一、函数的连续性
1.函数的增量
.,
),(,)()(
00
00
的增量称为自变量在点
内有定义在设函数
xxxx
xUxxUxf
???
?? ??
.)(),()( 0 的增量相应于称为函数 xxfxfxfy ????
x
y
0 x
y
00x xx ??0
)(xfy ?
x?
0x xx ??0
x?y?
y?
)(xfy ?
2.连续的定义
定义 1 设函数 )( xf 在 )(
0
xU
?
内有定义,如
果当自变量的增量 x? 趋向于零时,对应的函
数的增量 y? 也趋向于零,即 0l i m
0
??
??
y
x
或
0)]()([l i m
00
0
????
??
xfxxf
x
,那末就称函数
)( xf 在点
0
x 连续,
0
x 称为 )( xf 的连续点,
,0 xxx ???设 ),()( 0xfxfy ???
,0 0xxx ??? 就是 ).()(0 0xfxfy ??? 就是
定义 2 设函数 )( xf 在 )(
0
xU
?
内有定义,如果
函数 )( xf 当
0
xx ? 时的极限存在,且等于它在
点
0
x 处的函数值 )( 0xf,即 )()(l i m
0
0
xfxf
xx
?
?
那末就称函数 )( xf 在点
0
x 连续,
:"" 定义???
.)()(
,,0,0
0
0
?
???
??
??????
xfxf
xx
恒有
时使当
例 1
.
0
,0,0
,0,
1
s i n
)(
处连续
在试证函数 ?
??
?
?
?
?
?
? x
x
x
x
x
xf
证,01s i nlim 0 ?? xxx?
,0)0( ?f又
由定义 2知
.0)( 处连续在函数 ?xxf
),0()(l i m0 fxfx ??
3.单侧连续;)(
),()0(,],()(
0
000
处左连续在点则称
且内有定义在若函数
xxf
xfxfxaxf ??
定理,
)()( 00
处既左连续又右连续
在是函数处连续在函数 xxfxxf ?.)(
),()0(,),[)(
0
000
处右连续在点则称
且内有定义在若函数
xxf
xfxfbxxf ??
例 2
.
0
,0,2
,0,2
)(
连续性
处的在讨论函数 ?
?
?
?
??
??
? x
xx
xx
xf
解 )2(lim)(lim
00 ?? ?? ?? xxf xx
2? ),0(f?
)2(lim)(lim 00 ?? ?? ?? xxf xx 2?? ),0(f?
右连续但不左连续,
.0)( 处不连续在点故函数 ?xxf
4.连续函数与连续区间
在区间上每一点都连续的函数,叫做在该区间上
的 连续函数,或者说函数在该区间上连续,
.],[)(
,,
,),(
上连续在闭区间函数
则称处左连续在右端点处右连续
并且在左端点内连续如果函数在开区间
baxf
bxax
ba
??
连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线,
例如,.),( 内是连续的有理函数在区间 ????
例 3,),(s i n 内连续在区间函数证明 ????? xy
证 ),,( ?????x任取
xxxy s in)s in ( ????? )2co s (2s i n2 xxx ?????
,1)2c o s ( ??? xx?,2s in2 xy ???则
,0,时当对任意的 ???,s in ???有
,2s in2 xxy ?????故,0,0 ????? yx 时当
.),(s i n 都是连续的对任意函数即 ?????? xxy
二、函数的间断点
:)( 0 条件处连续必须满足的三个在点函数 xxf;)()1( 0 处有定义在点 xxf;)(l i m)2(
0
存在xfxx ?
).()(l i m)3( 0
0
xfxfxx ??
).()(
),()(
,
00
或间断点的不连续点
为并称点或间断处不连续在点函数
则称要有一个不满足如果上述三个条件中只
xf
xxxf
1.跳跃间断点
.)(
),0()0(,
,)(
000
0
的跳跃间断点
为函数则称点但存在
右极限都处左在点如果
xf
xxfxf
xxf
???
例 4,0,0,1,0,)( 处的连续性在讨论函数 ???? ?? ??? xxx xxxf
解,0)00( ??f,1)0( ??f
),00()00( ??? ff?
.0 为函数的跳跃间断点?? x o x
y
2.可去间断点
.)(
)(),()(l i m
,)(
0
00
0
0
的可去间断点为函数义则称点
处无定在点或但
处的极限存在在点如果
xfx
xxfxfAxf
xxf
xx
??
?
例 5
.1
,1,1
1
,10
,1
,2
)(
处的连续性在
讨论函数
?
?
?
?
?
?
??
?
??
?
x
xx
x
xx
xf
o x
y
1
1
2
xy ?? 1
xy 2?
解,1)1( ?f?
,2)01( ??f,2)01( ??f
2)(lim 1 ?? ? xfx ),1(f?
.0 为函数的可去间断点?? x
注意 可去间断点只要改变或者补充间断处函
数的定义,则可使其变为连续点,
如例 5中,,2)1( ?f令
.1
,1,1
,10,2
)(
处连续在
则
?
?
?
?
??
??
