洛必达法则型未定式解法型及一,:00 ??
定义
.
0
0
)(
)(
lim
)()(
)(
)(
型未定式或常把这种极限称为
在．通可能存在、也可能不存极限
大，那末都趋于零或都趋于无穷与
时，两个函数或如果当
?
?
???
??
? xF
xf
xFxf
xax
x
ax
例如,,ta nlim 0 x xx ?,s i nln s i nlnlim 0 bxaxx ?)0
0( )(
?
?
.
)(
)(
lim
)(
)(
lim
);(
)(
)(
lim)3(;0)(
)()(,)2(;)()(,)1(
xF
xf
xF
xf
xF
xf
xF
xFxfa
xFxfax
axax
ax
?
?
?
?
?
??
??
?
??
?
那末
或为无穷大存在
且
都存在及点的某去心邻域内在
都趋于零及函数时当
设
定理
定义 这种在一定条件下通过分子分母分别求导再
求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则,
证 定义辅助函数
,,0 ),()(1 ??? ??? ax axxfxf,,0 ),()(1 ??? ??? ax axxFxF
,),(0 xaU 内任取一点在 ?,为端点的区间上与在以 xa
,)(),( 11 件满足柯西中值定理的条xFxf 则有
)()(
)()(
)(
)(
aFxF
afxf
xF
xf
?
??
)(
)(
?
?
F
f
?
??
)( 之间与在 ax?
,,aax ?? ?时当,)( )(lim AxF xfax ?????,)( )(li m AFfa ???? ? ???
.)( )(lim)( )(lim AFfxF xf aax ????? ?? ???
.,该法则仍然成立时当 ??x
使用洛必达法则，即定理的条件，可以继续
满足型，且仍属如果 )(),(
0
0
)(
)(
xFxf
xF
xf ??
?
?
.)( )(lim)( )(lim)( )(lim ?????????? ??? xF xfxF xfxF xf axaxax
.)( )(lim)( )(lim xF xfxF xf xx ??? ????
.,,也有相应的洛必达法则时的未定式当 ????? xax
例 1
解
.t a nlim
0 x
x
x ?
求
)(
)( t a nli m
0 ?
??
? x
x
x
原式 1s e cl im
2
0
x
x
?,1?
例 2
解
.123lim 23
3
1 ???
??
? xxx
xx
x
求
123
33lim
2
2
1 ??
??
? xx
x
x
原式 26 6l i m
1 ?
?
? x
x
x,2
3?
)00(
)00(
例 3
解
.
1
a rc t a n
2lim
x
x
x
?
???
?
求
2
2
1
1
1
l i m
x
x
x
?
?
?
?
???
原式
2
2
1lim x
x
x ?
?
???,1?
例 4
解
.s i nln s i nlnl i m
0 bx
ax
x ?
求
axbxb
bxaxa
x s i nco s
s i nco sl i m
0 ?
??
?
原式,1?
)00(
)(??
ax
bx
x c os
c osi m
0?
?
例 5
解
.3t a nt a nl i m
2
x
x
x ??
求
x
x
x 3s e c3
s e clim
2
2
2
??
?原式
x
x
x
2
2
2
c o s
3c o sli m
3
1
??
?
xx
xx
x s i nco s2
3s i n3co s6lim
3
1
2
?
??
?? x
x
x 2s i n
6s i nlim
2
??
?
x
x
x 2co s2
6co s6l i m
2
??
?,3?
)(??
注意：洛必达法则是求未定式的一种有效方法，
但与其它求极限方法结合使用，效果更好,
例 6
解
.t a nt a nl i m 2
0 xx
xx
x
?
?
求
30
t a nl i m
x
xx
x
??
?
原式
x
xx
x 6
t a ns e c2lim 2
0?
?
2
2
0 3
1s e clim
x
x
x
??
?
x
x
x
t a nlim
3
1
0?
?,31?
型未定式解法二,00,1,0,,0 ?????? ?
例 7
解
.lim 2 xx ex ????求 )0( ??
x
e x
x 2
lim
???
?原式 2li m
x
x
e
??
?,???
