第二章 杆件的变形及强度和刚度计算
一 构件正常工作应满足的基本要求：
1）足够的 强度 （抵抗破断的能力）
2）足够的 刚度 （抵抗变形的能力）
3）足够的 稳定性 （保持原有平衡形式的能力 ）
二 基本假设：均匀、连续性假设、各向同性假设
杆件（长度远大于截面）变形的基本形式：
拉伸、压缩、剪切、扭转、弯曲
内力, 由外力引起的材料微粒之间的相互作用力
§ 2— 1 基本概念
1 拉伸或压缩（杆）
外力作用线与杆的轴线重合
3 剪切
外力大小相等方向相反，
作用线相距很近。
2 弯曲 (梁 )
外力垂直于杆件轴线
拉伸
弯曲
三 基本变形种类
4 扭转 (轴 )
外力为力偶,作用面垂直杆件轴线 。
F F
一 轴向拉伸和压缩的概念
受力特点：外力作用线与杆的轴线重合
主要变形：伸长或缩短 →拉（压）杆
二 拉伸和压缩时的内力、截面法和轴力
F F
F
N
2 截面法和轴力
拉为正
压为负
1 内力, 外力作用下杆件内相互作用力的改变量
外力 ↑→内力 ↑，内力过极限 →破坏
N=F
N是右段对左段的内力 →轴力
§ 2— 2 轴向拉伸和压缩
F F
F
N
N=F
3 用截面法求内力
例：求截面 1-1,2-2
上的内力和约束端反力
F1F2
1
1
2
2
F1N1
取截面 2-2右端研究，
根据力平衡条件得 N1=F1
取截面 1-1右端研究，
根据力平衡条件得
N2=F1- F2
F1F2
N3
取截面 1-1左端研究，
根据力平衡条件得
N3= N′2 = F1- F2
N′2
N2
拉为正
压为负
约束端反力, R=N3
1 应力 ?（ τ）, 单位面积上的内力。
度量截面分布内力的集度（假设内力分布均匀）
2 拉、压应力的计算
?=N/A
N—— 截面上的内力； A—— 截面的面积。
例,F=100?N,杆件截面为圆形，
半径为 10mm和 15mm，
计算两截面上的应力 F F
1 2
21
解,1） N1=N2=F
2） ?1=N1/0.012?=F/ 0.012?=1000000Pa=1MPa
?2=N2/0.0152?=F/ 0.0152?=0.44MPa
试验确定
单位,(帕 Pa:N/m2)
兆帕 MPa,106N/m2 （多用）
三 应力的概念、拉压应力
四 材料在拉伸和压缩时的力学性质
0
F-△ L曲线
F
△ L
?- ?曲线
? = F/A ?（应变 ） = △ L/L
弹性阶段 OA(变形可恢复 )
屈服阶段 BC（裂纹）
强化阶段 CD
局部变形阶段 DE
D
E
脆性材料无明显的屈服和颈缩现象 无屈服极限
低碳钢受拉
?
?
Q235钢受拉
比例 (弹性 )极限 ?P
屈服极限 ?S
强度极限 ?B
D
E
?P?S
?B
许用应力 [?]= ?lim /安全系数 见书 p36
极限应力 ?lim,开始失效的最小应力
★ 塑性材料 ?lim =?S，
脆性材料 ?lim =?B
材料的应力极限和许用应力
? = N/A ? [?]
强度条件
?
?
Q235钢受拉
比例 (弹性 )极限 ?P
屈服极限 ?S
强度极限 ?B
D
E
?P?S
?B受压
在屈服以前，拉、压曲线基本重合 →弹性模量相同
压力 ↑→塑性变形 ↑→不断裂 →无强度极限
拉压对比
拉、压曲线有什么不同？
应力集中：应力分布有差异，局部有峰值
P P截面尺寸变化愈急剧
应力集中程度愈严重
应力集中的概念
⑴ 校核螺纹部分的强度？
⑵ n-n截面的应力？ → 牙根截面
F力向 B点平移
拉力 F→ 拉伸
力矩 100F→ 弯曲
解三种问题,
⑴ 强度校核 ⑵设计截面尺寸 ⑶确定载荷
解,由平衡条件得内力 N=F，
?= N/A=38000／ 218.9
=173.6MPa < [?]
强度足够
例 3— 2（强度校核）
已知 [?] =200MPa,F=38kN
最小截面面积为 218.9mm2,
例 3— 3 （尺寸设计）
例 3— 4（确定载荷）
剪切
五 拉压强度条件 σ= N/A< [?]
