第 2章 MATLAB矩阵及其运算
2.1 变量和数据操作
2.2 MATLAB矩阵
2.3 MATLAB运算
2.4 矩阵分析
2.5 矩阵的超越函数
2.6 字符串
2.7 结构数据和单元数据
2.8 稀疏矩阵
2.1 变量和数据操作
2.1.1 变量与赋值
1．变量命名
在 MATLAB 6.5中，变量名是以字母开头，
后接字母、数字或下划线的字符序列，最
多 63个字符。在 MATLAB中，变量名区分
字母的大小写。
2．赋值语句
(1) 变量 =表达式
(2) 表达式
其中表达式是用运算符将有关运算量连接
起来的式子，其结果是一个矩阵。
例 2-1 计算表达式的值，并显示计算结果。
在 MATLAB命令窗口输入命令：
x=1+2i;
y=3-sqrt(17);
z=(cos(abs(x+y))-sin(78*pi/180))/(x+abs(y))
其中 pi和 i都是 MATLAB预先定义的变量，
分别代表代表圆周率 π和虚数单位。
输出结果是：
z =
-0.3488 + 0.3286i
2.1.2 预定义变量
在 MATLAB工作空间中，还驻留几个由系统
本身定义的变量。例如，用 pi表示圆周率 π
的近似值，用 i,j表示虚数单位。
预定义变量有特定的含义，在使用时，应
尽量避免对这些变量重新赋值。
2.1.3 内存变量的管理
1．内存变量的删除与修改
MATLAB工作空间窗口专门用于内存变量
的管理。在工作空间窗口中可以显示所有
内存变量的属性。当选中某些变量后，再
单击 Delete按钮，就能删除这些变量。当选
中某些变量后，再单击 Open按钮，将进入
变量编辑器。通过变量编辑器可以直接观
察变量中的具体元素，也可修改变量中的
具体元素。
clear命令用于删除 MATLAB工作空间中的变
量。 who和 whos这两个命令用于显示在
MATLAB工作空间中已经驻留的变量名清
单。 who命令只显示出驻留变量的名称，
whos在给出变量名的同时，还给出它们的
大小、所占字节数及数据类型等信息。
2．内存变量文件
利用 MAT文件可以把当前 MATLAB工作空
间中的一些有用变量长久地保留下来，扩
展名是,mat。 MAT文件的生成和装入由
save和 load命令来完成。常用格式为：
save 文件名 [变量名表 ] [-append][-ascii]
load 文件名 [变量名表 ] [-ascii]
其中，文件名可以带路径，但不需带扩展
名,mat，命令隐含一定对,mat文件进行操作。
变量名表中的变量个数不限，只要内存或
文件中存在即可，变量名之间以空格分隔。
当变量名表省略时，保存或装入全部变量。
-ascii选项使文件以 ASCII格式处理，省略
该选项时文件将以二进制格式处理。 save命
令中的 -append选项控制将变量追加到 MAT
文件中。
2.1.4 MATLAB常用数学函数
MATLAB提供了许多数学函数，函数的自
变量规定为矩阵变量，运算法则是将函数
逐项作用于矩阵的元素上，因而运算的结
果是一个与自变量同维数的矩阵。
函数使用说明：
(1) 三角函数以弧度为单位计算。
(2) abs函数可以求实数的绝对值、复数的模、
字符串的 ASCII码值。
(3) 用于取整的函数有 fix,floor,ceil、
round，要注意它们的区别。
(4) rem与 mod函数的区别。 rem(x,y)和
mod(x,y)要求 x,y必须为相同大小的实矩阵
或为标量。
2.1.5 数据的输出格式
MATLAB用十进制数表示一个常数，具
体可采用日常记数法和科学记数法两种表
示方法。
在一般情况下,MATLAB内部每一个数
据元素都是用双精度数来表示和存储的。
数据输出时用户可以用 format命令设置或
改变数据输出格式。 format命令的格式为：
format 格式符
其中格式符决定数据的输出格式
2.2 MATLAB矩阵
2.2.1 矩阵的建立
1．直接输入法
最简单的建立矩阵的方法是从键盘直接
输入矩阵的元素。具体方法如下：将矩阵
的元素用方括号括起来，按矩阵行的顺序
输入各元素，同一行的各元素之间用空格
或逗号分隔，不同行的元素之间用分号分
隔。
2．利用 M文件建立矩阵
对于比较大且比较复杂的矩阵，可以为
它专门建立一个 M文件。下面通过一个简
单例子来说明如何利用 M文件创建矩阵。
例 2-2 利用 M文件建立 MYMAT矩阵。
(1) 启动有关编辑程序或 MATLAB文本编辑
器，并输入待建矩阵：
(2) 把输入的内容以纯文本方式存盘 (设文
件名为 mymatrix.m)。
(3) 在 MATLAB命令窗口中输入 mymatrix，
即运行该 M文件，就会自动建立一个名为
MYMAT的矩阵，可供以后使用。
