3.2 矩阵的三角分解法
? 我们知道对矩阵进行一次初等变换，就相
当于用相应的初等矩阵去左乘原来的矩阵。
因此我们这个观点来考察 Gauss消元法用
矩阵乘法来表示，即可得到求解线性方程
组的另一种直接法：矩阵的三角分解。
3.2.1 Gauss消元法的矩阵形式
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1
)2()2(
2
)2()2(
)1()1()1(
)1()1()1(
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......
......
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...............
......
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1
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，其矩阵形式为，，行行
令消零时，将步等价于第
则
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3
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3
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2
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22
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.,,.,,.,,.,,.,,
.,,00
.,,0
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0.,,010
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n
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时，用矩阵步等价于：若同理第
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...............
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...
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1221
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n
n
nn
n
n
n
nn
l
lL
l
l
L
U
a
aa
aaa
aaaa
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因为
以此类推可得
为上三角阵为单位下三角阵，其中
所以
U
1.,,
.,,.,,.,,
1
1
1
.,,).,,(
121
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21
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直接进否对矩阵因此，关键问题在于能
个三角方程：
就等价于解两由此解线性方程组
LU
A
yUx
bLy
UL
A
bx
bx
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)(
3.2.2 Doolittle分解
11
31
31311131
11
21
21211121
1111
23
2322
131211
3231
21
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232221
131211
)3,2,1(1
1
1
1
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u
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u
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llua
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u
uu
uuu
ll
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得由；得由
时：
为例的各元素，以此分解在于如何算出
)(
3
2
233213313333
332332133133
22
123132
322332123132
1321232323132123
1221222222122122
ululau
uululak
u
ula
lulula
ulauuula
ulauuulak
???
????
?
???
????
?????
得
时：由
得由；得由；得时：
Doolittle分解
? 若矩阵 A有分解,A=LU，其中 L为单位下
三角阵,U为上三角阵，则称该分解为
Doolittle分解，可以证明，当 A的各阶顺
序主子式均不为零时,Doolittle分解可以
实现并且唯一。
? A的各阶顺序主子式均不为零，即
),.,,2,1(0
...
.........
...
1
111
nk
aa
aa
A
kkk
k
k
???
Doolittle分解
各元素方法逐行逐列求解用比较等式两边元素的
令
UL
u
uu
uuu
ll
l
aaa
aaa
aaa
nn
n
n
nnn
n
n
,
...
...
1...
1
1
...
...
...
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11211
21
21
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Doolittle分解
。得再由；得由
时：
。得再由；得由
时
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),.,,,3,2(1
2
),.,,,3,2(
),.,,2,1(1
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22
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122221212
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1111
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u
ula
lulula
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k
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k
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iiii
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Doolittle分解
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k
t
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j
j
kkkkkj
knkkkk
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u
u
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Doolittle分解
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ulul
u
u
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，于是由由于计算
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Doolittle分解
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...
...
...
A
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21
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1
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的各位各元素在计算机内存于
即
Doolittle分解
。可获解
得及再由
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例题
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x
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o o l i t t l e 分解求解方程组试用例
例题
。，；，，
，令、分解解：
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6
2
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例题
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例题
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即
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、解方程组
例题
。所以方程组的解为
解得：
解
T
x
xxx
x
x
x
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Doolittle分解
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k
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输出：方程组的解；
和解；
做对；
分解
输入：
3.2.3 对称矩阵的 Cholesky分解
? 在应用数学中，线性方程组大多数的系
数矩阵为对称正定这一性质，因此利用
对称正定矩阵的三角分解式求解对称正
定方程组的一种有效方法，且分解过程
无需选主元，有良好的数值稳定性。
对称矩阵的 Cholesky分解
? A对称,AT=A
A正定,A的各阶顺序主子式均大于零。
即
),.,,2,1(0
...
.........
...
