5.4 Gauss求积公式 对于机械求积公式
（ 5.4.1 ）
略去余式
[ ]Rf
，由定理 5.1.2 知，它如果是插值型求
积公式，则至少有 n 次代数精度。
][)()(
0
fRxfAdxxf k
b
a
n
k
k ??? ?
?
从式 (5.4.1 ) 可 以 看 出, 待 定 参 数
( ),0,1,kkA x k n= L
共 22n + 个，如果令
( ) 2 2 11,,,,nf x x x x += L
使求积公式 (5.4.1 ) 精确成
立，即
[ ] 0Rf =
，从理论上看，建立了求
( ),0,1,kkA x k n= L
的 22n + 个代数方程组
(5.4.2 )
如果从式 (5.4.2 ) 解得
( ),0,1,kkA x k n= L
，则求积
公式 (5.4.1 ) 将有 21n + 次代数精度。
下面我们就一个例子来看,
),.,,2,1,0()(11 11
0
njabjxA jj
n
k
j
k k ????
??
?
?
例 5.4.1 试决定参数
0 1 0 1,,,A A x x
，使求积公式
具有 3 次代数精度。
)()()( 11001 1 xfAxfAdxxf ????
解 令 ( )
231,,,f x x x x=
，代入求积公式得
?
?
?
?
?
?
?
??
??
??
??
)4(0
)3(
3
2
)2(0
)1(2
3
1
3
0
2
1
2
0
1100
10
10
10
xAxA
xAxA
xAxA
AA
由式 ( 1) 及式 ( 2) 可解得
由式 ( 3) 及式 ( 4) 可解得
)5(
2
2
01
0
1
01
1
0
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
xx
x
A
xx
x
A
)6(
)(3
2
)(3
2
01
2
0
1
01
2
1
0
1
0
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
xxx
x
A
xxx
x
A
再由式 (5) 和 (6) 可得
0 1 0 1
11
,,1,1
33
x x A A= = - = =
于是有求积公式
为具有 3 次代数精度的求积公式。
)
3
1
()
3
1
()(
1
1
ffdxxf ????
?
定义 5.4.1 如果插值型求积公式
(5.4.3 )
对任何 21n + 次代数多项式都能精确成立，即有 21n +
次代数精度，则称式 (5,4.3) 为 G a uss 型求积公式，而
( )0,1,,kx k n= L
称为 Ga uss 点，其中 为
权函数。
)()()(
0
k
n
k
k
b
a
xfAdxxfx ??
?
??
0)( ?x?
5.4.1 正交多项式 定义 5.4.2 设 n 次多项式
( ) ( )11 1 0 0,1,2,nnn n nP x a x a x a x a n--= + + + + =LL
其中,0?
na
，如果对于区间 [ ],ab 上非负权函数 )( x?,多项式 ( )
mPx
与 ( )
nPx
满足
??
?
?
?
??
?
? ? nmC
nm
dxxPxPxxPxP
n
b
a nmnm 0
0
)()()())(),(( ?
则称多项式系 ( ) ( ) ( )
0 1 2,,,P x P x P x L
在区间 [ ]
,ab
上关于权函
数 )( x? 正交,( )
nPx
称为正交多项式。
令
( ) ( )*
1
nn
n
P x P x
c
=
，则
?
?
?
?
?
?
nm
nm
xPxP
nm 1
0
))(),(( **
此时，称
)(* xP
m
为区间 [ a,b ] 上关于权函数
)( x?
的 n 次规范化正交多项式。
令
)(
~
),(
1
)(
~
xPxP
a
xP nn
n
n 则?
为首项系数为 1 的 n 次正交多项式。
正交多项式性质
性质 1 设 ( )
nQx
为任一不超过 n 次的多项式，则
( ) ( )( )1,0nnP x Q x+ =,特别 ( )( ) ( )1,0 0,1,2,knP x x k n+ == L
性质 2 正交多项式系 ( ){ } ( )
0,1,2,nP x n = L
满足三项递推关系
( ) ( ) ( ) ( )
( )
1 1 1
11 2
1,2,3
k k k
k k k k k
kk
a a a
P x x P x r P x
aa
k
b+ + -+- = - -
= L
其中，
11,,k k ka a a+-
分别是
( ) ( ) ( )11,,k k kP x P x P x+-
的
首项系数，而
( ) ( )( )
( ) ( )( )
,
,
kk
k
kk
x P x P x
P x P x
b =
( ) ( )( )
( ) ( )( )11
,
,
kk
k
kk
P x P x
r
P x P x
--
=
性质 3 n 次多项式 ( )nPx 有 n 个互异实根，且全部在 ( ),ab 内。
性质 4 设 ( )
nPx
的 n 个实根为
12,,,nx x xL
,( )
1nPx+
的 1n + 个实根
为
1,x
2,,nxxL
,则有
1 2 11 2 1
1
kkk
nn
a x x x x x x x
x x b
+ +
+
< < < < < < < <
< < <
LL
几个常用的正交多项式
1,L e ge ndr e 多项式
在区间
[ ]1,1-
上，带权
1)( ?x?
的正交多项式系
( ){ } ( )0,1,2,3,nP x n = L
称为
L e ge ndr e 多项式，它的一般形式为
?
?
?
?
?
???
?
,.,, )2,1,0(])1[(
!2
1
)(
1)(
2
0
nx
dx
d
n
xP
xP
n
n
n
nn
前几项具体的是
?
?
?
?
?
xxP
xP
)(
1)(
1
0
( ) ( )22 1 312P x x=-
( ) ( )33 1 532P x x x=- ( ) ( )
42
4
1 35 30 3
8P x x x= - +
( ) ( )535 1 63 70 158P x x x x= - +
( ) ( )6 4 26 1 693 945 315 1548P x x x x= - + -
LL
Legendre多项式的性质
性质 1 正交性
??
?
?
?
?
?
?
?? ?
? )(
12
2
)(0
)()())(),((
1
1 nm
n
nm
dxxPxPxPxP nmnm
性质 2 奇偶性
( ) ( ) ( )1 nnnP x P x- = -
即 n 为奇数时,( )
nPx
为奇函数,n 为偶数时,( )
nPx
为偶函数。
性质 3 三项递推关系
??
???
??????
??
??,.,,,, )3,2,1()(1)(1
12)(
)(,1)(
11
20
nxPn nxxPn nxP
xxPxP
nnn
性质 4 导数性质
)]()()[1(
)]()([)()1(
1
1
'2
xPxxPn
xxPxPnxPx
nn
nnn
?
?
???
???
2,Cebysh?v多项式 在区间 [ ]1,1- 上，带权 21 1)( xx ??? 的 正 交 多 项 式 系
( ){ } ( 0,1,nT x n = 2,)L 称为 Ce b y sh ? v 多项式，它的一般形式为
( ) ( ) ( )c os a r c c os 0,1,2,nT x n x n== L
前几项具体是
( )0 1Tx =
( )1T x x=
( ) 22 21T x x=-
( ) 33 43T x x x=-
( ) 424 881T x x x= - +
( ) 535 1 6 2 0 5T x x x x= - +
( ) 6 4 26 32 48 18 1T x x x x= - + -
LL
Cebysh?v多项式基本性质
性质 1 正交性
?
?
?
?
?
?
?
??
??
?
?
?
? ?
?
)0(
2
)0(
)(0
1
)()(
))(),((
1
1 2
nm
nm
nm
dx
x
xTxT
xTxT
nm
nm
?
?
性质 2 三项递推关系
??
?
???
??
??,.,,,, )3,2,1()()(2)(
)(,1)(
11
20 nxTxxTxT xxTxT
nnn
性质 3 ( )
nTx
在 ( )1,1- 内有 n 个互异零点
,.,, )3,2,1(2 12c o s ??? nnkx k ?
性质 4 奇偶性
( ) ( ) ( )1 nnnT x T x- = -
即 n 为奇数时,( )
nTx
为奇函数,n 为偶数时,( )
nTx
为偶函数。
性质 5 ( )nTx 有 1n + 个点
nkx k ?c o s?
使它轮流达到最大值 1 和最小值 1?, 则
( ) ( ) ( )1 0,1,2,,knkT x k n= - = L。
3,Hermite多项式 在区间 （ – ∞, + ∞ ） 上带权 2)( xex ??? 的正交多项式系
( ){ } ( 0,1,2,)nH x n = L称为 H e r m i t e 多项式，它的一般形式为
??
