一,汇交力系的合成（简化）
1 力系的合成（简化）
用最简单的结果来代替原力系对刚体的作用
方法 1 几何法 —— 力多边形法
2 解析法 —— 坐标投影法
R
2 合成方法
R=∑F 平行四边形
Rx= ∑Fx
Ry= ∑Fy
§ 1— 2 平面汇交力系
力系 F1, F2, F3,
F4合成为力 R
R= F1 + F2 + F3 + F4
22
yx RRR ??
θ
y
x
R
R
tg ??
力系 F1, F2, F3, F4
合成为力 R
22
yx RRR ??
y
x
R
R
tg ??
合力投影定理：
合力在某轴上的投影等于各分力在该轴上投影的代数和
Y Y Y Y YR
XXXXXR
y
x
??????
??????
4321
4321
0??? F
二,平面汇交力系的平衡
R
022 ??? yx RRR
力矢量封闭
平面汇交力系的平衡方程：
0
0
???
???
YR
XR
y
x
矢量图解法：
矢量首尾相连，图形封闭，长度按比例
mm
N??
比例尺：
三,平面汇交力系的平衡应用
例 2— 4
比例尺：
mm
N??
1
2
3
12
3 1
2
3
AT1
T2
W
A
T1T2
W
A
T1
T2 W
一、力矩与力偶（平面力系）
1 力矩 （力 × 力臂）,力使物体绕 O点转动的效应
力偶的作用面：两作用线确定的平面
力偶臂：两作用线的距离 d
力偶的矩 = ? F·d
d
顺时针 ＋ （ － ）
逆时针 － （ ＋ ）
2 力偶, 等值、反向、作用线平行的两个力 。
dFFm ???)(0
§ 1— 3 力矩与平面力偶系
3、合力矩定理
力矩 （力 × 力臂）
平面汇交力系的合力对平面内任一点的矩，等于力系中
各力对该点之矩的代数和
dFFm ???)(0
⑴ 力矩的大小力 F和 O点的位置有关
d=0→M=0 F=0→M=0
⑵ 力沿作用线移动力矩不变
)()( FmRm oo ??
二,平面力偶系
性质一,
力偶不能简化为一合力、
不能用一个力来平衡,对刚体只有转动效应。
d
d1d2
M= - Fd
F
M= - Fd1- Fd2= - Fd
d3d
4
M= Fd3 - Fd4= -Fd
力偶符号,M
性质二, 力偶对其作用面内任意点的力偶矩相同
顺时针 －
逆时针 ＋
1,力偶的性质
推论, 力偶可在作用面内任意移
动而不影响对刚体的作用
2 平面力偶系的合成与平衡
性质三,力偶的作用面可以平移而不改变对刚体的作用
M=∑Mi合成：合力偶矩等于各分力偶矩代数和
平面力偶系：平面一组力偶
平衡：合力偶矩等于零 ∑Mi =0
汇交力系可以合成一个力，
力偶系可以合成一个合力偶
一 平面力系向一点简化
1、力的平移定理
作用在刚体上的力向刚体上任一点平移后需附加一力偶，
此力偶的矩等于原力对该点的矩
一合力（主矢）
一合力偶（主矩）
平面力系, 各力的作用线任意分布在同一平面内的力系
等效
o
x
y
A
F3
F2F
1
F4
F5
§ 1— 4 平面一般力系（平面任意力系）
力的平移 （螺栓组联接受力分析）
F
M
一个合力（主矢）和一个合力偶（主矩）
例：作用于刚体上的均匀分布载荷（主动力）的简化
q (N/M)
R=ql
2 平面力系向一点简化 平移 + 合成
R 均布载荷 q 集中载荷 R
为什么没有力偶?
二 平面力系的平衡方程及应用
平面力系的平衡条件
R′=0
L0 =0
F
M
第二种形式
0
A
B
x
R
第一种形式
A,B、三点不在同一直线上
求解平面力系中的约束反力目的
第二种形式
各力相互平行第一种形式
三 平面平行力系的平衡方程
例,忽略杆件重量
求铰链 A的约束力和杆 CD的受力。
解：
1）受力体 3
2）画出已知的力要素
3）写出矢量方程
4）作图求解
1 2
3
F23
F13
FB+F13+F23=0
FB
F13
F23
F32
F12
FA =F13
汇交力系
例题 2.4 P34
求各杆的受力
注意,
⑴ 各杆均为二力杆
⑵ 找未知力少的联
结点 (节点 )入手
怎样求 5,6杆的力?
