第 4章 函数逼近的插值法
与曲线拟和法
引言
许多实际问题都用函数 来表示某种内在规律的数量
关系,其中相当一部分函数是通过实验或观测得到的,虽然
在某个区间 [a,b]上是存在的，有的还是连续的，但却只能
给出 [a,b]上一系列点
这只是一张函数表；有的函数虽然有解析表达式,但由于计
算复杂,使用不方便,通常也构造一个函数表。如三角函数表、
对数表、平方根表、立方根表等等。
)(xfy ?
)(xf
。的函数值 ),..,,2,1,0()( nixfyx iii ??
引言
的插值函数。
关于节点为为节点，称
。且保持
找函数时未知的。因此就想寻但
在这些点的情况：它反映客观存在的函数
科学实验得到数据：
),.,,,2,1,0()()(
),.,,,2,1,0()()(
)()()(
),.,,,1,0()(
)(
),,.,,,2,1,0(),(
nixxfxx
niyxfx
xfxxf
nixfy
xfy
niyx
ii
iii
ii
ii
?
???
?
??
?
?
?
?
?
4.1 Lagrange插值法
我们希望根据给定的函数表，做一个既反映 f ( x )
的特性，又便于计算的简单函数
()x?
近似与 f(x ),通常
选一类较简单的代数多项式或分段代数多项式来做
()x?
Lagrange插值法
令
()x?
=
1
01
nn
na x a x a
?? ? ? ?…
且
( ) ( )i i ix f x y? ??
(i= 0,1,2,…, n)
如何构造
()x?
？
)( xL n
构造插值基函数
引理 1 设在区间 [a,b]上有 n+1个互异节点,
如果 n次多项式 满足
则
? ?0nix
0
1( ) { ( 4.1.2)
ij
j i i jlx
?
??
0
( ) ( 4, 1, 3 )
n
i
j
i ji
xxlx
xx?
??
??
)(xlj
证明, 求
()jlx
,n 次多项式，满足条件
{ 0 1 1 10 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 ( )
j j j j j j j n
jj
l x l x l x l x l x
lx
??
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
?
即
0
{ 1()ji jiijlx ???
如
0 ()lx
满足
0 1 0 2 0( ) ( ) ( ) 0nl x l x l x? ? ? ? ? ? ?
这表明 该方程有 n 个根, 设
0 1 2( ) ( ) ( ) nl x C x x x x x x? ? ? ? ? ? ?()
①
因为
0 0 0 1 0 2 0( ) ( ) ( ) nl x C x x x x x x? ? ? ? ? ? ?1 = ( )
0 1 0 2 0
1
( ) ( ) n
C
x x x x x x
??
? ? ? ? ? ?()
②
② 代入 ① 式
12
0
0 1 0 2 0
( ) ( )
()
( ) ( )
n
n
x x x x x x
lx
x x x x x x
? ? ? ? ? ?
?
? ? ? ? ? ?
()
()
1 0
()
()
n
i
i i
xx
xx?
?
?
?
?
因为
0 2 1 1( ) ( ) ( )j j j j j j j j j nl x C x x x x x x x x x x??? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?1 = ( ) ( ) ( )
0 0 1 1
1
( ) ( )j j j j j j j n
C
x x x x x x x x x x??
??
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?( ) ( ) ( )
④
一般 设,
1 2 1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( )j j j nl x C x x x x x x x x x x??? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?()
③
④ 代入 ③ 得
1 2 1 1
0 0 1 1
( ) ( ) ( ) ( )
()
( ) ( )
j j n
j
j j j j j j j n
x x x x x x x x x x
lx
x x x x x x x x x x
??
??
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
()
( ) ( ) ( )
0
n
i
i ji
ij
xx
xx?
?
?
?
?
?
⑤
显然 ()jlx 满足 { ( ) 1
( ) 0
jj
ji
lx
l x i j
?
??
构造插值函数 Ln(x)
定理 4,1.1 设函数 y =f (x) 在区间 [a,b] 上的 n+1 个
互异节点
? ? 0nix
上的函数 值
() iif x y?
（ i=0, 1,…,n ）,
则一定存在唯一的不超过 n 次得多项式,满足插值
条件
( ) ( )i i iL n x f x y??
( i =0, 1,…,n )
)( xL n
nn
iiin
n
yxlyxlyxlxL
niyxfxL
xL
)(...)()()(
),.,,2,1,0()()(
)(
1100
????
???
所以令
满足：证明：构造
显然
0 0 0 0 1 0 1 0 0( ) ( ) ( ) ( )nnL n x l x y l x y l x y y? ? ? ? ? ? ? ?
1 0 1 0 1 1 1 1 1( ) ( ) ( ) ( )nnL n x l x y l x y l x y y? ? ? ? ? ? ? ?