?
?
?
???
?
?
,.,, )3,2,1()()1()(
1)(
22
0
ne
dx
d
exH
xH
xx
n
n
n
n
前几项具体是
( )0 1Hx =
( )1 2H x x=
( ) 22 42H x x=-
( ) 33 8 12H x x x=-
( ) 424 16 48 12H x x x= - +
( ) 535 3 2 1 6 0 1 2 0H x x x x= - +
( ) 6 4 26 6 4 4 8 0 7 2 0 1 2 0H x x x x= - + -
H e r m i t e 多项式三项递推关系是
??
? ??? ??
??,.,,,, )3,2,1()(2)(2)(
2)(,1)(
11
20 nxnHxxHxH xxHxH
nnn
H e r m i t e 多项式正交关系是
??
?
?
??? ? ?
??
?
)(!2
)(0)()())(),(( 2
nmnn
nmdxxHxHexHxH
nnm
x
nm
5.4.2 Gauss型求积公式一般理论
定理 5.4.1 插值型求积公式 (5.4.3 ) 的节点
( )0,1,2,,kx k n= L
是 Ga uss 点的
充分必要条件是
0)()()( 1 ?? ?b
a n
dxxQxx ??
(5.4.8 )
其中，
)),..()(()( 101 nn xxxxxxx ??????
，
( )Qx
为任意不超过 n 次的多项式。
推论 在区间
[ ],ab
上带权 )( x? 的正交多项式
( )1nPx+
的零点是 Ga uss 点。
Gauss型求积公式系数和余数的一般表达式 设 kx 是 1n + 次规范化正交多项式 ( )*nPx 的零点，以 ( )0,1,2,,kx k n= L 为节点，
函数 ( )
fx
的插值多项式为
)(],.,,,,,[)(
)()(
)()(
110
0
'
1
1
xxxxxfxf
xxx
xxf
nnk
n
k kk
n
n
?
?
? ?
?
? ?
?
?
?
?
于是
][)()()(
0
fRxfAdxxfx
n
k
kk
b
a
?? ??
?
?
其中
?
?
?
?
?
?
?
?
?
b
a
nn
b
a
k
n
k
dxxxxxxfxfR
nkdx
xxx
x
xA
n
)(],.,,,,[)(][
),.,,,2,1,0(
)()(
)(
)(
110
'
1
1
??
?
?
?
上式分别是 Ga uss 型求积公式系数和余数的一般表达式。
定理 5.4.2 设 *
1na +
是规范化正交多项式 ( )
* 1nPx+
的首项系数，
kx
为
( )* 1nPx+ 的零点，则
( ) ( ) ( )
*
1
* * ' *
1
0,1,2,,nk
n n k n k
aA k n
a P x P x
+
+
== L
(5.4.1 1) 定理 5.4.3 Ga uss 型求积公式的余式为
),()()!22()()!22 )(][ )22(2
1
1
2*
1
)22(
bafan can ffR n
n
n
n
n
????? ?
?
?
?
?
???
( 5.4,13)
其中，
1na +
为正交多项式 ( )
1nPx+
的首项系数，
( )( ) ( )( )( )1 1 1,n n nc P x P x+ + +=
，
* 1na + =
1
1
n
n
a
c
+
+
。
5.4.3 Gauss-Legendre求积公式
对区间为
[ ]1,1-
上带权
)( x?
=1 的 n 次多项式
( )nPx
的零点
( )1,,kx k n= L
为节点，所建立的 Ga u ss 型求积公式
][)()(
1
1
1
fRxfAdxxf
n
k
kk ?? ??
?
?
称为 Ga uss - L e ge ndre 公式。
其中, 系 数
2
1
2
)]()1[(
)1(2
kn
k
k
xPn
x
A
??
?
?
余式
]1,1[)(
])!22)[(32(
])!1[(2
][ )22(
3
432
??
??
?
? ?
?
??n
n
f
nn
n
fR
具体前 2 个 Ga uss - L e ge ndre 求积公式是,
12n += 时，
)(
135
1
)
3
1
()
3
1
()( )4(
1
1
?fffdxxf ?????
?
其代数精度为 3 ；
n + 1 = 3 时，
)(
1 5 7 5 0
1
)
5
15
(
9
5
)0(
9
8
)
5
15
(
9
5
)( )6(
1
1
?ffffdxxf ??????
?
且具有 5 次代数精度。
对于任意区间
[ ],ab
上的 G a u ss - L e g e ndr e 求积公式，可
令 ( )
2
ab
x
+
=+
( )
2
ba
t
-,则 ]1,1[ ??t,于是
)
22
(
2
)
22
(
2
)(
0
1
1
k
n
k
k
b
a
t
abba
fA
ab
dtt
abba
f
ab
dxxf
?
?
??
?
?
?
??
?
?
??
?
?
例 5,4.2 试用 Ga uss - L e ge ndre 求积公式，计算定积分
??
b
a
dx
x
I
1
解 令
tx
2
1
2
3
??
，则
dt
t
I ?
? ?
?
1
1 3
1
（ 1 ） n+ 1 = 3 时
6 9 3 1 2 1 6 9 3.0
30
1
9
8
)
37 7 4 5 9 6 6 6 9 2.0
1
37 7 4 5 9 6 6 6 9 2.0
1
(
9
5
3
?
?
?
??
?
?
?? II
（ 2 ） n+ 1 = 5 时，可得
6 9 3 1 4 7 5 7.05 ?? II
。
与真值 2 0, 6 9 3 1 4 7 1 8I L n== L相比,Ga uss - L e g e nd re 求积公式有较高精度。
与复化梯形公式，复化 Si mpson 公式类似，我们也可以构
造复化 G a uss - L e g e nd r e 求积公式。如果将区间
[ ],ab
分成 n 等分，
则
bah
n
-=
，
kx a k h=+
( )0,1,2,,kn= L
对 每 个 子 区 间
],[ 1?kk xx
用 2 点 G a uss - L e ge ndr e 求积公式有
)
322
()
322
([
2
)( 111111 kkkkkkx
x
kkkk xxxxfxxxxfxxdxxfk
k
????????? ?????? ?
于是
??
?
? ??
????
1
0 2
1
2
1 )]32()32([2)(
n
k kk
b
a
hxfhxfhdxxf ( 5.4.1 6)
类 似 做 法, 如 果 将 区 间
[ ],ab
分成 2 等分，
2
bah
n
-=,
kx a k h=+
,( 0,1,2,,)kn= L,对每个子区间
],[ 1?kk xx
用 3 点 Ga uss - L e ge ndr e 求
积公式有
)}(8)]
5
3()
5
3([5{
9
)( 12
1
0
1212 ?
?
?
???? ????? k
n
k
kk
b
a
xfhxfhxfhdxxf
(5.4.1 7)
5.4.4 Gauss-Chebysh?v求积公式
在区间
[ ]1,1-
上,以 1n + 次 C he b y sh ? v 多 项式
( )1nTx+
的零 点
( 0,1,,kxk L=
)n
为节点，权函数
21
1
)(
x
x
?
??
的 Ga uss 型求积公式
][)(
1
)(
1
1
1 2
fRxfAdx
x
xf n
k
kk ??
?
??
?
?
称为 Ga uss - C he b y sh ? v 求积公式 。
其中，
),.,,,2,1,0(
1
nk
n
A k ?
?
?
?
余式,
]1,1[)(
)!12(2
][ )22(
12
??
?
? ?
?
??
? n
n
f
n
fR
于是有 Ga uss - C he b y sh ? v 求积公式
][)(
11
)(
0
1
1 2
fRxf
n
dx
x
xf n
k
k ?
?
?
?
??
?
?
?
当 1n = 时，二点 Ga uss - C he b y sh ? v 求积公式
)]
2
1
()
2
1
([
21
)(1
1 2
ffdx
x
xf
???
?
??
?
当 n =2 时，三点 Ga uss - C he b y sh ? v 求积公式
)]
2
3
()0()
2
3
([
31
)(1
1 2
fffdx
x
xf
????
?
??
?
5.4.5 一般权函数下 Gauss型求积公式
对于一般权函数为建立 G a uss 型求积公式，可直接从代数精度出发，
通过解非线性代数方程组得到系数
kA
和节点
kx
的值。
例 5.4.3 试选择系数
12,AA
和节点
12,xx
，建立 Ga uss 型求积公式
)()()( 2211
0
xfAxfAdxxfe x ??? ?? ?
