一、极限运算法则
定理
.0,
)(
)(
lim)3(;)]()(l i m [)2(;)]()(l i m [)1(
,)(lim,)(lim
??
???
???
??
B
B
A
xg
xf
BAxgxf
BAxgxf
BxgAxf
其中
则设
证,)(lim,)(lim BxgAxf ???
.0,0.)(,)( ??????????? 其中BxgAxf
由无穷小运算法则,得
)()]()([ BAxgxf ???????,0?,)1( 成立?
)()]()([ BAxgxf ??? ABBA ?????? ))((
??????? )( BA,0?,)2( 成立?
B
A
xg
xf ?
)(
)(
B
A?
??
???
)( ??
????
B
AB,0???? AB?
,0,0 ??? B?又,0???,0 0 时当 ???? xx
,2B?? ?????? BB BB 21?? B21?
推论 1
).(lim)](l i m [
,,)(lim
xfcxcf
cxf
?
则为常数而存在如果
常数因子可以提到极限记号外面,
.)]([ l i m)](l i m [
,,)(lim
nn xfxf
nxf
?
则是正整数而存在如果
推论 2
,21)( 2BBB ????,2)( 1 2BBB ???故 有界,
.)3( 成立?
二、求极限方法举例
例 1,53 1l i m 2
3
2 ??
?
? xx
x
x
求
解 )53(l i m 22 ??? xxx? 5l i m3l i ml i m 2222 ??? ??? xxx xx
5l i ml i m3)l i m( 2222 ??? ??? xxx xx
5232 2 ????,0??
53
1l i m
2
3
2 ??
??
? xx
x
x )53(lim
1limlim
2
2
2
3
2
??
?
?
?
??
xx
x
x
xx
.37?3 12
3 ?
?
小结, 则有设,)(.1 110 nnn axaxaxf ???? ? ?
nnxxnxxxx axaxaxf ???? ???? ?110 )lim()lim()(lim 000
nnn axaxa ???? ? ?10100 ).( 0xf?
则有且设,0)(,)( )()(.2 0 ?? xQxQ xPxf
)(l i m
)(l i m
)(l i m
0
0
0 xQ
xP
xf
xx
xx
xx
?
?
?
?
)(
)(
0
0
xQ
xP? ).(
0xf?
.,0)( 0 则商的法则不能应用若 ?xQ
解 )32(l i m 21 ??? xxx?,0? 商的法则不能用
)14(lim 1 ?? xx?又,03 ??
14
32lim 2
1 ?
???
? x
xx
x,03
0 ??
由无穷小与无穷大的关系,得
例 2,32 14lim 21 ?? ?? xx xx求
.32 14l i m 2
1
???? ?
? xx
x
x
解
例 3,32 1lim 2
2
1 ??
?
? xx
x
x
求
.,,1 分母的极限都是零分子时?x
.1 后再求极限因子先约去不为零的无穷小 ?x
)1)(3(
)1)(1(l i m
32
1l i m
12
2
1 ??
???
??
?
?? xx
xx
xx
x
xx
3
1l i m
1 ?
??
? x
x
x,2
1?
)00( 型
(消去零因子法 )
例 4,147 532l i m 23
23
??
??
?? xx
xx
x
求
解,,,分母的极限都是无穷大分子时??x )( 型?
?
.,,3 再求极限分出无穷小去除分子分母先用 x
3
3
23
23
14
7
53
2
lim
147
532
lim
xx
xx
xx
xx
xx
??
??
?
??
??
????
.72?
(无穷小因子分出法 )
小结, 为非负整数时有和当 nmba,0,0 00 ??
?
?
?
?
??
?
?
?
??
?
?
?
???
???
?
?
??
,,
,,0
,,
l i m
0
0
1
10
1
10
mn
mn
mn
b
a
bxbxb
axaxa
n
nn
m
mm
x
当
当
当
?
?
无穷小分出法,以分母中自变量的最高次幂除分
子,分母,以分出无穷小,然后再求极限,
例 5 ).21(lim 222 nnnn
n
???
??