1
111
nk
aa
aa
A
kkk
k
k
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对称矩阵的 Cholesky分解
? 由 Doolittle分解,A有唯一分解
。，也就是所以
，，有即
T
TTTT
TTTT
LLAUL
ULLULULU
LULUALU
??
???
???? )(A
对称矩阵的 Cholesky分解
? 定理 3.2.4 设 A为对称正定矩阵，则存在
唯一分解 A=LDLT，其中 L为单位下三角
阵,D=diag(d1,d2,…,dn)且 di>0(i=1,…,n)
对称矩阵的 Cholesky分解
? 证明,
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n
d
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2
1
1
11
,
A
令
非奇异的上三角阵。
为为单位下三角阵，其中分解为
分解可唯一是对称正定，由因为
对称矩阵的 Cholesky分解
均大于零即
。得由；得；由得故有
的顺序主子式均大于零是正定的，则又因为
n
nnn
ddd
ddddd
dddd
A
,.,,,,
00.,,,,,.,,,,, ;0
000
A
21
212
212111
?????
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对称矩阵的 Cholesky分解
。所以
为单位上三角阵。为对角阵其中
故
L DUA
UD
DUdd
dd
d
d
d
U
n
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....,,,
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2
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1
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?
对称矩阵的 Cholesky分解
。，所以故有
对称，即又因为
TT
TTTT
L DLAUL
ADLUL DUA
A
??
??? )(
推论：设 A为对称正定矩阵，则存在唯一分解
其中 L为具有主对角元素为正数的下三角矩
阵。
TLLA ?
对称矩阵的 Cholesky分解
? 证明,
0,.,,,0,0
))((
4.2.3
),.,,,,(
21
2
1
2
1
21
2
1
???
???
?
n
T
TT
n
dddL
LLLDLDL D LA
dddd i a gD
的主对角元素为其中
则由定理
令
Cholesky分解的求法
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ll
l
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令
则对称正定设
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Cholesky分解的求法
。，得由；，得时：由
。；同理得，得由；，得时：由
22
213132
322232213132
2
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2
22
2
2122
11
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2
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llllla
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Cholesky分解的求法
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有阶行列式推广到
，得时：由
Cholesky分解法
T
T
LLA
yxL
bLy
bAX
c h o l e sk y
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?? 其中
分解法解线性方程组用
Cholesky分解法缺点及优点
优点：可以减少存储单元。
缺点：存在开方运算，可能会出现根号下
负数。
改进 Cholesky分解法
? 改进的 cholesky分解 A=LDLT
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...
...
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113112111
121
3231
21
2
1
121
3231
21
由
改进的 cholesky分解
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)1,.,,2,1(/)(
),.,,,2,1(
)1,.,,2,1(
j
k
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j
j
k
jkkikijij
j
k
ikikii
jij
j
k
jkkikij
nidlad
ijdldlal
niddla
ijdlldla
ji
由此可得
有逐行相乘，并注意到
改进的 cholesky分解
)1,.,,,2,1,.,,,3,2(
,
1
1
1
1
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j
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，
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，则可令为减少计算量
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n
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d
y
d
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d
d
d
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L
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故
即等价于求
分解法解线性方程组用
改进的 cholesky分解算法；；
做对
做对
分解
，输入
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k
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j
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ijij
j
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ikikijij
T
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lcada
d
c
lalcac
ij
ni
L D LA
nibni,ja
改进的 cholesky分解算法
。输出：；；
解；；
解
解
),.,,,2,1()3(
)1,.,,,1(
)2(
),.,,,2(
)1(
.3
1
1
1
1
11
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例题
分解做解：对系数矩阵
算法解方程组
分解试用改进的例
D o o l i t t eA
x
x
x
C h o l e sk e y
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例题
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1
75.11, 7 5
114
1125.0
25.0
1
1125.0
75.175.125.0
114
3125.0
75.175.125.0
114
3225.0
2225.0
114
321
221
114
例题
T
y
by
yyy
y
y
y
L
)3,
4
7
,5(
3,75.1,5
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3
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3
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即
得
得由
例题
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TT
x
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x
x
x
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1
11
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)3,1,
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所以方程的解：
得
得
，由而
? A=LDLT分解，既适合于解对称正定方程
组，也适合求解 A为对称，而各阶顺序主
子式不为零的方程组
? 而对 A=LLT只适合于对称正定方程组
3.2.4 三对角方程组求解的追赶法
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???
