
-4 -3 -2 -1
4
3
2
1 -1
-3
x
y
o
阶梯曲线
x
??
???
是无理数时当
是有理数时当
x
xxDy
0
1)(
有理数点 无理数点
?
1
x
y
o
(3) 狄利克雷函数
(4) 取最值函数
)}(),(m a x { xgxfy ? )}(),(m i n{ xgxfy ?y
x o
)(xf
)(xg
y
x o
)(xf
)(xg
??
?
??
???
0,1
0,12)(,
2 xx
xxxf例如
12 ?? xy12 ?? xy
在自变量的不同变化范围中,对应法则用不同的
式子来表示的函数,称为 分段函数,
例 1 脉冲发生器产生一个单三角脉冲,其波形如图
所示,写出电压 U与时间 的函数关系式, )0( ?tt
解 U
to
E
),2( E?
)0,(?
2
?
,]2,0[ 时当 ??t
t
E
U
2
?
?;2 tE??
单三角脉冲信号的电压,],2( 时当 ?
??t
),(
2
0
0 ???
??
?
?
?? t
E
U
)(2 ????? tEU即
,),( 时当 ????t,0?U
其表达式为
是一个分段函数,)( tUU ??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
????
?
?
???
?
?
?
?
?
?
),(,0
],
2
(),(
2
]
2
,0[,
2
)(
t
tt
E
tt
E
tU
U
to
E
),2( E?
)0,(?
2
?
例 2
.)3(,212 101)( 的定义域求函数设 ?
??
?
???
??? xf
x
xxf
解
??
?
????
??????
2312
1301)3(
x
xxf
??
?
???
???
212
101)(
x
xxf?
??
?
?????
?????
122
231
x
x
]1,3[,??fD故
三、函数的特性
M
-M
y
x o
y=f(x)
X 有界 无界
M
-M
y
x o X 0
x
,)(,,0,成立有若 MxfXxMDX ??????
1．函数的有界性,
..)( 否则称无界上有界在则称函数 Xxf
2．函数的单调性,
,,)( DIDxf ?区间的定义域为设函数
,,2121 时当及上任意两点如果对于区间 xxxxI ?;)( 上是单调增加的在区间则称函数 Ixf
),()()1( 21 xfxf ?恒有
)(xfy ?
)( 1xf
)( 2xf
x
y
o
I
)(xfy ?
)( 1xf
)( 2xf
x
y
o
I;)( 上是单调减少的在区间则称函数 Ixf
,,)( DIDxf ?区间的定义域为设函数
,,2121 时当及上任意两点如果对于区间 xxxxI ?
),()()2( 21 xfxf ?恒有
3．函数的奇偶性,
偶函数
有对于关于原点对称设,,DxD ??
)()( xfxf ??
y
x
)( xf ?
)( xfy ?
o x -x
)(xf;)( 为偶函数称 xf
有对于关于原点对称设,,DxD ??
)()( xfxf ??? ;)( 为奇函数称 xf
奇函数
)( xf ?
y
x
)(xf
o x
-x
)( xfy ?
4．函数的周期性,
（通常说周期函数的周期是指其最小正 周期 ）,
2l? 2l23l? 23l
,)( Dxf 的定义域为设函数 如果存在一个不为零的
)()( xflxf ??且
为周则称 )( xf
.)(,,DlxDxl ???使得对于任一数
.)(,的周期称为期函数 xfl.恒成立
四、反函数
0x
0y
0x
0y
x
y
D
W
)( xfy ?函数
o x
y
D
W
)( yx ??反函数
o
)( xfy ?直接函数
x
y
o
),( abQ
),( baP
)( xy ??反函数
直接函数与反函数的图形关于直线 对称, xy ?
例 3
解
,01)(
??
?
?
??
Qx
QxxD设
.))(().21(),57( 的性质并讨论求 xDDDD ??
,1)57( ??D,0)21( ??D,1))(( ?xDD
o x
y
1单值函数,有界函数,
偶函数,
周期函数 (无最小正周期 )
不是单调函数,
五、小结
基本概念
集合,区间,邻域,常量与变量,绝对值,
函数的概念
函数的特性
有界性,单调性,奇偶性,周期性,
反函数
思考题 设 0?? x,函数值 21)
1
( xx
x
f ???,
求函数 )0()( ?? xxfy 的解析表达式,
思考题解答
设 ux ?1
则 ? ? 2111 uuuf ???,11
2
u
u???
故 )0(.11)(
2
???? xx xxf
一,填空题,
1, 若
2
2
51
t
tt
f ???
?
?
?
?
?
,则 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _)( ?tf,
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _)1(
2
??tf,
2, 若
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
3
,s i n
3
,1
)(
xx
x
t,
则 )
6
(
?
? =_ __ __ __ __, )
3
(
?
? =_ __ _ __ _ __,
3,不等式
15 ??x
的区间表示法是 __ __ __ _ _ _,
4,设
2
xy ?,要使
),0( ?Ux ?
时，
)2,0(Uy ?
,
须
?
__ __ __ _ __ _.
练 习 题
二、证明 xy lg? 在 ),0( ?? 上的单调性,
三、证明任一定义在区间 )0(),( ?? aaa 上的函数可表
示成一个奇函数与一个偶函数之和,
四、设
)( xf
是以 2 为周期的函数，
且
?
?
?
??
???
?
10,0
01,
)(
2
x
xx
xf,试在
),( ????
上绘出
)( xf
的图形,
五、证明：两个偶函数的乘积是偶函数，两个奇函数的
乘积是偶函数，偶函数与奇函数的乘积是奇函数,
六、证明函数
acx
bax
y
?
?
? 的反函数是其本身,
七、求 xx
xx
ee
eexf
?
?
?
??)( 的反函数，并指出其定义域,
一,1,
2
2
5
t
t ?,
22
2
)1(
2
)1(5
?
??
t
t ； 2, 1,1 ；
3, (4,6 ) ； 4, ]2,0(?,
七,)1,1(,
1
1
ln ?
?
?
?
x
x
y,
练习题答案