?求
解,是无限多个无穷小之和时,??n
2222
21lim)21(lim
n
n
n
n
nn nn
???????
????
??
2
)1(
2
1
l i m
n
nn
n
?
?
?? )
11(
2
1l i m
nn ?? ??,2
1?
先变形再求极限,
例 6,s i nlim x x
x ??
求
解,1,为无穷小时当 xx ??
.s i n 是有界函数而 x
.0s i nl i m ??
?? x
x
x
xxy sin?
例 7 ).(lim,0,1
0,1)(
02
xfxx xxxf
x ???
?
??
??? 求设
y
o x
1
xy ?? 1
12 ?? xy
解 两个单侧极限为是函数的分段点,0?x
)1(lim)(lim 00 xxf xx ?? ?? ??,1?
)1(lim)(lim 200 ?? ?? ?? xxf xx,1?
左右极限存在且相等,
.1)(l i m 0 ?? xfx故
.)(lim)]([lim
)]([
)(lim)(
)(lim
)(
0
0
0
0
0
Aufxf
xxxf
Aufaxx
axaxx
xu
auxx
au
xx
??
?
??
??
?
??
?
?
?
?
?
?
?
时的极限也存在，且当则复合函数
，，又的某去心邻域内但在点
，，即时的极限存在且等于当
运算法则）设函数定理（复合函数的极限
)]([lim
0
xfxx ?? )(lim uf
au?
)( xu ??令
)(lim
0
xa xx ???
意义,
例 8,lim 3 33 ax ax
ax ?
?
?
求
解 ax axaxax ? ??? ?
3 233 )()(
li m原式
3 233 2
3 2)(
lim aaxx ax
ax ??
??
?
．0?3 2
3 2
0
3
lim
a
u
u? axu ??令
三、小结
1、极限的四则运算法则及其推论 ;
2、极限求法 ;
a.多项式与分式函数代入法求极限 ;
b.消去零因子法求极限 ;
c.无穷小因子分出法求极限 ;
d.利用无穷小运算性质求极限 ;
e.利用左右极限求分段函数极限,
3、复合函数的极限运算法则
思考题
在某个过程中，若 有极限,
无极限，那么 是否有极限？为
什么？
)(xf )(xg
)()( xgxf ?
思考题解答
没有极限,
假设 有极限,)()( xgxf ? )( xf? 有极限,
由极限运算法则可知,
? ? )()()()( xfxgxfxg ??? 必有极限,
与已知矛盾,故假设错误,
._ _ _ _ _ _ _ _ _ _1s i nl i m5 20 ?? xxx、
._ _ _ _ _ _ _ _ _ _3 3l i m1
3
2 ??
?
? x
x
x、
一、填空题,
.__________11l i m2 31 ???? xxx、
._ _ _ _ _ _ _ _ _ _)112)(11(lim3 2 ?????? xxxx、
._ _ _ _ _ _ _ _ _ _5 )3)(2)(1(l i m4 3 ?????? n nnnn、
._ _ _ _ _ _ _ _ _ _c o slim6 ?? ???? xxx ee x、
练 习 题
._ _ _ _ _ _ _ _ _ _23 24l i m7 2
24
0 ??
??
? xx
xxx
x、
._ _ _ _ _ _ _ _ _ _)12( )23()32(l i m8 50
3020
?? ??
?? x
xx
x
、
二、求下列各极限,
)21.,,41211(l i m1 nn ??????、
h
xhx
h
22
0
)(lim2 ??
?、
)1 31 1(lim3 31 xxx ????、
38 2
31lim4
x
x
x ?
??
??、
)(l i m5 xxxxx ??????、
14
12lim6
?
?
??? x
x
x、
2lim7 1 ??
?
? nm
nm
x xx
xx、
一,1, -5 ； 2, 3 ； 3, 2 ； 4,
5
1；
5, 0 ； 6, 0 ； 7,
2
1； 8,
30
)
2
3
(,
二,1, 2 ； 2, x2 ； 3, -1 ； 4, -2 ；
5,
2
1； 6, 0 ； 7,
nm
nm
?
?
.
练习题答案