一、无穷小
1、定义,
定义 1 如果对于任意给定的正数 ? ( 不论它多么小 ),
总存在正数 ? ( 或正数 X ),使得对于适合不等式
????
0
0 xx ( 或 ?x X ) 的一切 x,对应的函数值
)( xf 都满足不等式 ??)( xf,
那末 称函数 )( xf 当
0
xx ? ( 或 ??x ) 时为无穷小,
记作 ).0)(l i m(0)(l i m
0
??
???
xfxf
xxx
或
极限为零的变量称为 无穷小,
例如,
,0s i nl i m0 ?? xx?,0s i n 时的无穷小是当函数 ?? xx
,01lim ?
?? xx
?,1 时的无穷小是当函数 ??? x
x
,0)1(lim ??
?? n
n
n
?,})1({ 时的无穷小是当数列 ???? n
n
n
注意 （ 1）无穷小是变量,不能与很小的数混淆 ;
（ 2）零是可以作为无穷小的唯一的数,
2、无穷小与函数极限的关系,
证 必要性,)(lim
0
Axfxx ??设,)()( Axfx ???令
,0)(l i m
0
??? xxx则有 ).()( xAxf ????
充分性 ),()( xAxf ???设
,)( 0 时的无穷小是当其中 xxx ??
))((l i m)(l i m
00
xAxf xxxx ??? ??则 )(l i m
0
xA xx ??? ?.A?
定理 1 ),()()(lim
0
xAxfAxf
xx
?????
?
其中 )( x? 是当 0xx ? 时的无穷小,
意义 （ 1）将一般极限问题转化为特殊极限问题
(无穷小 );
).(,)(
)(2 0
xAxf
xxf
?误差为式
附近的近似表达在）给出了函数（
?
3、无穷小的运算性质,
定理 2 在同一过程中,有限个无穷小的代数和仍是
无穷小,
证,时的两个无穷小是当及设 ???? x
使得,0,0,0 21 ?????? NN;21 ???? 时恒有当 Nx ;22 ???? 时恒有当 Nx
},,m a x { 21 NNN ?取 恒有时当,Nx ?
??????? 22 ????,??
)(0 ??????? x
注意 无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小,
是无穷小，时例如 nn 1,,??
.11 不是无穷小之和为个但 nn
定理 3 有界函数与无穷小的乘积是无穷小,
证 内有界，在设函数 ),( 100 ?xUu
.
0,0,0 101
Mu
xxM
?
????????
恒有
时使得当则
,0 时的无穷小是当又设 xx ??
.
0,0,0 202
M
xx
?
??
???????????
恒有
时使得当
推论 1 在同一过程中,有极限的变量与无穷小的乘
积是无穷小,
推论 2 常数与无穷小的乘积是无穷小,
推论 3 有限个无穷小的乘积也是无穷小,
},,m i n { 21 ????取 恒有时则当,0 0 ???? xx
????? uu MM ???,??
.,0 为无穷小时当 ???? uxx
xxxxx
1a rc ta n,1s i n,0,2时当例如 ?都是无穷小
二、无穷大
定义 2 设 函数 )( xf 在
0
x 某 一 去 心 邻域 内 有 定 义 （ 或 x 大
于 某 一 正数 时 有 定义 ）, 如果对于任意给定的正数 M ( 不
论它多么大 ),总存在正数 ? ( 或正数 X ),使得对于适合不
等式 ????
0
0 xx ( 或 ?x X ) 的一切 x,对应的函数值
)( xf 总 满足不等式 Mxf ?)(,
则称函数 )( xf 当
0
xx ? ( 或 ??x ) 时为无穷大,记作
).)(lim()(lim
0
????
???
xfxf
xxx
或
绝对值无限增大的变量称为 无穷大,
特殊情形：正无穷大，负无穷大,
))(l i m()(l i m
)()( 00
??????
??
?
??
?
xfxf
x
xx
x
xx
或
注意 （ 1）无穷大是变量,不能与很大的数混淆 ;
（ 3）无穷大是一种特殊的无界变量,但是无
界变量未必是无穷大,
.)(lim2
0
认为极限存在）切勿将（ ??? xfxx
xxy 1sin1?
.,
1
s i n
1
,0,
但不是无穷大是一个无界变量
时当例如
xx
yx ??
),3,2,1,0(
22
1)1( ??
???? kkx k取
,22)( ???? kxy k,)(,Mxyk k ?充分大时当
),3,2,1,0(2 1)2( ??????? kkx k取
,,??? ?kxk 充分大时当
?????? kkxy k 2s i n2)(但,0 M?? 不是无穷大,
无界,
.11l i m
1
???
? xx
证明例
证,0?? M,11 Mx ??要使
,11 Mx ??只要,1M??取
,110 时当 Mx ?????,11 Mx ??就有,11lim 1 ???? ? xx
.
)(,)(l i m,0
0
的图形的铅直渐近线
是函数则直线如果定义 xfyxxxf
xx
????
?
1
1
?? xy
三、无穷小与无穷大的关系
定理 4 在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小 ;
恒不为零的无穷小的倒数为无穷大,
证,)(lim
0
??? xfxx设
,
1
)(
0,0,0 0
?
?
???????????
xf
xx
恒有
时使得当
.)(1 ??xf即
.)(1,0 为无穷小时当 xfxx ??
.0)(,0)(lim,
0
??? xfxfxx 且设反之
,
1
)(
0,0,0 0
M
xf
xxM
?
??????????
恒有
时使得当
.)(1 Mxf ?从而
.)(1,0 为无穷大时当 xfxx ??
,0)( ?xf由于
意义 关于无穷大的讨论,都可归结为关于无穷小
的讨论,
四、小结
1、主要内容, 两个定义 ;四个定理 ;三个推论,
2、几点注意,
无穷小与无穷大是相对于过程而言的,
（ 1） 无穷小（ 大）是变量,不能与很小（大）的数混
淆，零是唯一的无穷小的数；
（ 2） 无穷多个无穷小的代数和（乘积）未必是无穷小；
（ 3） 无界变量未必是无穷大,
思考题
若 0)( ?xf,且 Axf
x
?
???
)(lim,
问：能否保证有 0?A 的结论？试举例说明,
思考题解答
不能保证,
例 xxf 1)( ?,0??x 有 01)( ?? xxf
???? )(l i m xfx,01l im ????? Axx
一、填空题,
1,凡无穷小量皆以 _ _ _ _ _ _ _ _ 为极限,
.)(
,_ _ _ _ _ _ _ _ _ _2
的水平渐近线
是函数直线条件下、在
xfy
cy
?
?
.)0l i m(
,)(_______)(l i m3
0
0
?
???
?
?
?
?
xx
xx
AxfAxf
其中
、
._ _ _ _ _ _
,)(,4
是无穷小则
是无穷大若、在同一过程中 xf
.10,,
21,0:
4?
???
yx
x
xyx
能使应满足什么条件问是无穷大
函数时当二、根据定义证明
练 习 题
.,0
,]1,0(1s i n1
这个函数不是无穷大时
但当上无界在区间三、证明函数
??
?
x
xx
y
一,1, 0 ； 2, Cxf
x
x
?
???
??
)(l i m ；
3, ? ； 4,
)(
1
xf
.
二、
210
1
0
4
?
?? x,
练习题答案