4.4 三次样条插值
? 前面我们根据区间 [a,b]上给出的节点做
插值多项式 Ln(x)近似表示 f (x)。一般总
以为 Ln(x)的次数越高，逼近 f (x)的精度
越好，但实际并非如此，次数越高，计
算量越大，也不一定收敛。因此高次插
值一般要慎用，实际上较多采用分段低
次插值。
4.4.1 分段插值
2,
)1,(],[
,1
],[)(
],[,,.,,,1,0,,
2
010
1
1
1
??
???
???
??
?
?
jxu
jxuxxx
jxuxu
xxxf
xxxnjyx
jj
jjjj
取若
，则外插也选若，即
取，，若计算机上实现
。上的现性插值函数表示用则
判断）已知（
分段线性插值
)/())((
)/())((
,
1111
1
1
1
1
1111
1
????
?
?
?
?
????
?
?????
?
?
?
?
?
?
?????
??
jjjjjj
j
jj
j
j
jj
j
jjjjjj
jj
xxyyxxy
y
xx
xx
y
xx
xx
y
xxyyxuyu
xux
这是因为
则线性插值函数为一般的，
分段线性插值
则如果
做对于
输入插值点
做按
输入
算法：
j
ii
xu
mk
niyx
?
?
?
?
n1,2,.,,,j( 2 )
u( 1 )
,.,,,2,1.2
),.,,,1,0(,.1
分段线性插值
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?????
?
????
),()(
.,,,,,
),()(
),()(
)(
,2
)/())((1
1
212
101
0
1111
0
nnn
jjjjjj
xxxxI
xxxxI
xxxxI
xI
vu
xxyyxuyv
分段插值函数
输出
)/())((
1111
1
1
1
1
????
?
?
?
?
?????
?
?
?
?
?
?
jjjjjj
j
jj
j
j
jj
j
j
xxyyxxy
y
xx
xx
y
xx
xx
I其中
?缺点,I(x)连续，但不光滑，精度较低,仅在
。足够小才能较好的逼近}{m a x 11 ??? ??? jjjnj xxhh
分段三次 Hermite插值
? 上述分段线性插值曲线是折线，光滑性
差，如果交通工具用这样的外形，则势
必加大摩擦系数，增加阻力，因此用
hermite分段插值更好。
分段三次 Hermite插值
2
2
2
111
21
2
21
11
11113
1
))(()(
))(()(
))(21()(
))(21()(
)()()()()(
],[
j
j
jj
j
j
jj
j
j
j
j
j
j
j
j
j
j
jjjjjjjj
jj
h
xu
xuuB
h
xu
xuuB
h
xu
h
xu
uA
h
xu
h
xu
uA
fxfxyxyxxH
xxxHe r m i t e
?
???
?
???
??
???
??
???
??????
?
??
?
?
?
????
?
?
?
?
?
????
令
时插值三次
分段三次 Hermite插值算法
。输出
则计算如果
做对于
输入插值点
计算插值
）；（输入
算法：
vu
fBfBfAfAv
BBAAxu
nj
u
njffx
jjjj
j
jjj
,.3;,,,
,.,,,2,1)2(;)1(
.2
,.,,,1,0,,.1
211211
2121
??????
?
?
??
??
jjjj fBfByAyAv ?????? ?? 211211则
例题
2
2
2
1
22
2
22
1
10
)1)(2(
)2)(1(
)1)(32()1))(2(21(
)2)(12()2))(1(21(
112,2,1
1)2(1)1(3)2(2)1(
???
???
???????
???????
?????
???????
xxB
xxB
xxxxA
xxxxA
hxx
He r m i t e
ffff
则解：
插值多项式。求满足条件的
，，，，设例
例题
5983
)1)(2()2)(1(
)1)(32(3)2)(12(2)(
23
22
22
3
?????
??????
??????
xxx
xxxx
xxxxxH
所以得
4.4.2 三次样条插值
的三次样条函数。对应于划分为区间则称
有连续的二阶导数）上在开区间（
三次多项式；
是不超过上在每个小区间
）（
满足条件如果函数
：
上给出一个划分，在区间
，上的二次连续可微函数是区间设函数定义
?
?
??
???????
?
?
],[)(
,)(,)3(
)(),.,,,2,1](,[)2(
);,.,,2,1,0()()(1
)(
...
][
],[)(
1
110
baxs
xsba
xsnjxx
njxfxs
xs
bxxxxa
ba
baxf
jj
jj
nn
三次样条插值
1,.,,,2,1
)0()0(
)0()0(
)0()0(
)1()2(
,.,,,1,0)()(1
.,,
...2,1),,()()(
],[)(
1
23
1
??
?
?
?
?
?
???????
?????
???
?
??
???????
?
?
nj
xsxs
xsxs
xsxs
n
njxfxs
dcba
njxxxdxcxbxaxsxs
xxxs
jj
jj
jj
jj
jjjj
jjjjjjj
jj
条件：内节点处连续及光滑性
）；（）（
为：为待定常数，插值条件其中
上有表达式在每个子区间设三次样条函数
三次样条插值
?
?
?
????
????
?
?
nnn
jjjj
mxfxs
mxfxs
n
nnjdcba
)()(
)()(
24
4,,.,,2,1.,,
000
已知两端点的一阶导数第一类
以下三类：条件称为边界条件，有
给出两个个，还缺两个，因此须而插值条件为
个未知系数，即对于待定系数
三次样条插值
?
?
?
?
?
???????
?????
?
??
?
?
?
??????
??????
)0()0(
)0()0(
)()(
0
)()(
)()(
.
00
0
0
000
nn
n
n
nnn
xsxs
xsxs
xsxs
MM
Mxfxs
Mxfxs
第三类：周期边界条件
时为自然边界条件当
已知两端点二阶导数第二类：
三次样条插值
],[)(
],[)(
],[)(),.,,2,1,0()(
!
1
1
1
1
?
?
?
?
?
??
?
?
????
??
????
ii
ii
ii
ii
iiii
xxx
xx
MM
xs
xxxs
xxxsniMxs
项式，故有
上是一次多在是三次多项式，所以
上在。因为令
条插值函数用三弯矩阵构造三次样
三次样条插值
)1())(
6
2
6
1
()(
)(
!3
)(
!2
))((
)(
)(!3
)(
!2
))((
)(
!3
)(
)(
!2
)(
))(()()(
11
1
1
2
1
12
111
1
3
1
12
32
iiii
ii
ii
i
ii
ii
ii
i
iiiii
i
i
ii
ii
i
i
jii
i
i
i
i
iii
xxMM
xx
yy
xs
xx
MM
xx
M
xxxsyy
xx
xx
xx
MM
xx
M
xxxsy
xx
xs
xx
xs
xxxsxsxs
T a y l o r
???