等强度概念
2P
P
3P
1-1
2-2
3-3 求内力：
N1=P （拉）
N2=P－ 2P=－ P （压）
N3=P－ 5P=－ 4P （压）
因为 N3＞ N2＞ N1,所以 A3 ＞ A2 ＞ A1
杆为何做成阶梯形状的？
Q
挤压
1, 剪切的概念
螺栓
§ 2— 3 剪切与挤压
Q
许用剪应力 [?],
塑性材料 [? ] =（ 0.6~0.8） [?]
脆性材料 [? ] =（ 0.8~1.0） [?] （拉应力）
剪切强度条件 ? = Q/A ? [? ]
剪力 (切向 ) Q=p
A— 剪切面积
2,剪切实用计算
3、挤压概念及应用计算
挤压强度条件：
?j = Fj/Aj ? [? j]
半圆柱
挤压面
面与面之间相互作用
同时产生挤压
Aj— 挤压面积 取投
影（矩形）面积
矩形
Fj =F
例 3— 6,已知在销联接中 F=15KN,板厚 t=8mm，
［ ?]=60MPa,[?j ]=100MPa,设计销钉直径
许用挤压应力,塑性材料 [?j] =（ 1.5~2.0） [?]
脆性材料 [? j]=（ 0.9 ~ 1.5) [? ]
★ 注意区分剪切和挤压的异同：
同：作用力大小相同
异：面积不同
许用应力不同
破坏形式不同挤压：压溃剪切：剪断
若材料不同取挤压物体中许用应力最小者
取 d=14mm
扭转
轮 (铸铁 )
键 (钢 )轴（钢）
强度最小的先被压溃
例题
T=2KN.m,d= 70mm,轮 [?j ]=100MPa,平键
[?]=60MPa [?j ]=120MPa,b× h=20× 12mm
?j =2Q/lh≤ [?j ]
设计键长,
l ? 2Q／ h[?j ]=2× 57.1× 103／ (12× 100)≈95mm
可取 键长为 100mm
扭转
Q=2T／ d解,
分析题
已知 P=200KN,t=20mm,螺栓 [?]=80MPa,
[?j ]=200MPa,求螺栓的最小直径
?j =P/td≤ [?j ] → d≥P /t [?j ] → d ≥50mm
取小的 d≥57mm为 设计值
扭转
解,
⑴ 按螺栓的剪切强度计算
Q=P → P／ A≤ [?] → d2≥4P／ π[?]
→d ≥56.4mm
⑵ 按螺栓的挤压强度计算
P
t
一 扭转的概念
轴 —— 主要发生扭转变形的杆件
扭转变形 —— 扭转角 υ
变形特点, 杆件轴线不变，横截面
绕轴线作相对转动
§ 2— 4 扭 转
二 外力偶矩,扭矩及扭矩图
T=9.55P／ n ( kN.m)
P— 功率 kW
n— 转速 r／ min
1 外力偶矩的计算
2 扭矩及扭矩图
内力偶矩,Mn=T
n
n
T
T
Mn
T
Mn T
右段或左段的平衡条件
内力偶矩 —— 扭矩
符号
扭矩的正负 右手螺旋规则判别 (只需一边 )
x
T扭矩图,
(+)
(-)
例 3— 8,等圆传动轴，功率 PA=221KW,PB=148KW,
PC=73KW转速 n=300r/min,求作各截面扭矩图
|TA | =9.55PA/n=7035Nm
|TB | =9.55PB/n=4711Nm
|TC | =9.55PC/n
=2324Nm
M1=| TC |,
M2= -| TB |
解, 1、求力矩
2、画扭矩图
1 剪切变形
变形前后变化情况：
▲ 各圆周线形状、尺寸和间距不变，只绕轴线转动
▲各母线仍为直线，但倾斜了一个角度 平面假设
▲ 小方格在轴向和周向无伸长缩短，只有两边发生相对错动
→ 只有剪应力无正应力
三 圆轴扭转时横截面上的应力
剪应力分布：
横截面上各点的剪应力与该点的截面中心的距离
成正比，沿半径方向线性分布，垂直半径方向，与
扭矩转向一致。
2 扭转剪应力分析
c点的变形 cc' ＞ b点的变形 bb'
c点的剪应力 τ ＞ b点的剪应力 τ
四 最大剪应力计算
?max=Mn/WP ( Pa)
WP—— 抗扭截面模量 单位,mm3或 cm3
实心圆轴：
空心圆轴：
)1(
16
2.0
16
4
3
3
3
?
?
?
??