即
有，对一切设三对角矩阵
三对角方程组求解的追赶法
),.,,,3,2(
1
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,
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其中
则有分解满足如果
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三对角方程组求解的追赶法
),.,,,2(
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),.,,,,(
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fy
fx
解得
，故有其中
等价于求则求
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三对角方程组求解的追赶法
组的追赶法。以上称为解三对角方程
解得
再由
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y
y
y
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x
x
x
x
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cq
cq
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n
n
n
n
n
n
n
nn
????
三对角方程组求解的追赶法
? 其计算工作量为 5n-4次乘除法。工作量小，
其实现的条件为 qi不为零。有以下定理可得
证三对角矩阵求解的充分性条件。
且追赶法可以实现。非奇异则矩阵
，
且满足形如设三对角矩阵定理
,
|||||,|||)3(
)1,.,,,3,2(||||||)2(
),.,,2,1(0)1(
,1 1 ).2.3(2.2.3
11
A
abcb
nicab
nic
A
nn
iii
i
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????
??
解三对角矩阵线性方程组的追赶法程序框图
3.3 矩阵求逆
的解。
个方程组的为单位向量
，右端项分别均为问题等价于求系数矩阵解
存在，求的逆矩阵非奇异，则设矩阵
),.,,,2,1(
)0,.,,,1,.,,,0,0(
1
1
njA
n
AA
AAA
jj
T
j
j
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e
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矩阵求逆
这就是原地求逆。
个单元，则可节省放的单元，最后仍用来存
如果将个单元还是很困难的。很大时，这但当
个存储单元即可实现，。算法上增加了则
）（）（
式即为顺序消去法知，求解上由
初等变换
21
2
21
||
nAA
nn
nAX
XIIA
J o rd a nG a u ss
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矩阵求逆
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1
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)(
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故
其中
消去法矩阵形式由实现
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??
? 为使求逆过程不断提高求解精度，因此
增加选主元工作，最常用的是选列主元
求逆。因此增加一个数组 Z(n)，记录选
主元的交换号，最后在消元工作完成后，
根据 Z(n)对 A中的元素进行相应的列交换，
得到 A-1
Gauss— Jordan原地求逆法
算法（原地求逆法）
);,.,,2,1()3(;,,0)2(;;;)(||m a x||)1(
),.,,2,1.3
);,.,,,2,1()(.2
),.,,2,1,(.1
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ij
k
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停机输入奇异标志；选主元：
做对；输入：
结束。输出：；做对
),,.,,2,1,(.5
);,.,,,2,1(t h e nif
)(1,.,,,1.4
);,,.,,,2,1()7(
);,,,.,,,2,1,()6(
);,,.,,,2,1()5(;
1
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njia
niaakt
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kjnjaca
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ij
itik
ikkik
kjikijij
kjkkj
kk
kkk
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例题
。求逆矩阵
设矩阵例
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111
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122
111
221
消去法解法一,J o r d a nG a u ss
例题
原地求逆法解法二：
所以得
J o r d a nG a u ss
A
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310
401
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例题
1
1
2
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2
1
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1
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2
1
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2
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例题
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例题
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164
3)1(3)2(
1
3
A
A
zz
所以
，由
与第三列
交换第一列
与第三列
交换第二列
? 我们知道对矩阵进行一次初等变换，就相
当于用相应的初等矩阵去左乘原来的矩阵。
因此我们这个观点来考察 Gauss消元法用
矩阵乘法来表示，即可得到求解线性方程
组的另一种直接法：矩阵的三角分解。
3.2.1 Gauss消元法的矩阵形式
)2()1(
1
)2()2(
2
)2()2(
)1()1()1(
)1()1()1(
)1()1()1(
)1()1()1(
1
31
21
1
)1(
11
)1(
1
1
1
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...............