?
?
??
?
?
???????
?
?
?
?
???????
?
???
??
??
?????
??
?
?
?
?
???
?
?
?
解得
得令
展示有于是由
三次样条插值
ii
i
ii
ii
i
iiii
iiii
ii
ii
iiii
ii
ii
iiii
ii
ii
i
ii
hh
h
hh
h
xxh
xxMM
xx
yy
xxMM
xx
yy
xs
xxMM
xx
yy
xs
xx
?
???
?
???
???
?
?
????
?
?
??
???
?
?
??
?
?
?
?
??
?
?
??
?
?
??
?
?
?
1
1
1
1
11
1
1
11
1
1
11
1
1
1
1
))(
6
1
6
2
())(
6
2
6
1
(
21)(
)2())(
6
1
6
2
()(
],[
???记
）即（）连续，所以（因为
上讨论得同理在
三次样条插值
]),[],[(6)(2
]),[],[(6)2()2
)2(
6
1
],[)2(
6
1
],[
111111
11111
11111
??????
?????
?????
?????
?????
?????
iiiiiiiiiii
iiiiiiiiii
iiiiiiiiii
xxfxxfMhMhhMh
xxfxxfhMMhMM
hMMxxfhMMxxf
也就是
（
即
则上式为
1,.,,2,1],,[62
],,[62
)(
1111
111
1
1
1
11111
?????
?
?
??
?
???????
????
???
?
?
?
?????
nixxxfMMM
xxxfM
hh
h
MM
hh
h
hhxxxxxx
iiiiiiii
iiii
ii
i
ii
ii
i
iiiiiiii
??
即得
得
两边同除
三次样条插值
],,[62
))(
6
2
6
1
()(
0)1(
)()()()(
10010
0101
01
01
0
00
xxxfMM
xxMM
xx
yy
xs
i
xfxsxfxs
nn
??
???
?
?
??
?
??????
既有
得式中令
第一类边界条件：
三次样条插值
?
?
?
?
?
??
?????
??
??
?
??
????
??
],,[62
1,.,,,2,1],,[62
],,[62
],,[62
)2(
11
1111
10010
11
nnnnn
iiiiiiii
nnnnn
xxxfMM
nixxxfMMM
xxxfMM
xxxfMM
ni
）（
即有
得式中令同理
??
三次样条插值
2,.,,,3,2
],,[62
],,[62
],,[62
)()(,)()(
11221
1111
01210211
''''
00
''
0
''
??
?
?
?
?
?
???
???
???
????
?????
????
ni
MxxxfMM
xxxfMMM
MxxxfMM
MxfxsMxfxs
nnnnnnnn
iiiiiiii
nnn
??
??
??
同理可得
第二类边界条件
三次样条插值
1,.,,,3,2
],,[62
],,[62
],,[2
1111
1111
2101211
??
?
?
?
?
?
???
???
???
???
????
ni
xxxfMMM
xxxfMMM
xxxfMMM
nnnnnnn
iiiiiiii
n
??
??
??
三弯方程周期函数边界条件下的
例题
? 例 4.4.1 已知函数 y=f(x)的数表如下表所示。
求满足边界条件
x 0 0.15 0.30 0.45 0.60
f(x) 1 0.97800 0.91743 0.83160 0.73529
。并计算函数
三次样条
)2.0(),(
6 4 8 7 9.0)60.0(,0)0(
sxs
ss ?????
? 解 做差商表 (P111),由于是等距离节点,
2
1
,
2
1
4,3,2,115.0
1
1
1
1
?
?
??
?
?
????
?
?
?
?
ii
i
i
ii
i
i
iii
hh
h
hh
h
ixxh
??
? 由第二类边界条件得 0
1
2
3
4
2 1 5,8 6 6 6 7
0,5 2 0,5 5,1 4 2 6 0
0,5 2 0,5 3,3 6 7 9 8
0,5 2 0,5 1,3 9 7 4 0
1 0,2 6 8 8 0
n
M
M
M
M
a M
???? ? ? ?
???? ??
?
?? ??
???? ????
?? ??
????? ??
?? ???
? ? ? ???
? 解方程得
? 将 Mi代入式 4.4.14)得
0 8 4 1 8.0,4 3 7 1 6.0
,1 3 0 3 1.1,7 7 7 5 7.1,0 4 4 6 2.2
43
210
???
??????
MM
MMM
32
32
32
32
0,29 67 2 1,02 23 1 1,[ 0,0,15 ]
0,71 91 8 1,21 24 2 0,02 85 1 0,99 85 8,[ 0,15,0,30 ]
()
0,77 01 7 1,25 83 1 0,04 22 8 0,99 72 0,[ 0,30,0,45 ]
0,57 92 7 1,00 05 9 0,07 37 0 1,01 46 1 [ 0,45,0,60 ]
x x x
x x x x
sx
x x x x
x x x x
? ? ? ?
?
? ? ? ??
? ?
? ? ? ??
? ? ? ? ?
?
0,2 0 [ 0,1 5,0,3 0 ]?
由于 故
33( 0, 2 0 ) 0, 7 1 9 1 8 0, 2 1, 2 1 2 4 2 0, 2 0, 0 2 8 5 1 0, 2 0, 9 9 8 5 8 0, 9 6 1 5 4s ? ? ? ? ? ? ? ?
4,5 曲线拟和的最小二乘法
? 插值法是用多项式近似的表示函数,并要
求在他们的某些点处的值相拟合,同样也
可以用级数的部分和作为函数的近似表
达式,无论用那种近似表达式,在实际应用
中都要考虑精度,所以我们给出最佳逼近
的讨论,
4.5.1 最佳平方逼近
? 定义 4.5.1 设 称
为函数 在区间 [a,b]上的内积,
其中 为区间 [a,b]上的权函数,且满足
下面两个条件,
( ),( ) [,],f x g x C a b?
?? ba xxgxfxgf d)()()(),( ?
)(),( xgxf
)(x?
,.,,2,1,0d)(2
,0)(][)1(
?
?
? ixxx
xba
b
a
i 存在，）（
零点；并且最多只能有有限个上，，在
?
?
容易验证,上述定义的函数内积满足一般内积概
念中四条基本性质,
内积的性质
是等号成立。切当且仅当性质
性质
性质
性质
0,0),(4
);,(),(),(3;),,(),(2
);,(),(1
2121
??
