.s i n 时的变化趋势当观察函数 ??xx x
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一、自变量趋向无穷大时函数的极限
问题, 函数 )( xfy ? 在 ??x 的 过程中,对应
函数值 )( xf 无限 趋近于 确定值 A,;)()( 任意小表示 AxfAxf ????
.的过程表示 ??? xXx
.0s i n)(,无限接近于无限增大时当 x xxfx ?
通过上面演示实验的观察,
问题, 如何用数学语言刻划函数“无限接近”,
定义 1 如果对于任意给定的正数 ? ( 不论它多么小 ),
总存在着正数 X,使得对于适合不等式 Xx ? 的一切
x,所对应的函数值 )( xf 都满足不等式 ??? Axf )(,
那末常数 A 就叫函数 )( xf 当 ??x 时的极限,记作
)()()(l i m ????
??
xAxfAxf
x
当或
定义"" X??
.)(,,0,0 ????????? AxfXxX 恒有时使当
???? Axfx )(l i m
1、定义,
:.1 0 情形???x
.)(,,0,0 ?? ??????? AxfXxX 恒有时使当
:.2 0 情形???x Axfx ???? )(l i m
.)(,,0,0 ?? ???????? AxfXxX 恒有时使当
Axfx ???? )(l i m
2、另两种情形,
???? Axfx )(l i m:定理,)(l i m)(l i AxfAxf xx ?? ?????? 且
x
xy sin?
3、几何解释,
??
?
X? X
.2,
)(,
的带形区域内宽为为中心线直线
图形完全落在以函数时或当
??
????
Ay
xfyXxXx
A
xxy sin?例 1,0sinlim ??? x xx证明
证 x xx x s i n0s i n ??? x
1?
X
1?,??
,0???,1??X取 时恒有则当 Xx ?
,0s i n ???x x,0sinlim ?
?? x
x
x
故
.
)(,)(lim:
的图形的水平渐近线
是函数则直线如果定义 xfycycxf
x
???
??
二、自变量趋向有限值时函数的极限
问题, 函数 )( xfy ? 在 0xx ? 的 过程中,对应
函数值 )( xf 无限 趋近于 确定值 A,;)()( 任意小表示 AxfAxf ????
.0 00 的过程表示 xxxx ???? ?
x0x??0x ??0x
??
,0 邻域的去心点 ?x,0 程度接近体现 xx?
定义 2 如果对于任意给定的正数 ? ( 不论它多
么小 ),总存在正数 ?,使得对于适合不等式
????
0
0 xx 的一切 x,对应的函数值 )( xf 都
满足不等式 ??? Axf )(,那末常数
A
就叫函数
)( xf 当 0xx ? 时的极限,记作
)()()(l i m
0
0
xxAxfAxf
xx
???
?
当或
定义"" ???
.)(
,0,0,0 0
???
??????????
Axf
xx
恒有
时使当
1、定义,
2、几何解释,
)(xfy ?
??A
??A
A
??0x ??0x0x
??
x
y
o,2
,
)(,
0
的带形区域内宽为
为中心线线
图形完全落在以直
函数域时
邻的去心在当
?
?
?
?
Ay
xfy
xx
注意,;)(.1 0 是否有定义无关在点函数极限与 xxf
..2 有关与任意给定的正数 ??
.,,越小越好后找到一个显然 ??
例 2 ).(,lim
0
为常数证明 CCCxx ??
证
Axf ?)( CC ??,成立??
,0??任给
0?,l i m
0
CCxx ?? ?
,0??任取,0 0 时当 ???? xx
例 3,l i m 0
0
xxxx ??证明
证,)( 0xxAxf ????,0??任给,???取
,0 0 时当 ?????? xx
0)( xxAxf ???,成立??,lim 0
0
xxxx ?? ?
例 4,211l i m
2
1
???
? x
x
x
证明
证
211)(
2
????? xxAxf?,0??任给
,???只要取
,0 0 时当 ???? xx
函数在点 x=1处没有定义,
1?? x
,)( ??? Axf要使
,211
2
?????xx就有
.211lim
2
1
????
? x
x
x
例 5
.lim 0
0
xxxx ?? ?
证 0)( xxAxf ????
,0??任给
},,m i n { 00 ??? xx取
,0 0 时当 ???? xx
0
0
xx
xx
?
??
,)( ??? Axf要使
,0 ??? xx就有
,0xx??
.00 且不取负值只要 ??? xxx
.lim,0,00
0
xxx xx ?? ?时当证明
3.单侧极限,
例如,
.1)(lim
0,1
0,1
)(
0
2
?
?
?
?
??
??
?
?
xf
xx
xx
xf
x
证明
设
两种情况分别讨论和分 00 ?? xx
,0xx 从左侧无限趋近 ;00 ?? xx记作
,0xx 从右侧无限趋近 ;00 ?? xx记作
y
o x
1
xy ?? 1
12 ?? xy
左极限
.)(
,,0,0 00
???
??????????
Axf
xxx
恒有
时使当
右极限
.)(
,,0,0 00
???
??????????
Axf
xxx
恒有
时使当
}0{}0{
}0{:
00
0
??????????
????
xxxxxx
xxx
?
注意
.)0()(lim 0
)(
0
0
0
AxfAxf
xx
xx
???