解：
由于令 ),3,2,1,0()( ?? kxxf k
)3,2,1,0(!
0
??? ?? ? kkdxxe kx
于是有
?
?
?
?
?
?
?
??
??
??
??
6
2
1
1
3
2
3
1
2
2
2
1
2211
21
21
21
xAxA
xAxA
xAxA
AA
解得：
,
22
12
,
22
12
,22,22 2111
?
?
?
????? AAxx
所以有
)22(
22
12
)22(
22
12
)(
0
?
?
??
?
??
??
? ffdxxfe x
本例一个难点是解上述非线性代数方程
组，这也是一般权函数 Ga uss 型求积公式困难
所在。下面我们用数值解方法来构造一般权函
数的 Ga uss 型求积公式，可克服上述解析法求
解之困难。
设
)),..()(()( 10 nxxxxxxx ?????
是区间
[ ],ab
上关于权函数
)( x?
的
首 1 正交多项式，则有
),.,,2,1,0(0)()( 1 nkdxxxx
b
a
k
n ??? ???
由于
?
?
?
? ??
n
j
j
j
n
n xaxx
0
1
1 )(?
，所以有
)...2,1,0)()( 1
0
nkdxxxdxxxa kn
b
a
n
j
jk
b
aj
??? ??
?
?
?? ? ??
（ 5,4.18 ）
解线性方程组 (5.4.1 8) 得
( )0,1,,ja j nL=
即
)(1 xn ??
求出。再用
方程求根方法，如牛顿法可求出
01,,nx x xL
。最后再根据数值
积分的代数精度定 义可得 Ga uss 型 求 积 公 式 系 数
( )0,1,,jA j nL=
的线性方程组
),2,1,0()(
0
nkdxxxxA
b
a
k
n
j
k
jj
?? ??
?
?
既可解得
( )0,1,,jA j nL=
。
例 5.4.4 试建立 Ga uss 型求积公式
)()()()(ln 221100
1
0
xfAxfAxfAxd xxxf ?????
解 由式（ 5,4.18 ）得
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
25
1
16
1
9
1
25
1
16
1
9
1
16
1
9
1
4
1
9
1
4
1
1
2
1
0
a
a
a
解得
?
?
?
?
?
??
??
???
?
?
1 9 9 7 6 7 8 7 3.1
105 5 5 8 7 0 7 3.3
108 0 7 9 5 7 6 2 4.1
2
1
1
2
0
a
a
a
于是
01
2
2
3
3 )( axaxaxx ?????
由牛顿法解得零点
?
?
?
?
?
?
?
?
7 6 6 8 7 9 4 3 6.0
3 6 8 9 9 7 6 9 5.0
0 6 3 8 9 0 6 7 8.0
2
1
0
x
x
x
在由式（ 5,4, 19 ）得方程组
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
9
1
4
1
1
111
2
1
0
2
2
2
1
2
0
210
A
A
A
xxx
xxx
解得
?
?
?
?
?
?
?
?
0 9 4 6 1 5 3 9 7.0
3 9 1 9 7 9 7 1 8.0
5 1 3 4 0 4 8 8 5.0
2
1
0
A
A
A
于是的 G aus s 型求积公式
)7 6 6 8 7 9 4 3 6.0(0 9 4 6 1 5 3 9 7.0
)3 6 8 9 9 7 6 9 5.0(3 9 1 9 7 9 7 1 8.0)0 6 3 8 9 0 6 7 8.0(5 1 3 4 0 4 8 8 5.0)(ln
1
0
f
ffdxxxf
?
????
5.5 数值微分
对于函数没有解析表达式的
( )y f x=
，
而给出的是 1n + 个节点
kx
上的函数值
( ) ( )0,1,,kky f x k nL==
，据此去求
( )' kfx
的值，这称为数值微分问题。
5.5.1 Taylor展开式方法
我们借助 T a y lo r 展开式，可以构造函数
( )fx
在点
0xx=
的一阶
导数和二阶导数的数值微分公式。取步长 0h > 则
),()(
2
)()()( 0011''
2
0
'
00 hxxf
h
xhfxfhxf ?????? ??
（ 5.5.1 ）
所以
),()(
2
)()(
)( 0011''000' hxxf
h
h
xfhxf
xf ???
??
? ??
（ 5,5.3 ）
同理
),()(
2
)()()( 0022''
2
0
'
00 xhxf
h
xhfxfhxf ?????? ??
（ 5.5.2 ）
),()(
2
)()(
)( 0022''000' xhxf
h
h
hxfxf
xf ???
??
? ??
（ 5.5,4 ）
式 (5.5.3 ) 和式 (5.5.4 ) 是计算
( )' 0fx
的数值微分公式，其截断误差为
( )Oh
,为提高精度，将 T a y l or 展开式多写几项
),()(
24
)(
6
)(
2
)()()( 0011)4(
4
0
'''
3
0
''
2
0
'
00 hxxf
h
xf
h
xf
h
xhfxfhxf ???????? ??
),()(
24
)(
6
)(
2
)()()( 0022)4(
4
0
'''
3
0
''
2
0
'
00 xhxf
h
xf
h
xf
h
xhfxfhxf ???????? ??
两式相减得
)()(
62
)()(
)( 40'''
2
00
0
' hOxfh
h
hxfhxf
xf ??
???
?
（ 5,5.7 ）
上式计算
)( 0' xf
其截断误差为 O( h
2
),比式（ 5.5,3 ）和 ( 5.5.4) 精度高。
由式 ( 5.5.5 ) 加式 ( 5.5.6 ),如果 ],[)(
00)4( hxhxCxf ???
，则有
),()(12)()(2)()( 00)4(
2
2
000
0
'' hxhxfh
h
hxfxfhxfxf ????????? ?? ( 5.5.8 )
式 ( 5.5.8 ) 是计算 ( )
" 0fx
的数值微分公式,其截断误差为 ( )
2Oh
。
例 5.5.1 设函数 ( )
0l n,2,0.1f x x x h= = =
,试用数值微
分公式计算 ( )' 2f 的值。
解 由式 (5.5.3 ),式 (5.5.4 ) 和式 (5.5.7 ) 分别计算结果为
4 8 7 9.01.0 2ln1.2ln)2(' ???f
5 1 2 9.01.0 9.1ln2ln)2(' ???f
5 0 0 4.02.0 9.1ln1.2ln)2(' ???f
与真值
( )' 2 0,5f =
相比，式 (5.5.7 ) 计算的结果精度较高。
5.5.2 数值微分的插值方法
设函数 ( )y f x= 具有 1n + 个实验数据,( )( ) ( ),0,1,2,,
jjx f x j n= L
，
我们希望估计 ( )'fx 的值，特别
jxx=
时，估计 ( )'
jfx
的值。
基于插值方法的数值微分做法是，由已知 ( )( ) ( ),0,1,,
jjx f x j n= L
建
立 L a gr a n ge 插值多项式或 N e w ton 插值多项式，即
( ) ( ) ( )nnf x L x R x=+ 或 ( ) ( ) ( )nnf x N x R x=+
于是
( ) ( ) ( ) ( ) ( )' ' ' ' 'n n n nf x L x R x N x R x= + = +
当
jxx=
时，有
),...,2,1,0()()()()()( ''''' njxRxNxRxLxf jjjjnj nnn ?????
其中
?
?
?
??
?
?
?
?
? ?
n
ji
i
ij
n
j
n
j xx
n
f
x
n
f
xR nn
0
)1(
'
)1(
' )(
)!1(
)(
)(
)!1(
)(
)( 1
?
?
?
略去误差项有
),...,2,1,0()()()( ''' njxNxLxf jjnj n ???
类似地，也可有
),...,2,1,0()()()( '''''' njxNxLxf jjnj n ???
实 际 运 用 中, 等 距 节 点 更 为 常 见 。 设
( ),0,1,2,,,j
ba
h x a j h j n
n
-
= = + = L
x a t h=+,于是有
)(
!
)1),,, (1(
...
!2
)1(
!1
)( 00200 xRy
n
nttt
y
tt
y
t
yxf nn ??
???
???
?
????
所以
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
?????
n
ji
i
nn
jt
n
j
ij
n
fh
y
n
nttt
y
t
y
dt
d
h
xf
n
0
)1(
000
'
)(
)!1(
)(
}
!