???
??
?
fff
gfgfgff
Rgfgf
fggf
???
函数的欧几里得范数
? 定义 4.5.2 设 称
为函数 f(x)的欧几里得范数,或 2范数,
( ),( ) [,],f x g x C a b?
),(2 fff ?
函数的欧几里得范数性质
。性质
性质；时有，当且仅当性质
222
22
22
3;2
0001
gfgf
Rff
fff
???
??
???
???
线性相关的函数系
? 定义 4.5.3 设函数,
如果存在一组不全为零的数 使
( ) [,],( 0,1,2 )k x C a b k n? ?? L
k?
0 0 1 1( ) ( ) ( ) 0nnx x x? ? ? ? ? ?? ? ??? ? ?
成立,则称函数系 是线性相关的,
否则称 是线性无关的,
? ?0() nk x?
? ?0() nk x?
线性相关的函数系的判定
? 定理 4.5.1 函数 在区间 [a,b]上线性相
关的充分必要条件是 Gramer行列式
? ?0()nk x?
0 0 0 1 0
1 0 1 1 1
01
01
(,) (,) (,)
(,) (,) (,)
(,,,) 0
(,) (,) (,)
n
n
n
n n n n
G
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
? ? ?
? ? ? ? ? ?
??
??
? ? ? ? ?
??
??
L
L
M M M
L
? 不难证明 在 R上
线性无关,
? 定理 4.5.1的等价说法是,函数系
线性无关的充分必要条件是 Gramer行列
式,
( ) ( 0,1,2,)kk x x k n? ? ? ???
? ?0()nk x?
01(,,,) 0nG ? ? ???? ?
最佳平方逼近
? 定义 4.5.4 设函数 及函数系
且线性无关,
记 为连续函数空 C[a,b]的子
空间,如果存在元素 满足
( ) [,]f x C a b?
( ) [,] ( 0,1,2,)k x C a b k n? ? ? ???
01{,,,}nSpan? ? ? ?? ???
**
0
( ) ( )
n
kk
k
s x x??
?
? ?
2 2*2
22 0in f in f ( ) [ ( ) ( ) ] ( 4, 5, 5 )
nb
kkass
k
f s f s x f x x d x?? ? ? ???
?
? ? ? ? ? ??
则称 为 f(x)在 上的最佳平方逼近
函数,且
其中 是法方程
唯一的一组解,
*()sx ?
**
0
( ) ( )
n
kk
k
s x x??
?
? ?
* * *
01,,,n? ? ????
0
2 ( ) [ ( ) ( ) ] ( ) 0 ( 0,1,2,)
nb
k k ja
k
x f x x x d x j n? ? ? ?
?
? ? ? ? ????
? 令 则误差为
*( ) ( )f x s x? ??
2 * * * * *
2
2**
2
0
(,) (,) (,)
(,) (,) (,)
n
kk
k
f s f s f s f f s s
f f s f f f
?
??
?
? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ?
特例
? 取
则法方程为
其中
( ) ( 0,1,2,),( ) 1,[,] [0,1 ]kk x x k n x a b??? ? ? ?? ? ?
00
11
11
1
21
111
( 4.5.10 )322
1 1 1
1 2 2 1
nn
n
n
n n n
??
??
??
??
??
?
? ? ? ?
? ? ? ???
? ? ? ??
?
? ? ? ???
? ? ? ?
? ? ? ???
? ? ???
L
L
MM
M MM
L
1
0 ( ) ( 0,1,2,)
kj x f x d x k n? ? ? ????
例题
? 例 4.5.1 设 求 f(x)在区间
[0,1]上的一次最佳平方逼近多项式,
? 解 设 由于
( ),[0,1 ],xf x e x??
01()s x x????
1
1 0 00(,) 1
xf e d x e??? ? ? ??
1
1 1 10(,) 1
xf x e d x??? ? ??
? 故法方程为
解得
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? ?
1
1e
1
0
3
1
2
1
2
1
1
?
?
01
*
4 1 0 0, 8 7 3 1 2 7 3 1 3,6 ( 3 ) 1, 6 9 0 3 0 9 0 3
( ) 0, 8 7 3 1 2 7 3 1 3 1, 6 9 0 3 0 9 0 3
ee
s x x
??? ? ? ? ? ?
??
? 平方误差为
0 6 2 7 7.0
0 0 3 9 4 0 2 2 3 4.0
)3(6)1)(104(
2
1
0
2
1100
2
2
2
2
?
?
??????
???
?
?
?????
所以
eeedxe
f
x
4.5.2 对离散数据的曲线拟合最小二乘法
? 曲线拟合问题
对于 f(x)插值问题,要想提高精度,就要增加
节点,因此多项式的次数也就太高,计算量过大,
而节点少,多项式的次数低,但误差精度不能保
证,为了消除误差干扰,取多一些节点利用最小
二乘法确定低次多项式近似表示 f(x),这就是曲
线拟合问题,
? 在科学实验中,得到函数 y=f(x)的一组实验数
据,,求曲线
与实验数据误差在某种度量意义下最小,
),...2,1,0(),( miyx ii ?
)(.,,)()()( *1*10*0* xxxxs nn ?????? ???
? 设 是 [a,b]上一组线性无关的连续
函数系,令
? ?0() nk x?
0 0 1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( 4, 5, 1 1 )nns x x x x? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?
记误差
.为寻求 我们常以误差
加权平方和最小为度量标准,即
( ) ( 0,1,2,)i i is x y i m? ? ? ? ???
01,,,n? ? ????
i?
2 2
01 2
0
(,,,) ( )
m
n i i
i
Ix? ? ? ? ? ?
?
? ? ? ? ? ?
( ) 0x? ?达到极小值,这里 是 [a,b]上的权函数,
类似前述最佳平方逼近方法,有多元函数
极值必要条件有
00
2 ( ) [ ( ) ( ) ] ( ) 0 ( 0,1,2,)
mn
i k k i i j i
ikj
I x x f x x j n? ? ? ?
? ??
? ? ? ? ? ? ??
? ??
? 用向量内积形式表示,上式可记
上式为求 的法方程组,其
矩阵的形式为
0
(,) ( 0,1,2,)
n
j k k j
k
jn? ? ? ?
?
? ? ????
000 0 0 1 0
111 0 1 1 1
01
(,) (,) (,)
(,) (,) (,)
( 4,5,1 4 )
(,) (,) (,)
n
n
n n n n nn
??? ? ? ? ? ?
??? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ??
? ? ? ???
?? ? ? ? ?
? ? ? ??
? ? ? ?