??
d
W
d
d
W
P
P
α= d／ D
空心杆扭转应力大
五 扭转强度计算
?max=?Mn ? max /WP ( Pa)
圆轴扭转强度条件
? max ? [?] （最危险）
塑 [?]=(0.5~0.6)[?]
脆 [?]=(0.8~1.0)[?]
例
d
D
例题 3— 9
已知：汽车传动轴 (空心轴） D=90mm,壁厚 2.5mm,
[?] =60MPa,Tmax =1.5KNM,校核其强度
?max=Mn/WP
WP=?D3(1-?4)/16?=(90-5)/90=0.944
WP= ?903 × 10-9(1-0.9444)/16
截面积比 空心轴 /实心轴 = 0.31
计算得 ?max =50.9MPa≤ [?]
⑵ 实心轴
?=0，同样的 ?max反算 D=53.1mm
解：⑴校核空心轴
空心轴
轻、省材
例 3— 10,
已知 [?] =60MPa,Da=80mm,Dc=50mm 求最大外力偶
解,分别计算两截面允许外力偶，取较小者
刚度
Mn / WP ? [?]
Mn a ? WPa [?]／ 2
=(π× 803／ 16)× 60／ 2
=3015.928≈3016(N.m)
Mn c ? WPc [?]
=(π× 503／ 16)× 60
=1472.621≈1472 (N.m)
Tmax = Mn c =1472 (N.m)
若计算得 Mn a =2800 N.m,问 Tmax =？1400 N.m
六 圆轴扭转时的刚度计算
?max= Mn max /GIP ? [?] （ ° /m）
刚度：抵抗变形的能力。刚度越大，变形越小。
GIP —— 扭转刚度
刚度条件：变形小于许用值
[?]与机器类型有关，可参考手册查取
IP —— 极惯性矩
IP =?D4(1-?4)/32
简支梁
悬臂梁
一 平面弯曲的概念
梁 —— 主要发生弯曲变形的杆件1 弯曲的概念
§ 2— 5 弯 曲
外伸梁
2 平面弯曲 外力作用在纵向对称面内
梁的轴线在
外力作用平面
内弯曲成平面
曲线
二 梁的内力、弯矩图 ）
弯矩：
?MC=0 M = FAx -F1(x-a)
1 梁的内力：
剪力 Q与弯矩 M
1FF A ?
在 m— m截面内：
剪力,∑F=0 Q=FA－ F1
2 Q与 M的正负判别
例 3— 12,求 n-n截面的弯矩
研究左边
?MC=0
M- FA × 0.8=0
得 M=5KNm
?MC=0
FB × 3.2-M- F× 0.7=0
得 M=5KNm
弯矩有符号
研究右边呢？
3 弯矩图
解 1 求支反力,
?MB=0 -FAl +Fb= 0
?F=0 FA+FB+F=0
得 FA=Fb/l,FB=Fa/l
2 弯矩方程：
AC段,M1=x1FA=bx1F／ l
BC段,M2=x2FB =ax2F／ l
C处,Mmax=abF/l
弯矩的符号,使凹面向上的为正
—— 梁上各段的弯矩的大小和变化图
例 3— 14 画出简支梁的弯矩图
3 画出弯矩图 （比例）
画弯矩图的基本步骤
弯矩方程,M=xFa
按比例作弯矩图可很快
求得梁上任意点弯矩，
以便进行梁的强度校核
a
a 点的弯矩 Ma=cd× μm
c
d
)(
).(
mml
mmNM
m ??
⑴ 求支反力
⑵列弯矩方程
⑶ 取比例 μm作弯矩图
解,⑴求支反力
?M=0,得 FA=FB=M0/l
⑵ 列弯矩方程
M1（ x） =xFA
M2（ x） =－（ l－ x） FB
M1max= aM0/l
M2max=－ bM0/l
M1max+（－ M2max ） =M0
应力
例 3— 15,画弯矩图
⑶ 选择比例画弯矩图
在 C点弯矩有突变
直线
应力练习：请作弯矩图
⑴ 求支反力
?F=0,得 RA=RB= l q/2
⑵ 列弯矩方程
M（ x） =RAx－ qx2／ 2
=qlx／ 2－ qx2／ 2
Mmax= ql2／ 8
弯矩为二次函数，弯矩图应
为曲线
例：画弯矩图
⑶ 选择比例画弯矩图
在 C点弯矩最大
三 纯弯曲引起的正应力
拉、压应变
1 正应力的分布
?max=M/Wn (Pa)
Wn—— 抗弯截面模量 表 3— 1 注意矩形截面
例
拉应力
压应力
2 最大正应力的计算公式
抗弯截面模量,
矩形截面：
例
拉应力
压应力
?+max =M /W+n?[? +]
? -max =M /W-n ?[? -]
)6(6
22
)(
hbbhW
yx ?
