一、最大值和最小值定理
定义,
.)()()(
))()(()()(
,
),(
0
00
0
值小上的最大在区间是函数则称
都有使得对于任一如果有
上有定义的函数对于在区间
Ixfxf
xfxfxfxf
IxIx
xfI
??
??
例如,
,s g n xy ?,),( 上在 ????
,2m ax ?y;1m in ??y
,),0( 上在 ??,1m i nm a x ?? yy
,s i n1 xy ??,]2,0[ 上在 ? ;0m in ?y
,1m ax ?y
定理 1(最大值和最小值定理 ) 在闭区间上连续
的函数一定有最大值和最小值,
a b2? 1? x
y
o
)(xfy ?
).()(
),()(
],,[
],,[,
],,[)(
2
1
21
xff
xff
bax
ba
baCxf
?
?
??
??
?
?
?
??
有
使得
则
若
注意,1.若区间是开区间,定理不一定成立 ;
2.若区间内有间断点,定理不一定成立,
x
y
o
)(xfy ?
21
1
x
y
o 2?
)(xfy ?
定理 2(有界性定理 ) 在闭区间上连续的函数一定
在该区间上有界,
证,],[)( 上连续在设函数 baxf ],,[ bax ??
,)( Mxfm ??有 },,m a x { MmK ?取
.)( Kxf ?则有,],[)( 上有界在函数 baxf?
二、介值定理
定理 3( 零点定理 ) 设函数 )( xf 在闭区间 ? ?ba,
上连续，且 )( af 与 )( bf 异号 ( 即 0)()( ?? bfaf ),
那末在开区间 ? ?ba,内至少有函数 )( xf 的一个零
点,即至少有一点 ? )( ba ???,使 0)( ??f,
定义,
.)(
,0)( 000
的零点
称为函数则使如果
xf
xxfx ?
.),(0)( 内至少存在一个实根在即方程 baxf ?
a b3?2?1?
几何解释,
.
,
)(
轴至少有一个交点线弧与
则曲轴的不同侧端点位于
的两个连续曲线弧
x
x
xfy ?
定理 4( 介值定理 ) 设函数 )( xf 在闭区间 ? ?ba,
上连续，且在这区间的端点取不同的函数值
Aaf ?)( 及 Bbf ?)(,
那末，对于 A 与 B 之间的任意一个数 C,在开区间
? ?ba,内至少有一点 ?,使得 Cf ?)( ? )( ba ???,x
y
o
)(xfy ?
几何解释,
M
B
C
A
m
a
b 1? 2? 3? 2x1x x
y
o
)( xfy ?
证,)()( Cxfx ???设
,],[)( 上连续在则 bax?
Cafa ?? )()(?且
,CA ??
Cbfb ?? )()(?,CB ??
,0)()( ??? ba ?? 由零点定理,使),,( ba?? ?
,0)( ???,0)()( ??? Cf ???即,)( Cf ?? ?
.
)(
至少有一个交点直线
与水平连续曲线弧
Cy
xfy
?
?
推论 在闭区间上连续的函数必取得介于最大
值 与最小值 之间的任何值,
例 1
.
)1,0(014 23
至少有一根
内在区间证明方程 ??? xx
证,14)( 23 ??? xxxf令,]1,0[)( 上连续在则 xf
,01)0( ??f又,02)( ???f 由零点定理,
使),,( ba?? ?,0)( ??f,014 23 ??? ??即
.)1,0(014 23 ?内至少有一根在方程 ???? xx
M m
例 2
.)(),,(.)(
,)(,],[)(
??? ????
?
fbabbf
aafbaxf
使得证明
且上连续在区间设函数
证,)()( xxfxF ??令,],[)( 上连续在则 baxF
aafaF ?? )()(而,0?
由零点定理,
使),,( ba?? ?,0)()( ??? ??? fF
bbfbF ?? )()(,0?
.)( ?? ?f即
三、小结
四个定理
有界性定理 ;最值定理 ;介值定理 ;根的存在性定理,
注意 1．闭区间； 2．连续函数,
这两点不满足上述定理不一定成立,
解题思路
1.直接法,先利用最值定理,再利用介值定理 ;
2.辅助函数法,先作辅助函数 F(x),再利用零点定理 ;
思考题
下述命题是否正确？
如果 )( xf 在 ],[ ba 上有定义，在 ),( ba
内连续，且 0)()( ?? bfaf,那么 )( xf 在
),( ba 内必有零点,
思考题解答
不正确,
例函数 ??
?
??
???
0,2
10,)(
x
xexf
)( xf 在 )1,0( 内连续,.02)1()0( ???? ef
但 )( xf 在 )1,0( 内无零点,
一,证明方程 bxax ?? si n,其中 0,0 ?? ba,至
少有一个正根，并且它不超过 ba ?,
二,若
)( xf
在
],[ ba
上连续，
bxxxa
n
????? ?
21
则在 ],[
1 n
xx 上必有
?
，使
n
xfxfxf
xf
n
)(.,,,,,)()(
)(
21
???
?,
三,设
)( xf
在
],[ ba
上连续，
bdca ???
,试证
明：对任意正数
qp 和；至少有一点
],[ dc??
,使
)()()()( ?fqpxqfxpf ???
.
练 习 题