?? ? ? ? ?
?? ? ? ? ?
L
L
M M M MM
L
01,,,n? ? ????
? 其中
0
(,) ( ) ( ) ( )
m
j k i j i k i
i
x x x? ? ? ? ?
?
? ?
),.,,2,1,0()()()(),(
0
njxxfxf ij
m
i
iijj ??? ?
?
????
由于向量组 是线性无关,
故式 (4.5.14)的系数行列式
01,,,n? ? ????
01(,,,) 0,nG ? ? ???? ?
? 故式 (4.5.14)存在唯一解,
于是得到函数 f(x)的最小二乘解
? 其平方误差为
* * *01,,,n? ? ????
* * * *0 0 1 1( ) ( ) ( ) ( ),nns x x x x? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?
T
mkkkk
T
m
n
k
kk
n
k
kk
xxxyyyf
fff
))(),.,,,(),((,),.,,,,(
),(
1010
0
*2
2
0
*2
2
2
2
????
?????
??
???? ??
??
这里
特例
?
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ii
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n
i
m
i
i
m
i
k
k
xy
xy
y
xxx
xxx
xx
nkxxx
0
0
0
1
0
0
2
0
1
0
0
1
0
2
0
000
1
),.,,,2,1,0()(1)(
?
?
?
???
?
?
?
?
?
??
最小二乘的法方程为
时，，当
例题
? 例 4.5.2 设函数 y=f(x)的离散数据如下表所示
试用二次多项式拟和上述数据,并求平方误差,
0 1 2 3 4 5
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
1.000 1.221 1.492 1.822 2.226 2.718
i
ix
iy
? 解 由式 (4.5.16)可得
? 解方程组得
? 所以拟合二次函数为
?
?
?
?
?
?
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?
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?
?
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?
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?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
0 8 6 1 2.5
4 3 3.6
4 7 9.10
5 6 6 4.18.12.2
8.12.23
2.236
2
1
0
?
?
?
0 1 21, 0 0 6 3 2 1 4 2 8,0, 8 6 2 5 8 9 2 9 5,0, 8 4 2 4 1 0 7 0 4? ? ?? ? ?
21, 0 0 6 3 2 1 4 2 8 0, 8 6 2 5 8 9 2 9 5 0, 8 4 2 4 1 0 7 0 4y x x? ? ?
? 平方误差为
01755.0
1007893.3
2
4
221100
2
2
2
2
?
??
????
?
?
???????
所以
f
? 例 4.5.3 地球温室效应问题
? 下表统计了近 100年内地球大气气温上升
的数据,试根据表中数据建立一数学模型即
拟和曲线,并根据这一模型,预报地球气温
何年会比 1860年的平均温度高 7oC
年份 N 1860年后地球气
温增加值
年份 N 1860年后地球气
温增加值
1880 0.01 1940 0.10
1890 0.02 1950 0.13
1900 0.03 1960 0.18
1910 0.04 1970 0.24
1920 0.06 1980 0.32
1930 0.08
Ct0Ct0
? 解 为简化数据,从 1880年起年份记 N,其变
换 n=(N-1870)/10.将地球气温增加值改
记为 t=1,2,3,4,6,8,10,13,18,24,32,也就
是将原气温增加值扩大 100倍,根据新数
据绘制图 4.5.1 (P119)
? 从图 4.5.1可以看出,气温 t与变换 n大致服
从指数函数增长过程,因此,可以假设 t与 n
满足指数函数关系
? 为决定参数 α,β将上式改写成
nte ???
l n l ntt????
? 记 则有
? 这是已知数据相应地变为如下表所示
l n,,l n,y t x n a b??? ? ? ?
bxay ??
n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
ln1 ln2 ln3 ln4 ln6 ln8 ln10 ln13 ln19 ln24 ln32
ty ln?
? 由式 (4.5.16),取 n=1,m=10,并将上表已知数
据带入得
解方程组得,
1 1 6 5 2 1, 4 5 0 9 5 0 7 8
6 5 5 0 6 1 6 4, 2 1 7 4 2 4 8
ab
ab
????
???
1.143695108
0.307292969
ae
b
?
?
? ??
? ??
?
所以,3 0 7 2 9 2 9 6 9.0,1 3 4 2 6 4 3 4 3.0 ?? ba
? 相应的 t 与 n 的指数型拟合曲线关系为
? 就是所求地球温室效应的指数函数的数
学模型,以此进行预报,即已知 t值求
0, 3 0 7 2 9 2 9 6 91, 1 4 3 6 9 5 1 0 8te?
l n ( / 1, 1 4 3 6 9 5 1 0 8 ) / 0, 3 0 7 2 9 2 9 6 6
1 8 7 0 1 0
nt
Nn
?
??
? 以地球气温比 1860年上升 为例,即以
t=700代入上式可得,
N(7)=2078(年 )
7oC
4.5.3 矛盾方程组的最小二乘解
? 设矛盾方程组
? 这里 m>n,记
11 1 12 2 1 1
21 1 22 2 2 2
1 1 2 2
( 4.5,18 )
nn
nn
m m m n n m
x x x b
x x x b
x x x b
? ? ?
? ? ?
? ? ?
? ? ??
? ? ? ?
?
?
?
? ? ? ??
L
L
L
L
11
22
( ),,,
ij m n
nn
xb
xb
A a x b
xb
?
? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ?? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ?
MM
? 则上式可简记为 Ax=b,
? 矛盾方程组的最小二乘解 x*是指满足
22 *
2 2m i n A x b A x b? ? ?
? 引理 设 则 B为半正定
对称方阵,当 R(A)=n,则 B是正定对称
方程,若 A的各列线性无关,则
是非奇异方阵,
,,m n TA R B A A???
TB A A?
? 定理 4.5.2 设 且各列向量线性无关,
则
(1)矛盾方程组 (4.5.19)的法方程组
恒有解 ;
(2)设 x* 是法方程组 的解,则 x* 是矛
盾方程组 (4.5.19)的最小二乘解,
nmRA ??
TTA Ax A b?
TTA Ax A b?
? 定理 4.5.2指出,实验数据
的曲线拟合最小二乘法本质上就是矛盾方
程组
的最小二乘解,
),...2,1,0(),( miyx ii ?
0 0 0 1 1 0 0 0
0 0 1 1 1 1 1 1
0 0 1 1
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( 4,5,1 7 )
( ) ( ) ( )
nn
nn
m m n n m m
x x x y
x x x y
x x x y
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
? ? ??
?
? ? ??
?
?
? ? ? ??