圆形截面：
32
3D
W n ??
圆环形截面,? ?
4
3
132 ?? ?? DWn
其它形状的见有关手册
强度条件,?=|M| /Wn ?[?]
四 梁弯曲时的强度计算
例 3— 16题,已知 a=310mm,l=1440mm,F=15.15KN,
[?] =100MPa,截面尺寸 D=100mm,d=80mm
1)求支反力,FA=FB=F
2) 作弯矩图
|M|max= aF=4696.5Nm
3) 计算 Wn = ?D3(1-?4)/32
α=80／ 100
4) 强度校核：
?max=|M| max /Wn
=81 MPa<[?]
安全
刚度
五 梁的刚度概念
挠度 ymax ? [y](m)
转角 ?max ? [?](rad )
问题：
同时有弯曲扭
转，如何校核？
分别计算扭转 ?,弯曲 ?
][4 22 ???? ???xd
][3 22 ???? ???xd
强度条件：
一 组合变形下强度计算
1 拉压与弯曲组合变形时
? ??? ???
nW
M
A
N
m a x
2 扭转与弯曲组合变形时
强度条件：
§ 2— 6 构件强度计算的几个问题
连杆
变载荷、启动、停止、瞬时冲击
1 变载荷 —— 动荷应力
循环特征 r = ?min/ ?max
对称循环 r = -1
A
二 动荷应力和交变应力
连杆是二力杆，应力大小随位置变
2 交变应力的概念
脉动循环 r = 0
非对称
升降机
F1 F2
力平衡关系：
计算 P：
PF PF
PFF
FF
73.052.0
30c o s45c o s
30s i n45s i n
21
21
21
??
????
???
? ? ? ?
? ? ? ? NP A0, 7 3 P
A
F
N 6 1 9 9 3P A0, 5 2 P
A
F
4 1 0 0 0222
2
2
111
1
1
???
???
??
??
取 P= 41 kN
√ √
F
F
F=T／ D
mm
D
TFd 54.944
m a xm a x
???
????
题 6.5
题 7.11
M Pa
d
W p
23
16
70
16
m a x
33
4
4
?
?
??
?
??
危险截面?
危险截面
aP㈠ ㈩
㈩ ㈠
㈩
3
qa3
5qa
3
2qa3
4 2qa
3
p
3
p
㈩
㈠
3
pa
3
pa
㈠
2
2ql
ql
2
2ql
2
2qa
2
2qa
㈩
㈠
qa43qa
4
9
qa67qa611
㈠
㈩
221qa
2
32
9 qa
2
3a
4
3a
6
11a
㈩
36
121 2qa
2qa
㈩
KN 6 3 6.32 2 0 01 0 0 08 ???
M Pa
W
M
bh
W
Z
I
B
Z
928.12
15075
10636.36
6
15075
6
2
6
m a x
22
?
?
??
??
?
??
?
A B
题 8.8 解：
⑴ 支反力
RA
RB =8－ 3.636=4.364 KN
⑵ 弯矩及弯矩图
MI = RA × 1000=3.636 KN.m
⑶ 最大应力 σBmax
? ?
mm
M
b
bbbbh
W Z
8.32
1604
1075.36
4
6
6
4
6
)2(
6
3
6
3
322
?
?
??
??
?
?
??
?
题 8.13 解：
⑴ 支反力
RA =3.75 KN
RB =11.25 KN
⑵ 弯矩及弯矩图
MD = RA × 1=3.75 KN.m
MB =q× 1000／ 2=2.5 KN.m
⑶ 求截面尺寸
矩形,
㈩
1.6 m
㈩
? ?
mm
M
d
d
W Z
62
160
1075.33232
32
3
6
3
3
?
?
??
??
?
???
?
题 8.13 解：
⑴ 支反力
RA =3.75 KN
RB =11.25 KN
⑵ 弯矩及弯矩图
MD = RA × 1=3.75 KN.m
MB =q× 1000／ 2=2.5 KN.m
⑶ 求截面尺寸
圆形,
1.6 m
材 料 力 学
杆件（长度远大于截面）变形的基本形式：
拉伸、压缩、剪切、扭转、弯曲
许用应力 [?]= ?lim /安全系数
? = N/A ? [?]
强度条件
工作应力 ≤许用应力
拉压
剪切
扭转
弯曲
?m = Q/A ? [? m]
挤压 ?bs = Pbs/Abs ? [? bs]
?max=T/WP ? [?]