3．利用冒号表达式建立一个向量
冒号表达式可以产生一个行向量，一般格式是：
e1:e2:e3
其中 e1为初始值,e2为步长,e3为终止值。
在 MATLAB中，还可以用 linspace函数产生行向
量。其调用格式为：
linspace(a,b,n)
其中 a和 b是生成向量的第一个和最后一个元素，
n是元素总数。
显然,linspace(a,b,n)与 a:(b-a)/(n-1):b等价。
4．建立大矩阵
大矩阵可由方括号中的小矩阵或向量建立起来。
2.2.2 矩阵的拆分
1．矩阵元素
通过下标引用矩阵的元素，例如
A(3,2)=200
采用矩阵元素的序号来引用矩阵元素。矩阵元素的序号就
是相应元素在内存中的排列顺序。在 MATLAB中，矩阵
元素按列存储，先第一列，再第二列，依次类推。例如
A=[1,2,3;4,5,6];
A(3)
ans =
2
显然，序号 (Index)与下标 (Subscript )是一一对应的，以
m× n矩阵 A为例，矩阵元素 A(i,j)的序号为 (j-1)*m+i。其
相互转换关系也可利用 sub2ind和 ind2sub函数求得。
2．矩阵拆分
(1) 利用冒号表达式获得子矩阵
① A(:,j)表示取 A矩阵的第 j列全部元素； A(i,:)
表示 A矩阵第 i行的全部元素； A(i,j)表示取 A矩阵
第 i行、第 j列的元素。
② A(i:i+m,:)表示取 A矩阵第 i～ i+m行的全部元
素； A(:,k:k+m)表示取 A矩阵第 k～ k+m列的全部
元素,A(i:i+m,k:k+m)表示取 A矩阵第 i～ i+m行内，
并在第 k～ k+m列中的所有元素。
此外，还可利用一般向量和 end运算符来表示矩阵
下标，从而获得子矩阵。 end表示某一维的末尾元
素下标。
(2) 利用空矩阵删除矩阵的元素
在 MATLAB中，定义 []为空矩阵。给变
量 X赋空矩阵的语句为 X=[]。注意,X=[]与
clear X不同,clear是将 X从工作空间中删
除，而空矩阵则存在于工作空间中，只是
维数为 0。
2.2.3 特殊矩阵
1．通用的特殊矩阵
常用的产生通用特殊矩阵的函数有：
zeros：产生全 0矩阵 (零矩阵 )。
ones：产生全 1矩阵 (幺矩阵 )。
eye：产生单位矩阵。
rand：产生 0～ 1间均匀分布的随机矩阵。
randn：产生均值为 0，方差为 1的标准正态
分布随机矩阵。
例 2-3 分别建立 3× 3,3× 2和与矩阵 A同样大小的
零矩阵。
(1) 建立一个 3× 3零矩阵。
zeros(3)
(2) 建立一个 3× 2零矩阵。
zeros(3,2)
(3) 设 A为 2× 3矩阵，则可以用 zeros(size(A))建立
一个与矩阵 A同样大小零矩阵。
A=[1 2 3;4 5 6]; %产生一个 2× 3阶矩阵 A
zeros(size(A)) %产生一个与矩阵 A同样大小的
零矩阵
例 2-4 建立随机矩阵：
(1) 在区间 [20,50]内均匀分布的 5阶随机矩阵。
(2) 均值为 0.6、方差为 0.1的 5阶正态分布随机矩阵。
命令如下：
x=20+(50-20)*rand(5)
y=0.6+sqrt(0.1)*randn(5)
此外，常用的函数还有 reshape(A,m,n)，它在矩
阵总元素保持不变的前提下，将矩阵 A重新排成
m× n的二维矩阵。
2．用于专门学科的特殊矩阵
(1) 魔方矩阵
魔方矩阵有一个有趣的性质，其每行、每
列及两条对角线上的元素和都相等。对于 n
阶魔方阵，其元素由 1,2,3,…,n2 共 n2个整数
组成。 MATLAB提供了求魔方矩阵的函数
magic(n)，其功能是生成一个 n阶魔方阵。
例 2-5 将 101~125等 25个数填入一个 5行 5列的
表格中，使其每行每列及对角线的和均为
565。
M=100+magic(5)
(2) 范得蒙矩阵
范得蒙 (Vandermonde)矩阵最后一列全为 1，
倒数第二列为一个指定的向量，其他各列
是其后列与倒数第二列的点乘积。可以用
一个指定向量生成一个范得蒙矩阵。在
MATLAB中，函数 vander(V)生成以向量 V
为基础向量的范得蒙矩阵。例如，
A=vander([1;2;3;5])即可得到上述范得蒙矩
阵。
(3) 希尔伯特矩阵
在 MATLAB中，生成希尔伯特矩阵的函数
是 hilb(n)。
使用一般方法求逆会因为原始数据的微小
扰动而产生不可靠的计算结果。 MATLAB
中，有一个专门求希尔伯特矩阵的逆的函
数 invhilb(n)，其功能是求 n阶的希尔伯特矩
阵的逆矩阵。
例 2-6 求 4阶希尔伯特矩阵及其逆矩阵。
命令如下：
format rat %以有理形式输出