……,,
0 0 1 1( ) ( ) ( ) ( )n n n n n n nL n x l x y l x y l x y y? ? ? ? ? ? ? ?
因此所求
0
( ) ( ) ( )
n
jj
j
y x Ln x l x y?
?
? ? ? ?
0 0
()
()
nn
i
j
j i ji
ij
xx
y
xx
? ?
?
??
?
??
?
?? ?
????
? ?
?? ?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
??????
n
j
j
j
j
n
j
n
ji
i jj
i
n
n
i
in
y
xxx
x
y
xx
xx
xL
xxxxxxxxx
0
'
0 0
0
10
)()(
)(
)(
)(
)(
)()),,, ()(()(
?
?
?
则上式可改写成
若记
计算机上算法实现
上式在计算机上实现容易,
?
?
?
???
?
??
?
?
?
???
?
??
?
?
?
?
),.,,2,1(
0
2
),.,,2,1(
1
)1(
1
1
nibss
s
sb
niapp
p
pa
i
n
i
i
i
n
i
i
）、（
、
Lagrange插值算法
。输出
做对
输入插值点
计算插值
输入
vu
ylvv
xxxul
nj
v
u
uL
niyx
jj
n
ji
i
ijii
ii
,:4);2
);/()(1
0,1,.,,,3)
0;2);1)
);()2(
);,.,,,2,1,0(,:)1(
o
0
o
??
???
?
?
?
?
?
?
误差估计
定理 4,1,2 设函数
( ) [,]nf x C a b?
，
( 1 ) ()nfx ?
在开区间
（ a,b ）内存在，则 Lagr a nge 插值多项式
()L n x
的余式有如下估
计式
)(
)!1(
)(
)()()(
)1(
x
n
f
xLxfxR
n
nn
?
?
?
???
? (4,1,7)
其中，
(,)ab? ?
。
证明 当 ixx? 时，显然式 (4,1,7) 成立。
现设
jxx ?
,由
0)()()( ??? jnjjn xLxfxR
( j =0,1,…,n), 故知 )( xR
n
可表示为
)()()( xxkxR n ?? ( 4,1,8)
其中,k(x) 为待定函数。
现 在
],[ ba
上 固定点 x （
njxx j,.,,2,1,0??,
）,并作辅助
函数
)()()()()( txktLtftF n ????
(4, 1, 9 )
则
()Ft
在 [a,b ] 上 具有 n 阶连续导数，且在（ a,b ）内 存
在 n+1 阶有界 导数,以及在
xxxxt n,,..,,10?
有 F( t )=0
也就是 F( t ) 有 n+2 个零点。
由 Rolle定理知,的相邻两个零点
之间至少存在一个零点，即 在（ a,b）内
至少有 n+1个互异零点。
同理对 应用 Rolle定理知,在（ a,b）
内至少有 n个互异零点，如此反复应用 Rolle定
理 n+1次知,在（ a,b）内至少有一个零
点 。
)()(' tFtF 在
)(' tF
)(' tF )('' tF
)()1( tF n?
),( ba??
即
( 1 ) ( ) 0nF ?? ?
，于是由式（ 4, 1, 9 ）得
( 1 ) ( 1 )( ) ( ) 0 ( ) ( 1 ) ! 0nnF f k x n???? ? ? ? ? ?
即有
? ?
( 1 )
()
( ) (,)
1!
n
f
k x a b
n
?
?
?
??
?
（ 4, 1, 1 0 ）
将式（ 4, 1, 1 0 ）代入（ 4, 1, 8 ）即得
。其中
时有特别当
。其中
则若注
)(,)(
8
)(
1
)(),(
)!1(
)(
],[)(
),()(
)!1(
)(
)(
''
2
22
1
)1(
)1(
)1(
m a x
m a x
xfMab
M
xR
n
xfMx
n
M
xR
baCxf
bax
n
f
xR
bxa
n
bxa
n
n
n
n
??
?
??
?
?
???
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
特例
用过两点的直线代替。也就是过两点的抛物线
时为线性插值当
))((
!2
)(
)(
)(
1
10
''
1
1
01
0
0
10
1
1
xxxx
f
xR
y
xx
xx
y
xx
xx
xLy
n
???
?
?
?
?
?
??
?
?
0y
1y
0x 1x
)(1 xL
)(1 xR
)(xfy ?
用待定系数法求：
时称为抛物线插值：当
))()((
!3
)(
)(
))((
))((
))((
))((
))((
))((
)(
2
210
'''
2
2
1202
10
1
2101
20
0
2010
21
2
xxxxxx
f
xR
y
xxxx
xxxx
y
xxxx
xxxx
y
xxxx
xxxx
xLy
n
????