L
L
L
L
? 前面我们根据区间 [a,b]上给出的节点做
插值多项式 Ln(x)近似表示 f (x)。一般总
以为 Ln(x)的次数越高，逼近 f (x)的精度
越好，但实际并非如此，次数越高，计
算量越大，也不一定收敛。因此高次插
值一般要慎用，实际上较多采用分段低
次插值。
4.4.1 分段插值
2,
)1,(],[
,1
],[)(
],[,,.,,,1,0,,
2
010
1
1
1
??
???
???
??
?
?
jxu
jxuxxx
jxuxu
xxxf
xxxnjyx
jj
jjjj
取若
，则外插也选若，即
取，，若计算机上实现
。上的现性插值函数表示用则
判断）已知（
分段线性插值
)/())((
)/())((
,
1111
1
1
1
1
1111
1
????
?
?
?
?
????
?
?????
?
?
?
?
?
?
?????
??
jjjjjj
j
jj
j
j
jj
j
jjjjjj
jj
xxyyxxy
y
xx
xx
y
xx
xx
y
xxyyxuyu
xux
这是因为
则线性插值函数为一般的，
分段线性插值
则如果
做对于
输入插值点
做按
输入
算法：
j
ii
xu
mk
niyx
?
?
?
?
n1,2,.,,,j( 2 )
u( 1 )
,.,,,2,1.2
),.,,,1,0(,.1
分段线性插值
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?????
?
????
),()(
.,,,,,
),()(
),()(
)(
,2
)/())((1
1
212
101
0
1111
0
nnn
jjjjjj
xxxxI
xxxxI
xxxxI
xI
vu
xxyyxuyv
分段插值函数
输出
)/())((
1111
1
1
1
1
????
?
?
?
?
?????
?
?
?
?
?
?
jjjjjj
j
jj
j
j
jj
j
j
xxyyxxy
y
xx
xx
y
xx
xx
I其中
?缺点,I(x)连续，但不光滑，精度较低,仅在
。足够小才能较好的逼近}{m a x 11 ??? ??? jjjnj xxhh
分段三次 Hermite插值
? 上述分段线性插值曲线是折线，光滑性
差，如果交通工具用这样的外形，则势
必加大摩擦系数，增加阻力，因此用
hermite分段插值更好。
分段三次 Hermite插值
2
2
2
111
21
2
21
11
11113
1
))(()(
))(()(
))(21()(
))(21()(
)()()()()(
],[
j
j
jj
j
j
jj
j
j
j
j
j
j
j
j
j
j
jjjjjjjj
jj
h
xu
xuuB
h
xu
xuuB
h
xu
h
xu
uA
h
xu
h
xu
uA
fxfxyxyxxH
xxxHe r m i t e
?
???
?
???
??
???
??
???
??????
?
??
?
?
?
????
?
?
?
?
?
????
令
时插值三次
分段三次 Hermite插值算法
。输出
则计算如果
做对于
输入插值点
计算插值
）；（输入
算法：
vu
fBfBfAfAv
BBAAxu
nj
u
njffx
jjjj
j
jjj
,.3;,,,
,.,,,2,1)2(;)1(
.2
,.,,,1,0,,.1
211211
2121
??????
?
?
??
??
jjjj fBfByAyAv ?????? ?? 211211则
例题
2
2
2
1
22
2
22
1
10
)1)(2(
)2)(1(
)1)(32()1))(2(21(
)2)(12()2))(1(21(
112,2,1
1)2(1)1(3)2(2)1(
???
???
???????
???????
?????
???????
xxB
xxB
xxxxA
xxxxA
hxx
He r m i t e
ffff
则解：
插值多项式。求满足条件的
，，，，设例
例题
5983
)1)(2()2)(1(
)1)(32(3)2)(12(2)(
23
22
22
3
?????
??????
??????
xxx
xxxx
xxxxxH
所以得
4.4.2 三次样条插值
的三次样条函数。对应于划分为区间则称
有连续的二阶导数）上在开区间（
三次多项式；
是不超过上在每个小区间
）（
满足条件如果函数
：
上给出一个划分，在区间
，上的二次连续可微函数是区间设函数定义
?
?
??
???????
?
?
],[)(
,)(,)3(
)(),.,,,2,1](,[)2(
);,.,,2,1,0()()(1
)(
...
][
],[)(
1
110
baxs
xsba
xsnjxx
njxfxs
xs
bxxxxa
ba
baxf
jj
jj
nn
三次样条插值
1,.,,,2,1
)0()0(
)0()0(
)0()0(
)1()2(
,.,,,1,0)()(1
.,,
...2,1),,()()(
],[)(
1
23
1
??
?
?
?
?
?
???????
?????
???
?
??
???????
?
?
nj
xsxs
xsxs
xsxs
n
njxfxs
dcba
njxxxdxcxbxaxsxs
xxxs
jj
jj
jj
jj
jjjj
jjjjjjj
jj
条件：内节点处连续及光滑性
）；（）（
为：为待定常数，插值条件其中
上有表达式在每个子区间设三次样条函数
三次样条插值
?
?
?
????
????
?
?
nnn
jjjj
mxfxs
mxfxs
n
nnjdcba
)()(
)()(
24
4,,.,,2,1.,,
000
已知两端点的一阶导数第一类
以下三类：条件称为边界条件，有
给出两个个，还缺两个，因此须而插值条件为
个未知系数，即对于待定系数
三次样条插值
?
?
?
?
?
???????
?????
?
??
?
?
?
??????
??????
)0()0(
)0()0(
)()(
0
)()(
)()(
.
00
0
0
000
nn
n
n
nnn
xsxs
xsxs
xsxs
MM
Mxfxs
Mxfxs
第三类：周期边界条件
时为自然边界条件当
已知两端点二阶导数第二类：
三次样条插值
],[)(
],[)(
],[)(),.,,2,1,0()(
!
1
1
1
1
?
?
?
?
?
??
?
?
????
??
????
ii
ii
ii
ii
iiii
xxx
xx
MM
xs
xxxs
xxxsniMxs
项式，故有
上是一次多在是三次多项式，所以
上在。因为令
条插值函数用三弯矩阵构造三次样
三次样条插值
)1())(
6
2
6
1
()(
)(
!3
)(
!2
))((
)(
)(!3
)(
!2
))((
)(
!3
)(
)(
!2
)(
))(()()(
11
1
1
2
1
12
111
1
3
1
12
32
iiii
ii
ii
i
ii
ii
ii
i
iiiii
i
i
ii
ii
i
i
jii
i
i
i
i
iii
xxMM
xx
yy
xs
xx
MM
xx
M
xxxsyy
xx
xx
xx
MM
xx
M
xxxsy
xx
xs
xx
xs
xxxsxsxs
T a y l o r
???