)1),,, (1(
...
!1
{
1
)(
?
几种常用的求导公式
(1) 两点公式
( )1n =
?
?
?
?
?
???
????
)(
2
)()(
1
)(
)(
2
)()(
1
)(
''
1
'
011
'
''
0
'
010
'
?
?
f
h
xRyy
h
xf
f
h
xRyy
h
xf
(5.5.9 )
（ 2 ）三点公式（ n= 2 ）
?
?
?
?
?
?
?
?
?
????
?????
?????
)(
3
)()34(
2
1
)(
)(
6
)()(
2
1
)(
)(
3
)()43(
2
1
)(
)3(
2
0
'
2102
'
)3(
2
1
'
201
'
)3(
2
0
'
2100
'
?
?
?
f
h
xRyyy
h
xf
f
h
xRyy
h
xf
f
h
xRyyy
h
xf
（ 5,5.10 ）
(3 ) 五 点公式 （ n =4 ）
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??????
????????
??????
????????
???????
)(
5
)()254836163(
12
1
)(
)(
20
)()310186(
12
1
)(
)(
30
)()88(
12
1
)(
)(
20
)()618103(
12
1
)(
)(
5
)()316364825(
12
1
)(
)5(
4
0
'
432104
'
)5(
4
3
'
432103
'
)5(
4
2
'
43102
'
)5(
4
1
'
432101
'
)5(
4
0
'
432100
'
?
?
?
?
?
f
h
xRyyyyy
h
xf
f
h
xRyyyyy
h
xf
f
h
xRyyyy
h
xf
f
h
xRyyyyy
h
xf
f
h
xRyyyyy
h
xf
（ 5,5.10 ）
( 4) 七点公式（ n= 6 ）
)(
1 4 0
)()945459(
60
1
)( )7(
6
3
'
6542103
' ?fhxRyyyyyy
h
xf ?????????
例题
例 5.5.2 设 ( ) lnf x x=,取 0, 0 5h =,试分别用三点公式和五点
公式计算 ( )' 2f 的近似值。
解 由式 (5.5.1 0) 有
4 9 9 8 0 2 8 6 1.0))10.2()05.2(4)2(3(05.02 1)2(' ?????? ffff
5 0 0 1 0 4 2 0 5.0))05.2()95.1((05.02 1)2(' ????? fff
4 9 9 7 7 9 3 7 6.0))2(3)95.1(4)90.1((05.02 1)2(' ????? ffff
由式 ( 5.5.1 1) 有
4 9 9 9 9 9 8 4 3.0))10.2()05.2(6)95.1(8)90.1((05.012 1)2(' ?????? fffff
与真值
( )' 2 0,5f =
相比，三点公式已有相当满意精
度，而五点公式的结果是十分满意的。
5.5.3 数值微分的隐式格式
前述的数值微分格式均称为显式格式，即直接由已
知的
( ) ( 0,1,2,jf x j =
,)nL
，经过适当的算术四则运算，
立即可得
( )' jfx
的近似值。显式格式优点是计算方便,
工作量小，缺点是数值不稳定。为克服后一缺点，隐式
格式常常具有数值稳定性。
T a y lo r 展式 法和 插值 法数值微分都是显示格式,其
优点是计算方便,计算量小,缺点是数值不稳定。 而隐
式格式具有数值稳定性。
数值微分的隐式格式建立方法常用通过 T a y lo r 展开
式方法或数值积分方法等不同途径。下面我们用 T a y lo r
展开式方法来推导数值微分的隐 式 格式。
由式 (5.5.7 ) 和式 (5.5.8 ),我们用
kx
代替
0x
得,
)()(6
6
)](8)([
2
1)( 4'''2' hOxfhhxfhxf
h
xf kkkk ??????
)(
12
)]()(2)([1)( )4(
2
2
'' ?fhhxfxfhxf
h
xf kkkk ??????
所以也有
)(
12
)]()(2)([1)( )5(
2
'''
2
''' ?fhhxfxfhxf
h
xf kkkk ??????
将最后
( )'" kfx
表达式代入
( )' kfx
表达式可得
)()]()(2)([
6
1)]()([
2
1)( 4'''' hOhxfxfhxfhxfhxf
h
xf kkkkkk ??????????
略去误差项
( )4Oh
，并且
km
表示
( )' kfx
的近似值，则
有
),.,,,2,1()]()([
1
4 1111 nkxfxf
h
mmm kkkkk ????? ????
式 (5.5.1 5 ) 是关于 1n + 个未知量
01,,nm m mL
的 1n - 个方程，如果
已知
0m =
( ) ( )'' 0,nnf x m f x=
，或用五点公式 (5.5.1 1) 补充出
)](3)(16)(36)(48)(25[
12
1
132100 xfxfxfxfxf
h
m ??????
)](25)(48)(36)(16)(3[
12
1
1234 nnnnnn xfxfxfxfxfhm ????? ????
记
)](16)([
3
11 ?? ?? kkk xfxfhd
,故有方程组,
?
?
?
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?
?
?
?
?
?
?
?
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nn
n
n
n
md
d
d
d
md
m
m
m
m
m
1
2
3
2
01
1
2
3
2
1
41
141
141
141
14
?????
（ 5,5.16 ）
式 (5.5.1 6) 就是求
1 2 1,,,nm m m -L
得线性方程组。由于系数矩阵是严格对角占
优的三对角矩阵，因此非奇异，解存在且唯一，可由追赶法求解，且数值
稳定。
同理 我们也可以建立求二阶导数
( )" kfx
的隐式格式, 可得,
?
?
?
?
?
?
?
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?
?
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?
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?
?
nn
n
n
n
MD
D
D
D
MD
M
M
M
M
M
1
2
3
2
01
1
2
3
2
1
101
1101
1101
1101
110
?????
(5.5.1 9 )
其中：
)]()(2)([
12
112 ?? ??? kkkk xfxfxf
h
D
（ k= 1,2,… n ）,
kM
=
( )" kfx
（ k= 1,2,… n - 1 ）,如果
已知
0M ( ) ( )
""
0,nnf x M f x==
，或类似五点公式补充出 。
式 (5.5.1 9) 就是求
1 2 1,,,nM M M -L
的线性方程组。同样，由于系数矩阵是严格对角占优的三
对角矩阵，故式 (5.5.1 9) 解存在且唯一，用追赶法求解，有较好效果。
例 5.5.3 设函数 ( )
lnf x x=
在节点 1,5,1,6,1,7,1,8,1,9,2,0x =
上的函数值，及 ( ) ( )
''1,5,2,0ff
如表 5.5.1 所示。 试用数值微
分隐式格式式 ( 5.5.1 6) 和式 ( 5.5.1 9) 求出相应节点上一阶和二
阶导数的近似值。
表 5, 5,1 例 5, 5,3 节点数据
x f ( x ) f ' ( x )
1,5 0,4054 6510 8 0,6666 6666 7
1,6 0,4700 0362 9
1,7 0,5306 2825 1
1,8 0,5877 8666 4
1,9 0,6 41853886
2,0 0,6931 4718 0,5000 0000 0
解 由式 (5.5.1 6) 和式 (5.5.1 9) 有
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
5 0 0 0 0 0 0 0.01 6 0 8 1 5 4 8.3
3 3 6 7 6 9 0 5.3
5 3 3 4 9 1 0 5.3
6 6 6 6 6 6 6 7.07 5 4 8 9 4 2 9.3
41
141
141
14
4
3
2
1
m
m
m
m
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
?
?
???
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
)25.0(3 2 8 7 1 3 6.3
7 0 9 4 2 9 2.3
1 5 9 4 5 0 8.4
)4 4 4 4 4 4 4.0(6 9 6 6 7 8 8.4
101
1101
1101
110
4
3
2
1
M
M
M
M
解上述两方程组得,
1
2
3
4
0.625011309
0.588230988
0.555555784
0.526315789
m
m
m
m
=
=
=
=
1
2
3
4
0,3 9 0 6 2 1 5 4
0,3 4 6 0 1 8 8 9
0,3 0 8 6 4 0 2
0,2 7 7 0 0 7 3 3
M
M
M
M
=-
=-
=-
=-
与
( ) ( )'"
2
11
,f x f x
xx
-
==
在各相应节点上数值相比，
上述结果约有五位有效数字，应当说有满意的精度，
如果 h 适当小些，其结果会有更为满意的精度。
（ 5.4.1 ）
略去余式
[ ]Rf
，由定理 5.1.2 知，它如果是插值型求
积公式，则至少有 n 次代数精度。
][)()(
0
fRxfAdxxf k
b
a
n
k
k ??? ?