?=M /WZ ?[?]
一 构件正常工作应满足的基本要求：
1）足够的 强度 （抵抗破断的能力）
2）足够的 刚度 （抵抗变形的能力）
3）足够的 稳定性 （保持原有平衡形式的能力 ）
二 基本假设：均匀、连续性假设、各向同性假设
杆件（长度远大于截面）变形的基本形式：
拉伸、压缩、剪切、扭转、弯曲
内力, 由外力引起的材料微粒之间的相互作用力
§ 2— 1 基本概念
1 拉伸或压缩（杆）
外力作用线与杆的轴线重合
3 剪切
外力大小相等方向相反，
作用线相距很近。
2 弯曲 (梁 )
外力垂直于杆件轴线
拉伸
弯曲
三 基本变形种类
4 扭转 (轴 )
外力为力偶,作用面垂直杆件轴线 。
F F
一 轴向拉伸和压缩的概念
受力特点：外力作用线与杆的轴线重合
主要变形：伸长或缩短 →拉（压）杆
二 拉伸和压缩时的内力、截面法和轴力
F F
F
N
2 截面法和轴力
拉为正
压为负
1 内力, 外力作用下杆件内相互作用力的改变量
外力 ↑→内力 ↑，内力过极限 →破坏
N=F
N是右段对左段的内力 →轴力
§ 2— 2 轴向拉伸和压缩
F F
F
N
N=F
3 用截面法求内力
例：求截面 1-1,2-2
上的内力和约束端反力
F1F2
1
1
2
2
F1N1
取截面 2-2右端研究，
根据力平衡条件得 N1=F1
取截面 1-1右端研究，
根据力平衡条件得
N2=F1- F2
F1F2
N3
取截面 1-1左端研究，
根据力平衡条件得
N3= N′2 = F1- F2
N′2
N2
拉为正
压为负
约束端反力, R=N3
1 应力 ?（ τ）, 单位面积上的内力。
度量截面分布内力的集度（假设内力分布均匀）
2 拉、压应力的计算
?=N/A
N—— 截面上的内力； A—— 截面的面积。
例,F=100?N,杆件截面为圆形，
半径为 10mm和 15mm，
计算两截面上的应力 F F
1 2
21
解,1） N1=N2=F
2） ?1=N1/0.012?=F/ 0.012?=1000000Pa=1MPa
?2=N2/0.0152?=F/ 0.0152?=0.44MPa
试验确定
单位,(帕 Pa:N/m2)
兆帕 MPa,106N/m2 （多用）
三 应力的概念、拉压应力
四 材料在拉伸和压缩时的力学性质
0
F-△ L曲线
F
△ L
?- ?曲线
? = F/A ?（应变 ） = △ L/L
弹性阶段 OA(变形可恢复 )
屈服阶段 BC（裂纹）
强化阶段 CD
局部变形阶段 DE
D
E
脆性材料无明显的屈服和颈缩现象 无屈服极限
低碳钢受拉
?
?
Q235钢受拉
比例 (弹性 )极限 ?P
屈服极限 ?S
强度极限 ?B
D
E
?P?S
?B
许用应力 [?]= ?lim /安全系数 见书 p36
极限应力 ?lim,开始失效的最小应力
★ 塑性材料 ?lim =?S，
脆性材料 ?lim =?B
材料的应力极限和许用应力
? = N/A ? [?]
强度条件
?
?
Q235钢受拉
比例 (弹性 )极限 ?P
屈服极限 ?S
强度极限 ?B
D
E
?P?S
?B受压
在屈服以前，拉、压曲线基本重合 →弹性模量相同
压力 ↑→塑性变形 ↑→不断裂 →无强度极限
拉压对比
拉、压曲线有什么不同？
应力集中：应力分布有差异，局部有峰值
P P截面尺寸变化愈急剧
应力集中程度愈严重
应力集中的概念
⑴ 校核螺纹部分的强度？
⑵ n-n截面的应力？ → 牙根截面
F力向 B点平移
拉力 F→ 拉伸
力矩 100F→ 弯曲
解三种问题,
⑴ 强度校核 ⑵设计截面尺寸 ⑶确定载荷
解,由平衡条件得内力 N=F，
?= N/A=38000／ 218.9
=173.6MPa < [?]
强度足够
例 3— 2（强度校核）
已知 [?] =200MPa,F=38kN
最小截面面积为 218.9mm2,
例 3— 3 （尺寸设计）
例 3— 4（确定载荷）
剪切
五 拉压强度条件 σ= N/A< [?]
