第 7章 MATLAB解方程与函数极值
7.1 线性方程组求解
7.2 非线性方程数值求解
7.3 常微分方程初值问题的数值解法
7.4 函数极值
7.1 线性方程组求解
7.1.1 直接解法
1．利用左除运算符的直接解法
对于线性方程组 Ax=b，可以利用左除运算符,\”求解：
x=A\b
例 7-1 用直接解法求解下列线性方程组。
命令如下：
A=[2,1,-5,1;1,-5,0,7;0,2,1,-1;1,6,-1,-4];
b=[13,-9,6,0]';
x=A\b
2．利用矩阵的分解求解线性方程组
矩阵分解是指根据一定的原理用某种算法将一个矩阵分解成
若干个矩阵的乘积。常见的矩阵分解有 LU分解,QR分解、
Cholesky分解，以及 Schur分解,Hessenberg分解、奇异
分解等。
(1) LU分解
矩阵的 LU分解就是将一个矩阵表示为一个交换下三角矩阵
和一个上三角矩阵的乘积形式。线性代数中已经证明，只
要方阵 A是非奇异的,LU分解总是可以进行的。
MATLAB提供的 lu函数用于对矩阵进行 LU分解，其调用格
式为：
[L,U]=lu(X)：产生一个上三角阵 U和一个变换形式的下三角
阵 L(行交换 )，使之满足 X=LU。注意，这里的矩阵 X必须
是方阵。
[L,U,P]=lu(X)：产生一个上三角阵 U和一个下三角阵 L以及
一个置换矩阵 P，使之满足 PX=LU。当然矩阵 X同样必须
是方阵。
实现 LU分解后，线性方程组 Ax=b的解 x=U\(L\b)或
x=U\(L\Pb)，这样可以大大提高运算速度。
例 7-2 用 LU分解求解例 7-1中的线性方程组。
命令如下：
A=[2,1,-5,1;1,-5,0,7;0,2,1,-1;1,6,-1,-4];
b=[13,-9,6,0]';
[L,U]=lu(A);
x=U\(L\b)
或采用 LU分解的第 2种格式，命令如下：
[L,U,P]=lu(A);
x=U\(L\P*b)
(2) QR分解
对矩阵 X进行 QR分解，就是把 X分解为一个正交矩阵 Q和一
个上三角矩阵 R的乘积形式。 QR分解只能对方阵进行。
MATLAB的函数 qr可用于对矩阵进行 QR分解，其调用格
式为：
[Q,R]=qr(X)：产生一个一个正交矩阵 Q和一个上三角矩阵 R，
使之满足 X=QR。
[Q,R,E]=qr(X)：产生一个一个正交矩阵 Q、一个上三角矩阵
R以及一个置换矩阵 E，使之满足 XE=QR。
实现 QR分解后，线性方程组 Ax=b的解 x=R\(Q\b)或
x=E(R\(Q\b))。
例 7-3 用 QR分解求解例 7-1中的线性方程组。
命令如下：
A=[2,1,-5,1;1,-5,0,7;0,2,1,-1;1,6,-1,-4];
b=[13,-9,6,0]';
[Q,R]=qr(A);
x=R\(Q\b)
或采用 QR分解的第 2种格式，命令如下：
[Q,R,E]=qr(A);
x=E*(R\(Q\b))
(3) Cholesky分解
如果矩阵 X是对称正定的，则 Cholesky分解将矩阵 X分解成
一个下三角矩阵和上三角矩阵的乘积。设上三角矩阵为 R，
则下三角矩阵为其转置，即 X=R'R。 MATLAB函数
chol(X)用于对矩阵 X进行 Cholesky分解，其调用格式为：
R=chol(X)：产生一个上三角阵 R，使 R'R=X。若 X为非对称
正定，则输出一个出错信息。
[R,p]=chol(X)：这个命令格式将不输出出错信息。当 X为对
称正定的，则 p=0,R与上述格式得到的结果相同；否则 p
为一个正整数。如果 X为满秩矩阵，则 R为一个阶数为
q=p-1的上三角阵，且满足 R'R=X(1:q,1:q)。
实现 Cholesky分解后，线性方程组 Ax=b变成 R‘Rx=b，所以
x=R\(R’\b)。
例 7-4 用 Cholesky分解求解例 7-1中的线性方程组。
命令如下：
A=[2,1,-5,1;1,-5,0,7;0,2,1,-1;1,6,-1,-4];
b=[13,-9,6,0]';
R=chol(A)
Error using ==> chol
Matrix must be positive definite
命令执行时，出现错误信息，说明 A为非正定矩阵。
7.1.2 迭代解法