?
从式 (5.4.1 ) 可 以 看 出, 待 定 参 数
( ),0,1,kkA x k n= L
共 22n + 个，如果令
( ) 2 2 11,,,,nf x x x x += L
使求积公式 (5.4.1 ) 精确成
立，即
[ ] 0Rf =
，从理论上看，建立了求
( ),0,1,kkA x k n= L
的 22n + 个代数方程组
(5.4.2 )
如果从式 (5.4.2 ) 解得
( ),0,1,kkA x k n= L
，则求积
公式 (5.4.1 ) 将有 21n + 次代数精度。
下面我们就一个例子来看,
),.,,2,1,0()(11 11
0
njabjxA jj
n
k
j
k k ????
??
?
?
例 5.4.1 试决定参数
0 1 0 1,,,A A x x
，使求积公式
具有 3 次代数精度。
)()()( 11001 1 xfAxfAdxxf ????
解 令 ( )
231,,,f x x x x=
，代入求积公式得
?
?
?
?
?
?
?
??
??
??
??
)4(0
)3(
3
2
)2(0
)1(2
3
1
3
0
2
1
2
0
1100
10
10
10
xAxA
xAxA
xAxA
AA
由式 ( 1) 及式 ( 2) 可解得
由式 ( 3) 及式 ( 4) 可解得
)5(
2
2
01
0
1
01
1
0
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
xx
x
A
xx
x
A
)6(
)(3
2
)(3
2
01
2
0
1
01
2
1
0
1
0
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
xxx
x
A
xxx
x
A
再由式 (5) 和 (6) 可得
0 1 0 1
11
,,1,1
33
x x A A= = - = =
于是有求积公式
为具有 3 次代数精度的求积公式。
)
3
1
()
3
1
()(
1
1
ffdxxf ????
?
定义 5.4.1 如果插值型求积公式
(5.4.3 )
对任何 21n + 次代数多项式都能精确成立，即有 21n +
次代数精度，则称式 (5,4.3) 为 G a uss 型求积公式，而
( )0,1,,kx k n= L
称为 Ga uss 点，其中 为
权函数。
)()()(
0
k
n
k
k
b
a
xfAdxxfx ??
?
??
0)( ?x?
5.4.1 正交多项式 定义 5.4.2 设 n 次多项式
( ) ( )11 1 0 0,1,2,nnn n nP x a x a x a x a n--= + + + + =LL
其中,0?
na
，如果对于区间 [ ],ab 上非负权函数 )( x?,多项式 ( )
mPx
与 ( )
nPx
满足
??
?
?
?
??
?
? ? nmC
nm
dxxPxPxxPxP
n
b
a nmnm 0
0
)()()())(),(( ?
则称多项式系 ( ) ( ) ( )
0 1 2,,,P x P x P x L
在区间 [ ]
,ab
上关于权函
数 )( x? 正交,( )
nPx
称为正交多项式。
令
( ) ( )*
1
nn
n
P x P x
c
=
，则
?
?
?
?
?
?
nm
nm
xPxP
nm 1
0
))(),(( **
此时，称
)(* xP
m
为区间 [ a,b ] 上关于权函数
)( x?
的 n 次规范化正交多项式。
令
)(
~
),(
1
)(
~
xPxP
a
xP nn
n
n 则?
为首项系数为 1 的 n 次正交多项式。
正交多项式性质
性质 1 设 ( )
nQx
为任一不超过 n 次的多项式，则
( ) ( )( )1,0nnP x Q x+ =,特别 ( )( ) ( )1,0 0,1,2,knP x x k n+ == L
性质 2 正交多项式系 ( ){ } ( )
0,1,2,nP x n = L
满足三项递推关系
( ) ( ) ( ) ( )
( )
1 1 1
11 2
1,2,3
k k k
k k k k k
kk
a a a
P x x P x r P x
aa
k
b+ + -+- = - -
= L
其中，
11,,k k ka a a+-
分别是
( ) ( ) ( )11,,k k kP x P x P x+-
的
首项系数，而
( ) ( )( )
( ) ( )( )
,
,
kk
k
kk
x P x P x
P x P x
b =
( ) ( )( )
( ) ( )( )11
,
,
kk
k
kk
P x P x
r
P x P x
--
=
性质 3 n 次多项式 ( )nPx 有 n 个互异实根，且全部在 ( ),ab 内。
性质 4 设 ( )
nPx
的 n 个实根为
12,,,nx x xL
,( )
1nPx+
的 1n + 个实根
为
1,x
2,,nxxL
,则有
1 2 11 2 1
1
kkk
nn
a x x x x x x x
x x b
+ +
+
< < < < < < < <
< < <
LL
几个常用的正交多项式
1,L e ge ndr e 多项式
在区间
[ ]1,1-
上，带权
1)( ?x?
的正交多项式系
( ){ } ( )0,1,2,3,nP x n = L
称为
L e ge ndr e 多项式，它的一般形式为
?
?
?
?
?
???
?
,.,, )2,1,0(])1[(
!2
1
)(
1)(
2
0
nx
dx
d
n
xP
xP
n
n
n
nn
前几项具体的是
?
?
?
?
?
xxP
xP
)(
1)(
1
0
( ) ( )22 1 312P x x=-
( ) ( )33 1 532P x x x=- ( ) ( )
42
4
1 35 30 3
8P x x x= - +
( ) ( )535 1 63 70 158P x x x x= - +
( ) ( )6 4 26 1 693 945 315 1548P x x x x= - + -
LL
Legendre多项式的性质
性质 1 正交性
??
?
?
?
?
?
?
?? ?
? )(
12
2
)(0
)()())(),((
1
1 nm
n
nm
dxxPxPxPxP nmnm
性质 2 奇偶性
( ) ( ) ( )1 nnnP x P x- = -
即 n 为奇数时,( )
nPx
为奇函数,n 为偶数时,( )
nPx
为偶函数。
性质 3 三项递推关系
??
???
??????
??
??,.,,,, )3,2,1()(1)(1
12)(
)(,1)(
11
20
nxPn nxxPn nxP
xxPxP
nnn
性质 4 导数性质
)]()()[1(
)]()([)()1(
1
1
'2
xPxxPn
xxPxPnxPx
nn
nnn
?
?
???
???
2,Cebysh?v多项式 在区间 [ ]1,1- 上，带权 21 1)( xx ??? 的 正 交 多 项 式 系
( ){ } ( 0,1,nT x n = 2,)L 称为 Ce b y sh ? v 多项式，它的一般形式为
( ) ( ) ( )c os a r c c os 0,1,2,nT x n x n== L
前几项具体是
( )0 1Tx =
( )1T x x=
( ) 22 21T x x=-
( ) 33 43T x x x=-
( ) 424 881T x x x= - +
( ) 535 1 6 2 0 5T x x x x= - +
( ) 6 4 26 32 48 18 1T x x x x= - + -
LL
Cebysh?v多项式基本性质
性质 1 正交性
?
?
?
?
?
?
?
??
??
?
?
?
? ?
?
)0(
2
)0(
)(0
1
)()(
))(),((
1
1 2
nm
nm
nm
dx
x
xTxT
xTxT
nm
nm
?
?
性质 2 三项递推关系
??
?
???
??
??,.,,,, )3,2,1()()(2)(
)(,1)(
11
20 nxTxxTxT xxTxT
nnn
性质 3 ( )
nTx
在 ( )1,1- 内有 n 个互异零点
,.,, )3,2,1(2 12c o s ??? nnkx k ?
性质 4 奇偶性
( ) ( ) ( )1 nnnT x T x- = -
即 n 为奇数时,( )
nTx
为奇函数,n 为偶数时,( )
nTx
为偶函数。
性质 5 ( )nTx 有 1n + 个点
nkx k ?c o s?
使它轮流达到最大值 1 和最小值 1?, 则
( ) ( ) ( )1 0,1,2,,knkT x k n= - = L。
3,Hermite多项式 在区间 （ – ∞, + ∞ ） 上带权 2)( xex ??? 的正交多项式系
( ){ } ( 0,1,2,)nH x n = L称为 H e r m i t e 多项式，它的一般形式为
??