C点的受力图? (请练习 ) T1T
3
T6
T5
C
注意：
当反力方向难以判定时，用 x,y方向分力形式较好
AC应为二力杆
AC平衡吗？
有无力偶？
解：以为 AB梁研究对象，画受力图，列出平衡方程
∑mA（ F） =0, 2aRBcos45° － m－ qa·a／ 2=0
∑X=0, X A － RBcos45° =0
∑Y=0, Y A － qa + RBsin45° =0
解得,X A =（ 2m+qa2）／ 4a
Y A =（ 2m+5qa2）／ 4a
RB =（ 2m+qa2）／ 4a cos45°
平面一般力系
例题 3.3
在水平梁 AB上作用有力偶
矩为 m的力偶和集度为 q的均布
载荷,求支座 A,B的约束力 。
例：求固定端约束反力
F平移到 A得 F′ 和 M
平衡状态下固定端约束反力 R=-F′, M′= -M=-l F
F′
M
R
M′
l
平面一般力系
例：求平面刚架固定端全部约束力 。
解,1）均布载荷简化； 2）力系向 A点简化；
ql
3ql/2FpFl
3）根据平衡条件,R= - F′,Mr= - (M+M′)
F′= ql+Fp,M′=3ql/2-Fl
R
平面一般力系
i
j
k
RR力在空间任意方位，向 A点简化
有,Rx, Ry, Rz和 MAk,MAj,MAi
轴上带轮和圆锥齿轮上分布作用有
集中力，怎样求解 A,B点的支反力？
1、空间力系的简化
2、空间力系的平衡
空间力系, 各力的作用线在空间任意分布
利用 空间力系的平衡 来求解支反力
平衡条件,?F=0,?M=0。
?Fx=0,?Fy=0,?Fz=0，
?Mx=0,?My=0,?Mz=0 。
§ 1— 5 空 间 力 系 简 介
i
j
k
A B
Fa
Ft
Fr斜齿轮的受力（三个分力）为空间力
A B
Fa
Fr
A B
Ft
竖直平面 V,作用力 Fr,Fa
支反力 RA′, RB′
水平面 H,作用力 Ft
支反力 RA″, RB″
空间力系 平面力系
RA′ RB′
RA″ RB″
若齿轮对称布置（中点），半径为 r，
求支反力 RA, RB
解：先分别求得分力，再合成
⑴ ∑Fy=0 RA′ + RB′ =Fr
∑MA=0 2aRB′ =aFr+rFa
∑Fx =0 RB =Fa
i
j
k
A B
Fa
Ft
Fr
A B
Fa
A B
Ft
RA′ RB′
RA″ RB″
⑵ ∑Fy=0 RA″ + RB″ =Ft
∑MA=0 2aRB″=aFt
∑Mo=0 T=RFt
⑶ RA 2 =(RA ′ )2+ (RA ″ )2
RB 2 =(RB ′ )2+ (RB ″ )2
练习：
若已知图中 Fr=2000N,Fa=700N，
Ft=2400N，求 A,B的支反力
Fr
10050
50
结果,RA ′ =1100 N； RB ′ =900 N
RA ″ =1600 N； RB ″ =800 N
RA =1942 N （ T=120Nm）
RB =1204 N
例：平衡状态的齿轮轴上有载荷 T=20Nm,Fn，
?=20?,r=80mm,a=300mm,b=250mm, c=60mm
求轴承约束力。
解：约束力对转轴无力矩，可根据力矩平衡求 F
Fcos? r-M=0
光滑圆柱绞的约束力在垂直轴线平面上指向中心 。
由 ?MA=0 RBX (a+b)-FXa=0
得,RBX =136.36N
由 ?FX=0得,RAX =113.64N
FX
RBXRAX
FZ
RAZ RBZ
由 ?MA=0 RBZ (a+b)-FZa=0
得,RBZ =49.63N
由 ?FZ=0 得,RAZ =41.36N
XOY面上,FX=Fncos?
YOZ面上,FZ=Fnsin?
T= r FX
注意区分铰链类型及其支反力方向
WP M
M=6H
G+PδP
T= 100T2
T2
Psinα
Pcosα
A
B
1
2
3
4
Q
R
T1
T2
T2
T345°
30°
各杆为二力杆
T2 sin45° =Q
T2 =Rcos30°
Q,R=sin45° cos30°
=0.61
题 2— 11
R A
R A
RB
RB
列平衡方程
∑F=0
∑m=0
注意：
力偶对力平衡方程无影响
T2=P2D2 ／ 2
T1=P1D1 ／ 2
提示：
压力角 α是作用力方
向与 速度方向之夹角
ν
α
F
静 力 学
汇交力系的简化与平衡条件
平衡条件 R=∑F=0 封闭矢量图 ∑Fx=0∑Fy=0解析法：
力偶、力偶系的等效与简化
平面力系的简化 力的平移定理
平面力系的平衡条件 R′=0
L0 =0
空间力系
空间力系的平衡
平衡条件,?F=0,?M=0。
?Fx=0,?Fy=0,?Fz=0，
?Mx=0,?My=0,?Mz=0 。
求解约束反力
二力杆
1 力系的合成（简化）
用最简单的结果来代替原力系对刚体的作用
方法 1 几何法 —— 力多边形法
2 解析法 —— 坐标投影法
R
2 合成方法
R=∑F 平行四边形
Rx= ∑Fx
Ry= ∑Fy
§ 1— 2 平面汇交力系
力系 F1, F2, F3,
F4合成为力 R
R= F1 + F2 + F3 + F4
22
yx RRR ??