??
??
?
??
??
?
??
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
???
???
???
),(),,(),,(
,,(
2
2
22
1
2
11
000
221100
2
c
b
a
cbxaxy
cbxaxy
cbxaxy
yxyxyx
cbacbxaxy
代入上式有将节点
为待定常数）令
例题
例 4,1,1 已知
( ) s i nf x x?
的值如表 4,1,1 所示。
表 4,1,1
( ) s i nf x x?
的值
x
0
6
?
4
?
3
?
2
?
s in x
0
1
2
2
2
3
2
1
试用四次 La g r ang e 多项式计算
s i n
12
? 的估计值。
解 先计算基函数
0
( ) ( ) ( ) ( )
6 4 3 2
()
( 0 ) ( 0 ) ( 0 ) ( 0 )
6 4 3 2
xxxx
lx
????
????
????
?
????
4
144
( ) ( ) ( ) ( )
6 4 3 2
xxxx
????
?
? ? ? ? ?
)2)(3)(4(1 2 9 6)( 41 ???? ????? xxxxxl
2 42304( ) ( ) ( ) ( )6 3 2l x x x x x????? ? ? ?
3 41296( ) ( ) ( ) ( )6 4 2l x x x x x????? ? ? ? ?
4 4144( ) ( ) ( ) ( )6 4 3l x x x x x????? ? ? ?
于是
4sin ( )
12 12
L
??
?
0 1 2 3 4
1 2 3
( ) 0 ( ) ( ) ( ) ( ) 1
1 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2
l l l l l
? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
1
24
1
2
3
8
5
2
2
3
5
2
1
8
15
0
24
5
??????????
0, 2 5 8 5 8 7 9 0 8?
真值,
si n 0.25 8819 04512? ?
。
实际绝对误差为
44 s i n ( ) 0,00 02 312 12RL
??? ? ?
用式 ( 4,1,1 1 ) 估计误差为
4
1| | | ( ) | 0, 0 0 0 3 1
5 ! 1 2R
????
::
3 5 2 2 7 4.036.0si n,3 3 3 4 8 7.034.0si n
3 1 4 5 6 7.032.0si n,
02.03 3 6 7.0si n
2
由题意取结点解
。
，已知度的正弦表
弧的值。假设使用表距为
值计算用线性插值及抛物线插例
??
?
3 3 0 3 6 5.00 1 6 7.0
02.0
0 1 8 9 2.0
3 1 4 5 6 7.0
)3 3 6 7.0()3 3 6 7.0(3 3 6 7.0s i n
)1(
3 5 2 2 7 40360
3 3 3 4 8 70,340;3 1 4 5 6 70,320
0
01
01
01
22
1100
????
?
?
?
???
??
????
x
xx
yy
yL
.y.x
.y.x.y.x
线性插值：
。，；
3 3 0 3 7 4.0
0 0 0 8.0
105 5 1 1.0
3 5 2 2 7 4.0
0 0 0 4.0
1089.3
3 3 3 4 8 7.0
0 0 0 8.0
107 6 8 9.0
3 1 4 5 6 7.0
))((
))((
))((
))((
))((
))((
)3 3 6 7.0(3 3 6 7.0si n
)2(
4
44
1202
10
2
2101
20
1
2010
21
0
2
?
??
?
?
??
?
??
??
??
?
??
??
?
??
??
?
?
?
??
xxxx
xxxx
y
xxxx
xxxx
y
xxxx
xxxx
y
L
抛物线插值：
? 抛物线插值的精度与正弦函数表完全一样。
（ 3）相应的误差估计,
))((
2
)(
:
c o s)(
,si n)(,c o s)(si n)(
10
2
1
'''
'''
xxxx
M
xR
xxf
xxfxxfxxf
???
??
????
线性插值误差估计为
故有
，所以因为
8
2
36.032.0
'''
3
210
3
2
5
1
34.032.0
''
2
10215.00 2 3 3.00 0 3 3.00 1 6 7.0
6
1
)3 3 6 7.0(
1c o sm a x)(m a x
))()((
!3
)(
105.10 0 3 3.00 1 6 7.0
2
5.0
)3 3 6 7.0(
5.0s i nm a x)(m a x
20
10
?
????
?
????
??????
???
????
?????
???
R
xxfM
xxxxxx
M
xR
R
xxfM
xxxx
xxxx
所以
其中
：抛物线插值误差估计为
所以
其中
关于 Langrange插值的几点说明
? 仅与已知数据 有
关，与 的原来形式无关，但余式与
密切相关。
? 若 本身是一个不超过 n次多项式，则
),...,2,1,0(),( niyx ii ?