?
?
??
?
?
???????
?
?
?
?
???????
?
???
??
??
?????
??
?
?
?
?
???
?
?
?
解得
得令
展示有于是由
三次样条插值
ii
i
ii
ii
i
iiii
iiii
ii
ii
iiii
ii
ii
iiii
ii
ii
i
ii
hh
h
hh
h
xxh
xxMM
xx
yy
xxMM
xx
yy
xs
xxMM
xx
yy
xs
xx
?
???
?
???
???
?
?
????
?
?
??
???
?
?
??
?
?
?
?
??
?
?
??
?
?
??
?
?
?
1
1
1
1
11
1
1
11
1
1
11
1
1
1
1
))(
6
1
6
2
())(
6
2
6
1
(
21)(
)2())(
6
1
6
2
()(
],[
???记
）即（）连续，所以（因为
上讨论得同理在
三次样条插值
]),[],[(6)(2
]),[],[(6)2()2
)2(
6
1
],[)2(
6
1
],[
111111
11111
11111
??????
?????
?????
?????
?????
?????
iiiiiiiiiii
iiiiiiiiii
iiiiiiiiii
xxfxxfMhMhhMh
xxfxxfhMMhMM
hMMxxfhMMxxf
也就是
（
即
则上式为
1,.,,2,1],,[62
],,[62
)(
1111
111
1
1
1
11111
?????
?
?
??
?
???????
????
???
?
?
?
?????
nixxxfMMM
xxxfM
hh
h
MM
hh
h
hhxxxxxx
iiiiiiii
iiii
ii
i
ii
ii
i
iiiiiiii
??
即得
得
两边同除
三次样条插值
],,[62
))(
6
2
6
1
()(
0)1(
)()()()(
10010
0101
01
01
0
00
xxxfMM
xxMM
xx
yy
xs
i
xfxsxfxs
nn
??
???
?
?
??
?
??????
既有
得式中令
第一类边界条件：
三次样条插值
?
?
?
?
?
??
?????
??
??
?
??
????
??
],,[62
1,.,,,2,1],,[62
],,[62
],,[62
)2(
11
1111
10010
11
nnnnn
iiiiiiii
nnnnn
xxxfMM
nixxxfMMM
xxxfMM
xxxfMM
ni
）（
即有
得式中令同理
??
三次样条插值
2,.,,,3,2
],,[62
],,[62
],,[62
)()(,)()(
11221
1111
01210211
''''
00
''
0
''
??
?
?
?
?
?
???
???
???
????
?????
????
ni
MxxxfMM
xxxfMMM
MxxxfMM
MxfxsMxfxs
nnnnnnnn
iiiiiiii
nnn
??
??
??
同理可得
第二类边界条件
三次样条插值
1,.,,,3,2
],,[62
],,[62
],,[2
1111
1111
2101211
??
?
?
?
?
?
???
???
???
???
????
ni
xxxfMMM
xxxfMMM
xxxfMMM
nnnnnnn
iiiiiiii
n
??
??
??
三弯方程周期函数边界条件下的
例题
? 例 4.4.1 已知函数 y=f(x)的数表如下表所示。
求满足边界条件
x 0 0.15 0.30 0.45 0.60
f(x) 1 0.97800 0.91743 0.83160 0.73529
。并计算函数
三次样条
)2.0(),(
6 4 8 7 9.0)60.0(,0)0(
sxs
ss ?????
? 解 做差商表 (P111),由于是等距离节点,
2
1
,
2
1
4,3,2,115.0
1
1
1
1
?
?
??
?
?
????
?
?
?
?
ii
i
i
ii
i
i
iii
hh
h
hh
h
ixxh
??
? 由第二类边界条件得 0
1
2
3
4
2 1 5,8 6 6 6 7
0,5 2 0,5 5,1 4 2 6 0
0,5 2 0,5 3,3 6 7 9 8
0,5 2 0,5 1,3 9 7 4 0
1 0,2 6 8 8 0
n
M
M
M
M
a M
???? ? ? ?
???? ??
?
?? ??
???? ????
?? ??
????? ??
?? ???
? ? ? ???
? 解方程得
? 将 Mi代入式 4.4.14)得
0 8 4 1 8.0,4 3 7 1 6.0
,1 3 0 3 1.1,7 7 7 5 7.1,0 4 4 6 2.2
43
210
???
??????
MM
MMM
32
32
32
32
0,29 67 2 1,02 23 1 1,[ 0,0,15 ]
0,71 91 8 1,21 24 2 0,02 85 1 0,99 85 8,[ 0,15,0,30 ]
()
0,77 01 7 1,25 83 1 0,04 22 8 0,99 72 0,[ 0,30,0,45 ]
0,57 92 7 1,00 05 9 0,07 37 0 1,01 46 1 [ 0,45,0,60 ]
x x x
x x x x
sx
x x x x
x x x x
? ? ? ?
?
? ? ? ??
? ?
? ? ? ??
? ? ? ? ?
?
0,2 0 [ 0,1 5,0,3 0 ]?
由于 故
33( 0, 2 0 ) 0, 7 1 9 1 8 0, 2 1, 2 1 2 4 2 0, 2 0, 0 2 8 5 1 0, 2 0, 9 9 8 5 8 0, 9 6 1 5 4s ? ? ? ? ? ? ? ?
4,5 曲线拟和的最小二乘法
? 插值法是用多项式近似的表示函数,并要
求在他们的某些点处的值相拟合,同样也
可以用级数的部分和作为函数的近似表
达式,无论用那种近似表达式,在实际应用
中都要考虑精度,所以我们给出最佳逼近
的讨论,
4.5.1 最佳平方逼近
? 定义 4.5.1 设 称
为函数 在区间 [a,b]上的内积,
其中 为区间 [a,b]上的权函数,且满足
下面两个条件,
( ),( ) [,],f x g x C a b?
?? ba xxgxfxgf d)()()(),( ?
)(),( xgxf
)(x?
,.,,2,1,0d)(2
,0)(][)1(
?
?
? ixxx
xba
b
a
i 存在，）（
零点；并且最多只能有有限个上，，在
?
?
容易验证,上述定义的函数内积满足一般内积概
念中四条基本性质,
内积的性质
是等号成立。切当且仅当性质
性质
性质
性质
0,0),(4
);,(),(),(3;),,(),(2
);,(),(1
2121
??
???
??