θ
y
x
R
R
tg ??
力系 F1, F2, F3, F4
合成为力 R
22
yx RRR ??
y
x
R
R
tg ??
合力投影定理：
合力在某轴上的投影等于各分力在该轴上投影的代数和
Y Y Y Y YR
XXXXXR
y
x
??????
??????
4321
4321
0??? F
二,平面汇交力系的平衡
R
022 ??? yx RRR
力矢量封闭
平面汇交力系的平衡方程：
0
0
???
???
YR
XR
y
x
矢量图解法：
矢量首尾相连，图形封闭，长度按比例
mm
N??
比例尺：
三,平面汇交力系的平衡应用
例 2— 4
比例尺：
mm
N??
1
2
3
12
3 1
2
3
AT1
T2
W
A
T1T2
W
A
T1
T2 W
一、力矩与力偶（平面力系）
1 力矩 （力 × 力臂）,力使物体绕 O点转动的效应
力偶的作用面：两作用线确定的平面
力偶臂：两作用线的距离 d
力偶的矩 = ? F·d
d
顺时针 ＋ （ － ）
逆时针 － （ ＋ ）
2 力偶, 等值、反向、作用线平行的两个力 。
dFFm ???)(0
§ 1— 3 力矩与平面力偶系
3、合力矩定理
力矩 （力 × 力臂）
平面汇交力系的合力对平面内任一点的矩，等于力系中
各力对该点之矩的代数和
dFFm ???)(0
⑴ 力矩的大小力 F和 O点的位置有关
d=0→M=0 F=0→M=0
⑵ 力沿作用线移动力矩不变
)()( FmRm oo ??
二,平面力偶系
性质一,
力偶不能简化为一合力、
不能用一个力来平衡,对刚体只有转动效应。
d
d1d2
M= - Fd
F
M= - Fd1- Fd2= - Fd
d3d
4
M= Fd3 - Fd4= -Fd
力偶符号,M
性质二, 力偶对其作用面内任意点的力偶矩相同
顺时针 －
逆时针 ＋
1,力偶的性质
推论, 力偶可在作用面内任意移
动而不影响对刚体的作用
2 平面力偶系的合成与平衡
性质三,力偶的作用面可以平移而不改变对刚体的作用
M=∑Mi合成：合力偶矩等于各分力偶矩代数和
平面力偶系：平面一组力偶
平衡：合力偶矩等于零 ∑Mi =0
汇交力系可以合成一个力，
力偶系可以合成一个合力偶
一 平面力系向一点简化
1、力的平移定理
作用在刚体上的力向刚体上任一点平移后需附加一力偶，
此力偶的矩等于原力对该点的矩
一合力（主矢）
一合力偶（主矩）
平面力系, 各力的作用线任意分布在同一平面内的力系
等效
o
x
y
A
F3
F2F
1
F4
F5
§ 1— 4 平面一般力系（平面任意力系）
力的平移 （螺栓组联接受力分析）
F
M
一个合力（主矢）和一个合力偶（主矩）
例：作用于刚体上的均匀分布载荷（主动力）的简化
q (N/M)
R=ql
2 平面力系向一点简化 平移 + 合成
R 均布载荷 q 集中载荷 R
为什么没有力偶?
二 平面力系的平衡方程及应用
平面力系的平衡条件
R′=0
L0 =0
F
M
第二种形式
0
A
B
x
R
第一种形式
A,B、三点不在同一直线上
求解平面力系中的约束反力目的
第二种形式
各力相互平行第一种形式
三 平面平行力系的平衡方程
例,忽略杆件重量
求铰链 A的约束力和杆 CD的受力。
解：
1）受力体 3
2）画出已知的力要素
3）写出矢量方程
4）作图求解
1 2
3
F23
F13
FB+F13+F23=0
FB
F13
F23
F32
F12
FA =F13
汇交力系
例题 2.4 P34
求各杆的受力
注意,
⑴ 各杆均为二力杆
⑵ 找未知力少的联
结点 (节点 )入手
怎样求 5,6杆的力?