迭代解法非常适合求解大型系数矩阵的方程组。在数值分析
中，迭代解法主要包括 Jacobi迭代法,Gauss-Serdel迭代
法、超松弛迭代法和两步迭代法。
1,Jacobi迭代法
对于线性方程组 Ax=b，如果 A为非奇异方阵，即
aii≠0(i=1,2,…,n),则可将 A分解为 A=D-L-U，其中 D为对
角阵，其元素为 A的对角元素,L与 U为 A的下三角阵和上
三角阵，于是 Ax=b化为：
x=D-1(L+U)x+D-1b
与之对应的迭代公式为：
x(k+1)=D-1(L+U)x(k)+D-1b
这就是 Jacobi迭代公式。如果序列 {x(k+1)}收敛于 x，则 x必
是方程 Ax=b的解。
Jacobi迭代法的 MATLAB函数文件 Jacobi.m如下：
function [y,n]=jacobi(A,b,x0,eps)
if nargin==3
eps=1.0e-6;
elseif nargin<3
error
return
end
D=diag(diag(A)); %求 A的对角矩阵
L=-tril(A,-1); %求 A的下三角阵
U=-triu(A,1); %求 A的上三角阵
B=D\(L+U);
f=D\b;
y=B*x0+f;
n=1; %迭代次数
while norm(y-x0)>=eps
x0=y;
y=B*x0+f;
n=n+1;
end
例 7-5 用 Jacobi迭代法求解下列线性方程组。设迭代初值为 0，
迭代精度为 10-6。
在命令中调用函数文件 Jacobi.m，命令如下：
A=[10,-1,0;-1,10,-2;0,-2,10];
b=[9,7,6]';
[x,n]=jacobi(A,b,[0,0,0]',1.0e-6)
2,Gauss-Serdel迭代法
在 Jacobi迭代过程中，计算时，已经得到，不必再用，即原
来的迭代公式 Dx(k+1)=(L+U)x(k)+b可以改进为
Dx(k+1)=Lx(k+1)+Ux(k)+b，于是得到：
x(k+1)=(D-L)-1Ux(k)+(D-L)-1b
该式即为 Gauss-Serdel迭代公式。和 Jacobi迭代相比，
Gauss-Serdel迭代用新分量代替旧分量，精度会高些。
Gauss-Serdel迭代法的 MATLAB函数文件 gauseidel.m如下：
function [y,n]=gauseidel(A,b,x0,eps)
if nargin==3
eps=1.0e-6;
elseif nargin<3
error
return
end
D=diag(diag(A)); %求 A的对角矩阵
L=-tril(A,-1); %求 A的下三角阵
U=-triu(A,1); %求 A的上三角阵
G=(D-L)\U;
f=(D-L)\b;
y=G*x0+f;
n=1; %迭代次数
while norm(y-x0)>=eps
x0=y;
y=G*x0+f;
n=n+1;
end
例 7-6 用 Gauss-Serdel迭代法求解下列线性方程组。设迭代
初值为 0，迭代精度为 10-6。
在命令中调用函数文件 gauseidel.m，命令如下：
A=[10,-1,0;-1,10,-2;0,-2,10];
b=[9,7,6]';
[x,n]=gauseidel(A,b,[0,0,0]',1.0e-6)
例 7-7 分别用 Jacobi迭代和 Gauss-Serdel迭代法求解下列线性
方程组，看是否收敛。
命令如下：
a=[1,2,-2;1,1,1;2,2,1];
b=[9;7;6];
[x,n]=jacobi(a,b,[0;0;0])
[x,n]=gauseidel(a,b,[0;0;0])
7.2 非线性方程数值求解
7.2.1 单变量非线性方程求解
在 MATLAB中提供了一个 fzero函数，可以用来求
单变量非线性方程的根。该函数的调用格式为：
z=fzero('fname',x0,tol,trace)
其中 fname是待求根的函数文件名,x0为搜索的起
点。一个函数可能有多个根，但 fzero函数只给出
离 x0最近的那个根。 tol控制结果的相对精度，缺
省时取 tol=eps,trace 指定迭代信息是否在运算中
显示，为 1时显示，为 0时不显示，缺省时取
trace=0。
例 7-8 求 f(x)=x-10x+2=0在 x0=0.5附近的根。