...............
......
......
......
...............
...............
......
......
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.,,,,,...
10
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,,.,,,,0:1
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，其矩阵形式为，，行行
令消零时，将步等价于第
则
）（）（）（
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)3()3(
3
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3
)3(
33
)2(
2
)2(
23
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22
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1
)1(
13
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12
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11
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2
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2
2
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22
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1.,,00
.,,.,,.,,
0.,,10
0.,,010
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，即有左乘
时，用矩阵步等价于：若同理第
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因为
以此类推可得
为上三角阵为单位下三角阵，其中
所以
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分解。行
直接进否对矩阵因此，关键问题在于能
个三角方程：
就等价于解两由此解线性方程组
LU
A
yUx
bLy
UL
A
bx
bx
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)(
3.2.2 Doolittle分解
11
31
31311131
11
21
21211121
1111
23
2322
131211
3231
21
333231
232221
131211
)3,2,1(1
1
1
1
3,
u
a
llua
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llua
jauuak
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得由；得由
时：
为例的各元素，以此分解在于如何算出
)(
3
2
233213313333
332332133133
22
123132
322332123132
1321232323132123
1221222222122122
ululau
uululak
u
ula
lulula
ulauuula
ulauuulak
???
????
?
???
????
?????
得
时：由
得由；得由；得时：
Doolittle分解
? 若矩阵 A有分解,A=LU，其中 L为单位下
三角阵,U为上三角阵，则称该分解为
Doolittle分解，可以证明，当 A的各阶顺
序主子式均不为零时,Doolittle分解可以
实现并且唯一。
? A的各阶顺序主子式均不为零，即
),.,,2,1(0
...
.........
...
1
111
nk
aa
aa
A
kkk
k
k
???
Doolittle分解
各元素方法逐行逐列求解用比较等式两边元素的
令
UL
u
uu
uuu
ll
l
aaa
aaa
aaa
nn
n
n
nnn
n
n
,
...
...
1...
1
1
...
...
...
222
11211
21
21
n2n1n
22221
12111
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Doolittle分解
。得再由；得由
时：
。得再由；得由
时
),.,,,4,3(
),.,,,3,2(1
2
),.,,,3,2(
),.,,2,1(1
:1
22
1212
22221212
122221212
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1
11111i
1111
ni
u
ula
lulula
njulauuula
k
ni
u
a
llua
njauua
k
ii
iiii
jijjjjj
i
ii
jjjj
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Doolittle分解
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0
0
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,.,,,
k
t
tjktkjkj
k
t
kjtjktjj
j
j
kkkkkj
knkkkk
nkkjulau
uulu
u
u
llla
kjuuuk
）（有
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Doolittle分解
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,.,,,
k
t
kktkitikik
k
t
kkiktkit
kk
k
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nkkk
nkiuulal
ulul
u
u
lla
kill
）（得
，于是由由于计算
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Doolittle分解
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k
t
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ull
uul
uuu
nkuulal
nkinkjulau
...
...
...
A
,.,,,2,1/)(
),.,,,1;,.,,,(
21
22221
11211
1
1
1
1
????