等强度概念
2P
P
3P
1-1
2-2
3-3 求内力：
N1=P （拉）
N2=P－ 2P=－ P （压）
N3=P－ 5P=－ 4P （压）
因为 N3＞ N2＞ N1,所以 A3 ＞ A2 ＞ A1
杆为何做成阶梯形状的？
Q
挤压
1, 剪切的概念
螺栓
§ 2— 3 剪切与挤压
Q
许用剪应力 [?],
塑性材料 [? ] =（ 0.6~0.8） [?]
脆性材料 [? ] =（ 0.8~1.0） [?] （拉应力）
剪切强度条件 ? = Q/A ? [? ]
剪力 (切向 ) Q=p
A— 剪切面积
2,剪切实用计算
3、挤压概念及应用计算
挤压强度条件：
?j = Fj/Aj ? [? j]
半圆柱
挤压面
面与面之间相互作用
同时产生挤压
Aj— 挤压面积 取投
影（矩形）面积
矩形
Fj =F
例 3— 6,已知在销联接中 F=15KN,板厚 t=8mm，
［ ?]=60MPa,[?j ]=100MPa,设计销钉直径
许用挤压应力,塑性材料 [?j] =（ 1.5~2.0） [?]
脆性材料 [? j]=（ 0.9 ~ 1.5) [? ]
★ 注意区分剪切和挤压的异同：
同：作用力大小相同
异：面积不同
许用应力不同
破坏形式不同挤压：压溃剪切：剪断
若材料不同取挤压物体中许用应力最小者
取 d=14mm
扭转
轮 (铸铁 )
键 (钢 )轴（钢）
强度最小的先被压溃
例题
T=2KN.m,d= 70mm,轮 [?j ]=100MPa,平键
[?]=60MPa [?j ]=120MPa,b× h=20× 12mm
?j =2Q/lh≤ [?j ]
设计键长,
l ? 2Q／ h[?j ]=2× 57.1× 103／ (12× 100)≈95mm
可取 键长为 100mm
扭转
Q=2T／ d解,
分析题
已知 P=200KN,t=20mm,螺栓 [?]=80MPa,
[?j ]=200MPa,求螺栓的最小直径
?j =P/td≤ [?j ] → d≥P /t [?j ] → d ≥50mm
取小的 d≥57mm为 设计值
扭转
解,
⑴ 按螺栓的剪切强度计算
Q=P → P／ A≤ [?] → d2≥4P／ π[?]
→d ≥56.4mm
⑵ 按螺栓的挤压强度计算
P
t
一 扭转的概念
轴 —— 主要发生扭转变形的杆件
扭转变形 —— 扭转角 υ
变形特点, 杆件轴线不变，横截面
绕轴线作相对转动
§ 2— 4 扭 转
二 外力偶矩,扭矩及扭矩图
T=9.55P／ n ( kN.m)
P— 功率 kW
n— 转速 r／ min
1 外力偶矩的计算
2 扭矩及扭矩图
内力偶矩,Mn=T
n
n
T
T
Mn
T
Mn T
右段或左段的平衡条件
内力偶矩 —— 扭矩
符号
扭矩的正负 右手螺旋规则判别 (只需一边 )
x
T扭矩图,
(+)
(-)
例 3— 8,等圆传动轴，功率 PA=221KW,PB=148KW,
PC=73KW转速 n=300r/min,求作各截面扭矩图
|TA | =9.55PA/n=7035Nm
|TB | =9.55PB/n=4711Nm
|TC | =9.55PC/n
=2324Nm
M1=| TC |,
M2= -| TB |
解, 1、求力矩
2、画扭矩图
1 剪切变形
变形前后变化情况：
▲ 各圆周线形状、尺寸和间距不变，只绕轴线转动
▲各母线仍为直线，但倾斜了一个角度 平面假设
▲ 小方格在轴向和周向无伸长缩短，只有两边发生相对错动
→ 只有剪应力无正应力
三 圆轴扭转时横截面上的应力
剪应力分布：
横截面上各点的剪应力与该点的截面中心的距离
成正比，沿半径方向线性分布，垂直半径方向，与
扭矩转向一致。
2 扭转剪应力分析
c点的变形 cc' ＞ b点的变形 bb'
c点的剪应力 τ ＞ b点的剪应力 τ
四 最大剪应力计算
?max=Mn/WP ( Pa)
WP—— 抗扭截面模量 单位,mm3或 cm3
实心圆轴：
空心圆轴：
)1(
16
2.0
16
4
3
3
3
?
?
?
??