步骤如下：
(1) 建立函数文件 funx.m。
function fx=funx(x)
fx=x-10.^x+2;
(2) 调用 fzero函数求根。
z=fzero('funx',0.5)
z =
0.3758
7.2.2 非线性方程组的求解
对于非线性方程组 F(X)=0，用 fsolve函数求其数值解。
fsolve函数的调用格式为：
X=fsolve('fun',X0,option)
其中 X为返回的解,fun是用于定义需求解的非线性方程组的
函数文件名,X0是求根过程的初值,option为最优化工具
箱的选项设定。最优化工具箱提供了 20多个选项，用户可
以使用 optimset命令将它们显示出来。如果想改变其中某
个选项，则可以调用 optimset()函数来完成。例如，
Display选项决定函数调用时中间结果的显示方式，其中
‘ off’为不显示，‘ iter’表示每步都显示，‘ final’只显示
最终结果。 optimset(‘Display’,‘off’)将设定 Display选项为
‘ off’。
例 7-9 求下列非线性方程组在 (0.5,0.5) 附近的数值解。
(1) 建立函数文件 myfun.m。
function q=myfun(p)
x=p(1);
y=p(2);
q(1)=x-0.6*sin(x)-0.3*cos(y);
q(2)=y-0.6*cos(x)+0.3*sin(y);
(2) 在给定的初值 x0=0.5,y0=0.5下，调用 fsolve函数求方程
的根。
x=fsolve('myfun',[0.5,0.5]',optimset('Display','off'))
x =
0.6354
0.3734
将求得的解代回原方程，可以检验结果是否正确，命令如下：
q=myfun(x)
q =
1.0e-009 *
0.2375 0.2957
可见得到了较高精度的结果。
7.3 常微分方程初值问题的数值解法
7.3.1 龙格－库塔法简介
7.3.2 龙格－库塔法的实现
基于龙格－库塔法,MATLAB提供了求常微分方程数值
解的函数，一般调用格式为：
[t,y]=ode23('fname',tspan,y0)
[t,y]=ode45('fname',tspan,y0)
其中 fname是定义 f(t,y)的函数文件名，该函数文件必须返回
一个列向量。 tspan形式为 [t0,tf],表示求解区间。 y0是初始
状态列向量。 t和 y分别给出时间向量和相应的状态向量。
例 7-10 设有初值问题，试求其数值解，并与精确解相比较
(精确解为 y(t)=)。
(1) 建立函数文件 funt.m。
function yp=funt(t,y)
yp=(y^2-t-2)/4/(t+1);
(2) 求解微分方程。
t0=0;tf=10;
y0=2;
[t,y]=ode23('funt',[t0,tf],y0); %求数值解
y1=sqrt(t+1)+1; %求精确解
t'
y'
y1'
y为数值解,y1为精确值，显然两者近似。
例 7-11 求解著名的 Van der Pol方程。
例 7-12 有 Lorenz模型的状态方程，试绘制系统相平面图。
7.4 函数极值
MATLAB提供了基于单纯形算法求解函数极值的函数
fmin和 fmins,它们分别用于单变量函数和多变量函数的
最小值，其调用格式为：
x=fmin('fname',x1,x2)
x=fmins('fname',x0)
这两个函数的调用格式相似。其中 fmin函数用于求单变量函
数的最小值点。 fname是被最小化的目标函数名,x1和 x2
限定自变量的取值范围。 fmins函数用于求多变量函数的
最小值点,x0是求解的初始值向量。
MATLAB没有专门提供求函数最大值的函数，但只要注意
到 -f(x)在区间 (a,b)上的最小值就是 f(x)在 (a,b)的最大值，
所以 fmin(f,x1,x2)返回函数 f(x)在区间 (x1,x2)上的最大值。
例 7-13 求 f(x)=x3-2x-5在 [0,5]内的最小值点。
(1) 建立函数文件 mymin.m。
function fx=mymin(x)
fx=x.^3-2*x-5;
(2) 调用 fmin函数求最小值点。
x=fmin('mymin',0,5)