)(xf )(xf
)(xLn
)(xf
)()(,0)( xfxLxR nn ?? 即
特别当 () kf x x? 有
0
( ) 1
n
j
j
lx
?
??
，
0
()
n
kk
jj
j
x l x x
?
??
( = 0,1,2,)kn L
? 从 角度观察，内插误差要小些，即
。而外插有可能误差变大，
因此要慎用。
? Langrange插值也有其不足
为了提高精度有时需增加结点，但这时原
来求的 全改变，也就是原来的数据不能
利用，浪费资源；
)(x?
之间。位于 nxxxx,...,,10
)(xlj
当插值节点
{} jx ( = 0,1,2,)jn L
在区间
[,]ab
上，适当
加密,其 误差在多数情况下会小些，即
()nLx
较好地
逼近
()fx
,但节点过多，高次
()nLx
不仅计算量增大，
其精度不一定很好,因为
l i m ( ) ( ),[,]n
n
L x f x x a b
??
? ? ?
一般不成立。
4,2 New t on 插值法
)()(
!
)(
...
)(
!2
)(
)(
!1
)(
)()(
L a g r a n g e
0
0
)(
2
0
0
''
0
0
'
0
xRxx
n
xf
xx
xf
xx
xf
xfxf
T a r l o r
n
n
n
????
?????
展式计算近似值：
想到插值法的缺点，使我们由于
由此引入插商的概念。
得导数：就是求数据仍然有用，而上式
项数即可，以前的要想提高精度只要增加
0
0
0
0
0
'
)()()()(
l i m)(
)(
0 xx
xfxf
xx
xfxf
xf
xf
xx ?
?
?
?
?
?
?
4,2,1 差商 及 其性质
],[
)()(
],[
)()(
],[
)()(
12
12
12
01
01
01
ji
ji
ji
xxf
xx
xfxf
xxf
xx
xfxf
xxf
xx
xfxf
?
?
?
?
?
?
?
?
?
一般地，一阶差商：
由导数的概念引入：
],,.,,,,[
],.,,,,[],.,,,[
],,[
],[],[
],,[
],[][
1210
0
21110
210
20
2110
nn
n
nn
kji
ki
kjji
xxxxxf
xx
xxxfxxxf
n
xxxf
xx
xxfxxf
xxxf
xx
xxfxxf
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
阶差商为：
一般地，二阶差商：
，
差商二阶差商是一阶差商的
定义 4.2.1 设函数 y =f (x) 在区间 [ a,b ] 上 n +1 个互异节点
0{}
n
jx
处的值
为：
()iiy f x?
（ i =0,1,2,…,n ）
(1 ) 称
ji
ji
ji
xx
xfxf
xxf
?
?
?
)()(
],[
为
()fx
在节点
,ijxx
上的一阶差商；
(2 ) 称
ki
kjji
kji
xx
xxfxxf
xxxf
?
?
?
],[],[
],,[
为
()fx
在节点
,,i j kx x x
上的二
阶差商 ； 依次类推,
(3 ) 称
n
nn
n
xx
xxxfxxxf
xxxf
?
?
?
?
0
21110
10
],.,,,,[],.,,,[
],.,,,,[
为
()fx
在节点
01,,,nx x x???
上的 n 阶差商；
差商的性质
)),,,, ()(()(
)(
)(
],.,,,,[
),.,,,2,1,0()(
],.,,,,[1
10
0
'10
10
n
n
j j
j
n
j
n
xxxxxxx
x
xf
xxxf
njxf
xxxfn
????
?
?
?
?
?
?
其中
的线性组合，即函数值
可以表示为阶差商性质
例如, 0 1 1 2
0 1 2
02
[,] [,]
[,,]
f x x f x x
f x x x
xx
?
?
?
0 1 1 2
0 2 0 1 1 2
1 ( ) ( ) ( ) ( )
[]
f x f x f x f x
x x x x x x
??
??
? ? ?
00
1
0 2 0 1 0 2 0 2 0 1
1 ( ) 1 1 ( )
[ ( ) ( ) ]
f x f x
fx
x x x x x x x x x x
? ? ? ?
? ? ? ? ?
0 1 1
0 1 0 2 1 0 1 2 2 0 2 1
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
f x f x f x
x x x x x x x x x x x x
? ? ?
? ? ? ? ? ?
差商的性质
性质 2 差 商 与 节 点 排 列 顺 序 无 关, 即
01 01
[,,,] [,,,]
ni i i n
f x x x f x x x? ? ? ? ? ? ?
其中，
01,,,ni i i???
是 0, 1,…,n 的任意一种排列
性质 3 若
01[,,,,]kf x x x x???
是 x 的 m 次 多 项 式, 则
0 1 1[,,,,,]kkf x x x x x ????
