青岛科技大学 大学物理讲义
青岛科技大学 大学物理讲义
波动是振动的传播过程,
振动是激发波动的波源,
机械波
电磁波
波动
机械振动在 弹性 介质中的传播,
交变电磁场在空间的传播,
两
类
波
的
不
同
之
处
?机械波的传播需
有传播振动的介质 ;
?电磁波的传播可
不需介质,
? 能量传播
? 反射
? 折射
? 干涉
? 衍射
两
类
波
的
共
同
特
征
一 波 (wave)
青岛科技大学 大学物理讲义
波源
介质
+ 弹性作用
机
械
波
二 机械波 (mechanical wave)的形成
产生条件,1）波源； 2）弹性介质,
波是运动状态的传播，介质的
质点并不随波传播,注意
机械波：机械振动在弹性介质中的传播,
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横波：质点振动方向与波的传播方向相 垂直 的波,
（仅在固体中传播 ）
三 横波 (transverse wave)与纵波 (longitudinal
wave)
? 特征：具有交替出现的波峰和波谷,
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纵波：质点振动方向与波的传播方向互相 平行 的波,
（可在固体、液体和气体中传播）
? 特征：具有交替出现的密部和疏部,
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四 波长 (wavelength)
?波长,沿波的传播方向，两个相邻的、相
位差为 的振动质点之间的距离，即一个完整
波形的长度,
?
π2
O
yA
A-
?
u
x
?
波的周期、频率和波速
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?周期,波前进一个波长的距离所需要
的时间,
T
T1??
??? ??
T
u Tuu ??
?
?
?频率,周期的倒数，即单位时间内波
动所传播的完整波的数目,?
?波速,波动过程中，某一振动状态（即
振动相位）单位时间内所传播的距离（相速）,
u
注意 周期或频率只决定于波源的振动 !波速只决定于媒质的性质！
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波速 与介质的性质有关,为介质的密度,
u ?
如声音的传播速度
sm4 0 0 0
sm343
空气，常温
左右,混凝土
?
Gu ?
?
Eu ?
?
K
u ?
横 波
固体
纵 波
液、气体
切变 模量
弹性 模量
体积 模量
shear
modulus
elastic modulus or
youngs modulus
bulk modulus
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五 波线 (line of wave)、波面 (wave surface)
*
?
?
球 面 波 平 面 波
波前
波面
波线
和波前 (wave front) 波线：某点波线
的切线方向为波
的传播方向
波面：波线上同
相位点连成的曲
面，又称同相面
波前：波源最初
振动状态传到的
各点连成的曲面
球面波 (spherical wave)：
波前为球面
平面波 (plane wave)：
波前为平面
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例 1 在室温下，已知空气中的声速 为 340 m/s，
水中的声速 为 1450 m/s,求频率为 200 Hz和 2000 Hz
的声波在空气中和水中的波长各为多少？
1u
2u
m7.1
Hz200
sm340 1
1
1
1 ?
??? -
?
? u m17.0
2
1
2 ?? ??
u
m25.7
Hz200
sm1450 1
1
2
1 ?
???? -
?
? u m725.0
2
2
2 ??? ??
u
在水中的波长
解 由,频率为 200 Hz和 2000 Hz 的声波在
?? u?
空气中的波长
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),( txyy ?
各质点相对平
衡位置的 位移
波线上各质点
平衡 位置
? 简谐波：在均匀的、无吸收的介质中，波源作
简谐运动时，在介质中所形成的波,
六 平面简谐波 的 波函数
? 平面简谐波：波面为平面的简谐波,
介质中任一质点（坐标为 x）相对其平衡位置的
位移（坐标为 y）随时间的变化关系，即 称
为波函数,
),( txy
planar simple harmonic wave wave function
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点 O 的振动状态
tAy O ?c o s?
点 P
u
x
t ??
t 时刻点 P 的运动t-x/u时刻点 O 的运动
以速度 u 沿
x 轴正向传播的
平面简谐波, 令
原点 O 的初相为
零，其振动方程
tAy O ?c o s?
?
)(c o s
u
xtAy
P -? ?
