青岛科技大学 大学物理讲义
青岛科技大学 大学物理讲义
一 波的叠加原理 (superposition principle)
?几列波相遇之后,仍然保持它们各自原有的特征
（频 率,波长、振幅、振动方向等）不变，并按照原来
的方向继续前进，好象没有遇到过其他波一样,
?在相遇区域内任一点的振动，为各列波单独存在
时在该点所引起的振动位移的矢量和,
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频率相同、
振动方向平行、
相位相同或相位
差恒定的两列波
相遇时，使某些
地方振动始终加
强，而使另一些
地方振动始终减
弱的现象，称为
波的干涉现象,
二 波的干涉 (interference)
青岛科技大学 大学物理讲义
1s
2s
P
*1r
2r
波源振动 )c o s ( 111 ?? ?? tAy
)c o s ( 222 ?? ?? tAy
)π2c o s ( 1111
?
?? rtAy p ???
)π2c o s ( 2222
?
?? rtAy p ???
点 P 的两个分振动
1） 频率相同；
2） 振动方向平行；
3） 相位相同或相位差恒定,
? 波的相干条件
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)c o s (21 ?? ???? tAyyy ppp
)
π2
co s()
π2
co s(
)
π2
si n()
π2
si n(
tan
1
22
1
11
2
22
1
11
?
?
?
?
?
?
?
?
?
r
A
r
A
r
A
r
A
???
???
?
????? c os2 212221 AAAAA
1s
2s
P
*1r
2r
)π2c o s ( 1111
?
?? rtAy p ???
)π2c o s ( 2222 ??? rtAy p ???
点 P 的两个分振动
????
12
12 π2
rr ????? 常量
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讨 论
1 ) 合振动的振幅（波的强度）在空间各点的分
布随位置而变。但是，是稳定的,
?,2,1,0π2 ???? kk?
?,2,1,0π)12( ????? kk?
2121 AAAAA ???????
其他
21 AAA ?? 振动始终 加强
21 AAA ??
振动始终 减弱
2 )
????? c os2 212221 AAAAA
?
??? 1212 π2 rr ?????
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波程差 12 rr ???若 则21 ?? ?
?
?? π2???
21 AAA ??
振动始终 减弱
21 AAA ?? 振动始终 加强
?,2,1,0)21( ???? kk ??
2121 AAAAA ????
其他
??
?,2,1,0??? kk ??
3 )
讨 论 ????? c os2 21
2221 AAAAA
?
??? 1212 π2 rr ?????
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例 如图所示,A,B 两点为同一介质中两相干波
源,其振幅皆为 5cm，频率皆为 100Hz，但当点 A 为波
峰时，点 B 适为波谷,设波速为 10m/s，试写出由 A,B
发出的两列波传到点 P 时干涉的结果,
解
15m
20mA B
P m25m2015 22 ???BP
m10.0m1 0 010 ??? ?? u
设 A 的相位较 B 超
前，则,π??
BA ??
π2 0 11.0 1525π2ππ2 ??????????? ???? APBPAB
点 P 合振幅 0
21 ??? AAA
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三 驻波 (standing wave)的产生
振幅、频率、传播速度都相同的两列相干波，在
同一直线上沿 相反 方向传播时叠加而形成的一种特殊
的干涉现象,
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驻 波 的 形 成
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驻波的振幅
与位置有关
txA ?
?
π2c o sπ2c o s2?
四 驻波方程
)(π2c o s1 ?? xtAy ??
正向
)(π2c o s2 ?? xtAy ??
负向
21 yyy ??
各质点都在作同
频率的简谐运动
)(π2c o s)(π2c o s ???? xtAxtA ????
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txAy ?? π2c o sπ2c o s2?
? 驻波方程讨论
??xπ2c o s
?,2,1,0ππ2 ??? kkx?
?,2,1,0π)21(π2 ???? kkx?
1
0
相邻 波腹（节） 间距 2??
4??相邻波 腹 和波 节 间距
1） 振幅 随 x 而异,与时间无关,
?
xA π2c o s2
?x
波腹
波节
AAkk 2,1,02 m a x ??? ??
m in
1( ) 0,1,0
22k k A
?? ? ? ?L
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2） 相邻两波节之间质点振动同相位，任一波节
两侧振动相位相反，在 波节 处产生 的 相位跃变,
（与行波不同，无相位的传播）,
π
txAy ?? π2c o sπ2c o s2?