?
fff
gfgfgff
Rgfgf
fggf
???
函数的欧几里得范数
? 定义 4.5.2 设 称
为函数 f(x)的欧几里得范数,或 2范数,
( ),( ) [,],f x g x C a b?
),(2 fff ?
函数的欧几里得范数性质
。性质
性质；时有，当且仅当性质
222
22
22
3;2
0001
gfgf
Rff
fff
???
??
???
???
线性相关的函数系
? 定义 4.5.3 设函数,
如果存在一组不全为零的数 使
( ) [,],( 0,1,2 )k x C a b k n? ?? L
k?
0 0 1 1( ) ( ) ( ) 0nnx x x? ? ? ? ? ?? ? ??? ? ?
成立,则称函数系 是线性相关的,
否则称 是线性无关的,
? ?0() nk x?
? ?0() nk x?
线性相关的函数系的判定
? 定理 4.5.1 函数 在区间 [a,b]上线性相
关的充分必要条件是 Gramer行列式
? ?0()nk x?
0 0 0 1 0
1 0 1 1 1
01
01
(,) (,) (,)
(,) (,) (,)
(,,,) 0
(,) (,) (,)
n
n
n
n n n n
G
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
? ? ?
? ? ? ? ? ?
??
??
? ? ? ? ?
??
??
L
L
M M M
L
? 不难证明 在 R上
线性无关,
? 定理 4.5.1的等价说法是,函数系
线性无关的充分必要条件是 Gramer行列
式,
( ) ( 0,1,2,)kk x x k n? ? ? ???
? ?0()nk x?
01(,,,) 0nG ? ? ???? ?
最佳平方逼近
? 定义 4.5.4 设函数 及函数系
且线性无关,
记 为连续函数空 C[a,b]的子
空间,如果存在元素 满足
( ) [,]f x C a b?
( ) [,] ( 0,1,2,)k x C a b k n? ? ? ???
01{,,,}nSpan? ? ? ?? ???
**
0
( ) ( )
n
kk
k
s x x??
?
? ?
2 2*2
22 0in f in f ( ) [ ( ) ( ) ] ( 4, 5, 5 )
nb
kkass
k
f s f s x f x x d x?? ? ? ???
?
? ? ? ? ? ??
则称 为 f(x)在 上的最佳平方逼近
函数,且
其中 是法方程
唯一的一组解,
*()sx ?
**
0
( ) ( )
n
kk
k
s x x??
?
? ?
* * *
01,,,n? ? ????
0
2 ( ) [ ( ) ( ) ] ( ) 0 ( 0,1,2,)
nb
k k ja
k
x f x x x d x j n? ? ? ?
?
? ? ? ? ????
? 令 则误差为
*( ) ( )f x s x? ??
2 * * * * *
2
2**
2
0
(,) (,) (,)
(,) (,) (,)
n
kk
k
f s f s f s f f s s
f f s f f f
?
??
?
? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ?
特例
? 取
则法方程为
其中
( ) ( 0,1,2,),( ) 1,[,] [0,1 ]kk x x k n x a b??? ? ? ?? ? ?
00
11
11
1
21
111
( 4.5.10 )322
1 1 1
1 2 2 1
nn
n
n
n n n
??
??
??
??
??
?
? ? ? ?
? ? ? ???
? ? ? ??
?
? ? ? ???
? ? ? ?
? ? ? ???
? ? ???
L
L
MM
M MM
L
1
0 ( ) ( 0,1,2,)
kj x f x d x k n? ? ? ????
例题
? 例 4.5.1 设 求 f(x)在区间
[0,1]上的一次最佳平方逼近多项式,
? 解 设 由于
( ),[0,1 ],xf x e x??
01()s x x????
1
1 0 00(,) 1
xf e d x e??? ? ? ??
1
1 1 10(,) 1
xf x e d x??? ? ??
? 故法方程为
解得
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? ?
1
1e
1
0
3
1
2
1
2
1
1
?
?
01
*
4 1 0 0, 8 7 3 1 2 7 3 1 3,6 ( 3 ) 1, 6 9 0 3 0 9 0 3
( ) 0, 8 7 3 1 2 7 3 1 3 1, 6 9 0 3 0 9 0 3
ee
s x x
??? ? ? ? ? ?
??
? 平方误差为
0 6 2 7 7.0
0 0 3 9 4 0 2 2 3 4.0
)3(6)1)(104(
2
1
0
2
1100
2
2
2
2
?
?
??????
???
?
?
?????
所以
eeedxe
f
x
4.5.2 对离散数据的曲线拟合最小二乘法
? 曲线拟合问题
对于 f(x)插值问题,要想提高精度,就要增加
节点,因此多项式的次数也就太高,计算量过大,
而节点少,多项式的次数低,但误差精度不能保
证,为了消除误差干扰,取多一些节点利用最小
二乘法确定低次多项式近似表示 f(x),这就是曲
线拟合问题,
? 在科学实验中,得到函数 y=f(x)的一组实验数
据,,求曲线
与实验数据误差在某种度量意义下最小,
),...2,1,0(),( miyx ii ?
)(.,,)()()( *1*10*0* xxxxs nn ?????? ???
? 设 是 [a,b]上一组线性无关的连续
函数系,令
? ?0() nk x?
0 0 1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( 4, 5, 1 1 )nns x x x x? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?
记误差
.为寻求 我们常以误差
加权平方和最小为度量标准,即
( ) ( 0,1,2,)i i is x y i m? ? ? ? ???
01,,,n? ? ????
i?
2 2
01 2
0
(,,,) ( )
m
n i i
i
Ix? ? ? ? ? ?
?
? ? ? ? ? ?
( ) 0x? ?达到极小值,这里 是 [a,b]上的权函数,
类似前述最佳平方逼近方法,有多元函数
极值必要条件有
00
2 ( ) [ ( ) ( ) ] ( ) 0 ( 0,1,2,)
mn
i k k i i j i
ikj
I x x f x x j n? ? ? ?
? ??
? ? ? ? ? ? ??
? ??
? 用向量内积形式表示,上式可记
上式为求 的法方程组,其
矩阵的形式为
0
(,) ( 0,1,2,)
n
j k k j
k
jn? ? ? ?
?
? ? ????
000 0 0 1 0
111 0 1 1 1
01
(,) (,) (,)
(,) (,) (,)
( 4,5,1 4 )
(,) (,) (,)
n
n
n n n n nn
??? ? ? ? ? ?
??? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ??
? ? ? ???
?? ? ? ? ?
? ? ? ??
? ? ? ?
?? ? ? ? ?
?? ? ? ? ?