?
x
xx
xx
xf
跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点,
特点,0 处的左、右极限都存在函数在点 x
o x
y
1
1
2
3.第二类间断点
.)(
,
)(
0
0
的第二类间断点
为函数则称点在右极限至少有一个不存
处的左、在点如果
xf
x
xxf
例 6,0
,0,
,0,1)( 处的连续性在讨论函数 ?
??
?
?
?
?
?? x
xx
x
xxf
解
o x
y
,0)00( ??f,)0( ????f
.1 为函数的第二类间断点?? x
.断点这种情况称为无穷间
例 7,01s i n)( 处的连续性在讨论函数 ?? xxxf
解
xy 1sin?
,0 处没有定义在 ?x?
.1s i nlim 0 不存在且 xx ?
.0 为第二类间断点?? x
.断点这种情况称为的振荡间
注意 不要以为函数的间断点只是个别的几个点,
??
???
,,0
,,1)(
是无理数时当
是有理数时当
x
xxDy
狄利克雷函数
在定义域 R内每一点处都间断,且都是第二类间
断点,
??
?
??,,
,,)(
是无理数时当
是有理数时当
xx
xxxf
仅在 x=0处连续,其余各点处处间断,
★
★
o1x 2x 3x
y
x
? ?xfy ?
??
?
??,,1
,,1)(
是无理数时当
是有理数时当
x
xxf
在定义域 R内每一点处都间断,但其绝对值处
处连续,
★
判断下列间断点类型,
例 8
.0
,0,
,0,c o s
)(
,
处连续在函数
取何值时当
?
?
?
?
??
?
? x
xxa
xx
xf
a
解
xxf xx c o slim)(lim 00 ?? ?? ?,1?
)(lim)(lim 00 xaxf xx ?? ?? ??,a?
,)0( af ??
),0()00()00( fff ????要使
,1 时故当且仅当 ?a,0)( 处连续在函数 ?xxf
,1?? a
三、小结
1.函数在一点连续必须满足的三个条件 ;
3.间断点的分类与判别 ;
2.区间上的连续函数 ;
第一类间断点,可去型,跳跃型,
第二类间断点,无穷型,振荡型,
间断点
(见下图 )
可去型 第一
类
间
断
点
o
y
x
跳跃型
无穷型 振荡型
第
二
类
间
断
点
o
y
x 0x
o
y
x 0x
o
y
x 0x
思考题 若 )( xf 在 0x 连续，则 |)(| xf, )(2 xf 在 0x 是
否连续？又若 |)(| xf, )(
2 xf
在 0x 连续,)( xf 在
0x 是否连续？
思考题解答
? )( xf 在 0x 连续,)()(lim 0
0
xfxfxx ?? ?
)()()()(0 00 xfxfxfxf ????且
)()(lim 0
0
xfxfxx ?? ?
?????????????? ??? )(lim)(lim)(lim 000
2 xfxfxf
xxxxxx )( 0
2 xf?
故 |)(| xf, )(2 xf 在 0x 都连续,
但反之不成立,
例 ??
?
?
???
0,1
0,1)(
x
xxf
在 00 ?x 不连续
但 |)(| xf, )(2 xf 在 00 ?x 连续
一,填空题：
1, 指出
23
1
2
2
??
?
?
xx
x
y 在 1?x 是第 ___ ___ _ 类间
断点；在
2?x
是第 ____ _ 类间断点,
2, 指出
)1(
2
2
?
?
?
xx
xx
y 在 0?x 是第 ____ ___ _ 类间
断点；在
1?x
是第 ____ __ 类间断点；在
1??x
是第 _____ 类间断点,
二,研究函数
?
?
?
?
?
?
1,1
1,
)(
x
xx
xf 的连续性，并画出函数
的图形,
练 习 题
三,指出下列函数在指定范围内的间断点，并说明这些
间断点的类型，如果是可去间断点，则补充或改变
函数的定义使它连续,
1,
?
?
?
??
??
?
1,3
1,1
)(
xx
xx
xf 在
Rx ?
上,
2,
x
x
xf
ta n
)( ?,在
Rx ?
上,
四,讨论函数
n
n
n
x
x
xf
2
2
1
1
lim)(
?
?
?
??
的连续性，若有间断
点，判断其类型,
五、试确定
ba,
的值,使
)1)((
)(
??
?
?
xax
be
xf
x
，
（ 1 ）有无穷间断点 0?x ； （ 2 ）有可去间断点 1?x,
一,1,一类,二类； 2,一类,一类,二类,
二、,),1()1,()( 内连续与在 ??????xf 1??x 为跳跃间
断点,
三,1, 1?x 为第一类间断点；
2,,
2
为可去间断点
?
??? kx
)0( ??? kkx
为第二类间断点,
?
?
?
?
?
?
?
????
?
0,1
2
,,
t a n)(
1
x
kkx
x
x
xf
),2,1,0( ????k
,
练习题答案
),2,1,0(
2
,0
2
,,
t a n
)(
2
????
?
?
?
?
?
?
???
?
????
? k
kx
kkx
x
x
xf,
四、
?
?
?
?
?
??
?
?
?
1,
0,0
1,
)(
xx
x
xx
xf
1?x
和
1??x
为第一类间断点,
五,(1);1,0 ?? ba
(2)
eba ??,1
.