的各位各元素在计算机内存于
即
Doolittle分解
。可获解
得及再由
T
n
ii
n
ij
jijii
i
j
jijii
xxx
nniuxuyx
niylby
UL
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yxby
),.,,,,(
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,.,,,2,1
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例题
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1
x
x
x
o o l i t t l e 分解求解方程组试用例
例题
。，；，，
，令、分解解：
3
2
6
2
4
6521
1
01
001
636
19134
652
1
31
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131211
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uu
uuu
ll
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ALU
例题
LUA
ululauk
uulal
ulau
ulauk
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352132
233213313333
2212313232
13212323
12212222
所以
时：
，时：
例题
T
y
yyy
y
y
y
bLy
)4,1,10(
43034,12019,10
30
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即
得
）解（
、解方程组
例题
。所以方程组的解为
解得：
解
T
x
xxx
x
x
x
yUx
)1,2,3(
3,2,1
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Doolittle分解
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),,.,,,(/)(;/)2
),.,,,)(;)1
)(
),.,,,(/)(
),.,,,(
,.,,,)2
),.,,,,(/)
)(
),.,,,,(),,.,,,,,()1(
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niuxuyxayx
niylbyby
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nkiuulala
nkkjulaua
nk
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LUA
nibnjia
i
ii
n
ij
jijiinmnn
i
j
jijii
kk
k
t
tkitikikik
k
t
tjktkjkjkj
iii
iij
214
121
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32
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1
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1
1
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1
11111
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输出：方程组的解；
和解；
做对；
分解
输入：
3.2.3 对称矩阵的 Cholesky分解
? 在应用数学中，线性方程组大多数的系
数矩阵为对称正定这一性质，因此利用
对称正定矩阵的三角分解式求解对称正
定方程组的一种有效方法，且分解过程
无需选主元，有良好的数值稳定性。
对称矩阵的 Cholesky分解
? A对称,AT=A
A正定,A的各阶顺序主子式均大于零。
即
),.,,2,1(0
...
.........
...
1
111
nk
aa
aa
A
kkk
k
k
???
对称矩阵的 Cholesky分解
? 由 Doolittle分解,A有唯一分解
。，也就是所以
，，有即
T
TTTT
TTTT
LLAUL
ULLULULU
LULUALU
??
???
???? )(A
对称矩阵的 Cholesky分解
? 定理 3.2.4 设 A为对称正定矩阵，则存在
唯一分解 A=LDLT，其中 L为单位下三角
阵,D=diag(d1,d2,…,dn)且 di>0(i=1,…,n)
对称矩阵的 Cholesky分解
? 证明,
?
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n
d
d
d
U
ULLUA
Do o l i t t l e
??
??
???
2
1
1
11
,
A
令
非奇异的上三角阵。
为为单位下三角阵，其中分解为
分解可唯一是对称正定，由因为
对称矩阵的 Cholesky分解
均大于零即
。得由；得；由得故有
的顺序主子式均大于零是正定的，则又因为
n
nnn
ddd
ddddd
dddd
A
,.,,,,
00.,,,,,.,,,,, ;0
000
A
21
212
212111
?????
???????
对称矩阵的 Cholesky分解
。所以
为单位上三角阵。为对角阵其中
故
L DUA
UD
DUdd
dd
d
d
d
U
n
?
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...
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...
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....,,,
*
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11
2
1
1
?
?
?
对称矩阵的 Cholesky分解
。，所以故有
对称，即又因为
TT
TTTT
L DLAUL
ADLUL DUA
A
??
??? )(
推论：设 A为对称正定矩阵，则存在唯一分解
其中 L为具有主对角元素为正数的下三角矩
阵。
TLLA ?
对称矩阵的 Cholesky分解
? 证明,
0,.,,,0,0
))((
4.2.3
),.,,,,(
21
2
1
2
1
21
2
1
???
???
?
n
T
TT
n
dddL
LLLDLDL D LA
dddd i a gD
的主对角元素为其中
则由定理
令
Cholesky分解的求法
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11
333231
232221
131211
21
2221
11
3?
...
......
,
l
ll
lll
lll
ll
l
aaa
aaa
aaa
nl
lll
ll
l
L
LLAA
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nnnn
T
为例。以如何求
令
则对称正定设
?
Cholesky分解的求法
。，得由；，得时：由
。；同理得，得由；，得时：由
22
213132
322232213132
2
212222
2
22
2
2122
11
31
31
11
21
21112121
1111
2
1111
2
1
l
lla
llllla
lalllak
l
a
l
l
a
llla
allak
?