??
??
或记作
.)0()(lim 0
)(
0
0
0
AxfAxf
xx
xx
???
??
??
或记作
.)0()0()(lim,00
0
AxfxfAxfxx ???????定理
.lim
0
不存在验证 xx
x ? y
x
1
1?
o x
x
x
x
xx
??
???? 00
limlim
左右极限存在但不相等,.)(lim 0 不存在xfx ??
例 6
证
1)1(lim 0 ???? ??x
x
x
x
x
xx 00
l i ml i m
???
? 11lim
0 ?? ??x
三、函数极限的性质
1.有界性 定理 若在某个过程下,)( xf 有极限,则存在
过程的一个时刻,在此时刻以后 )( xf 有界,
2.唯一性
定理 若 )(lim xf 存在,则极限唯一,
推论
).()(),,(,0
,)(l i m,)(l i m
0
0
00
xgxfxUx
BABxgAxf
xxxx
???????
???
??
有则
且设
3.不等式性质
定理 (保序性 )
.),()(),,(,0
.)(lim,)(lim
0
0
00
BAxgxfxUx
BxgAxf
xxxx
????????
??
??
则有若
设
).0)((0)(,),(,0
),0(0,)(lim
0
0
0
???????
???
?
xfxfxUx
AAAxf
xx
或时当则
或且若
定理 (保号性 )
).0(0),0)((0)(
,),(,0,)(lim 00
0
????
??????
?
AAxfxf
xUxAxf
xx
或则或
时当且若推论
4.子列收敛性 (函数极限与数列极限的关系 )
? ?
.
)(),(,),(),(,)(
.),(
),,(
21
000
时的子列当
为函数即
则称数列时使得有数列
中或可以是设在过程
ax
xfxfxfxfxf
axnax
xxxaax
nn
nn
?
????
?
??
??定义
.)(lim,
)()(,)(lim
Axf
axxfxfAxf
nn
nax
?
??
??
?
则有时的一个子列
当是数列若
定理
证
.)(
,0,0,0 0
???
???????????
Axf
xx 恒有时使当
Axfxx ?? )(l i m
0
?
.0
,,0,0
0 ????
??????
xx
NnN
n
恒有时使当对上述
,)( ??? Axf n从而有,)(l i m Axf nn ???故
,lim 00 xxxx nnn ???? 且又 ?
例如,x
xy sin?
1sinlim
0
?
? x
x
x
,11s i nlim ?
?? n
n
n
,11s i nlim ?
?? n
n
n
11s i n1lim 2
2
???
?? n
n
n
n
n
函数极限与数列极限的关系
函数极限存在的充要条件是它的任何子列的极
限都存在,且相等,
xy 1sin?
例 7,1s i nl i m
0
不存在证明 x
x ?
证 ? ?,1 ?????? ?? nx n取
,0lim ??? nn x ;0?nx且
? ?,
2
14
1
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
n
x n取
,0lim ???? nn x ;0??nx且
?nx
nnn
s i nl i m1s i nl i m
????
?而
,1?
?2 14s i nlim1s i nlim ???
????
n
x nnn而
1lim??? n
二者不相等,.1s i nl i m 0 不存在故 xx ?
,0?
四、小结
函数极限的统一定义;)(lim Anfn ???;)(lim Axfx ??? ;)(l i m Axfx ???? ;)(l i m Axfx ????;)(l i m
0
Axfxx ?? ;)(lim
0
Axfxx ???,)(lim
0
Axfxx ???
.)(
,,,0)(lim
?
?
??
?????
Axf
Axf
恒有
从此时刻以后时刻
(见下表 )
过 程
时 刻
从此时刻以后
??n ??x ???x ???x
N
Nn ? Nx ? Nx ? Nx ??
)(xf ??? Axf )(
0xx ?
?
???? 00 xx
?? 0xx ?? 0xx
???? 00 xx 00 ????? xx
过 程
时 刻
从此时刻以后
)(xf ??? Axf )(
思考题
试问函数
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
0,5
0,10
0,
1
s i n
)(
2
xx
x
x
x
x
xf 在 0?x 处
的左、右极限是否存在？当 0?x 时,)( xf 的
极限是否存在？
思考题解答
??? )(lim 0 xfx,5)5(lim 20 ???? xx 左极限存在,
??? )(lim 0 xfx,01s i nlim 0 ??? xxx 右极限存在,
??? )(l i m0 xfx? )(lim0 xfx ?? )(l i m0 xfx ?? 不存在,
.01.01
_ _ _ _ _ _1
3
1
2 2
2
???
?
?
?
???
yzx
z
x
x
yx
，必有时，只要
取，问当时，、当
.001.0420
___421 2
?????
???
yx
xyx
，必有只要
时，取，问当时，、当
?
?
证明：二、用函数极限的定义
一、填空题,
0
s i n
lim2
2
12
41
lim1
2
2
1
?
?
?
?
???
??
x
x
x
x
x
x
、
、
练 习 题
.
)(,0
极限各自存在并且相等必要条件是左极限、右
时极限存在的充分当函数三、试证 xxxf ?
0)(
存在
时的极限是否在四、讨论：函数 ?? x
x
x
x?
一,1, 0, 0 0 0 2 ； 2, 3 9 7,
四、不存在,
练习题答案