H=hilb(4)
H=invhilb(4)
(4) 托普利兹矩阵
托普利兹 (Toeplitz)矩阵除第一行第一列外，
其他每个元素都与左上角的元素相同。生
成托普利兹矩阵的函数是 toeplitz(x,y)，它
生成一个以 x为第一列,y为第一行的托普
利兹矩阵。这里 x,y均为向量，两者不必等
长。 toeplitz(x)用向量 x生成一个对称的托普
利兹矩阵。例如
T=toeplitz(1:6)
(5) 伴随矩阵
MATLAB生成伴随矩阵的函数是
compan(p)，其中 p是一个多项式的系数向
量，高次幂系数排在前，低次幂排在后。
例如，为了求多项式的 x3-7x+6的伴随矩阵，
可使用命令：
p=[1,0,-7,6];
compan(p)
(6) 帕斯卡矩阵
我们知道，二次项 (x+y)n展开后的系数随 n
的增大组成一个三角形表，称为杨辉三角
形。由杨辉三角形表组成的矩阵称为帕斯
卡 (Pascal)矩阵。函数 pascal(n)生成一个 n阶
帕斯卡矩阵。
例 2-7 求 (x+y)5的展开式。
在 MATLAB命令窗口，输入命令：
pascal(6)
矩阵次对角线上的元素 1,5,10,10,5,1即为展
开式的系数。
2.3 MATLAB运算
2.3.1算术运算
1．基本算术运算
MATLAB的基本算术运算有：＋ (加 )、
－ (减 ),*(乘 ),/(右除 ),\(左除 ),^(乘方 )。
注意，运算是在矩阵意义下进行的，单个
数据的算术运算只是一种特例。
(1) 矩阵加减运算
假定有两个矩阵 A和 B，则可以由 A+B和
A-B实现矩阵的加减运算。运算规则是：若
A和 B矩阵的维数相同，则可以执行矩阵的
加减运算,A和 B矩阵的相应元素相加减。
如果 A与 B的维数不相同，则 MATLAB将给
出错误信息，提示用户两个矩阵的维数不
匹配。
(2) 矩阵乘法
假定有两个矩阵 A和 B，若 A为 m× n矩阵，
B为 n× p矩阵，则 C=A*B为 m× p矩阵。
(3) 矩阵除法
在 MATLAB中，有两种矩阵除法运算,\和 /，分
别表示左除和右除。如果 A矩阵是非奇异方阵，
则 A\B和 B/A运算可以实现。 A\B等效于 A的逆左
乘 B矩阵，也就是 inv(A)*B，而 B/A等效于 A矩阵
的逆右乘 B矩阵，也就是 B*inv(A)。
对于含有标量的运算，两种除法运算的结果相同，
如 3/4和 4\3有相同的值，都等于 0.75。又如，设
a=[10.5,25]，则 a/5=5\a=[2.1000 5.0000]。对于矩
阵来说，左除和右除表示两种不同的除数矩阵和
被除数矩阵的关系。对于矩阵运算，一般
A\B≠B/A。
(4) 矩阵的乘方
一个矩阵的乘方运算可以表示成 A^x，要
求 A为方阵,x为标量。
2．点运算
在 MATLAB中，有一种特殊的运算，因
为其运算符是在有关算术运算符前面加点，
所以叫点运算。点运算符有,*,./,.\和,^。
两矩阵进行点运算是指它们的对应元素进
行相关运算，要求两矩阵的维参数相同。
2.3.2 关系运算
MATLAB提供了 6种关系运算符,<(小
于 ),<=(小于或等于 ),>(大于 ),>=(大于或
等于 ),==(等于 )、～ =(不等于 )。它们的含
义不难理解，但要注意其书写方法与数学
中的不等式符号不尽相同。
关系运算符的运算法则为：
(1) 当两个比较量是标量时，直接比较两
数的大小。若关系成立，关系表达式结果
为 1，否则为 0。
(2) 当参与比较的量是两个维数相同的矩
阵时，比较是对两矩阵相同位置的元素按
标量关系运算规则逐个进行，并给出元素
比较结果。最终的关系运算的结果是一个
维数与原矩阵相同的矩阵，它的元素由 0或
1组成。
(3) 当参与比较的一个是标量，而另一个是
矩阵时，则把标量与矩阵的每一个元素按
标量关系运算规则逐个比较，并给出元素
比较结果。最终的关系运算的结果是一个
维数与原矩阵相同的矩阵，它的元素由 0或
1组成。
例 2-8 产生 5阶随机方阵 A，其元素为 [10,90]区间
的随机整数，然后判断 A的元素是否能被 3整除。
(1) 生成 5阶随机方阵 A。
A=fix((90-10+1)*rand(5)+10)
(2) 判断 A的元素是否可以被 3整除。
P=rem(A,3)==0
其中,rem(A,3)是矩阵 A的每个元素除以 3的余数
矩阵。此时,0被扩展为与 A同维数的零矩阵,P
是进行等于 (==)比较的结果矩阵。
2.3.3 逻辑运算
MATLAB提供了 3种逻辑运算符,&(与 ),|(或 )和～ (非 )。
逻辑运算的运算法则为：
(1) 在逻辑运算中，确认非零元素为真，用 1表示，零元
素为假，用 0表示。