x=
0.8165
7.1 线性方程组求解
7.2 非线性方程数值求解
7.3 常微分方程初值问题的数值解法
7.4 函数极值
7.1 线性方程组求解
7.1.1 直接解法
1．利用左除运算符的直接解法
对于线性方程组 Ax=b，可以利用左除运算符,\”求解：
x=A\b
例 7-1 用直接解法求解下列线性方程组。
命令如下：
A=[2,1,-5,1;1,-5,0,7;0,2,1,-1;1,6,-1,-4];
b=[13,-9,6,0]';
x=A\b
2．利用矩阵的分解求解线性方程组
矩阵分解是指根据一定的原理用某种算法将一个矩阵分解成
若干个矩阵的乘积。常见的矩阵分解有 LU分解,QR分解、
Cholesky分解，以及 Schur分解,Hessenberg分解、奇异
分解等。
(1) LU分解
矩阵的 LU分解就是将一个矩阵表示为一个交换下三角矩阵
和一个上三角矩阵的乘积形式。线性代数中已经证明，只
要方阵 A是非奇异的,LU分解总是可以进行的。
MATLAB提供的 lu函数用于对矩阵进行 LU分解，其调用格
式为：
[L,U]=lu(X)：产生一个上三角阵 U和一个变换形式的下三角
阵 L(行交换 )，使之满足 X=LU。注意，这里的矩阵 X必须
是方阵。
[L,U,P]=lu(X)：产生一个上三角阵 U和一个下三角阵 L以及
一个置换矩阵 P，使之满足 PX=LU。当然矩阵 X同样必须
是方阵。
实现 LU分解后，线性方程组 Ax=b的解 x=U\(L\b)或
x=U\(L\Pb)，这样可以大大提高运算速度。
例 7-2 用 LU分解求解例 7-1中的线性方程组。
命令如下：
A=[2,1,-5,1;1,-5,0,7;0,2,1,-1;1,6,-1,-4];
b=[13,-9,6,0]';
[L,U]=lu(A);
x=U\(L\b)
或采用 LU分解的第 2种格式，命令如下：
[L,U,P]=lu(A);
x=U\(L\P*b)
(2) QR分解
对矩阵 X进行 QR分解，就是把 X分解为一个正交矩阵 Q和一
个上三角矩阵 R的乘积形式。 QR分解只能对方阵进行。
MATLAB的函数 qr可用于对矩阵进行 QR分解，其调用格
式为：
[Q,R]=qr(X)：产生一个一个正交矩阵 Q和一个上三角矩阵 R，
使之满足 X=QR。
[Q,R,E]=qr(X)：产生一个一个正交矩阵 Q、一个上三角矩阵
R以及一个置换矩阵 E，使之满足 XE=QR。
实现 QR分解后，线性方程组 Ax=b的解 x=R\(Q\b)或
x=E(R\(Q\b))。
例 7-3 用 QR分解求解例 7-1中的线性方程组。
命令如下：
A=[2,1,-5,1;1,-5,0,7;0,2,1,-1;1,6,-1,-4];
b=[13,-9,6,0]';
[Q,R]=qr(A);
x=R\(Q\b)
或采用 QR分解的第 2种格式，命令如下：
[Q,R,E]=qr(A);
x=E*(R\(Q\b))
(3) Cholesky分解
如果矩阵 X是对称正定的，则 Cholesky分解将矩阵 X分解成
一个下三角矩阵和上三角矩阵的乘积。设上三角矩阵为 R，
则下三角矩阵为其转置，即 X=R'R。 MATLAB函数
chol(X)用于对矩阵 X进行 Cholesky分解，其调用格式为：
R=chol(X)：产生一个上三角阵 R，使 R'R=X。若 X为非对称
正定，则输出一个出错信息。
[R,p]=chol(X)：这个命令格式将不输出出错信息。当 X为对
称正定的，则 p=0,R与上述格式得到的结果相同；否则 p
为一个正整数。如果 X为满秩矩阵，则 R为一个阶数为
q=p-1的上三角阵，且满足 R'R=X(1:q,1:q)。
实现 Cholesky分解后，线性方程组 Ax=b变成 R‘Rx=b，所以
x=R\(R’\b)。
例 7-4 用 Cholesky分解求解例 7-1中的线性方程组。
命令如下：
A=[2,1,-5,1;1,-5,0,7;0,2,1,-1;1,6,-1,-4];
b=[13,-9,6,0]';
R=chol(A)
Error using ==> chol
Matrix must be positive definite
命令执行时，出现错误信息，说明 A为非正定矩阵。
7.1.2 迭代解法
迭代解法非常适合求解大型系数矩阵的方程组。在数值分析