??
d
W
d
d
W
P
P
α= d／ D
空心杆扭转应力大
五 扭转强度计算
?max=?Mn ? max /WP ( Pa)
圆轴扭转强度条件
? max ? [?] （最危险）
塑 [?]=(0.5~0.6)[?]
脆 [?]=(0.8~1.0)[?]
例
d
D
例题 3— 9
已知：汽车传动轴 (空心轴） D=90mm,壁厚 2.5mm,
[?] =60MPa,Tmax =1.5KNM,校核其强度
?max=Mn/WP
WP=?D3(1-?4)/16?=(90-5)/90=0.944
WP= ?903 × 10-9(1-0.9444)/16
截面积比 空心轴 /实心轴 = 0.31
计算得 ?max =50.9MPa≤ [?]
⑵ 实心轴
?=0，同样的 ?max反算 D=53.1mm
解：⑴校核空心轴
空心轴
轻、省材
例 3— 10,
已知 [?] =60MPa,Da=80mm,Dc=50mm 求最大外力偶
解,分别计算两截面允许外力偶，取较小者
刚度
Mn / WP ? [?]
Mn a ? WPa [?]／ 2
=(π× 803／ 16)× 60／ 2
=3015.928≈3016(N.m)
Mn c ? WPc [?]
=(π× 503／ 16)× 60
=1472.621≈1472 (N.m)
Tmax = Mn c =1472 (N.m)
若计算得 Mn a =2800 N.m,问 Tmax =？1400 N.m
六 圆轴扭转时的刚度计算
?max= Mn max /GIP ? [?] （ ° /m）
刚度：抵抗变形的能力。刚度越大，变形越小。
GIP —— 扭转刚度
刚度条件：变形小于许用值
[?]与机器类型有关，可参考手册查取
IP —— 极惯性矩
IP =?D4(1-?4)/32
简支梁
悬臂梁
一 平面弯曲的概念
梁 —— 主要发生弯曲变形的杆件1 弯曲的概念
§ 2— 5 弯 曲
外伸梁
2 平面弯曲 外力作用在纵向对称面内
梁的轴线在
外力作用平面
内弯曲成平面
曲线
二 梁的内力、弯矩图 ）
弯矩：
?MC=0 M = FAx -F1(x-a)
1 梁的内力：
剪力 Q与弯矩 M
1FF A ?
在 m— m截面内：
剪力,∑F=0 Q=FA－ F1
2 Q与 M的正负判别
例 3— 12,求 n-n截面的弯矩
研究左边
?MC=0
M- FA × 0.8=0
得 M=5KNm
?MC=0
FB × 3.2-M- F× 0.7=0
得 M=5KNm
弯矩有符号
研究右边呢？
3 弯矩图
解 1 求支反力,
?MB=0 -FAl +Fb= 0
?F=0 FA+FB+F=0
得 FA=Fb/l,FB=Fa/l
2 弯矩方程：
AC段,M1=x1FA=bx1F／ l
BC段,M2=x2FB =ax2F／ l
C处,Mmax=abF/l
弯矩的符号,使凹面向上的为正
—— 梁上各段的弯矩的大小和变化图
例 3— 14 画出简支梁的弯矩图
3 画出弯矩图 （比例）
画弯矩图的基本步骤
弯矩方程,M=xFa
按比例作弯矩图可很快
求得梁上任意点弯矩，
以便进行梁的强度校核
a
a 点的弯矩 Ma=cd× μm
c
d
)(
).(
mml
mmNM
m ??
⑴ 求支反力
⑵列弯矩方程
⑶ 取比例 μm作弯矩图
解,⑴求支反力
?M=0,得 FA=FB=M0/l
⑵ 列弯矩方程
M1（ x） =xFA
M2（ x） =－（ l－ x） FB
M1max= aM0/l
M2max=－ bM0/l
M1max+（－ M2max ） =M0
应力
例 3— 15,画弯矩图
⑶ 选择比例画弯矩图
在 C点弯矩有突变
直线
应力练习：请作弯矩图
⑴ 求支反力
?F=0,得 RA=RB= l q/2
⑵ 列弯矩方程
M（ x） =RAx－ qx2／ 2
=qlx／ 2－ qx2／ 2
Mmax= ql2／ 8
弯矩为二次函数，弯矩图应
为曲线
例：画弯矩图
⑶ 选择比例画弯矩图
在 C点弯矩最大
三 纯弯曲引起的正应力
拉、压应变
1 正应力的分布
?max=M/Wn (Pa)
Wn—— 抗弯截面模量 表 3— 1 注意矩形截面
例
拉应力
压应力
2 最大正应力的计算公式
抗弯截面模量,
矩形截面：
例
拉应力
压应力
?+max =M /W+n?[? +]
? -max =M /W-n ?[? -]
)6(6
22
)(
hbbhW
yx ?