是 x 的 m - 1 次多项式。
与曲线拟和法
引言
许多实际问题都用函数 来表示某种内在规律的数量
关系,其中相当一部分函数是通过实验或观测得到的,虽然
在某个区间 [a,b]上是存在的，有的还是连续的，但却只能
给出 [a,b]上一系列点
这只是一张函数表；有的函数虽然有解析表达式,但由于计
算复杂,使用不方便,通常也构造一个函数表。如三角函数表、
对数表、平方根表、立方根表等等。
)(xfy ?
)(xf
。的函数值 ),..,,2,1,0()( nixfyx iii ??
引言
的插值函数。
关于节点为为节点，称
。且保持
找函数时未知的。因此就想寻但
在这些点的情况：它反映客观存在的函数
科学实验得到数据：
),.,,,2,1,0()()(
),.,,,2,1,0()()(
)()()(
),.,,,1,0()(
)(
),,.,,,2,1,0(),(
nixxfxx
niyxfx
xfxxf
nixfy
xfy
niyx
ii
iii
ii
ii
?
???
?
??
?
?
?
?
?
4.1 Lagrange插值法
我们希望根据给定的函数表，做一个既反映 f ( x )
的特性，又便于计算的简单函数
()x?
近似与 f(x ),通常
选一类较简单的代数多项式或分段代数多项式来做
()x?
Lagrange插值法
令
()x?
=
1
01
nn
na x a x a
?? ? ? ?…
且
( ) ( )i i ix f x y? ??
(i= 0,1,2,…, n)
如何构造
()x?
？
)( xL n
构造插值基函数
引理 1 设在区间 [a,b]上有 n+1个互异节点,
如果 n次多项式 满足
则
? ?0nix
0
1( ) { ( 4.1.2)
ij
j i i jlx
?
??
0
( ) ( 4, 1, 3 )
n
i
j
i ji
xxlx
xx?
??
??
)(xlj
证明, 求
()jlx
,n 次多项式，满足条件
{ 0 1 1 10 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 ( )
j j j j j j j n
jj
l x l x l x l x l x
lx
??
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
?
即
0
{ 1()ji jiijlx ???
如
0 ()lx
满足
0 1 0 2 0( ) ( ) ( ) 0nl x l x l x? ? ? ? ? ? ?
这表明 该方程有 n 个根, 设
0 1 2( ) ( ) ( ) nl x C x x x x x x? ? ? ? ? ? ?()
①
因为
0 0 0 1 0 2 0( ) ( ) ( ) nl x C x x x x x x? ? ? ? ? ? ?1 = ( )
0 1 0 2 0
1
( ) ( ) n
C
x x x x x x
??
? ? ? ? ? ?()
②
② 代入 ① 式
12
0
0 1 0 2 0
( ) ( )
()
( ) ( )
n
n
x x x x x x
lx
x x x x x x
? ? ? ? ? ?
?
? ? ? ? ? ?
()
()
1 0
()
()
n
i
i i
xx
xx?
?
?
?
?
因为
0 2 1 1( ) ( ) ( )j j j j j j j j j nl x C x x x x x x x x x x??? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?1 = ( ) ( ) ( )
0 0 1 1
1
( ) ( )j j j j j j j n
C
x x x x x x x x x x??
??
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?( ) ( ) ( )
④
一般 设,
1 2 1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( )j j j nl x C x x x x x x x x x x??? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?()
③
④ 代入 ③ 得
1 2 1 1
0 0 1 1
( ) ( ) ( ) ( )
()
( ) ( )
j j n
j
j j j j j j j n
x x x x x x x x x x
lx
x x x x x x x x x x
??
??
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
()
( ) ( ) ( )
0
n
i
i ji
ij
xx
xx?
?
?
?
?
?
⑤
显然 ()jlx 满足 { ( ) 1
( ) 0
jj
ji
lx
l x i j
?
??
构造插值函数 Ln(x)
定理 4,1.1 设函数 y =f (x) 在区间 [a,b] 上的 n+1 个
互异节点
? ? 0nix
上的函数 值
() iif x y?
（ i=0, 1,…,n ）,
则一定存在唯一的不超过 n 次得多项式,满足插值
条件
( ) ( )i i iL n x f x y??
( i =0, 1,…,n )
)( xL n
nn
iiin
n
yxlyxlyxlxL
niyxfxL
xL
)(...)()()(
),.,,2,1,0()()(
)(
1100
????
???
所以令
满足：证明：构造
显然
0 0 0 0 1 0 1 0 0( ) ( ) ( ) ( )nnL n x l x y l x y l x y y? ? ? ? ? ? ? ?
1 0 1 0 1 1 1 1 1( ) ( ) ( ) ( )nnL n x l x y l x y l x y y? ? ? ? ? ? ? ?