(2) 设参与逻辑运算的是两个标量 a和 b，那么，
a&b a,b全为非零时，运算结果为 1，否则为 0。
a|b a,b中只要有一个非零，运算结果为 1。
～ a 当 a是零时，运算结果为 1；当 a非零时，运算结果
为 0。
(3) 若参与逻辑运算的是两个同维矩阵，那
么运算将对矩阵相同位置上的元素按标量
规则逐个进行。最终运算结果是一个与原
矩阵同维的矩阵，其元素由 1或 0组成。
(4) 若参与逻辑运算的一个是标量，一个是
矩阵，那么运算将在标量与矩阵中的每个
元素之间按标量规则逐个进行。最终运算
结果是一个与矩阵同维的矩阵，其元素由 1
或 0组成。
(5) 逻辑非是单目运算符，也服从矩阵运算规
则。
(6) 在算术、关系、逻辑运算中，算术运算
优先级最高，逻辑运算优先级最低。
例 2-9 建立矩阵 A，然后找出大于 4的元素的
位置。
(1) 建立矩阵 A。
A=[4,-65,-54,0,6;56,0,67,-45,0]
(2) 找出大于 4的元素的位置。
find(A>4)
2.4 矩阵分析
2.4.1 对角阵与三角阵
1．对角阵
只有对角线上有非 0元素的矩阵称为对角矩
阵，对角线上的元素相等的对角矩阵称为
数量矩阵，对角线上的元素都为 1的对角矩
阵称为单位矩阵。
(1) 提取矩阵的对角线元素
设 A为 m× n矩阵,diag(A)函数用于提取矩阵 A主对角线元
素，产生一个具有 min(m,n)个元素的列向量。
diag(A)函数还有一种形式 diag(A,k)，其功能是提取第 k条
对角线的元素。
(2) 构造对角矩阵
设 V为具有 m个元素的向量,diag(V)将产生一个 m× m对
角矩阵，其主对角线元素即为向量 V的元素。
diag(V)函数也有另一种形式 diag(V,k)，其功能是产生一
个 n× n(n=m+)对角阵，其第 k条对角线的元素即为向量 V
的元素。
例 2-10 先建立 5× 5矩阵 A，然后将 A的第一
行元素乘以 1，第二行乘以 2,…,第五行
乘以 5。
A=[17,0,1,0,15;23,5,7,14,16;4,0,13,0,22;10,12
,19,21,3;...
11,18,25,2,19];
D=diag(1:5);
D*A %用 D左乘 A，对 A的每行乘
以一个指定常数
2．三角阵
三角阵又进一步分为上三角阵和下三角阵，
所谓上三角阵，即矩阵的对角线以下的元
素全为 0的一种矩阵，而下三角阵则是对角
线以上的元素全为 0的一种矩阵。
(1) 上三角矩阵
求矩阵 A的上三角阵的 MATLAB函数是 triu(A)。
triu(A)函数也有另一种形式 triu(A,k)，其功能是
求矩阵 A的第 k条对角线以上的元素。例如，提取
矩阵 A的第 2条对角线以上的元素，形成新的矩阵
B。
(2) 下三角矩阵
在 MATLAB中，提取矩阵 A的下三角矩阵的函数
是 tril(A)和 tril(A,k)，其用法与提取上三角矩阵的
函数 triu(A)和 triu(A,k)完全相同。
2.4.2 矩阵的转置与旋转
1．矩阵的转置
转置运算符是单撇号 (‘)。
2．矩阵的旋转
利用函数 rot90(A,k)将矩阵 A旋转 90o的 k倍，
当 k为 1时可省略。
3．矩阵的左右翻转
对矩阵实施左右翻转是将原矩阵的第一列
和最后一列调换，第二列和倒数第二列调
换,…,依次类推。 MATLAB对矩阵 A实
施左右翻转的函数是 fliplr(A)。
4．矩阵的上下翻转
MATLAB对矩阵 A实施上下翻转的函数是
flipud(A)。
2.4.3 矩阵的逆与伪逆
1．矩阵的逆
对于一个方阵 A，如果存在一个与其同阶的方阵 B，使得：
A·B=B·A=I (I为单位矩阵 )
则称 B为 A的逆矩阵，当然,A也是 B的逆矩阵。
求一个矩阵的逆是一件非常烦琐的工作，容易出错，但在
MATLAB中，求一个矩阵的逆非常容易。求方阵 A的逆矩
阵可调用函数 inv(A)。
例 2-11 用求逆矩阵的方法解线性方程组。
Ax=b
其解为：
x=A-1b
2．矩阵的伪逆
如果矩阵 A不是一个方阵，或者 A是一个非满秩的
方阵时，矩阵 A没有逆矩阵，但可以找到一个与 A
的转置矩阵 A‘同型的矩阵 B，使得：
A·B·A=A
B·A·B=B
此时称矩阵 B为矩阵 A的伪逆，也称为广义逆矩阵。
在 MATLAB中，求一个矩阵伪逆的函数是
pinv(A)。
2.4.4 方阵的行列式
把一个方阵看作一个行列式，并对其按行
列式的规则求值，这个值就称为矩阵所对
应的行列式的值。在 MATLAB中，求方阵
A所对应的行列式的值的函数是 det(A)。
2.4.5 矩阵的秩与迹
1．矩阵的秩
矩阵线性无关的行数与列数称为矩阵的秩。