关键,将其它类型未定式化为洛必达法则可解决
的类型, ),00( )(??
型??0.1
步骤,,
10 ??
????,0
100 ????或
例 8
解
).1s i n1(l i m
0 xxx
?
?
求 )( ???
0
1
0
1 ?????,
00
00
?
??
xx
xx
x s i n
s i nlim
0 ?
??
?
原式
xxx
x
x co ss i n
co s1lim
0 ?
??
?,0?
型???.2
步骤,
步骤,
型00,1,0.3 ??
?
?
?
?
?
??
??
?
?? ??
?
?
?
?
?
?
?
ln0
1ln
0ln0
1
0
0
0
取对数
.0 ???
例 9
解
.lim0 xx x??求 )0( 0
xx
x e
ln
0l i m ???原式
xxxe lnlim0 ???
2
0 1
1
li m
x
x
x
e
???
? 0e?,1?
x
x
x
e
1
lnlim
0 ??
?
例 10
解
.lim 1
1
1
x
x
x ?
?
求 )1( ?
xx
x
e ln1
1
1
li m ?
?
?原式 xxxe ??? 1lnlim1
1
lim
1???
x
xe,1??e
例 11
解
.)( c o tlim ln
1
0
x
x
x?
?
求 )( 0?
,)( co t )l n ( c o tln
1
ln
1 x
xx ex ??取对数得
)l n ( co tln 1l i m
0
xx
x
??
?
?
x
xx
x 1
s i n
1
c o t
1
l i m
2
0
??
?
??
xx
x
x s i nco s
lim
0 ?
??
??,1??,1??? e原式
例 12
解
.co sl i m x xx
x
?
??
求
1
s i n1l i m x
x
??
??
原式 ).s in1(lim xx ?? ??
极限不存在
洛必达法则失效。
)co s11(l i m xx
x
??
??
原式,1?
注意,洛必达法则的使用条件,
三、小结
洛必达法则 型00,1,0 ??
型??? 型??0型0
0
型?? gfgf 1?? fg fggf 11 11 ????
取对数
令 gfy?
思考题
设
)(
)(
lim
xg
xf
是不定型极限，如果
)(
)(
xg
xf
?
?
的极
限不存在，是否
)(
)(
xg
xf
的极限也一定不存在？
举例说明,
思考题解答
不一定,
例,s i n)( xxxf ?? xxg ?)(
显然 ???
?? )(
)(lim
xg
xf
x 1
co s1l i m x
x
?
?? 极限不存在,
但 ?
?? )(
)(l i m
xg
xf
x x
xx
x
s i nl i m ?
?? 1?
极限存在,
一,填空题：
1, 洛必达法则除了可用于求,
0
0
”，及,
?
?
”两种
类型的未定式的极限外，也可通过变换解决
_____ ___ ____ _, ___ ____ ___ ___, _ ____ ___ ____,
_____ ___ ____ _, ___ ____ ___ ___,等型的未定式
的求极限的问题,
2,
x
x
x
)1l n (
l i m
0
?
?
=____ ___ ____,
3,
x
x
x
2ta nln
7ta nln
l i m
0?
=____ ___ ____ _.
练 习 题
二,用洛必达法则求下列极限：
1,
2
2
)2(
s inln
li m
x
x
x
??
?
?； 2,
x
x
x
a r c ta n
)
1
1l n (
l i m
?
???；
3, xx
x
2c o tlim
0?； 4,
)
1
1
1
2
(lim
2
1
?
?
?
?
xx
x；
5,
x
x
x
s i n
0
lim
??； 6,
x
x
x
t a n
0
)
1
(l i m
??；
7,
x
x
x )a r c t a n
2
(lim
????
,
三,讨论函数
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
0,
0,]
)1(
[
)(
2
1
1
1
xe
x
e
x
xf
x
x
当
当
,
在
处点 0?x
的连续性,
一,1,
00
,0,1,,0 ??????
?； 2, 1 ； 3, 1.
二,1,
8
1； 2, 1 ； 3,
2
1； 4,
2
1； 5, 1 ；
6, 1 ； 7,
?
?
2
e,
三、连续,
练习题答案