?
?
?
???
?
?
,.,, )3,2,1()()1()(
1)(
22
0
ne
dx
d
exH
xH
xx
n
n
n
n
前几项具体是
( )0 1Hx =
( )1 2H x x=
( ) 22 42H x x=-
( ) 33 8 12H x x x=-
( ) 424 16 48 12H x x x= - +
( ) 535 3 2 1 6 0 1 2 0H x x x x= - +
( ) 6 4 26 6 4 4 8 0 7 2 0 1 2 0H x x x x= - + -
H e r m i t e 多项式三项递推关系是
??
? ??? ??
??,.,,,, )3,2,1()(2)(2)(
2)(,1)(
11
20 nxnHxxHxH xxHxH
nnn
H e r m i t e 多项式正交关系是
??
?
?
??? ? ?
??
?
)(!2
)(0)()())(),(( 2
nmnn
nmdxxHxHexHxH
nnm
x
nm
5.4.2 Gauss型求积公式一般理论
定理 5.4.1 插值型求积公式 (5.4.3 ) 的节点
( )0,1,2,,kx k n= L
是 Ga uss 点的
充分必要条件是
0)()()( 1 ?? ?b
a n
dxxQxx ??
(5.4.8 )
其中，
)),..()(()( 101 nn xxxxxxx ??????
，
( )Qx
为任意不超过 n 次的多项式。
推论 在区间
[ ],ab
上带权 )( x? 的正交多项式
( )1nPx+
的零点是 Ga uss 点。
Gauss型求积公式系数和余数的一般表达式 设 kx 是 1n + 次规范化正交多项式 ( )*nPx 的零点，以 ( )0,1,2,,kx k n= L 为节点，
函数 ( )
fx
的插值多项式为
)(],.,,,,,[)(
)()(
)()(
110
0
'
1
1
xxxxxfxf
xxx
xxf
nnk
n
k kk
n
n
?
?
? ?
?
? ?
?
?
?
?
于是
][)()()(
0
fRxfAdxxfx
n
k
kk
b
a
?? ??
?
?
其中
?
?
?
?
?
?
?
?
?
b
a
nn
b
a
k
n
k
dxxxxxxfxfR
nkdx
xxx
x
xA
n
)(],.,,,,[)(][
),.,,,2,1,0(
)()(
)(
)(
110
'
1
1
??
?
?
?
上式分别是 Ga uss 型求积公式系数和余数的一般表达式。
定理 5.4.2 设 *
1na +
是规范化正交多项式 ( )
* 1nPx+
的首项系数，
kx
为
( )* 1nPx+ 的零点，则
( ) ( ) ( )
*
1
* * ' *
1
0,1,2,,nk
n n k n k
aA k n
a P x P x
+
+
== L
(5.4.1 1) 定理 5.4.3 Ga uss 型求积公式的余式为
),()()!22()()!22 )(][ )22(2
1
1
2*
1
)22(
bafan can ffR n
n
n
n
n
????? ?
?
?
?
?
???
( 5.4,13)
其中，
1na +
为正交多项式 ( )
1nPx+
的首项系数，
( )( ) ( )( )( )1 1 1,n n nc P x P x+ + +=
，
* 1na + =
1
1
n
n
a
c
+
+
。
5.4.3 Gauss-Legendre求积公式
对区间为
[ ]1,1-
上带权
)( x?
=1 的 n 次多项式
( )nPx
的零点
( )1,,kx k n= L
为节点，所建立的 Ga u ss 型求积公式
][)()(
1
1
1
fRxfAdxxf
n
k
kk ?? ??
?
?
称为 Ga uss - L e ge ndre 公式。
其中, 系 数
2
1
2
)]()1[(
)1(2
kn
k
k
xPn
x
A
??
?
?
余式
]1,1[)(
])!22)[(32(
])!1[(2
][ )22(
3
432
??
??
?
? ?
?
??n
n
f
nn
n
fR
具体前 2 个 Ga uss - L e ge ndre 求积公式是,
12n += 时，
)(
135
1
)
3
1
()
3
1
()( )4(
1
1
?fffdxxf ?????
?
其代数精度为 3 ；
n + 1 = 3 时，
)(
1 5 7 5 0
1
)
5
15
(
9
5
)0(
9
8
)
5
15
(
9
5
)( )6(
1
1
?ffffdxxf ??????
?
且具有 5 次代数精度。
对于任意区间
[ ],ab
上的 G a u ss - L e g e ndr e 求积公式，可
令 ( )
2
ab
x
+
=+
( )
2
ba
t
-,则 ]1,1[ ??t,于是
)
22
(
2
)
22
(
2
)(
0
1
1
k
n
k
k
b
a
t
abba
fA
ab
dtt
abba
f
ab
dxxf
?
?
??
?
?
?
??
?
?
??
?
?
例 5,4.2 试用 Ga uss - L e ge ndre 求积公式，计算定积分
??
b
a
dx
x
I
1
解 令
tx
2
1
2
3
??
，则
dt
t
I ?
? ?
?
1
1 3
1
（ 1 ） n+ 1 = 3 时
6 9 3 1 2 1 6 9 3.0
30
1
9
8
)
37 7 4 5 9 6 6 6 9 2.0
1
37 7 4 5 9 6 6 6 9 2.0
1
(
9
5
3
?
?
?
??
?
?
?? II
（ 2 ） n+ 1 = 5 时，可得
6 9 3 1 4 7 5 7.05 ?? II
。
与真值 2 0, 6 9 3 1 4 7 1 8I L n== L相比,Ga uss - L e g e nd re 求积公式有较高精度。
与复化梯形公式，复化 Si mpson 公式类似，我们也可以构
造复化 G a uss - L e g e nd r e 求积公式。如果将区间
[ ],ab
分成 n 等分，
则
bah
n
-=
，
kx a k h=+
( )0,1,2,,kn= L
对 每 个 子 区 间
],[ 1?kk xx
用 2 点 G a uss - L e ge ndr e 求积公式有
)
322
()
322
([
2
)( 111111 kkkkkkx
x
kkkk xxxxfxxxxfxxdxxfk
k
????????? ?????? ?
于是
??
?
? ??
????
1
0 2
1
2
1 )]32()32([2)(
n
k kk
b
a
hxfhxfhdxxf ( 5.4.1 6)
类 似 做 法, 如 果 将 区 间
[ ],ab
分成 2 等分，
2
bah
n
-=,
kx a k h=+
,( 0,1,2,,)kn= L,对每个子区间
],[ 1?kk xx
用 3 点 Ga uss - L e ge ndr e 求
积公式有
)}(8)]
5
3()
5
3([5{
9
)( 12
1
0
1212 ?
?
?
???? ????? k
n
k
kk
b
a
xfhxfhxfhdxxf
(5.4.1 7)
5.4.4 Gauss-Chebysh?v求积公式
在区间
[ ]1,1-
上,以 1n + 次 C he b y sh ? v 多 项式
( )1nTx+
的零 点
( 0,1,,kxk L=
)n
为节点，权函数
21
1
)(
x
x
?
??
的 Ga uss 型求积公式
][)(
1
)(
1
1
1 2
fRxfAdx
x
xf n
k
kk ??
?
??
?
?
称为 Ga uss - C he b y sh ? v 求积公式 。
其中，
),.,,,2,1,0(
1
nk
n
A k ?
?
?
?
余式,
]1,1[)(
)!12(2
][ )22(
12
??
?
? ?
?
??
? n
n
f
n
fR
于是有 Ga uss - C he b y sh ? v 求积公式
][)(
11
)(
0
1
1 2
fRxf
n
dx
x
xf n
k
k ?
?
?
?
??
?
?
?
当 1n = 时，二点 Ga uss - C he b y sh ? v 求积公式
)]
2
1
()
2
1
([
21
)(1
1 2
ffdx
x
xf
???
?
??
?
当 n =2 时，三点 Ga uss - C he b y sh ? v 求积公式
)]
2
3
()0()
2
3
([
31
)(1
1 2
fffdx
x
xf
????
?
??
?
5.4.5 一般权函数下 Gauss型求积公式
对于一般权函数为建立 G a uss 型求积公式，可直接从代数精度出发，
通过解非线性代数方程组得到系数
kA
和节点
kx
的值。
例 5.4.3 试选择系数
12,AA
和节点
12,xx
，建立 Ga uss 型求积公式
)()()( 2211
0
xfAxfAdxxfe x ??? ?? ?