???
?????
???
???
Cholesky分解的求法
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???
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lllal
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n
lallllak
jj
j
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j
k
jkjjjj
i
i
,.,,,2,1,,.,,,1
/)(
)(
,
3
1
1
2
11
1
2
2
1
2
33333
2
33
2
32
2
3133
有阶行列式推广到
，得时：由
Cholesky分解法
T
T
LLA
yxL
bLy
bAX
c h o l e sk y
?
?
?
?
?
?
?? 其中
分解法解线性方程组用
Cholesky分解法缺点及优点
优点：可以减少存储单元。
缺点：存在开方运算，可能会出现根号下
负数。
改进 Cholesky分解法
? 改进的 cholesky分解 A=LDLT
?
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n
n
n
nnnn
T
nnnnnn
d
ldd
ldldd
ldldldd
lll
ll
l
DLLA
d
d
d
D
lll
ll
l
L
??
?
?
?
.........
...
...
...
1...
.........
1
1
1
)(
1...
.........
1
1
1
333
223222
113112111
121
3231
21
2
1
121
3231
21
由
改进的 cholesky分解
?
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????
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1
,.,,,2,1
)1,.,,2,1(/)(
),.,,,2,1(
)1,.,,2,1(
j
k
kikiii
j
j
k
jkkikijij
j
k
ikikii
jij
j
k
jkkikij
nidlad
ijdldlal
niddla
ijdlldla
ji
由此可得
有逐行相乘，并注意到
改进的 cholesky分解
)1,.,,,2,1,.,,,3,2(
,
1
1
1
1
???
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d
c
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j
ij
ij
j
k
jkikijij
j
ij
ijjijij
，
成所以可将上述公式改写
，则可令为减少计算量
T
n
n
n
T
d
y
d
y
d
y
yD
d
d
d
D
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yx
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),.,,,,(
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故
即等价于求
分解法解线性方程组用
改进的 cholesky分解算法；；
做对
做对
分解
，输入
?
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????
??
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??
1
1
1
1
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1,.,,,2,1)1(
,.,,,3,2
.2
);,.,,2,1(),.,,,2,1(.1
i
k
ikikiiiii
j
ij
ijij
j
k
ikikijij
T
iij
lcada
d
c
lalcac
ij
ni
L D LA
nibni,ja
改进的 cholesky分解算法
。输出：；；
解；；
解
解
),.,,,2,1()3(
)1,.,,,1(
)2(
),.,,,2(
)1(
.3
1
1
1
1
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nixl
d
y
x
d
y
x
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niylbyby
bLy
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ik
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i
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n
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k
kikii
bx
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例题
分解做解：对系数矩阵
算法解方程组
分解试用改进的例
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x
x
x
C h o l e sk e y
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例题
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25.0
1
1
75.11, 7 5
114
1125.0
25.0
1
1125.0
75.175.125.0
114
3125.0
75.175.125.0
114
3225.0
2225.0
114
321
221
114
例题
T
y
by
yyy
y
y
y
L
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4
7
,5(
3,75.1,5
6
3
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1
321
3
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例题
T
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x
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xxx
x
x
x
DLD
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1,2,3
3
1
25.1
1
11
25.025.01
)3,1,
4
5
(
123
3
2
1
11
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???
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所以方程的解：
得
得
，由而
? A=LDLT分解，既适合于解对称正定方程
组，也适合求解 A为对称，而各阶顺序主
子式不为零的方程组
? 而对 A=LLT只适合于对称正定方程组
3.2.4 三对角方程组求解的追赶法
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cab
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222
11
,01|i|)(
???