点 P 振动方程
时间推
迟方法
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点 P 比点 O 落后 的相位 Op ??? -??
?
xπ2?
u
x
Tu
xx
p ??? -?-?-? π2π2
)(c o s
u
xtAy
p -? ?
点 P 振动方程
tAy o ?c o s?
点 O 振动方程
0,0 ?? ?x
? 波函数 )(c o s
u
xtAy -? ?
P
x
*
y
x
?
u?A
A-
O
相位落后法
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0,0 ?? ?x
])(c o s [ ?? ???
u
xtAy 沿 轴 负 向
u x
)c o s ( ?? ?? tAy O点 O 振动方程
波
函
数
沿 轴 正 向u x ])(c o s [ ?? ?-?
u
xtAy
y
x
?
uA
A-
O
如果原点的
初相位 不 为零
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? 波动方程的其它形式
])(π2c o s [)( ??-?
λ
x
T
tAx,ty
)c o s (),( ?? ?-? kxtAtxy
?
π2?k角波数
(wave number)? 质点的振动速度，加速度
])(s in [ ??? ?--???? uxtAtyv
])(c o s [22
2
??? ?--?
?
??
u
xtA
t
ya
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七 波函数的物理意义
])(π2c o s [])(c o s [ ???? ?-??-? xTtAuxtAy
1 当 x 固定时,波函数表示该点的简谐运动
方程，并给出该点与点 O 振动的相位差,
λ
x
u
x π2-?-?? ??
（波具有时间的周期性） ),(),( Ttxytxy ??
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波线上各点的简谐运动图
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（波具有空间的周期性） ),(),( txytxy ???
2 当 一定时，波函数表示该时刻波线上各点
相对其平衡位置的位移，即此刻的波形,
t
])(π2c o s [])(c o s [ ???? ?-??-? xTtAuxtAy
????? ?-??-? )(π2)( 111 xTtuxt
????? ?-??-? )(π2)( 222 xTtuxt
??
??? 21122112 π2π2 xxx ??-?-??
波程 (wave path)差
1221 xxx -??
??
x??? π2
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y
x
u
O
y
),(),( xxttxt ????? ?? )(π2c o s
?
x
T
tAy -?
)(π2)(π2 ?? xxT ttxTt ??-???-
?
x
T
t ??? tux ???
3 若 均变化，波函数表示波形沿传播方
向的运动情况（行波）,tx,
t 时刻 tt ?? 时刻
x?
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例 2 已知波动方程如下，求波长、周期和波速,
].)cm01.0()2, 5 0 s[(πco s)cm5( -1-1 xty -?
])cm201.0()s22, 5 0[(π2c o s)cm5( 1-1- xty -?
解：上波动方程可改写成
s8.0s5.2 2 ??T
cm2 0 001.0 cm2 ???
)(π2c o s ?xTtAy -?
与 比较，得
1scm2 5 0 -???
T
u ?
波速
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])(π2c o s [ ?
?
?-? x
T
tAy
波动方程
2
π-??
例 3 一平面简谐波沿 O x 轴正方向传播,已知振
幅,,, 在 时坐标
原点处的质点位于平衡位置沿 O y 轴正方向运动, 求
0?tm0.2??m0.1?A s0.2?T
0,0 ????? tyy v
00 ?? xt
解 波动方程的标准式
y
?
A?
O
( 1.0 ) c os 2
2.0 2.
m
2sm 0
txy ??????? - -
??????
??
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例 4 一平面简谐波以速度 沿直线传播,波
线上点 A 的简谐运动方程,
s/m20?u
ty A )sπ4c o s ()m103( 12 --??
1） 以 A 为坐标原点，写出波动方程
m10?? uT?m103 2-??A s5.0?T 0??
)
m10s5.0
(π2c o s)m103( 2 xty -?? -
])(π2c o s [ ?
?
?-? x
T
tAy
u
ABC D
5m 9m
xo
8m
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?
?? ABAB xx --?- π2 10 5π2-? π?