中，迭代解法主要包括 Jacobi迭代法,Gauss-Serdel迭代
法、超松弛迭代法和两步迭代法。
1,Jacobi迭代法
对于线性方程组 Ax=b，如果 A为非奇异方阵，即
aii≠0(i=1,2,…,n),则可将 A分解为 A=D-L-U，其中 D为对
角阵，其元素为 A的对角元素,L与 U为 A的下三角阵和上
三角阵，于是 Ax=b化为：
x=D-1(L+U)x+D-1b
与之对应的迭代公式为：
x(k+1)=D-1(L+U)x(k)+D-1b
这就是 Jacobi迭代公式。如果序列 {x(k+1)}收敛于 x，则 x必
是方程 Ax=b的解。
Jacobi迭代法的 MATLAB函数文件 Jacobi.m如下：
function [y,n]=jacobi(A,b,x0,eps)
if nargin==3
eps=1.0e-6;
elseif nargin<3
error
return
end
D=diag(diag(A)); %求 A的对角矩阵
L=-tril(A,-1); %求 A的下三角阵
U=-triu(A,1); %求 A的上三角阵
B=D\(L+U);
f=D\b;
y=B*x0+f;
n=1; %迭代次数
while norm(y-x0)>=eps
x0=y;
y=B*x0+f;
n=n+1;
end
例 7-5 用 Jacobi迭代法求解下列线性方程组。设迭代初值为 0，
迭代精度为 10-6。
在命令中调用函数文件 Jacobi.m，命令如下：
A=[10,-1,0;-1,10,-2;0,-2,10];
b=[9,7,6]';
[x,n]=jacobi(A,b,[0,0,0]',1.0e-6)
2,Gauss-Serdel迭代法
在 Jacobi迭代过程中，计算时，已经得到，不必再用，即原
来的迭代公式 Dx(k+1)=(L+U)x(k)+b可以改进为
Dx(k+1)=Lx(k+1)+Ux(k)+b，于是得到：
x(k+1)=(D-L)-1Ux(k)+(D-L)-1b
该式即为 Gauss-Serdel迭代公式。和 Jacobi迭代相比，
Gauss-Serdel迭代用新分量代替旧分量，精度会高些。
Gauss-Serdel迭代法的 MATLAB函数文件 gauseidel.m如下：
function [y,n]=gauseidel(A,b,x0,eps)
if nargin==3
eps=1.0e-6;
elseif nargin<3
error
return
end
D=diag(diag(A)); %求 A的对角矩阵
L=-tril(A,-1); %求 A的下三角阵
U=-triu(A,1); %求 A的上三角阵
G=(D-L)\U;
f=(D-L)\b;
y=G*x0+f;
n=1; %迭代次数
while norm(y-x0)>=eps
x0=y;
y=G*x0+f;
n=n+1;
end
例 7-6 用 Gauss-Serdel迭代法求解下列线性方程组。设迭代
初值为 0，迭代精度为 10-6。
在命令中调用函数文件 gauseidel.m，命令如下：
A=[10,-1,0;-1,10,-2;0,-2,10];
b=[9,7,6]';
[x,n]=gauseidel(A,b,[0,0,0]',1.0e-6)
例 7-7 分别用 Jacobi迭代和 Gauss-Serdel迭代法求解下列线性
方程组，看是否收敛。
命令如下：
a=[1,2,-2;1,1,1;2,2,1];
b=[9;7;6];
[x,n]=jacobi(a,b,[0;0;0])
[x,n]=gauseidel(a,b,[0;0;0])
7.2 非线性方程数值求解
7.2.1 单变量非线性方程求解
在 MATLAB中提供了一个 fzero函数，可以用来求
单变量非线性方程的根。该函数的调用格式为：
z=fzero('fname',x0,tol,trace)
其中 fname是待求根的函数文件名,x0为搜索的起
点。一个函数可能有多个根，但 fzero函数只给出
离 x0最近的那个根。 tol控制结果的相对精度，缺
省时取 tol=eps,trace 指定迭代信息是否在运算中
显示，为 1时显示，为 0时不显示，缺省时取
trace=0。
例 7-8 求 f(x)=x-10x+2=0在 x0=0.5附近的根。