……,,
0 0 1 1( ) ( ) ( ) ( )n n n n n n nL n x l x y l x y l x y y? ? ? ? ? ? ? ?
因此所求
0
( ) ( ) ( )
n
jj
j
y x Ln x l x y?
?
? ? ? ?
0 0
()
()
nn
i
j
j i ji
ij
xx
y
xx
? ?
?
??
?
??
?
?? ?
????
? ?
?? ?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
??????
n
j
j
j
j
n
j
n
ji
i jj
i
n
n
i
in
y
xxx
x
y
xx
xx
xL
xxxxxxxxx
0
'
0 0
0
10
)()(
)(
)(
)(
)(
)()),,, ()(()(
?
?
?
则上式可改写成
若记
计算机上算法实现
上式在计算机上实现容易,
?
?
?
???
?
??
?
?
?
???
?
??
?
?
?
?
),.,,2,1(
0
2
),.,,2,1(
1
)1(
1
1
nibss
s
sb
niapp
p
pa
i
n
i
i
i
n
i
i
）、（
、
Lagrange插值算法
。输出
做对
输入插值点
计算插值
输入
vu
ylvv
xxxul
nj
v
u
uL
niyx
jj
n
ji
i
ijii
ii
,:4);2
);/()(1
0,1,.,,,3)
0;2);1)
);()2(
);,.,,,2,1,0(,:)1(
o
0
o
??
???
?
?
?
?
?
?
误差估计
定理 4,1,2 设函数
( ) [,]nf x C a b?
，
( 1 ) ()nfx ?
在开区间
（ a,b ）内存在，则 Lagr a nge 插值多项式
()L n x
的余式有如下估
计式
)(
)!1(
)(
)()()(
)1(
x
n
f
xLxfxR
n
nn
?
?
?
???
? (4,1,7)
其中，
(,)ab? ?
。
证明 当 ixx? 时，显然式 (4,1,7) 成立。
现设
jxx ?
,由
0)()()( ??? jnjjn xLxfxR
( j =0,1,…,n), 故知 )( xR
n
可表示为
)()()( xxkxR n ?? ( 4,1,8)
其中,k(x) 为待定函数。
现 在
],[ ba
上 固定点 x （
njxx j,.,,2,1,0??,
）,并作辅助
函数
)()()()()( txktLtftF n ????
(4, 1, 9 )
则
()Ft
在 [a,b ] 上 具有 n 阶连续导数，且在（ a,b ）内 存
在 n+1 阶有界 导数,以及在
xxxxt n,,..,,10?
有 F( t )=0
也就是 F( t ) 有 n+2 个零点。
由 Rolle定理知,的相邻两个零点
之间至少存在一个零点，即 在（ a,b）内
至少有 n+1个互异零点。
同理对 应用 Rolle定理知,在（ a,b）
内至少有 n个互异零点，如此反复应用 Rolle定
理 n+1次知,在（ a,b）内至少有一个零
点 。
)()(' tFtF 在
)(' tF
)(' tF )('' tF
)()1( tF n?
),( ba??
即
( 1 ) ( ) 0nF ?? ?
，于是由式（ 4, 1, 9 ）得
( 1 ) ( 1 )( ) ( ) 0 ( ) ( 1 ) ! 0nnF f k x n???? ? ? ? ? ?
即有
? ?
( 1 )
()
( ) (,)
1!
n
f
k x a b
n
?
?
?
??
?
（ 4, 1, 1 0 ）
将式（ 4, 1, 1 0 ）代入（ 4, 1, 8 ）即得
。其中
时有特别当
。其中
则若注
)(,)(
8
)(
1
)(),(
)!1(
)(
],[)(
),()(
)!1(
)(
)(
''
2
22
1
)1(
)1(
)1(
m a x
m a x
xfMab
M
xR
n
xfMx
n
M
xR
baCxf
bax
n
f
xR
bxa
n
bxa
n
n
n
n
??
?
??
?
?
???
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
特例
用过两点的直线代替。也就是过两点的抛物线
时为线性插值当
))((
!2
)(
)(
)(
1
10
''
1
1
01
0
0
10
1
1
xxxx
f
xR
y
xx
xx
y
xx
xx
xLy
n
???
?
?
?
?
?
??
?
?
0y
1y
0x 1x
)(1 xL
)(1 xR
)(xfy ?
用待定系数法求：
时称为抛物线插值：当
))()((
!3
)(
)(
))((
))((
))((
))((
))((
))((
)(
2
210
'''
2
2
1202
10
1
2101
20
0
2010
21
2
xxxxxx
f
xR
y
xxxx
xxxx
y
xxxx
xxxx
y
xxxx
xxxx
xLy
n
????