C点的受力图? (请练习 ) T1T
3
T6
T5
C
注意：
当反力方向难以判定时，用 x,y方向分力形式较好
AC应为二力杆
AC平衡吗？
有无力偶？
解：以为 AB梁研究对象，画受力图，列出平衡方程
∑mA（ F） =0, 2aRBcos45° － m－ qa·a／ 2=0
∑X=0, X A － RBcos45° =0
∑Y=0, Y A － qa + RBsin45° =0
解得,X A =（ 2m+qa2）／ 4a
Y A =（ 2m+5qa2）／ 4a
RB =（ 2m+qa2）／ 4a cos45°
平面一般力系
例题 3.3
在水平梁 AB上作用有力偶
矩为 m的力偶和集度为 q的均布
载荷,求支座 A,B的约束力 。
例：求固定端约束反力
F平移到 A得 F′ 和 M
平衡状态下固定端约束反力 R=-F′, M′= -M=-l F
F′
M
R
M′
l
平面一般力系
例：求平面刚架固定端全部约束力 。
解,1）均布载荷简化； 2）力系向 A点简化；
ql
3ql/2FpFl
3）根据平衡条件,R= - F′,Mr= - (M+M′)
F′= ql+Fp,M′=3ql/2-Fl
R
平面一般力系
i
j
k
RR力在空间任意方位，向 A点简化
有,Rx, Ry, Rz和 MAk,MAj,MAi
轴上带轮和圆锥齿轮上分布作用有
集中力，怎样求解 A,B点的支反力？
1、空间力系的简化
2、空间力系的平衡
空间力系, 各力的作用线在空间任意分布
利用 空间力系的平衡 来求解支反力
平衡条件,?F=0,?M=0。
?Fx=0,?Fy=0,?Fz=0，
?Mx=0,?My=0,?Mz=0 。
§ 1— 5 空 间 力 系 简 介
i
j
k
A B
Fa
Ft
Fr斜齿轮的受力（三个分力）为空间力
A B
Fa
Fr
A B
Ft
竖直平面 V,作用力 Fr,Fa
支反力 RA′, RB′
水平面 H,作用力 Ft
支反力 RA″, RB″
空间力系 平面力系
RA′ RB′
RA″ RB″
若齿轮对称布置（中点），半径为 r，
求支反力 RA, RB
解：先分别求得分力，再合成
⑴ ∑Fy=0 RA′ + RB′ =Fr
∑MA=0 2aRB′ =aFr+rFa
∑Fx =0 RB =Fa
i
j
k
A B
Fa
Ft
Fr
A B
Fa
A B
Ft
RA′ RB′
RA″ RB″
⑵ ∑Fy=0 RA″ + RB″ =Ft
∑MA=0 2aRB″=aFt
∑Mo=0 T=RFt
⑶ RA 2 =(RA ′ )2+ (RA ″ )2
RB 2 =(RB ′ )2+ (RB ″ )2
练习：
若已知图中 Fr=2000N,Fa=700N，
Ft=2400N，求 A,B的支反力
Fr
10050
50
结果,RA ′ =1100 N； RB ′ =900 N
RA ″ =1600 N； RB ″ =800 N
RA =1942 N （ T=120Nm）
RB =1204 N
例：平衡状态的齿轮轴上有载荷 T=20Nm,Fn，
?=20?,r=80mm,a=300mm,b=250mm, c=60mm
求轴承约束力。
解：约束力对转轴无力矩，可根据力矩平衡求 F
Fcos? r-M=0
光滑圆柱绞的约束力在垂直轴线平面上指向中心 。
由 ?MA=0 RBX (a+b)-FXa=0
得,RBX =136.36N
由 ?FX=0得,RAX =113.64N
FX
RBXRAX
FZ
RAZ RBZ
由 ?MA=0 RBZ (a+b)-FZa=0
得,RBZ =49.63N
由 ?FZ=0 得,RAZ =41.36N
XOY面上,FX=Fncos?
YOZ面上,FZ=Fnsin?
T= r FX
注意区分铰链类型及其支反力方向
WP M
M=6H
G+PδP
T= 100T2
T2
Psinα
Pcosα
A
B
1
2
3
4
Q
R
T1
T2
T2
T345°
30°
各杆为二力杆
T2 sin45° =Q
T2 =Rcos30°
Q,R=sin45° cos30°
=0.61
题 2— 11
R A
R A
RB
RB
列平衡方程
∑F=0
∑m=0
注意：
力偶对力平衡方程无影响
T2=P2D2 ／ 2
T1=P1D1 ／ 2
提示：
压力角 α是作用力方
向与 速度方向之夹角
ν
α
F
静 力 学
汇交力系的简化与平衡条件
平衡条件 R=∑F=0 封闭矢量图 ∑Fx=0∑Fy=0解析法：
力偶、力偶系的等效与简化
平面力系的简化 力的平移定理
平面力系的平衡条件 R′=0
L0 =0
空间力系
空间力系的平衡
平衡条件,?F=0,?M=0。
?Fx=0,?Fy=0,?Fz=0，
?Mx=0,?My=0,?Mz=0 。
求解约束反力
二力杆