圆形截面：
32
3D
W n ??
圆环形截面,? ?
4
3
132 ?? ?? DWn
其它形状的见有关手册
强度条件,?=|M| /Wn ?[?]
四 梁弯曲时的强度计算
例 3— 16题,已知 a=310mm,l=1440mm,F=15.15KN,
[?] =100MPa,截面尺寸 D=100mm,d=80mm
1)求支反力,FA=FB=F
2) 作弯矩图
|M|max= aF=4696.5Nm
3) 计算 Wn = ?D3(1-?4)/32
α=80／ 100
4) 强度校核：
?max=|M| max /Wn
=81 MPa<[?]
安全
刚度
五 梁的刚度概念
挠度 ymax ? [y](m)
转角 ?max ? [?](rad )
问题：
同时有弯曲扭
转，如何校核？
分别计算扭转 ?,弯曲 ?
][4 22 ???? ???xd
][3 22 ???? ???xd
强度条件：
一 组合变形下强度计算
1 拉压与弯曲组合变形时
? ??? ???
nW
M
A
N
m a x
2 扭转与弯曲组合变形时
强度条件：
§ 2— 6 构件强度计算的几个问题
连杆
变载荷、启动、停止、瞬时冲击
1 变载荷 —— 动荷应力
循环特征 r = ?min/ ?max
对称循环 r = -1
A
二 动荷应力和交变应力
连杆是二力杆，应力大小随位置变
2 交变应力的概念
脉动循环 r = 0
非对称
升降机
F1 F2
力平衡关系：
计算 P：
PF PF
PFF
FF
73.052.0
30c o s45c o s
30s i n45s i n
21
21
21
??
????
???
? ? ? ?
? ? ? ? NP A0, 7 3 P
A
F
N 6 1 9 9 3P A0, 5 2 P
A
F
4 1 0 0 0222
2
2
111
1
1
???
???
??
??
取 P= 41 kN
√ √
F
F
F=T／ D
mm
D
TFd 54.944
m a xm a x
???
????
题 6.5
题 7.11
M Pa
d
W p
23
16
70
16
m a x
33
4
4
?
?
??
?
??
危险截面?
危险截面
aP㈠ ㈩
㈩ ㈠
㈩
3
qa3
5qa
3
2qa3
4 2qa
3
p
3
p
㈩
㈠
3
pa
3
pa
㈠
2
2ql
ql
2
2ql
2
2qa
2
2qa
㈩
㈠
qa43qa
4
9
qa67qa611
㈠
㈩
221qa
2
32
9 qa
2
3a
4
3a
6
11a
㈩
36
121 2qa
2qa
㈩
KN 6 3 6.32 2 0 01 0 0 08 ???
M Pa
W
M
bh
W
Z
I
B
Z
928.12
15075
10636.36
6
15075
6
2
6
m a x
22
?
?
??
??
?
??
?
A B
题 8.8 解：
⑴ 支反力
RA
RB =8－ 3.636=4.364 KN
⑵ 弯矩及弯矩图
MI = RA × 1000=3.636 KN.m
⑶ 最大应力 σBmax
? ?
mm
M
b
bbbbh
W Z
8.32
1604
1075.36
4
6
6
4
6
)2(
6
3
6
3
322
?
?
??
??
?
?
??
?
题 8.13 解：
⑴ 支反力
RA =3.75 KN
RB =11.25 KN
⑵ 弯矩及弯矩图
MD = RA × 1=3.75 KN.m
MB =q× 1000／ 2=2.5 KN.m
⑶ 求截面尺寸
矩形,
㈩
1.6 m
㈩
? ?
mm
M
d
d
W Z
62
160
1075.33232
32
3
6
3
3
?
?
??
??
?
???
?
题 8.13 解：
⑴ 支反力
RA =3.75 KN
RB =11.25 KN
⑵ 弯矩及弯矩图
MD = RA × 1=3.75 KN.m
MB =q× 1000／ 2=2.5 KN.m
⑶ 求截面尺寸
圆形,
1.6 m
材 料 力 学
杆件（长度远大于截面）变形的基本形式：
拉伸、压缩、剪切、扭转、弯曲
许用应力 [?]= ?lim /安全系数
? = N/A ? [?]
强度条件
工作应力 ≤许用应力
拉压
剪切
扭转
弯曲
?m = Q/A ? [? m]
挤压 ?bs = Pbs/Abs ? [? bs]
?max=T/WP ? [?]
?=M /WZ ?[?]