??
??
?
??
??
?
??
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
???
???
???
),(),,(),,(
,,(
2
2
22
1
2
11
000
221100
2
c
b
a
cbxaxy
cbxaxy
cbxaxy
yxyxyx
cbacbxaxy
代入上式有将节点
为待定常数）令
例题
例 4,1,1 已知
( ) s i nf x x?
的值如表 4,1,1 所示。
表 4,1,1
( ) s i nf x x?
的值
x
0
6
?
4
?
3
?
2
?
s in x
0
1
2
2
2
3
2
1
试用四次 La g r ang e 多项式计算
s i n
12
? 的估计值。
解 先计算基函数
0
( ) ( ) ( ) ( )
6 4 3 2
()
( 0 ) ( 0 ) ( 0 ) ( 0 )
6 4 3 2
xxxx
lx
????
????
????
?
????
4
144
( ) ( ) ( ) ( )
6 4 3 2
xxxx
????
?
? ? ? ? ?
)2)(3)(4(1 2 9 6)( 41 ???? ????? xxxxxl
2 42304( ) ( ) ( ) ( )6 3 2l x x x x x????? ? ? ?
3 41296( ) ( ) ( ) ( )6 4 2l x x x x x????? ? ? ? ?
4 4144( ) ( ) ( ) ( )6 4 3l x x x x x????? ? ? ?
于是
4sin ( )
12 12
L
??
?
0 1 2 3 4
1 2 3
( ) 0 ( ) ( ) ( ) ( ) 1
1 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2
l l l l l
? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
1
24
1
2
3
8
5
2
2
3
5
2
1
8
15
0
24
5
??????????
0, 2 5 8 5 8 7 9 0 8?
真值,
si n 0.25 8819 04512? ?
。
实际绝对误差为
44 s i n ( ) 0,00 02 312 12RL
??? ? ?
用式 ( 4,1,1 1 ) 估计误差为
4
1| | | ( ) | 0, 0 0 0 3 1
5 ! 1 2R
????
::
3 5 2 2 7 4.036.0si n,3 3 3 4 8 7.034.0si n
3 1 4 5 6 7.032.0si n,
02.03 3 6 7.0si n
2
由题意取结点解
。
，已知度的正弦表
弧的值。假设使用表距为
值计算用线性插值及抛物线插例
??
?
3 3 0 3 6 5.00 1 6 7.0
02.0
0 1 8 9 2.0
3 1 4 5 6 7.0
)3 3 6 7.0()3 3 6 7.0(3 3 6 7.0s i n
)1(
3 5 2 2 7 40360
3 3 3 4 8 70,340;3 1 4 5 6 70,320
0
01
01
01
22
1100
????
?
?
?
???
??
????
x
xx
yy
yL
.y.x
.y.x.y.x
线性插值：
。，；
3 3 0 3 7 4.0
0 0 0 8.0
105 5 1 1.0
3 5 2 2 7 4.0
0 0 0 4.0
1089.3
3 3 3 4 8 7.0
0 0 0 8.0
107 6 8 9.0
3 1 4 5 6 7.0
))((
))((
))((
))((
))((
))((
)3 3 6 7.0(3 3 6 7.0si n
)2(
4
44
1202
10
2
2101
20
1
2010
21
0
2
?
??
?
?
??
?
??
??
??
?
??
??
?
??
??
?
?
?
??
xxxx
xxxx
y
xxxx
xxxx
y
xxxx
xxxx
y
L
抛物线插值：
? 抛物线插值的精度与正弦函数表完全一样。
（ 3）相应的误差估计,
))((
2
)(
:
c o s)(
,si n)(,c o s)(si n)(
10
2
1
'''
'''
xxxx
M
xR
xxf
xxfxxfxxf
???
??
????
线性插值误差估计为
故有
，所以因为
8
2
36.032.0
'''
3
210
3
2
5
1
34.032.0
''
2
10215.00 2 3 3.00 0 3 3.00 1 6 7.0
6
1
)3 3 6 7.0(
1c o sm a x)(m a x
))()((
!3
)(
105.10 0 3 3.00 1 6 7.0
2
5.0
)3 3 6 7.0(
5.0s i nm a x)(m a x
20
10
?
????
?
????
??????
???
????
?????
???
R
xxfM
xxxxxx
M
xR
R
xxfM
xxxx
xxxx
所以
其中
：抛物线插值误差估计为
所以
其中
关于 Langrange插值的几点说明
? 仅与已知数据 有
关，与 的原来形式无关，但余式与
密切相关。
? 若 本身是一个不超过 n次多项式，则
),...,2,1,0(),( niyx ii ?