即
有，对一切设三对角矩阵
三对角方程组求解的追赶法
),.,,,3,2(
1
1
1
1
,
1
1
11
11
22
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其中
则有分解满足如果
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三对角方程组求解的追赶法
),.,,,2(
1
1
1
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),.,,,,(
1
11
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2
1
3
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3
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解得
，故有其中
等价于求则求
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三对角方程组求解的追赶法
组的追赶法。以上称为解三对角方程
解得
再由
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)1,.,,,1(
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xcy
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x
x
x
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n
n
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n
n
n
n
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三对角方程组求解的追赶法
? 其计算工作量为 5n-4次乘除法。工作量小，
其实现的条件为 qi不为零。有以下定理可得
证三对角矩阵求解的充分性条件。
且追赶法可以实现。非奇异则矩阵
，
且满足形如设三对角矩阵定理
,
|||||,|||)3(
)1,.,,,3,2(||||||)2(
),.,,2,1(0)1(
,1 1 ).2.3(2.2.3
11
A
abcb
nicab
nic
A
nn
iii
i
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????
??
解三对角矩阵线性方程组的追赶法程序框图
3.3 矩阵求逆
的解。
个方程组的为单位向量
，右端项分别均为问题等价于求系数矩阵解
存在，求的逆矩阵非奇异，则设矩阵
),.,,,2,1(
)0,.,,,1,.,,,0,0(
1
1
njA
n
AA
AAA
jj
T
j
j
ex
e
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矩阵求逆
这就是原地求逆。
个单元，则可节省放的单元，最后仍用来存
如果将个单元还是很困难的。很大时，这但当
个存储单元即可实现，。算法上增加了则
）（）（
式即为顺序消去法知，求解上由
初等变换
21
2
21
||
nAA
nn
nAX
XIIA
J o rd a nG a u ss
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矩阵求逆
11
1
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)(
)(
)(
)(
)(
1
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...
)(
1
)(
1
...1
...
:
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a
ki
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l
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l
L
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J o r d a nGa u s s
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故
其中
消去法矩阵形式由实现
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? 为使求逆过程不断提高求解精度，因此
增加选主元工作，最常用的是选列主元
求逆。因此增加一个数组 Z(n)，记录选
主元的交换号，最后在消元工作完成后，
根据 Z(n)对 A中的元素进行相应的列交换，
得到 A-1
Gauss— Jordan原地求逆法
算法（原地求逆法）
);,.,,2,1()3(;,,0)2(;;;)(||m a x||)1(
),.,,2,1.3
);,.,,,2,1()(.2
),.,,2,1,(.1
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lkkkik
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停机输入奇异标志；选主元：
做对；输入：
结束。输出：；做对
),,.,,2,1,(.5
);,.,,,2,1(t h e nif
)(1,.,,,1.4
);,,.,,,2,1()7(
);,,,.,,,2,1,()6(
);,,.,,,2,1()5(;
1
)4(
njia
niaakt
kZtnk
kiniaca
kjkinjiaaaa
kjnjaca
a
ca
ij
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ikkik
kjikijij
kjkkj
kk
kkk
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例题
。求逆矩阵
设矩阵例
1
122
111
221
1.3.3
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A
A
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011
001
520
310
221
100
010
001
122
111
221
消去法解法一,J o r d a nG a u ss
例题
原地求逆法解法二：
所以得
J o r d a nG a u ss
A
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120
351
461
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001
120
011
021
100
310
401
1
例题
1
1
2
5
1
2
1
2
1
0
2
1
2
1
1
2
1
2
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11
2
1
01
2
1
1
2
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221
111
2
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1
2
1
221
111
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2
1
3)1(1)1(
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例题
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2
2
1
0
2
1
2
5
1
2
1
311
2
1
0
2
1
2
5
1
2
1
2
1
1
2
1
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例题
3
2
3
201
513
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2
5
13
314
201
2
5
1
2
1
311
23)3(3)3(
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例题
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120
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120
351
461
021
153
164
3)1(3)2(
1
3
A
A
zz
所以
，由
与第三列
交换第一列
与第三列
交换第二列