在 MATLAB中，求矩阵秩的函数是 rank(A)。
2．矩阵的迹
矩阵的迹等于矩阵的对角线元素之和，也
等于矩阵的特征值之和。在 MATLAB中，
求矩阵的迹的函数是 trace(A)。
2.4.6 向量和矩阵的范数
矩阵或向量的范数用来度量矩阵或向量在
某种意义下的长度。范数有多种方法定义，
其定义不同，范数值也就不同。
1．向量的 3种常用范数及其计算函数
在 MATLAB中，求向量范数的函数为：
(1) norm(V)或 norm(V,2)：计算向量 V的 2—
范数。
(2) norm(V,1)：计算向量 V的 1— 范数。
(3) norm(V,inf)：计算向量 V的 ∞— 范数。
2．矩阵的范数及其计算函数
MATLAB提供了求 3种矩阵范数的函数，其函数
调用格式与求向量的范数的函数完全相同。
2.4.7 矩阵的条件数
在 MATLAB中，计算矩阵 A的 3种条件数的函数
是：
(1) cond(A,1) 计算 A的 1— 范数下的条件数。
(2) cond(A)或 cond(A,2) 计算 A的 2— 范数数下的
条件数。
(3) cond(A,inf) 计算 A的 ∞— 范数下的条件数。
2.4.8 矩阵的特征值与特征向量
在 MATLAB中，计算矩阵 A的特征值和特
征向量的函数是 eig(A)，常用的调用格式有
3种：
(1) E=eig(A)：求矩阵 A的全部特征值，构
成向量 E。
(2) [V,D]=eig(A)：求矩阵 A的全部特征值，
构成对角阵 D，并求 A的特征向量构成 V的
列向量。
(3) [V,D]=eig(A,‘nobalance’)：与第 2种格式类
似，但第 2种格式中先对 A作相似变换后求
矩阵 A的特征值和特征向量，而格式 3直接
求矩阵 A的特征值和特征向量。
例 2-12 用求特征值的方法解方程。
3x5-7x4+5x2+2x-18=0
p=[3,-7,0,5,2,-18];
A=compan(p); %A的伴随矩阵
x1=eig(A) %求 A的特征值
x2=roots(p) %直接求多项式 p的零
点
2.5 矩阵的超越函数
1．矩阵平方根 sqrtm
sqrtm(A)计算矩阵 A的平方根。
2．矩阵对数 logm
logm(A)计算矩阵 A的自然对数。此函数输
入参数的条件与输出结果间的关系和函数
sqrtm(A)完全一样
3．矩阵指数 expm,expm1,expm2,expm3
expm(A),expm1(A),expm2(A)、
expm3(A)的功能都求矩阵指数 eA。
4．普通矩阵函数 funm
funm(A,‘fun’)用来计算直接作用于矩阵 A的
由‘ fun’指定的超越函数值。当 fun取 sqrt
时,funm(A,‘sqrt’)可以计算矩阵 A的平方
根，与 sqrtm(A)的计算结果一样。
2.6 字符串
在 MATLAB中，字符串是用单撇号括起
来的字符序列。
MATLAB将字符串当作一个行向量，每个
元素对应一个字符，其标识方法和数值向
量相同。也可以建立多行字符串矩阵。
字符串是以 ASCII码形式存储的。 abs和
double函数都可以用来获取字符串矩阵所对
应的 ASCII码数值矩阵。相反,char函数可
以把 ASCII码矩阵转换为字符串矩阵。
例 2-13 建立一个字符串向量，然后对该向量
做如下处理：
(1) 取第 1～ 5个字符组成的子字符串。
(2) 将字符串倒过来重新排列。
(3) 将字符串中的小写字母变成相应的大写
字母，其余字符不变。
(4) 统计字符串中小写字母的个数。
命令如下：
ch=‘ABc123d4e56Fg9’;
subch=ch(1:5) %取子字符串
revch=ch(end:-1:1) %将字符串倒排
k=find(ch>=‘a’&ch<=‘z’); %找小写字母的位置
ch(k)=ch(k)-(‘a’-‘A’); %将小写字母变成相应
的大写字母
char(ch)
length(k) %统计小写字母的个数
与字符串有关的另一个重要函数是 eval，其调用
格式为：
eval(t)
其中 t为字符串。它的作用是把字符串的内容作为对
应的 MATLAB语句来执行。
2.7 结构数据和单元数据
2.7.1 结构数据
1．结构矩阵的建立与引用
结构矩阵的元素可以是不同的数据类型，
它能将一组具有不同属性的数据纳入到一
个统一的变量名下进行管理。建立一个结
构矩阵可采用给结构成员赋值的办法。具
体格式为：
结构矩阵名,成员名 =表达式
其中表达式应理解为矩阵表达式。
2．结构成员的修改
可以根据需要增加或删除结构的成员。例如要给结构矩阵
a增加一个成员 x4，可给 a中任意一个元素增加成员 x4：
a(1).x4=‘410075’;