?
xπ2cos,44,0
?? ???? x txAy ?
? π2c o sπ2c o s2?
)ππ2c o s (π2c o s2 ?? txAy ??,
4
3
4,0
?? ??? x
?
xπ2cos
x
y
o
2?2??
4
???x 为 波节例
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五 相位跃变 (半波损失, half-wave loss)
当波从波疏介质垂直入射到波密介质,被反射
到波疏介质时形成 波节, 入射波与反射波在此处的相
位时时 相反,即反射波在 分界处 产生 的相位 跃变,
相当于出现了半个波长的波程差，称 半波损失,
π
波
密
介
质
u? 较
大
波
疏
介
质
较
小
u?
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当波从波密介质垂直入射到波疏介质,被反射
到波密介质时形成 波腹, 入射波与反射波在此处的相
位时时 相同,即反射波在分界处 不 产生相位 跃变,
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六 驻波的能量
2
k )(d t
yW
?
??
2
p )(d x
yW
?
??
驻波的能量在相邻的波腹和波节间往复变化，
在相邻的波节间发生动能和势能间的转换，动能
主要集中在波腹，势能主要集中在波节，但无长
距离的能量传播,
A B C
波
节
波
腹
x
x
位移最大时
平衡位置时
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七 振动的简正模式 (normal mode)
2
nnl ??
?,2,12 ?? nlunn?
两端 固定 的弦线形成 驻 波时，波长 和弦线长 应满足
n?
l
由此频率决定的各种振动方式称为弦线振动的 简正模式,
这些频率称为弦
振动的本征频率
每一本征频率对应于弦的一种可能振动方式
最低频率 称为
基频 1
?
频率 为 的 n倍，
称为 n次谐频
1?n?
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?,2,12 ?? nnl n?
两端 固定 的弦
振动的简正模式
一端 固定 一端 自由 的弦振动的简正模
式：固定端－波节，自由端－波腹
?,2,12)21( ??? nnl n?
2
1??l
2
2 2??l
2
3 3??l
4
1??l
4
3 2??l
4
5 3??l
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?,2,12 ?? nnl ?
l
nuu
2?? ??
频率
?
Tu ?波速
基频
Hz262
2
11
1 ??? ??
T
l
n
??
T
l
nn
n 21 ??谐频
解, 弦两端为固定点，是 波节,
千斤
码子
l
如图二胡弦长,张力, 密度
mkg108.3 4????
m3.0?l N4.9?T
讨论
,求弦所发的声音的 基 频和 谐 频,
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一 波的叠加原理 (superposition principle)
?几列波相遇之后,仍然保持它们各自原有的特征
（频 率,波长、振幅、振动方向等）不变，并按照原来
的方向继续前进，好象没有遇到过其他波一样,
?在相遇区域内任一点的振动，为各列波单独存在
时在该点所引起的振动位移的矢量和,
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频率相同、
振动方向平行、
相位相同或相位
差恒定的两列波
相遇时，使某些
地方振动始终加
强，而使另一些
地方振动始终减
弱的现象，称为
波的干涉现象,
二 波的干涉 (interference)
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1s
2s
P
*1r
2r
波源振动 )c o s ( 111 ?? ?? tAy
)c o s ( 222 ?? ?? tAy
)π2c o s ( 1111
?
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)π2c o s ( 2222
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点 P 的两个分振动
1） 频率相同；
2） 振动方向平行；
3） 相位相同或相位差恒定,
? 波的相干条件
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)c o s (21 ?? ???? tAyyy ppp
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1
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点 P 的两个分振动
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12
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讨 论
1 ) 合振动的振幅（波的强度）在空间各点的分
布随位置而变。但是，是稳定的,
?,2,1,0π2 ???? kk?
?,2,1,0π)12( ????? kk?
2121 AAAAA ???????
其他
21 AAA ?? 振动始终 加强
21 AAA ??
振动始终 减弱
2 )
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波程差 12 rr ???若 则21 ?? ?
?
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21 AAA ??