π?B? ]π)sπ4co s [ ()m103( 12 ??? -- ty B
]π)m10s5.0(π2c o s [)m103( 2 ?-?? - xty
2） 以 B 为坐标原点，写出波动方程
u
ABC D
5m 9m
xo
8m
ty A )sπ4c o s ()m103( 12 --??
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3） 写出传播方向上点 C,点 D 的简谐运动方程
u
ABC D
5m 9m
xo
8m
ty A )sπ4c o s ()m103( 12 --??
点 C 的相位比点 A 超前
]π2)sπ4c o s [ ()m103( 12 ?ACty C ??? --
]π513)sπ4c o s [ ()m103( 12 ??? -- t
点 D 的相位落后于点 A
m10??
21( 3 1 0 m ) c o s[ ( 4 π s ) 2 π ]
D
ADyt
?
--? ? -
21( 3 1 0 m ) c o s [ ( 4 π s ) 9 π / 5 ]t--? ? -
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4） 分别求出 BC, CD 两点间的相位差
π4.4
10
22π2π2 ?--?--?-
?
?? DCDC xx
u
ABC D
5m 9m
xo
8m
ty A )sπ4c o s ()m103( 12 --??
π6.110 8π2π2 -?-?--?- ??? CBCB xx
m10??
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1） 给出下列波函数所表示的波的 传播方向
和 点的初相位,0?x
)(π2c o s ?xTtAy --?
)(cos uxtAy ---? ?
2） 平面简谐波的波函数为
式中 为正常数，求波长、波速、波传播方
向上相距为 的两点间的相位差,
)co s( CxBtAy -?
CBA,,
d
)co s( CxBtAy -? )(π2c o s
?
x
T
tAy -?
C
π2??
BT
π2?
C
B
Tu ??
?
dCd ??? ?? π2
讨 论
)π,( ??向 x 轴 正 向传播
)π,( ??向 x 轴 负 向传播
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3 ） 如图简谐波
以余弦函数表示，
求 O,a,b,c 各
点振动 初相位,
)π~π( -?
O
y
x
u
a b c
A
A-
t=T/4
?
t =0
π?o?
2
π?
a?
0?b?
2
π-?
c?O y
? A?
O y
?A?
O y
?
A?
O y
?
A?
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波动是振动的传播过程,
振动是激发波动的波源,
机械波
电磁波
波动
机械振动在 弹性 介质中的传播,
交变电磁场在空间的传播,
两
类
波
的
不
同
之
处
?机械波的传播需
有传播振动的介质 ;
?电磁波的传播可
不需介质,
? 能量传播
? 反射
? 折射
? 干涉
? 衍射
两
类
波
的
共
同
特
征
一 波 (wave)
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波源
介质
+ 弹性作用
机
械
波
二 机械波 (mechanical wave)的形成
产生条件,1）波源； 2）弹性介质,
波是运动状态的传播，介质的
质点并不随波传播,注意
机械波：机械振动在弹性介质中的传播,
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横波：质点振动方向与波的传播方向相 垂直 的波,
（仅在固体中传播 ）
三 横波 (transverse wave)与纵波 (longitudinal
wave)
? 特征：具有交替出现的波峰和波谷,
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纵波：质点振动方向与波的传播方向互相 平行 的波,
（可在固体、液体和气体中传播）
? 特征：具有交替出现的密部和疏部,
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四 波长 (wavelength)
?波长,沿波的传播方向，两个相邻的、相
位差为 的振动质点之间的距离，即一个完整
波形的长度,
?
π2
O
yA
A-
?
u
x
?
波的周期、频率和波速
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?周期,波前进一个波长的距离所需要
的时间,
T
T1??
??? ??
T
u Tuu ??
?
?
?频率,周期的倒数，即单位时间内波
动所传播的完整波的数目,?
?波速,波动过程中，某一振动状态（即
振动相位）单位时间内所传播的距离（相速）,
u
注意 周期或频率只决定于波源的振动 !波速只决定于媒质的性质！
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波速 与介质的性质有关,为介质的密度,
u ?
如声音的传播速度
sm4 0 0 0
sm343
空气，常温
左右,混凝土
?