但其他成员均为空矩阵，可以使用赋值语句给它赋确定的
值。
要删除结构的成员，则可以使用 rmfield函数来完成。例
如，删除成员 x4：
a=rmfield(a,‘x4’);
3．关于结构的函数
除了一般的结构数据的操作外,MATLAB还提供了部分
函数来进行结构矩阵的操作。
2.7.2 单元数据
1．单元矩阵的建立与引用
建立单元矩阵和一般矩阵相似，只是矩阵元素用
大括号括起来。
可以用带有大括号下标的形式引用单元矩阵元素。
例如 b{3,3}。单元矩阵的元素可以是结构或单元
数据。
可以使用 celldisp函数来显示整个单元矩阵，如
celldisp(b)。还可以删除单元矩阵中的某个元素。
2．关于单元的函数
MATLAB还提供了部分函数用于单元的操作。
2.8 稀疏矩阵
2.8.1 矩阵存储方式
MATLAB的矩阵有两种存储方式：完全存
储方式和稀疏存储方式。
1．完全存储方式
完全存储方式是将矩阵的全部元素按列存
储。以前讲到的矩阵的存储方式都是按这
个方式存储的，此存储方式对稀疏矩阵也
适用。
2．稀疏存储方式
稀疏存储方式仅存储矩阵所有的非零元素
的值及其位置，即行号和列号。在
MATLAB中，稀疏存储方式也是按列存储
的。
注意，在讲稀疏矩阵时，有两个不同的概
念，一是指矩阵的 0元素较多，该矩阵是一
个具有稀疏特征的矩阵，二是指采用稀疏
方式存储的矩阵。
2.8.2 稀疏存储方式的产生
1．将完全存储方式转化为稀疏存储方式
函数 A=sparse(S)将矩阵 S转化为稀疏存储方式的矩阵 A。当矩阵 S是稀
疏存储方式时，则函数调用相当于 A=S。
sparse函数还有其他一些调用格式：
sparse(m,n)：生成一个 m× n的所有元素都是 0的稀疏矩阵。
sparse(u,v,S), u,v,S是 3个等长的向量。 S是要建立的稀疏矩阵的非 0
元素,u(i),v(i)分别是 S(i)的行和列下标，该函数建立一个 max(u)行、
max(v)列并以 S为稀疏元素的稀疏矩阵。
此外，还有一些和稀疏矩阵操作有关的函数。例如
[u,v,S]=find(A)：返回矩阵 A中非 0元素的下标和元素。这里产生的
u,v,S可作为 sparse(u,v,S)的参数。
full(A)：返回和稀疏存储矩阵 A对应的完全存储方式矩阵。
2．产生稀疏存储矩阵
只把要建立的稀疏矩阵的非 0元素及其所在行和列的位置
表示出来后由 MATLAB自己产生其稀疏存储，这需要使
用 spconvert函数。调用格式为：
B=spconvert(A)
其中 A为一个 m× 3或 m× 4的矩阵，其每行表示一个非 0元
素,m是非 0元素的个数,A每个元素的意义是：
(i,1) 第 i个非 0元素所在的行。
(i,2) 第 i个非 0元素所在的列。
(i,3) 第 i个非 0元素值的实部。
(i,4) 第 i个非 0元素值的虚部，若矩阵的全部元素都是实数，
则无须第四列。
该函数将 A所描述的一个稀疏矩阵转化为一个稀疏存储矩
阵。
例 2-15 根据表示稀疏矩阵的矩阵 A，产生一
个稀疏存储方式矩阵 B。
命令如下：
A=[2,2,1;3,1,-1;4,3,3;5,3,8;6,6,12];
B=spconvert(A)
3．带状稀疏存储矩阵
用 spdiags函数产生带状稀疏矩阵的稀疏存
储，调用格式是：
A=spdiags(B,d,m,n)
其中，参数 m,n为原带状矩阵的行数与列数。
B为 r× p阶矩阵，这里 r=min(m,n),p为原
带状矩阵所有非零对角线的条数，矩阵 B的
第 i列即为原带状矩阵的第 i条非零对角线。
4．单位矩阵的稀疏存储
单位矩阵只有对角线元素为 1，其他元素都
为 0，是一种具有稀疏特征的矩阵。函数
eye产生一个完全存储方式的单位矩阵。
MATLAB还有一个产生稀疏存储方式的单
位矩阵的函数，这就是 speye。函数
speye(m,n)返回一个 m× n的稀疏存储单位
矩阵。
2.8.3 稀疏矩阵应用举例
稀疏存储矩阵只是矩阵的存储方式不同，
它的运算规则与普通矩阵是一样的。所以，
在运算过程中，稀疏存储矩阵可以直接参
与运算。当参与运算的对象不全是稀疏存
储矩阵时，所得结果一般是完全存储形式。
2.1 变量和数据操作
2.2 MATLAB矩阵
2.3 MATLAB运算
2.4 矩阵分析
2.5 矩阵的超越函数
2.6 字符串
2.7 结构数据和单元数据
2.8 稀疏矩阵
2.1 变量和数据操作
2.1.1 变量与赋值
1．变量命名
在 MATLAB 6.5中，变量名是以字母开头，
后接字母、数字或下划线的字符序列，最
多 63个字符。在 MATLAB中，变量名区分
字母的大小写。
2．赋值语句
(1) 变量 =表达式
(2) 表达式