解：
由于令 ),3,2,1,0()( ?? kxxf k
)3,2,1,0(!
0
??? ?? ? kkdxxe kx
于是有
?
?
?
?
?
?
?
??
??
??
??
6
2
1
1
3
2
3
1
2
2
2
1
2211
21
21
21
xAxA
xAxA
xAxA
AA
解得：
,
22
12
,
22
12
,22,22 2111
?
?
?
????? AAxx
所以有
)22(
22
12
)22(
22
12
)(
0
?
?
??
?
??
??
? ffdxxfe x
本例一个难点是解上述非线性代数方程
组，这也是一般权函数 Ga uss 型求积公式困难
所在。下面我们用数值解方法来构造一般权函
数的 Ga uss 型求积公式，可克服上述解析法求
解之困难。
设
)),..()(()( 10 nxxxxxxx ?????
是区间
[ ],ab
上关于权函数
)( x?
的
首 1 正交多项式，则有
),.,,2,1,0(0)()( 1 nkdxxxx
b
a
k
n ??? ???
由于
?
?
?
? ??
n
j
j
j
n
n xaxx
0
1
1 )(?
，所以有
)...2,1,0)()( 1
0
nkdxxxdxxxa kn
b
a
n
j
jk
b
aj
??? ??
?
?
?? ? ??
（ 5,4.18 ）
解线性方程组 (5.4.1 8) 得
( )0,1,,ja j nL=
即
)(1 xn ??
求出。再用
方程求根方法，如牛顿法可求出
01,,nx x xL
。最后再根据数值
积分的代数精度定 义可得 Ga uss 型 求 积 公 式 系 数
( )0,1,,jA j nL=
的线性方程组
),2,1,0()(
0
nkdxxxxA
b
a
k
n
j
k
jj
?? ??
?
?
既可解得
( )0,1,,jA j nL=
。
例 5.4.4 试建立 Ga uss 型求积公式
)()()()(ln 221100
1
0
xfAxfAxfAxd xxxf ?????
解 由式（ 5,4.18 ）得
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
25
1
16
1
9
1
25
1
16
1
9
1
16
1
9
1
4
1
9
1
4
1
1
2
1
0
a
a
a
解得
?
?
?
?
?
??
??
???
?
?
1 9 9 7 6 7 8 7 3.1
105 5 5 8 7 0 7 3.3
108 0 7 9 5 7 6 2 4.1
2
1
1
2
0
a
a
a
于是
01
2
2
3
3 )( axaxaxx ?????
由牛顿法解得零点
?
?
?
?
?
?
?
?
7 6 6 8 7 9 4 3 6.0
3 6 8 9 9 7 6 9 5.0
0 6 3 8 9 0 6 7 8.0
2
1
0
x
x
x
在由式（ 5,4, 19 ）得方程组
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
9
1
4
1
1
111
2
1
0
2
2
2
1
2
0
210
A
A
A
xxx
xxx
解得
?
?
?
?
?
?
?
?
0 9 4 6 1 5 3 9 7.0
3 9 1 9 7 9 7 1 8.0
5 1 3 4 0 4 8 8 5.0
2
1
0
A
A
A
于是的 G aus s 型求积公式
)7 6 6 8 7 9 4 3 6.0(0 9 4 6 1 5 3 9 7.0
)3 6 8 9 9 7 6 9 5.0(3 9 1 9 7 9 7 1 8.0)0 6 3 8 9 0 6 7 8.0(5 1 3 4 0 4 8 8 5.0)(ln
1
0
f
ffdxxxf
?
????
5.5 数值微分
对于函数没有解析表达式的
( )y f x=
，
而给出的是 1n + 个节点
kx
上的函数值
( ) ( )0,1,,kky f x k nL==
，据此去求
( )' kfx
的值，这称为数值微分问题。
5.5.1 Taylor展开式方法
我们借助 T a y lo r 展开式，可以构造函数
( )fx
在点
0xx=
的一阶
导数和二阶导数的数值微分公式。取步长 0h > 则
),()(
2
)()()( 0011''
2
0
'
00 hxxf
h
xhfxfhxf ?????? ??
（ 5.5.1 ）
所以
),()(
2
)()(
)( 0011''000' hxxf
h
h
xfhxf
xf ???
??
? ??
（ 5,5.3 ）
同理
),()(
2
)()()( 0022''
2
0
'
00 xhxf
h
xhfxfhxf ?????? ??
（ 5.5.2 ）
),()(
2
)()(
)( 0022''000' xhxf
h
h
hxfxf
xf ???
??
? ??
（ 5.5,4 ）
式 (5.5.3 ) 和式 (5.5.4 ) 是计算
( )' 0fx
的数值微分公式，其截断误差为
( )Oh
,为提高精度，将 T a y l or 展开式多写几项
),()(
24
)(
6
)(
2
)()()( 0011)4(
4
0
'''
3
0
''
2
0
'
00 hxxf
h
xf
h
xf
h
xhfxfhxf ???????? ??
),()(
24
)(
6
)(
2
)()()( 0022)4(
4
0
'''
3
0
''
2
0
'
00 xhxf
h
xf
h
xf
h
xhfxfhxf ???????? ??
两式相减得
)()(
62
)()(
)( 40'''
2
00
0
' hOxfh
h
hxfhxf
xf ??
???
?
（ 5,5.7 ）
上式计算
)( 0' xf
其截断误差为 O( h
2
),比式（ 5.5,3 ）和 ( 5.5.4) 精度高。
由式 ( 5.5.5 ) 加式 ( 5.5.6 ),如果 ],[)(
00)4( hxhxCxf ???
，则有
),()(12)()(2)()( 00)4(
2
2
000
0
'' hxhxfh
h
hxfxfhxfxf ????????? ?? ( 5.5.8 )
式 ( 5.5.8 ) 是计算 ( )
" 0fx
的数值微分公式,其截断误差为 ( )
2Oh
。
例 5.5.1 设函数 ( )
0l n,2,0.1f x x x h= = =
,试用数值微
分公式计算 ( )' 2f 的值。
解 由式 (5.5.3 ),式 (5.5.4 ) 和式 (5.5.7 ) 分别计算结果为
4 8 7 9.01.0 2ln1.2ln)2(' ???f
5 1 2 9.01.0 9.1ln2ln)2(' ???f
5 0 0 4.02.0 9.1ln1.2ln)2(' ???f
与真值
( )' 2 0,5f =
相比，式 (5.5.7 ) 计算的结果精度较高。
5.5.2 数值微分的插值方法
设函数 ( )y f x= 具有 1n + 个实验数据,( )( ) ( ),0,1,2,,
jjx f x j n= L
，
我们希望估计 ( )'fx 的值，特别
jxx=
时，估计 ( )'
jfx
的值。
基于插值方法的数值微分做法是，由已知 ( )( ) ( ),0,1,,
jjx f x j n= L
建
立 L a gr a n ge 插值多项式或 N e w ton 插值多项式，即
( ) ( ) ( )nnf x L x R x=+ 或 ( ) ( ) ( )nnf x N x R x=+
于是
( ) ( ) ( ) ( ) ( )' ' ' ' 'n n n nf x L x R x N x R x= + = +
当
jxx=
时，有
),...,2,1,0()()()()()( ''''' njxRxNxRxLxf jjjjnj nnn ?????
其中
?
?
?
??
?
?
?
?
? ?
n
ji
i
ij
n
j
n
j xx
n
f
x
n
f
xR nn
0
)1(
'
)1(
' )(
)!1(
)(
)(
)!1(
)(
)( 1
?
?
?
略去误差项有
),...,2,1,0()()()( ''' njxNxLxf jjnj n ???
类似地，也可有
),...,2,1,0()()()( '''''' njxNxLxf jjnj n ???
实 际 运 用 中, 等 距 节 点 更 为 常 见 。 设
( ),0,1,2,,,j
ba
h x a j h j n
n
-
= = + = L
x a t h=+,于是有
)(
!
)1),,, (1(
...
!2
)1(
!1
)( 00200 xRy
n
nttt
y
tt
y
t
yxf nn ??
???
???
?
????
所以
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
?????
n
ji
i
nn
jt
n
j
ij
n
fh
y
n
nttt
y
t
y
dt
d
h
xf
n
0
)1(
000
'
)(
)!1(
)(
}
!