步骤如下：
(1) 建立函数文件 funx.m。
function fx=funx(x)
fx=x-10.^x+2;
(2) 调用 fzero函数求根。
z=fzero('funx',0.5)
z =
0.3758
7.2.2 非线性方程组的求解
对于非线性方程组 F(X)=0，用 fsolve函数求其数值解。
fsolve函数的调用格式为：
X=fsolve('fun',X0,option)
其中 X为返回的解,fun是用于定义需求解的非线性方程组的
函数文件名,X0是求根过程的初值,option为最优化工具
箱的选项设定。最优化工具箱提供了 20多个选项，用户可
以使用 optimset命令将它们显示出来。如果想改变其中某
个选项，则可以调用 optimset()函数来完成。例如，
Display选项决定函数调用时中间结果的显示方式，其中
‘ off’为不显示，‘ iter’表示每步都显示，‘ final’只显示
最终结果。 optimset(‘Display’,‘off’)将设定 Display选项为
‘ off’。
例 7-9 求下列非线性方程组在 (0.5,0.5) 附近的数值解。
(1) 建立函数文件 myfun.m。
function q=myfun(p)
x=p(1);
y=p(2);
q(1)=x-0.6*sin(x)-0.3*cos(y);
q(2)=y-0.6*cos(x)+0.3*sin(y);
(2) 在给定的初值 x0=0.5,y0=0.5下，调用 fsolve函数求方程
的根。
x=fsolve('myfun',[0.5,0.5]',optimset('Display','off'))
x =
0.6354
0.3734
将求得的解代回原方程，可以检验结果是否正确，命令如下：
q=myfun(x)
q =
1.0e-009 *
0.2375 0.2957
可见得到了较高精度的结果。
7.3 常微分方程初值问题的数值解法
7.3.1 龙格－库塔法简介
7.3.2 龙格－库塔法的实现
基于龙格－库塔法,MATLAB提供了求常微分方程数值
解的函数，一般调用格式为：
[t,y]=ode23('fname',tspan,y0)
[t,y]=ode45('fname',tspan,y0)
其中 fname是定义 f(t,y)的函数文件名，该函数文件必须返回
一个列向量。 tspan形式为 [t0,tf],表示求解区间。 y0是初始
状态列向量。 t和 y分别给出时间向量和相应的状态向量。
例 7-10 设有初值问题，试求其数值解，并与精确解相比较
(精确解为 y(t)=)。
(1) 建立函数文件 funt.m。
function yp=funt(t,y)
yp=(y^2-t-2)/4/(t+1);
(2) 求解微分方程。
t0=0;tf=10;
y0=2;
[t,y]=ode23('funt',[t0,tf],y0); %求数值解
y1=sqrt(t+1)+1; %求精确解
t'
y'
y1'
y为数值解,y1为精确值，显然两者近似。
例 7-11 求解著名的 Van der Pol方程。
例 7-12 有 Lorenz模型的状态方程，试绘制系统相平面图。
7.4 函数极值
MATLAB提供了基于单纯形算法求解函数极值的函数
fmin和 fmins,它们分别用于单变量函数和多变量函数的
最小值，其调用格式为：
x=fmin('fname',x1,x2)
x=fmins('fname',x0)
这两个函数的调用格式相似。其中 fmin函数用于求单变量函
数的最小值点。 fname是被最小化的目标函数名,x1和 x2
限定自变量的取值范围。 fmins函数用于求多变量函数的
最小值点,x0是求解的初始值向量。
MATLAB没有专门提供求函数最大值的函数，但只要注意
到 -f(x)在区间 (a,b)上的最小值就是 f(x)在 (a,b)的最大值，
所以 fmin(f,x1,x2)返回函数 f(x)在区间 (x1,x2)上的最大值。
例 7-13 求 f(x)=x3-2x-5在 [0,5]内的最小值点。
(1) 建立函数文件 mymin.m。
function fx=mymin(x)
fx=x.^3-2*x-5;
(2) 调用 fmin函数求最小值点。
x=fmin('mymin',0,5)
x=
0.8165