其中表达式是用运算符将有关运算量连接
起来的式子，其结果是一个矩阵。
例 2-1 计算表达式的值，并显示计算结果。
在 MATLAB命令窗口输入命令：
x=1+2i;
y=3-sqrt(17);
z=(cos(abs(x+y))-sin(78*pi/180))/(x+abs(y))
其中 pi和 i都是 MATLAB预先定义的变量，
分别代表代表圆周率 π和虚数单位。
输出结果是：
z =
-0.3488 + 0.3286i
2.1.2 预定义变量
在 MATLAB工作空间中，还驻留几个由系统
本身定义的变量。例如，用 pi表示圆周率 π
的近似值，用 i,j表示虚数单位。
预定义变量有特定的含义，在使用时，应
尽量避免对这些变量重新赋值。
2.1.3 内存变量的管理
1．内存变量的删除与修改
MATLAB工作空间窗口专门用于内存变量
的管理。在工作空间窗口中可以显示所有
内存变量的属性。当选中某些变量后，再
单击 Delete按钮，就能删除这些变量。当选
中某些变量后，再单击 Open按钮，将进入
变量编辑器。通过变量编辑器可以直接观
察变量中的具体元素，也可修改变量中的
具体元素。
clear命令用于删除 MATLAB工作空间中的变
量。 who和 whos这两个命令用于显示在
MATLAB工作空间中已经驻留的变量名清
单。 who命令只显示出驻留变量的名称，
whos在给出变量名的同时，还给出它们的
大小、所占字节数及数据类型等信息。
2．内存变量文件
利用 MAT文件可以把当前 MATLAB工作空
间中的一些有用变量长久地保留下来，扩
展名是,mat。 MAT文件的生成和装入由
save和 load命令来完成。常用格式为：
save 文件名 [变量名表 ] [-append][-ascii]
load 文件名 [变量名表 ] [-ascii]
其中，文件名可以带路径，但不需带扩展
名,mat，命令隐含一定对,mat文件进行操作。
变量名表中的变量个数不限，只要内存或
文件中存在即可，变量名之间以空格分隔。
当变量名表省略时，保存或装入全部变量。
-ascii选项使文件以 ASCII格式处理，省略
该选项时文件将以二进制格式处理。 save命
令中的 -append选项控制将变量追加到 MAT
文件中。
2.1.4 MATLAB常用数学函数
MATLAB提供了许多数学函数，函数的自
变量规定为矩阵变量，运算法则是将函数
逐项作用于矩阵的元素上，因而运算的结
果是一个与自变量同维数的矩阵。
函数使用说明：
(1) 三角函数以弧度为单位计算。
(2) abs函数可以求实数的绝对值、复数的模、
字符串的 ASCII码值。
(3) 用于取整的函数有 fix,floor,ceil、
round，要注意它们的区别。
(4) rem与 mod函数的区别。 rem(x,y)和
mod(x,y)要求 x,y必须为相同大小的实矩阵
或为标量。
2.1.5 数据的输出格式
MATLAB用十进制数表示一个常数，具
体可采用日常记数法和科学记数法两种表
示方法。
在一般情况下,MATLAB内部每一个数
据元素都是用双精度数来表示和存储的。
数据输出时用户可以用 format命令设置或
改变数据输出格式。 format命令的格式为：
format 格式符
其中格式符决定数据的输出格式
2.2 MATLAB矩阵
2.2.1 矩阵的建立
1．直接输入法
最简单的建立矩阵的方法是从键盘直接
输入矩阵的元素。具体方法如下：将矩阵
的元素用方括号括起来，按矩阵行的顺序
输入各元素，同一行的各元素之间用空格
或逗号分隔，不同行的元素之间用分号分
隔。
2．利用 M文件建立矩阵
对于比较大且比较复杂的矩阵，可以为
它专门建立一个 M文件。下面通过一个简
单例子来说明如何利用 M文件创建矩阵。
例 2-2 利用 M文件建立 MYMAT矩阵。
(1) 启动有关编辑程序或 MATLAB文本编辑
器，并输入待建矩阵：
(2) 把输入的内容以纯文本方式存盘 (设文
件名为 mymatrix.m)。
(3) 在 MATLAB命令窗口中输入 mymatrix，
即运行该 M文件，就会自动建立一个名为
MYMAT的矩阵，可供以后使用。
3．利用冒号表达式建立一个向量
冒号表达式可以产生一个行向量，一般格式是：
e1:e2:e3
其中 e1为初始值,e2为步长,e3为终止值。
在 MATLAB中，还可以用 linspace函数产生行向
量。其调用格式为：
linspace(a,b,n)
其中 a和 b是生成向量的第一个和最后一个元素，
n是元素总数。
显然,linspace(a,b,n)与 a:(b-a)/(n-1):b等价。
4．建立大矩阵
大矩阵可由方括号中的小矩阵或向量建立起来。
2.2.2 矩阵的拆分
1．矩阵元素