Gu ?
?
Eu ?
?
K
u ?
横 波
固体
纵 波
液、气体
切变 模量
弹性 模量
体积 模量
shear
modulus
elastic modulus or
youngs modulus
bulk modulus
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五 波线 (line of wave)、波面 (wave surface)
*
?
?
球 面 波 平 面 波
波前
波面
波线
和波前 (wave front) 波线：某点波线
的切线方向为波
的传播方向
波面：波线上同
相位点连成的曲
面，又称同相面
波前：波源最初
振动状态传到的
各点连成的曲面
球面波 (spherical wave)：
波前为球面
平面波 (plane wave)：
波前为平面
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例 1 在室温下，已知空气中的声速 为 340 m/s，
水中的声速 为 1450 m/s,求频率为 200 Hz和 2000 Hz
的声波在空气中和水中的波长各为多少？
1u
2u
m7.1
Hz200
sm340 1
1
1
1 ?
??? -
?
? u m17.0
2
1
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u
m25.7
Hz200
sm1450 1
1
2
1 ?
???? -
?
? u m725.0
2
2
2 ??? ??
u
在水中的波长
解 由,频率为 200 Hz和 2000 Hz 的声波在
?? u?
空气中的波长
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),( txyy ?
各质点相对平
衡位置的 位移
波线上各质点
平衡 位置
? 简谐波：在均匀的、无吸收的介质中，波源作
简谐运动时，在介质中所形成的波,
六 平面简谐波 的 波函数
? 平面简谐波：波面为平面的简谐波,
介质中任一质点（坐标为 x）相对其平衡位置的
位移（坐标为 y）随时间的变化关系，即 称
为波函数,
),( txy
planar simple harmonic wave wave function
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点 O 的振动状态
tAy O ?c o s?
点 P
u
x
t ??
t 时刻点 P 的运动t-x/u时刻点 O 的运动
以速度 u 沿
x 轴正向传播的
平面简谐波, 令
原点 O 的初相为
零，其振动方程
tAy O ?c o s?
?
)(c o s
u
xtAy
P -? ?
点 P 振动方程
时间推
迟方法
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点 P 比点 O 落后 的相位 Op ??? -??
?
xπ2?
u
x
Tu
xx
p ??? -?-?-? π2π2
)(c o s
u
xtAy
p -? ?
点 P 振动方程
tAy o ?c o s?
点 O 振动方程
0,0 ?? ?x
? 波函数 )(c o s
u
xtAy -? ?
P
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*
y
x
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A-
O
相位落后法
青岛科技大学 大学物理讲义
0,0 ?? ?x
])(c o s [ ?? ???
u
xtAy 沿 轴 负 向
u x
)c o s ( ?? ?? tAy O点 O 振动方程
波
函
数
沿 轴 正 向u x ])(c o s [ ?? ?-?
u
xtAy
y
x
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uA
A-
O
如果原点的
初相位 不 为零
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? 波动方程的其它形式
])(π2c o s [)( ??-?
λ
x
T
tAx,ty
)c o s (),( ?? ?-? kxtAtxy
?
π2?k角波数
(wave number)? 质点的振动速度，加速度
])(s in [ ??? ?--???? uxtAtyv
])(c o s [22
2
??? ?--?
?
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u
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t
ya
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七 波函数的物理意义
])(π2c o s [])(c o s [ ???? ?-??-? xTtAuxtAy
1 当 x 固定时,波函数表示该点的简谐运动
方程，并给出该点与点 O 振动的相位差,
λ
x
u
x π2-?-?? ??
（波具有时间的周期性） ),(),( Ttxytxy ??
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波线上各点的简谐运动图
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（波具有空间的周期性） ),(),( txytxy ???
2 当 一定时，波函数表示该时刻波线上各点
相对其平衡位置的位移，即此刻的波形,
t
])(π2c o s [])(c o s [ ???? ?-??-? xTtAuxtAy
????? ?-??-? )(π2)( 111 xTtuxt
????? ?-??-? )(π2)( 222 xTtuxt
??
??? 21122112 π2π2 xxx ??-?-??