振动始终 减弱
21 AAA ?? 振动始终 加强
?,2,1,0)21( ???? kk ??
2121 AAAAA ????
其他
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3 )
讨 论 ????? c os2 21
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例 如图所示,A,B 两点为同一介质中两相干波
源,其振幅皆为 5cm，频率皆为 100Hz，但当点 A 为波
峰时，点 B 适为波谷,设波速为 10m/s，试写出由 A,B
发出的两列波传到点 P 时干涉的结果,
解
15m
20mA B
P m25m2015 22 ???BP
m10.0m1 0 010 ??? ?? u
设 A 的相位较 B 超
前，则,π??
BA ??
π2 0 11.0 1525π2ππ2 ??????????? ???? APBPAB
点 P 合振幅 0
21 ??? AAA
青岛科技大学 大学物理讲义
三 驻波 (standing wave)的产生
振幅、频率、传播速度都相同的两列相干波，在
同一直线上沿 相反 方向传播时叠加而形成的一种特殊
的干涉现象,
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驻 波 的 形 成
青岛科技大学 大学物理讲义
驻波的振幅
与位置有关
txA ?
?
π2c o sπ2c o s2?
四 驻波方程
)(π2c o s1 ?? xtAy ??
正向
)(π2c o s2 ?? xtAy ??
负向
21 yyy ??
各质点都在作同
频率的简谐运动
)(π2c o s)(π2c o s ???? xtAxtA ????
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txAy ?? π2c o sπ2c o s2?
? 驻波方程讨论
??xπ2c o s
?,2,1,0ππ2 ??? kkx?
?,2,1,0π)21(π2 ???? kkx?
1
0
相邻 波腹（节） 间距 2??
4??相邻波 腹 和波 节 间距
1） 振幅 随 x 而异,与时间无关,
?
xA π2c o s2
?x
波腹
波节
AAkk 2,1,02 m a x ??? ??
m in
1( ) 0,1,0
22k k A
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2） 相邻两波节之间质点振动同相位，任一波节
两侧振动相位相反，在 波节 处产生 的 相位跃变,
（与行波不同，无相位的传播）,
π
txAy ?? π2c o sπ2c o s2?
?
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)ππ2c o s (π2c o s2 ?? txAy ??,
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y
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4
???x 为 波节例
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五 相位跃变 (半波损失, half-wave loss)
当波从波疏介质垂直入射到波密介质,被反射
到波疏介质时形成 波节, 入射波与反射波在此处的相
位时时 相反,即反射波在 分界处 产生 的相位 跃变,
相当于出现了半个波长的波程差，称 半波损失,
π
波
密
介
质
u? 较
大
波
疏
介
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小
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当波从波密介质垂直入射到波疏介质,被反射
到波密介质时形成 波腹, 入射波与反射波在此处的相
位时时 相同,即反射波在分界处 不 产生相位 跃变,
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六 驻波的能量
2
k )(d t
yW
?
??
2
p )(d x
yW
?
??
驻波的能量在相邻的波腹和波节间往复变化，
在相邻的波节间发生动能和势能间的转换，动能
主要集中在波腹，势能主要集中在波节，但无长
距离的能量传播,
A B C
波
节
波
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位移最大时
平衡位置时
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七 振动的简正模式 (normal mode)
2
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?,2,12 ?? nlunn?
两端 固定 的弦线形成 驻 波时，波长 和弦线长 应满足
n?
l
由此频率决定的各种振动方式称为弦线振动的 简正模式,
这些频率称为弦
振动的本征频率
每一本征频率对应于弦的一种可能振动方式
最低频率 称为
基频 1
?
频率 为 的 n倍，
称为 n次谐频
1?n?
青岛科技大学 大学物理讲义
?,2,12 ?? nnl n?
两端 固定 的弦
振动的简正模式
一端 固定 一端 自由 的弦振动的简正模
式：固定端－波节，自由端－波腹
?,2,12)21( ??? nnl n?
2
1??l
2
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4
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青岛科技大学 大学物理讲义
?,2,12 ?? nnl ?
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频率
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Tu ?波速
基频
Hz262
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11
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解, 弦两端为固定点，是 波节,
千斤
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如图二胡弦长,张力, 密度
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,求弦所发的声音的 基 频和 谐 频,