L
L
M M M MM
L
01,,,n? ? ????
? 其中
0
(,) ( ) ( ) ( )
m
j k i j i k i
i
x x x? ? ? ? ?
?
? ?
),.,,2,1,0()()()(),(
0
njxxfxf ij
m
i
iijj ??? ?
?
????
由于向量组 是线性无关,
故式 (4.5.14)的系数行列式
01,,,n? ? ????
01(,,,) 0,nG ? ? ???? ?
? 故式 (4.5.14)存在唯一解,
于是得到函数 f(x)的最小二乘解
? 其平方误差为
* * *01,,,n? ? ????
* * * *0 0 1 1( ) ( ) ( ) ( ),nns x x x x? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?
T
mkkkk
T
m
n
k
kk
n
k
kk
xxxyyyf
fff
))(),.,,,(),((,),.,,,,(
),(
1010
0
*2
2
0
*2
2
2
2
????
?????
??
???? ??
??
这里
特例
?
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?
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?
?
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?
?
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?
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???
?
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n
ii
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i
ii
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i
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i
m
i
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i
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i
m
i
i
m
i
n
i
m
i
i
m
i
k
k
xy
xy
y
xxx
xxx
xx
nkxxx
0
0
0
1
0
0
2
0
1
0
0
1
0
2
0
000
1
),.,,,2,1,0()(1)(
?
?
?
???
?
?
?
?
?
??
最小二乘的法方程为
时，，当
例题
? 例 4.5.2 设函数 y=f(x)的离散数据如下表所示
试用二次多项式拟和上述数据,并求平方误差,
0 1 2 3 4 5
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
1.000 1.221 1.492 1.822 2.226 2.718
i
ix
iy
? 解 由式 (4.5.16)可得
? 解方程组得
? 所以拟合二次函数为
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
0 8 6 1 2.5
4 3 3.6
4 7 9.10
5 6 6 4.18.12.2
8.12.23
2.236
2
1
0
?
?
?
0 1 21, 0 0 6 3 2 1 4 2 8,0, 8 6 2 5 8 9 2 9 5,0, 8 4 2 4 1 0 7 0 4? ? ?? ? ?
21, 0 0 6 3 2 1 4 2 8 0, 8 6 2 5 8 9 2 9 5 0, 8 4 2 4 1 0 7 0 4y x x? ? ?
? 平方误差为
01755.0
1007893.3
2
4
221100
2
2
2
2
?
??
????
?
?
???????
所以
f
? 例 4.5.3 地球温室效应问题
? 下表统计了近 100年内地球大气气温上升
的数据,试根据表中数据建立一数学模型即
拟和曲线,并根据这一模型,预报地球气温
何年会比 1860年的平均温度高 7oC
年份 N 1860年后地球气
温增加值
年份 N 1860年后地球气
温增加值
1880 0.01 1940 0.10
1890 0.02 1950 0.13
1900 0.03 1960 0.18
1910 0.04 1970 0.24
1920 0.06 1980 0.32
1930 0.08
Ct0Ct0
? 解 为简化数据,从 1880年起年份记 N,其变
换 n=(N-1870)/10.将地球气温增加值改
记为 t=1,2,3,4,6,8,10,13,18,24,32,也就
是将原气温增加值扩大 100倍,根据新数
据绘制图 4.5.1 (P119)
? 从图 4.5.1可以看出,气温 t与变换 n大致服
从指数函数增长过程,因此,可以假设 t与 n
满足指数函数关系
? 为决定参数 α,β将上式改写成
nte ???
l n l ntt????
? 记 则有
? 这是已知数据相应地变为如下表所示
l n,,l n,y t x n a b??? ? ? ?
bxay ??
n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
ln1 ln2 ln3 ln4 ln6 ln8 ln10 ln13 ln19 ln24 ln32
ty ln?
? 由式 (4.5.16),取 n=1,m=10,并将上表已知数
据带入得
解方程组得,
1 1 6 5 2 1, 4 5 0 9 5 0 7 8
6 5 5 0 6 1 6 4, 2 1 7 4 2 4 8
ab
ab
????
???
1.143695108
0.307292969
ae
b
?
?
? ??
? ??
?
所以,3 0 7 2 9 2 9 6 9.0,1 3 4 2 6 4 3 4 3.0 ?? ba
? 相应的 t 与 n 的指数型拟合曲线关系为
? 就是所求地球温室效应的指数函数的数
学模型,以此进行预报,即已知 t值求
0, 3 0 7 2 9 2 9 6 91, 1 4 3 6 9 5 1 0 8te?
l n ( / 1, 1 4 3 6 9 5 1 0 8 ) / 0, 3 0 7 2 9 2 9 6 6
1 8 7 0 1 0
nt
Nn
?
??
? 以地球气温比 1860年上升 为例,即以
t=700代入上式可得,
N(7)=2078(年 )
7oC
4.5.3 矛盾方程组的最小二乘解
? 设矛盾方程组
? 这里 m>n,记
11 1 12 2 1 1
21 1 22 2 2 2
1 1 2 2
( 4.5,18 )
nn
nn
m m m n n m
x x x b
x x x b
x x x b
? ? ?
? ? ?
? ? ?
? ? ??
? ? ? ?
?
?
?
? ? ? ??
L
L
L
L
11
22
( ),,,
ij m n
nn
xb
xb
A a x b
xb
?
? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ?? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ?
MM
? 则上式可简记为 Ax=b,
? 矛盾方程组的最小二乘解 x*是指满足
22 *
2 2m i n A x b A x b? ? ?
? 引理 设 则 B为半正定
对称方阵,当 R(A)=n,则 B是正定对称
方程,若 A的各列线性无关,则
是非奇异方阵,
,,m n TA R B A A???
TB A A?
? 定理 4.5.2 设 且各列向量线性无关,
则
(1)矛盾方程组 (4.5.19)的法方程组
恒有解 ;
(2)设 x* 是法方程组 的解,则 x* 是矛
盾方程组 (4.5.19)的最小二乘解,
nmRA ??
TTA Ax A b?
TTA Ax A b?
? 定理 4.5.2指出,实验数据
的曲线拟合最小二乘法本质上就是矛盾方
程组
的最小二乘解,
),...2,1,0(),( miyx ii ?
0 0 0 1 1 0 0 0
0 0 1 1 1 1 1 1
0 0 1 1
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( 4,5,1 7 )
( ) ( ) ( )
nn
nn
m m n n m m
x x x y
x x x y
x x x y
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
? ? ??
?
? ? ??
?
?
? ? ? ??
L
L
L
L
