一、四则运算的连续性
定理 1
.
)0)((
)(
)(
),()(),()(
,)(),(
0
0
0
处也连续在点
则
处连续在点若函数
x
xg
xg
xf
xgxfxgxf
xxgxf
???
例如,,),(c o s,s i n 内连续在 ????xx
.c s c,s e c,c o t,t a n 在其定义域内连续故 xxxx
二、反函数与复合函数的连续性
定理 2 严格单调的连续函数必有严格单调的连
续反函数,
例如,,]2,2[s i n 上单调增加且连续在 ???? xy
.]1,1[a r c s i n 上也是单调增加且连续在故 ?? xy;]1,1[a r c c o s 上单调减少且连续在同理 ?? xy
.],[c o t,a r c t a n 上单调且连续在 ?????? xa r cyxy
反三角函数在其定义域内皆连续,
定理 3
)].(lim[)()]([lim
,)(,)(lim
00
0
xfafxf
aufax
xxxx
xx
????
??
??
?
则有
连续在点函数若
证,)( 连续在点 auuf ??
.)()(
,,0,0
成立恒有
时使当
?
???
??
??????
afuf
au
,)(l i m 0 axxx ?? ??又
,0,0,0 0 时使当对于 ??? ?????? xx
.)( 成立恒有 ?? ???? auax
将上两步合起来,
,0,0,0 0 时使当 ??? ??????? xx
)()]([)()( afxfafuf ??? ?.成立??
)()]([l i m 0 afxfxx ?? ? ? )].(l i m[
0
xf xx ???
意义 1.极限符号可以与函数符号互换 ;
.))((.2 的理论依据变量代换 xu ??
例 1,)1l n(lim 0 x xx ??求
.1?
x
x x
1
0 )1l n(l i m ?? ?原式
])1(l i ml n[ 10 xx x?? ?eln?
解
例 2,1lim
0 x
e x
x
?
?
求
.1? )1ln (lim
0 y
y
y ?
?
?
原式
解,1 ye x ??令 ),1ln ( yx ??则
.0,0 ?? yx 时当
y
y
y
10
)1ln (
1lim
?
?
?
同理可得,ln1lim 0 axa
x
x
??
?
.)]([
,)(,)(
,)(
0
000
0
也连续在点则复合函数
连续在点而函数
且连续在点设函数
xxxfy
uuufyux
xxxu
???
????
???
定理 4
注意 定理 4是定理 3的特殊情况,
例如,,),0()0,(1 内连续在 ????? ?xu
,),(s i n 内连续在 ????? uy
.),0()0,(1s i n 内连续在 ?????? ?xy
三、初等函数的连续性
三角函数及反三角函数在它们的定义域内是
连续的,
★
★ )1,0( ??? aaay x指数函数;),( 内单调且连续在 ????
★ )1,0(l o g ??? aaxy a对数函数;),0( 内单调且连续在 ??
定理 5 基本初等函数在定义域内是连续的,
★ ?xy ? xaa log??,uay ?,l o g xu a??
,),0( 内连续在 ??,不同值讨论 ?
(均在其定义域内连续 )
定理 6 一切初等函数在其 定义区间 内都是连
续的,
定义区间是指包含在定义域内的区间,
1,初等函数仅在其定义区间内连续,在
其定义域内不一定连续 ;
例如,,1c o s ?? xy ?,4,2,0,?????xD
这些孤立点的邻域内没有定义,
,)1( 32 ?? xxy,1,0,?? xxD 及
在 0点的邻域内没有定义,
.),1[ 上连续函数在区间 ??
注意
注意 2,初等函数求极限的方法 代入法,
例 3,1s inli m
1 ??
x
x e求
1s i n 1 ?? e原式,1s n ?? e
例 4,11li m
2
0 x
x
x
??
?
求
解
解 )11( )11)(11(l i m 2
22
0 ??
?????
? xx
xx
x
原式
11lim 20 ??? ? x
x
x 2
0?,0?
)()()(lim 00
0
定义区间??? xxfxfxx
四、小结
连续函数的和差积商的连续性,
复合函数的连续性,
初等函数的连续性,
定义区间与定义域的区别 ;
求极限的又一种方法,
两个定理 ; 两点意义,
反函数的连续性,
思考题 设 xxf s g n)( ?, 21)( xxg ??,试研
究复合函数 )]([ xgf 与 )]([ xfg 的连续性,
思考题解答
21)( xxg ???
)1s g n ()]([ 2xxgf ??? 1?
? ? 2s g n1)]([ xxfg ????? ?
??
0,1
0,2
x
x
在 ),( ???? 上处处连续)]([ xgf
在 )0,( ?? ),0( ??? 上处处连续)]([ xfg
0?x 是它的可去间断点
?
?
?
?
?
?
?
??
?
0,1
0,0
0,1
)(
x
x
x
xf
一,填空题：
1, ???
?
43lim
2
0
xx
x
___ _ ___ ___ __,
2, ?
??
? x
x
x
11
l i m
0
___ _ ___ ___ __,
3, ?
?
)2c o s2l n (lim
6
x
x
?
___ _ ___ ___ __,
4, ?
?
? x
x
x
2
4
ta n
c o s22
l i m
?
___ ___ ___ ___,
5, ?
?
?? t
e
t
t
1
l i m
2
___ ___ ___ ___,
6,设,
0,
0,
)(
?
?
?
??
?
?
xxa
xe
xf
x
当 ?a ___ _ _ 时,)( xf 在
),( ???? 上连续,
练 习 题
7, 函数
6
1
)(
2
4
??
??
?
xx
xx
xf 的连续区间为
______ _ ___ ___ ___.
8, 设
?
?
?
?
?
??
?
?
?
时当
时当
1,1
1,
2
co s
)(
xx
x
x
xf 确定
?
?
)(l i m
2
1
xf
x
______ _ ___ ; ?
??
)(lim
1
xf
x
______ ___ __.
二,计算下列各极限：
1,
ax
ax
ax
?
?
?
s i ns i n
lim ； 2,
x
x
x
c o t2
0
)ta n31(lim ?
?；
3,
1
)
12
32
(l i m
?
??
?
?
x
x
x
x；
三,设
?
?
?
?
?
???
?
??
?
0),l n (
0,1
0,
)(
2
2
xxxb
x
xxa
xf 已知 )( xf 在
0?x
处连续，试确 定 a 和
b
的值,
四,设函数
)( xf
在
0?x
处连续，且
0)0( ?f
,已知
)()( xfxg ?
，试证函数
)( xg
在
0?x
处也连续,
一,1, 2 ； 2,
2
1； 3, 0 ； 4, 0 ；
5, )1
1
(
2
1
2
??
e； 6, 1 ；
7, ),2(),2,3(),3,( ?????? ；
8,
2
2
,0,不存在,
二,1, ac o s ； 2, 1 ； 3 ；
2
1
e
.
三、
eba ??,1
.
练习题答案