波程 (wave path)差
1221 xxx -??
??
x??? π2
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y
x
u
O
y
),(),( xxttxt ????? ?? )(π2c o s
?
x
T
tAy -?
)(π2)(π2 ?? xxT ttxTt ??-???-
?
x
T
t ??? tux ???
3 若 均变化，波函数表示波形沿传播方
向的运动情况（行波）,tx,
t 时刻 tt ?? 时刻
x?
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例 2 已知波动方程如下，求波长、周期和波速,
].)cm01.0()2, 5 0 s[(πco s)cm5( -1-1 xty -?
])cm201.0()s22, 5 0[(π2c o s)cm5( 1-1- xty -?
解：上波动方程可改写成
s8.0s5.2 2 ??T
cm2 0 001.0 cm2 ???
)(π2c o s ?xTtAy -?
与 比较，得
1scm2 5 0 -???
T
u ?
波速
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])(π2c o s [ ?
?
?-? x
T
tAy
波动方程
2
π-??
例 3 一平面简谐波沿 O x 轴正方向传播,已知振
幅,,, 在 时坐标
原点处的质点位于平衡位置沿 O y 轴正方向运动, 求
0?tm0.2??m0.1?A s0.2?T
0,0 ????? tyy v
00 ?? xt
解 波动方程的标准式
y
?
A?
O
( 1.0 ) c os 2
2.0 2.
m
2sm 0
txy ??????? - -
??????
??
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例 4 一平面简谐波以速度 沿直线传播,波
线上点 A 的简谐运动方程,
s/m20?u
ty A )sπ4c o s ()m103( 12 --??
1） 以 A 为坐标原点，写出波动方程
m10?? uT?m103 2-??A s5.0?T 0??
)
m10s5.0
(π2c o s)m103( 2 xty -?? -
])(π2c o s [ ?
?
?-? x
T
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u
ABC D
5m 9m
xo
8m
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?
?? ABAB xx --?- π2 10 5π2-? π?
π?B? ]π)sπ4co s [ ()m103( 12 ??? -- ty B
]π)m10s5.0(π2c o s [)m103( 2 ?-?? - xty
2） 以 B 为坐标原点，写出波动方程
u
ABC D
5m 9m
xo
8m
ty A )sπ4c o s ()m103( 12 --??
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3） 写出传播方向上点 C,点 D 的简谐运动方程
u
ABC D
5m 9m
xo
8m
ty A )sπ4c o s ()m103( 12 --??
点 C 的相位比点 A 超前
]π2)sπ4c o s [ ()m103( 12 ?ACty C ??? --
]π513)sπ4c o s [ ()m103( 12 ??? -- t
点 D 的相位落后于点 A
m10??
21( 3 1 0 m ) c o s[ ( 4 π s ) 2 π ]
D
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?
--? ? -
21( 3 1 0 m ) c o s [ ( 4 π s ) 9 π / 5 ]t--? ? -
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4） 分别求出 BC, CD 两点间的相位差
π4.4
10
22π2π2 ?--?--?-
?
?? DCDC xx
u
ABC D
5m 9m
xo
8m
ty A )sπ4c o s ()m103( 12 --??
π6.110 8π2π2 -?-?--?- ??? CBCB xx
m10??
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1） 给出下列波函数所表示的波的 传播方向
和 点的初相位,0?x
)(π2c o s ?xTtAy --?
)(cos uxtAy ---? ?
2） 平面简谐波的波函数为
式中 为正常数，求波长、波速、波传播方
向上相距为 的两点间的相位差,
)co s( CxBtAy -?
CBA,,
d
)co s( CxBtAy -? )(π2c o s
?
x
T
tAy -?
C
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BT
π2?
C
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dCd ??? ?? π2
讨 论
)π,( ??向 x 轴 正 向传播
)π,( ??向 x 轴 负 向传播
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3 ） 如图简谐波
以余弦函数表示，
求 O,a,b,c 各
点振动 初相位,
)π~π( -?
O
y
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u
a b c
A
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t=T/4
?
t =0
π?o?
2
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