一、极限存在准则
1.夹逼准则
准则Ⅰ 如果数列
nn
yx,及
n
z 满足下列条件,
,lim,lim)2(
)3,2,1()1(
azay
nzxy
n
n
n
n
nnn
??
???
????
?
那末数列
n
x 的极限存在,且 ax
n
n
?
??
lim,
证,,azay nn ???
使得,0,0,0 21 ????? NN?
,1 ???? ayNn n时恒有当
},,m a x { 21 NNN ?取
恒有时当,Nn ?
,?????? aya n即
,2 ???? azNn n时恒有当
,?????? aza n
上两式同时成立,
,?? ?????? azxya nnn
,成立即 ??? ax n,l i m ax nn ?? ??
上述数列极限存在的准则可以推广到函数的极限
准则Ⅰ′ 如果当 )(
0
0
xUx
?
? ( 或 Mx ? ) 时,有
,)(lim,)(lim)2(
),()()()1(
)()(
00
AxhAxg
xhxfxg
x
xx
x
xx
??
??
??
?
??
?
那末 )(li m
)(
0
xf
x
xx
??
?
存在,且等于 A,
注意,
.
,
的极限是容易求的与并且
与键是构造出利用夹逼准则求极限关
nn
nn
zy
zy准则 ?和 准则 ?'称为 夹逼准则,
例 1 ).12111(l i m 222 nnnn
n ?
?????
??
?求
解,1111 2222 ???????? n nnnnnn n ??
n
nn
n
nn 1
1
1limlim
2
?
?
? ????
又
,1?
2
2 1
1
1lim
1
lim
n
n
n
nn
?
?
? ????,1? 由夹逼定理得
.1)12111(l i m 222 ???????
?? nnnnn
?
x1x 2x 3x 1?nxnx
2.单调有界准则
满足条件如果数列 nx
,121 ?? ???? ?nn xxxx 单调增加
,121 ?? ???? ?nn xxxx 单调减少
单调数列
准则 Ⅱ 单调有界数列必有极限,
几何解释,
A M
例 2
.)
(333
的极限存在式
重根证明数列 nx n ???? ?
证,1 nn xx ??显然 ? ? ;是单调递增的x?
,331 ??x?又,3?kx假定 kk xx ??? 31 33 ??,3?
? ? ;是有界的nx?,l i m 存在nn x???
,31 nn xx ????,32 1 nn xx ??? ),3(limlim 2 1 nnnn xx ?? ?????
,32 AA ?? 2 131,2 131 ???? AA解得 (舍去 )
.2 131lim ??? ?? nn x
A
C
二、两个重要极限
(1) 1
s i nl i m
0
?
? x
x
x
)20(,,????? xxAO BO 圆心角设单位圆
,t a n,,s i n ACxABxBDx ??? 弧于是有
xo
B
D
.A C O?，得作单位圆的切线
,xOA B 的圆心角为扇形,BDOA B 的高为?
,ta ns i n xxx ???,1s i nco s ?? x xx即
.02 也成立上式对于 ???? x,20 时当 ??? x
xx co s11co s0 ???? 2s in2 2 x? 2)2(2 x?,2
2x
?
,02lim
2
0
?
?
x
x
?,0)c o s1(lim 0 ??? ? xx
,1c o sl i m0 ?? ? xx,11l i m0 ??x?又,1
s i nlim
0 ?? ? x
x
x
例 3,co s1lim 2
0 x
x
x
?
?
求
解 2
2
0
2
s i n2
l i m
x
x
x ?
?原式 2
2
0
)
2
(
2
s i n
lim
2
1
x
x
x ?
?
2
0
)
2
2
s i n
(l i m
2
1
x
x
x ?
?
21
2
1 ??
.21?
(2) ex
x
x
??
??
)11(l i m
定义 en
n
n
??
??
)11(lim
n
n nx )
11( ??设
???????? 21!2 )1(1!11 nnnnn
).11()21)(11(!1)11(!2111 nnnnnn ?????????? ??
nnn
nnnn 1
!