)1),,, (1(
...
!1
{
1
)(
?
几种常用的求导公式
(1) 两点公式
( )1n =
?
?
?
?
?
???
????
)(
2
)()(
1
)(
)(
2
)()(
1
)(
''
1
'
011
'
''
0
'
010
'
?
?
f
h
xRyy
h
xf
f
h
xRyy
h
xf
(5.5.9 )
（ 2 ）三点公式（ n= 2 ）
?
?
?
?
?
?
?
?
?
????
?????
?????
)(
3
)()34(
2
1
)(
)(
6
)()(
2
1
)(
)(
3
)()43(
2
1
)(
)3(
2
0
'
2102
'
)3(
2
1
'
201
'
)3(
2
0
'
2100
'
?
?
?
f
h
xRyyy
h
xf
f
h
xRyy
h
xf
f
h
xRyyy
h
xf
（ 5,5.10 ）
(3 ) 五 点公式 （ n =4 ）
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??????
????????
??????
????????
???????
)(
5
)()254836163(
12
1
)(
)(
20
)()310186(
12
1
)(
)(
30
)()88(
12
1
)(
)(
20
)()618103(
12
1
)(
)(
5
)()316364825(
12
1
)(
)5(
4
0
'
432104
'
)5(
4
3
'
432103
'
)5(
4
2
'
43102
'
)5(
4
1
'
432101
'
)5(
4
0
'
432100
'
?
?
?
?
?
f
h
xRyyyyy
h
xf
f
h
xRyyyyy
h
xf
f
h
xRyyyy
h
xf
f
h
xRyyyyy
h
xf
f
h
xRyyyyy
h
xf
（ 5,5.10 ）
( 4) 七点公式（ n= 6 ）
)(
1 4 0
)()945459(
60
1
)( )7(
6
3
'
6542103
' ?fhxRyyyyyy
h
xf ?????????
例题
例 5.5.2 设 ( ) lnf x x=,取 0, 0 5h =,试分别用三点公式和五点
公式计算 ( )' 2f 的近似值。
解 由式 (5.5.1 0) 有
4 9 9 8 0 2 8 6 1.0))10.2()05.2(4)2(3(05.02 1)2(' ?????? ffff
5 0 0 1 0 4 2 0 5.0))05.2()95.1((05.02 1)2(' ????? fff
4 9 9 7 7 9 3 7 6.0))2(3)95.1(4)90.1((05.02 1)2(' ????? ffff
由式 ( 5.5.1 1) 有
4 9 9 9 9 9 8 4 3.0))10.2()05.2(6)95.1(8)90.1((05.012 1)2(' ?????? fffff
与真值
( )' 2 0,5f =
相比，三点公式已有相当满意精
度，而五点公式的结果是十分满意的。
5.5.3 数值微分的隐式格式
前述的数值微分格式均称为显式格式，即直接由已
知的
( ) ( 0,1,2,jf x j =
,)nL
，经过适当的算术四则运算，
立即可得
( )' jfx
的近似值。显式格式优点是计算方便,
工作量小，缺点是数值不稳定。为克服后一缺点，隐式
格式常常具有数值稳定性。
T a y lo r 展式 法和 插值 法数值微分都是显示格式,其
优点是计算方便,计算量小,缺点是数值不稳定。 而隐
式格式具有数值稳定性。
数值微分的隐式格式建立方法常用通过 T a y lo r 展开
式方法或数值积分方法等不同途径。下面我们用 T a y lo r
展开式方法来推导数值微分的隐 式 格式。
由式 (5.5.7 ) 和式 (5.5.8 ),我们用
kx
代替
0x
得,
)()(6
6
)](8)([
2
1)( 4'''2' hOxfhhxfhxf
h
xf kkkk ??????
)(
12
)]()(2)([1)( )4(
2
2
'' ?fhhxfxfhxf
h
xf kkkk ??????
所以也有
)(
12
)]()(2)([1)( )5(
2
'''
2
''' ?fhhxfxfhxf
h
xf kkkk ??????
将最后
( )'" kfx
表达式代入
( )' kfx
表达式可得
)()]()(2)([
6
1)]()([
2
1)( 4'''' hOhxfxfhxfhxfhxf
h
xf kkkkkk ??????????
略去误差项
( )4Oh
，并且
km
表示
( )' kfx
的近似值，则
有
),.,,,2,1()]()([
1
4 1111 nkxfxf
h
mmm kkkkk ????? ????
式 (5.5.1 5 ) 是关于 1n + 个未知量
01,,nm m mL
的 1n - 个方程，如果
已知
0m =
( ) ( )'' 0,nnf x m f x=
，或用五点公式 (5.5.1 1) 补充出
)](3)(16)(36)(48)(25[
12
1
132100 xfxfxfxfxf
h
m ??????
)](25)(48)(36)(16)(3[
12
1
1234 nnnnnn xfxfxfxfxfhm ????? ????
记
)](16)([
3
11 ?? ?? kkk xfxfhd
,故有方程组,
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
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?
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nn
n
n
n
md
d
d
d
md
m
m
m
m
m
1
2
3
2
01
1
2
3
2
1
41
141
141
141
14
?????
（ 5,5.16 ）
式 (5.5.1 6) 就是求
1 2 1,,,nm m m -L
得线性方程组。由于系数矩阵是严格对角占
优的三对角矩阵，因此非奇异，解存在且唯一，可由追赶法求解，且数值
稳定。
同理 我们也可以建立求二阶导数
( )" kfx
的隐式格式, 可得,
?
?
?
?
?
?
?
?
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?
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?
?
?
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?
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?
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nn
n
n
n
MD
D
D
D
MD
M
M
M
M
M
1
2
3
2
01
1
2
3
2
1
101
1101
1101
1101
110
?????
(5.5.1 9 )
其中：
)]()(2)([
12
112 ?? ??? kkkk xfxfxf
h
D
（ k= 1,2,… n ）,
kM
=
( )" kfx
（ k= 1,2,… n - 1 ）,如果
已知
0M ( ) ( )
""
0,nnf x M f x==
，或类似五点公式补充出 。
式 (5.5.1 9) 就是求
1 2 1,,,nM M M -L
的线性方程组。同样，由于系数矩阵是严格对角占优的三
对角矩阵，故式 (5.5.1 9) 解存在且唯一，用追赶法求解，有较好效果。
例 5.5.3 设函数 ( )
lnf x x=
在节点 1,5,1,6,1,7,1,8,1,9,2,0x =
上的函数值，及 ( ) ( )
''1,5,2,0ff
如表 5.5.1 所示。 试用数值微
分隐式格式式 ( 5.5.1 6) 和式 ( 5.5.1 9) 求出相应节点上一阶和二
阶导数的近似值。
表 5, 5,1 例 5, 5,3 节点数据
x f ( x ) f ' ( x )
1,5 0,4054 6510 8 0,6666 6666 7
1,6 0,4700 0362 9
1,7 0,5306 2825 1
1,8 0,5877 8666 4
1,9 0,6 41853886
2,0 0,6931 4718 0,5000 0000 0
解 由式 (5.5.1 6) 和式 (5.5.1 9) 有
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
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?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
5 0 0 0 0 0 0 0.01 6 0 8 1 5 4 8.3
3 3 6 7 6 9 0 5.3
5 3 3 4 9 1 0 5.3
6 6 6 6 6 6 6 7.07 5 4 8 9 4 2 9.3
41
141
141
14
4
3
2
1
m
m
m
m
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
?
?
???
?
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?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
)25.0(3 2 8 7 1 3 6.3
7 0 9 4 2 9 2.3
1 5 9 4 5 0 8.4
)4 4 4 4 4 4 4.0(6 9 6 6 7 8 8.4
101
1101
1101
110
4
3
2
1
M
M
M
M
解上述两方程组得,
1
2
3
4
0.625011309
0.588230988
0.555555784
0.526315789
m
m
m
m
=
=
=
=
1
2
3
4
0,3 9 0 6 2 1 5 4
0,3 4 6 0 1 8 8 9
0,3 0 8 6 4 0 2
0,2 7 7 0 0 7 3 3
M
M
M
M
=-
=-
=-
=-
与
( ) ( )'"
2
11
,f x f x
xx
-
==
在各相应节点上数值相比，
上述结果约有五位有效数字，应当说有满意的精度，
如果 h 适当小些，其结果会有更为满意的精度。
