一、和、差、积、商的求导法则
定理
并且可导
处也在点分母不为零们的和、差、积、商
则它处可导在点如果函数
,
)(
,)(),(
x
xxvxu
).0)((
)(
)()()()(
]
)(
)(
[)3(
);()()()(])()([)2(
);()(])()([)1(
2
?
???
??
??????
??????
xv
xv
xvxuxvxu
xv
xu
xvxuxvxuxvxu
xvxuxvxu
证 (3) ),0)((,)( )()( ?? xvxv xuxf设
h
xfhxfxf
h
)()(lim)(
0
????
?
hxvhxv
hxvxuxvhxu
h )()(
)()()()(lim
0 ?
????
?
h
xv
xu
hxv
hxu
h
)(
)(
)(
)(
li m
0
?
?
?
?
?
证 (1),(2)略,
hxvhxv
xvhxvxuxvxuhxu
h )()(
)]()()[()()]()([lim
0 ?
??????
?
)()(
)()()()()()(
lim
0 xvhxv
h
xvhxvxuxv
h
xuhxu
h ?
???????
?
?
2)]([
)()()()(
xv
xvxuxvxu ????
.)( 处可导在 xxf?
推论;)(])([)1(
11
??
??
???
n
i
i
n
i
i xfxf
);(])([)2( xfCxCf ??? ;)()(
)()()(
)()()(])([)3(
1 1
21
21
1
? ? ??
???
?
???
?
?
?
?
n
i
n
ik
k
ki
n
n
n
i
i
xfxf
xfxfxf
xfxfxfxf
??
?
二、例题分析
例 1,s i n2 23 的导数求 xxxy ???
解 23 xy ?? x4?
例 2,ln2s i n 的导数求 xxy ??
解 xxxy lnco ss in2 ????
xxxy lnc o sc o s2 ???? xxx ln)s i n(s i n2 ????
xxx
1co ss i n2 ???
.cos x?
.2s i n1ln2co s2 xxxx ??
例 3,t a n 的导数求 xy ?
解 )co ss i n()( t a n ????? xxxy
x
xxxx
2c o s
)( c o ss i nc o s)( s in ????
x
xx
2
22
c o s
s inc o s ?? x
x
2
2 s ecco s
1 ??
.s e c)( t a n 2 xx ??即
.c s c)( c o t 2 xx ???同理可得
例 4,s e c 的导数求 xy ?
解 )co s1()( s ec ????? xxy
x
x
2co s
)( co s ???,t a ns e c xx?
x
x
2co s
s in?
.co tcsc)( csc xxx ???同理可得
例 5,s i n h 的导数求 xy ?
解 ])(21[)( s i n h ?????? ? xx eexy )(21 xx ee ???,cosh x?
同理可得 xx s inh)( c o s h ?? xx 2c o s h
1)( t a nh ??
例 6 ).(,0),1ln (
0,)( xf
xx
xxxf ?
??
?
??
?? 求设
解,1)( ?? xf,0时当 ?x
,0时当 ?x
h
xhxxf
h
)1l n ()1l n (lim)(
0
??????
?
)11l n (1lim 0 xhhh ??? ?
,1 1 x??
,0时当 ?x
h
hf
h
)01l n ()0(lim)0(
0
?????
???,1?
h
hf
h
)01l n ()]0(1l n [lim)0(
0
??????
???,1?
.1)0( ??? f
.0,
1
1
0,1
)(
??
???
??
?
??? x
x
x
xf
三、小结
注意, );()(])()([ xvxuxvxu ??????
.)( )(])( )([ xv xuxv xu ????
分段函数 求导时,分界点导数用左右导数求,
思考题
求曲线 上与 轴平行
的切线方程,
32 xxy ?? x
思考题解答
232 xy ??? 令 0??y 032 2 ??? x
3
2
1 ?x 3
2
2 ??x
切点为 ?
?
??
?
?
9
64,
3
2 ?
?
??
?
? ??
9
64,
3
2
所求切线方程为 9 64?y 9 64??y和
一,填空题：
1, 设 xxy s i n??,则 y ? = __ __ _ __ _ __,
2, 设
x
eay
xx
2
3 ???, 则
dx
dy
=_ __ __ __ _ __,
3, 设 )13(
2
??? xxey
x
,则
0?x
dx
dy
= __ _ __ __ __ _,
4, 设
1se ct a n2 ??? xxy
,则
y ?
= __ _ __ __ __,
5, 设
55
3
)(
2
x
x
xfy ?
?
??,则 )0(f
?
= __ _ __ __ _.
6, 曲线 xy s i n
2
?
?
? 在
0?x
处的切线
轴与 x
正向的
夹角为 __ __ __ __ _,
练 习 题
二,计算下列各函数的导数：
1,
2
1
1
xx
y
??
? ； 2,
110
110
?
?
?
x
x
y ；
3,
2
1
c s c2
x
x
y
?
? ； 4,
t
t
xf
?
?
?
1
1
)(,求 )4(f
?；
5, )0,0( ???
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? ba
a
x
x
b
b
a
y
bax
.
三,求抛物线 cbxaxy ???
2
上具有水平切线的点,
四,写出曲线
x
xy
1
?? 与
x
轴交点处的切线方程,
一,1, )c o s
2
s i n
( x
x
x
x ? ； 2,
2
2
ln3
x
eaa
xx
?? ；
3,
2?； 4,
)t a nse c2(se c xxx ?； 5,
25
3； 6,
4
?
.
二,1,
22
)1(
21
xx
x
??
?； 2,
2
)110(
10ln210
?
?
x
x；
3,
22
2
)1(
]2c o t)1[(c s c2
x
xxxx
?
??； 4,
18
1；
5, )(l n)()()(
x
ba
b
a
a
x
x
b
b
a
bax
?
?,
三、
)
4
4
,
2
(
2
a
acb
a
b ?
??
.
四、
022 ??? yx
和
022 ??? yx
.
练习题答案