)(xf )(xf
)(xLn
)(xf
)()(,0)( xfxLxR nn ?? 即
特别当 () kf x x? 有
0
( ) 1
n
j
j
lx
?
??
，
0
()
n
kk
jj
j
x l x x
?
??
( = 0,1,2,)kn L
? 从 角度观察，内插误差要小些，即
。而外插有可能误差变大，
因此要慎用。
? Langrange插值也有其不足
为了提高精度有时需增加结点，但这时原
来求的 全改变，也就是原来的数据不能
利用，浪费资源；
)(x?
之间。位于 nxxxx,...,,10
)(xlj
当插值节点
{} jx ( = 0,1,2,)jn L
在区间
[,]ab
上，适当
加密,其 误差在多数情况下会小些，即
()nLx
较好地
逼近
()fx
,但节点过多，高次
()nLx
不仅计算量增大，
其精度不一定很好,因为
l i m ( ) ( ),[,]n
n
L x f x x a b
??
? ? ?
一般不成立。
4,2 New t on 插值法
)()(
!
)(
...
)(
!2
)(
)(
!1
)(
)()(
L a g r a n g e
0
0
)(
2
0
0
''
0
0
'
0
xRxx
n
xf
xx
xf
xx
xf
xfxf
T a r l o r
n
n
n
????
?????
展式计算近似值：
想到插值法的缺点，使我们由于
由此引入插商的概念。
得导数：就是求数据仍然有用，而上式
项数即可，以前的要想提高精度只要增加
0
0
0
0
0
'
)()()()(
l i m)(
)(
0 xx
xfxf
xx
xfxf
xf
xf
xx ?
?
?
?
?
?
?
4,2,1 差商 及 其性质
],[
)()(
],[
)()(
],[
)()(
12
12
12
01
01
01
ji
ji
ji
xxf
xx
xfxf
xxf
xx
xfxf
xxf
xx
xfxf
?
?
?
?
?
?
?
?
?
一般地，一阶差商：
由导数的概念引入：
],,.,,,,[
],.,,,,[],.,,,[
],,[
],[],[
],,[
],[][
1210
0
21110
210
20
2110
nn
n
nn
kji
ki
kjji
xxxxxf
xx
xxxfxxxf
n
xxxf
xx
xxfxxf
xxxf
xx
xxfxxf
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
阶差商为：
一般地，二阶差商：
，
差商二阶差商是一阶差商的
定义 4.2.1 设函数 y =f (x) 在区间 [ a,b ] 上 n +1 个互异节点
0{}
n
jx
处的值
为：
()iiy f x?
（ i =0,1,2,…,n ）
(1 ) 称
ji
ji
ji
xx
xfxf
xxf
?
?
?
)()(
],[
为
()fx
在节点
,ijxx
上的一阶差商；
(2 ) 称
ki
kjji
kji
xx
xxfxxf
xxxf
?
?
?
],[],[
],,[
为
()fx
在节点
,,i j kx x x
上的二
阶差商 ； 依次类推,
(3 ) 称
n
nn
n
xx
xxxfxxxf
xxxf
?
?
?
?
0
21110
10
],.,,,,[],.,,,[
],.,,,,[
为
()fx
在节点
01,,,nx x x???
上的 n 阶差商；
差商的性质
)),,,, ()(()(
)(
)(
],.,,,,[
),.,,,2,1,0()(
],.,,,,[1
10
0
'10
10
n
n
j j
j
n
j
n
xxxxxxx
x
xf
xxxf
njxf
xxxfn
????
?
?
?
?
?
?
其中
的线性组合，即函数值
可以表示为阶差商性质
例如, 0 1 1 2
0 1 2
02
[,] [,]
[,,]
f x x f x x
f x x x
xx
?
?
?
0 1 1 2
0 2 0 1 1 2
1 ( ) ( ) ( ) ( )
[]
f x f x f x f x
x x x x x x
??
??
? ? ?
00
1
0 2 0 1 0 2 0 2 0 1
1 ( ) 1 1 ( )
[ ( ) ( ) ]
f x f x
fx
x x x x x x x x x x
? ? ? ?
? ? ? ? ?
0 1 1
0 1 0 2 1 0 1 2 2 0 2 1
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
f x f x f x
x x x x x x x x x x x x
? ? ?
? ? ? ? ? ?
差商的性质
性质 2 差 商 与 节 点 排 列 顺 序 无 关, 即
01 01
[,,,] [,,,]
ni i i n
f x x x f x x x? ? ? ? ? ? ?
其中，
01,,,ni i i???
是 0, 1,…,n 的任意一种排列
性质 3 若
01[,,,,]kf x x x x???
是 x 的 m 次 多 项 式, 则
0 1 1[,,,,,]kkf x x x x x ????
是 x 的 m - 1 次多项式。