)1()1( ????? ?
).
1
1()
2
2
1)(
1
1
1(
)!1(
1
)
1
1
1()
2
2
1)(
1
1
1(
!
1
)
1
1
1(
!2
1
11
1
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
????
?
n
n
nnn
n
n
nnn
n
x
n
?
?
?
,1 nn xx ??显然 ? ? ;是单调递增的n?
!
1
!2
111
nx n ????? ? 12
1
2
111
?????? n?
12
13
??? n,3? ? ? ;是有界的nx?
.l i m 存在nn x??? en
n
n ???? )
11(l i m记为 )71828.2( ??e
类似地,
,1 时当 ?x,1][][ ??? xxx有
,)][ 11()11()1][ 11( 1][][ ??????? xxx xxx
)][ 11(lim)][ 11(lim)][ 11(lim ][1][ xxx
x
x
x
x
x
?????
??????
?
???
而,e?
11][
][
)
1][
1
1(l i m)
1][
1
1(l i m
)
1][
1
1(l i m
?
???
?
???
???
?
??
?
??
?
?
xx
x
x
x
x
x
x
,e?
.)11(l i m ex xx ??? ???
,xt ??令
t
t
x
x tx
?
?????? ???? )
11(l i m)11(l i m t
t t )1
11(l i m
??? ???
)111()111(lim 1 ????? ???? tt tt,e?
ex x
x
???
??
)11(lim
,1xt ?令
t
t
x
x t
x )11(lim)1(lim
1
0
???
???,e?
ex x
x
??
?
1
0
)1(lim
例 4,)11(l i m x
x x
?
??
求
解 xx
x
???
?
?
?
)11(
1lim
1])11[(l i m ??
?? ???
x
x x原式
.1e?
例 5,)23(l i m 2 x
x x
x
?
?
??
求
解 422 )211(])211[(lim ??
?? ????? xx
x
x原式,
2e?
三、小结
1.两个准则
2.两个重要极限
夹逼准则 ; 单调有界准则,;1s i nl i m1 0 ?? ?
某过程,)1(l i m2
1
0 e??? ?
某过程
,为某过程中的无穷小设 ?
思考题
求极限 ? ? xxx
x
1
93lim ?
???
思考题解答
? ? xxx
x
1
93lim ?
???
? ? xxxx
x
1
1
1
3
19l i m
?
?
??
?
? ??
???
x
xx
xx ?
??? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? ??? 3
1
3
3
1
1lim9
99 0 ??? e
._ _ _ _ _ _ _ _ _ _3c o tl i m4 0 ??? xxx、
一、填空题,
._ _ _ _ _ _ _ _ _s i nl i m1 0 ?? x xx ?、
._ _ _ _ _ _ _ _ _ _3s i n 2s i nl i m2 0 ?? xxx、
.__________2s i nl i m5 ??? x xx、
._ _ _ _ _ _ _ _ _)1(l i m6
1
0 ???
x
x x、
练 习 题
._ _ _ _ _ _ _ _ _ _co tli m3 0 ?? x xx,arc
x
x
x 2t a n
4
)( t a nlim2 ?
?
、
._________)1(l i m7 2 ???? xx x x、
._________)11(l i m8 ???? xx x、
xx
x
x s in
2c o s1lim1
0
?
?、
x
x ax
ax )(lim3
?
?
??、
二、求下列各极限,
n
n n
n )
1
1(lim4 2
?
?
??、
5, n
nn
n
1
)321(l i m ??
??
三,利用极限存在准则证明数列
,.,,,,,222,22,2 ??? 的极限存在，并求
出该极限,
一,1, ? ； 2,
3
2； 3, 1 ； 4,
3
1；
5, 0 ； 6, e ； 7,
2
e ； 8,
e
1；
二,1, 2 ； 2,
e
1； 3,
a
e
2； 4,
1?
e ；
5, 3.
三,2l i m ?
??
n
x
x,
练习题答案