通过下标引用矩阵的元素，例如
A(3,2)=200
采用矩阵元素的序号来引用矩阵元素。矩阵元素的序号就
是相应元素在内存中的排列顺序。在 MATLAB中，矩阵
元素按列存储，先第一列，再第二列，依次类推。例如
A=[1,2,3;4,5,6];
A(3)
ans =
2
显然，序号 (Index)与下标 (Subscript )是一一对应的，以
m× n矩阵 A为例，矩阵元素 A(i,j)的序号为 (j-1)*m+i。其
相互转换关系也可利用 sub2ind和 ind2sub函数求得。
2．矩阵拆分
(1) 利用冒号表达式获得子矩阵
① A(:,j)表示取 A矩阵的第 j列全部元素； A(i,:)
表示 A矩阵第 i行的全部元素； A(i,j)表示取 A矩阵
第 i行、第 j列的元素。
② A(i:i+m,:)表示取 A矩阵第 i～ i+m行的全部元
素； A(:,k:k+m)表示取 A矩阵第 k～ k+m列的全部
元素,A(i:i+m,k:k+m)表示取 A矩阵第 i～ i+m行内，
并在第 k～ k+m列中的所有元素。
此外，还可利用一般向量和 end运算符来表示矩阵
下标，从而获得子矩阵。 end表示某一维的末尾元
素下标。
(2) 利用空矩阵删除矩阵的元素
在 MATLAB中，定义 []为空矩阵。给变
量 X赋空矩阵的语句为 X=[]。注意,X=[]与
clear X不同,clear是将 X从工作空间中删
除，而空矩阵则存在于工作空间中，只是
维数为 0。
2.2.3 特殊矩阵
1．通用的特殊矩阵
常用的产生通用特殊矩阵的函数有：
zeros：产生全 0矩阵 (零矩阵 )。
ones：产生全 1矩阵 (幺矩阵 )。
eye：产生单位矩阵。
rand：产生 0～ 1间均匀分布的随机矩阵。
randn：产生均值为 0，方差为 1的标准正态
分布随机矩阵。
例 2-3 分别建立 3× 3,3× 2和与矩阵 A同样大小的
零矩阵。
(1) 建立一个 3× 3零矩阵。
zeros(3)
(2) 建立一个 3× 2零矩阵。
zeros(3,2)
(3) 设 A为 2× 3矩阵，则可以用 zeros(size(A))建立
一个与矩阵 A同样大小零矩阵。
A=[1 2 3;4 5 6]; %产生一个 2× 3阶矩阵 A
zeros(size(A)) %产生一个与矩阵 A同样大小的
零矩阵
例 2-4 建立随机矩阵：
(1) 在区间 [20,50]内均匀分布的 5阶随机矩阵。
(2) 均值为 0.6、方差为 0.1的 5阶正态分布随机矩阵。
命令如下：
x=20+(50-20)*rand(5)
y=0.6+sqrt(0.1)*randn(5)
此外，常用的函数还有 reshape(A,m,n)，它在矩
阵总元素保持不变的前提下，将矩阵 A重新排成
m× n的二维矩阵。
2．用于专门学科的特殊矩阵
(1) 魔方矩阵
魔方矩阵有一个有趣的性质，其每行、每
列及两条对角线上的元素和都相等。对于 n
阶魔方阵，其元素由 1,2,3,…,n2 共 n2个整数
组成。 MATLAB提供了求魔方矩阵的函数
magic(n)，其功能是生成一个 n阶魔方阵。
例 2-5 将 101~125等 25个数填入一个 5行 5列的
表格中，使其每行每列及对角线的和均为
565。
M=100+magic(5)
(2) 范得蒙矩阵
范得蒙 (Vandermonde)矩阵最后一列全为 1，
倒数第二列为一个指定的向量，其他各列
是其后列与倒数第二列的点乘积。可以用
一个指定向量生成一个范得蒙矩阵。在
MATLAB中，函数 vander(V)生成以向量 V
为基础向量的范得蒙矩阵。例如，
A=vander([1;2;3;5])即可得到上述范得蒙矩
阵。
(3) 希尔伯特矩阵
在 MATLAB中，生成希尔伯特矩阵的函数
是 hilb(n)。
使用一般方法求逆会因为原始数据的微小
扰动而产生不可靠的计算结果。 MATLAB
中，有一个专门求希尔伯特矩阵的逆的函
数 invhilb(n)，其功能是求 n阶的希尔伯特矩
阵的逆矩阵。
例 2-6 求 4阶希尔伯特矩阵及其逆矩阵。
命令如下：
format rat %以有理形式输出
H=hilb(4)
H=invhilb(4)
(4) 托普利兹矩阵
托普利兹 (Toeplitz)矩阵除第一行第一列外，
其他每个元素都与左上角的元素相同。生
成托普利兹矩阵的函数是 toeplitz(x,y)，它
生成一个以 x为第一列,y为第一行的托普
利兹矩阵。这里 x,y均为向量，两者不必等
长。 toeplitz(x)用向量 x生成一个对称的托普
利兹矩阵。例如
T=toeplitz(1:6)
(5) 伴随矩阵
MATLAB生成伴随矩阵的函数是
compan(p)，其中 p是一个多项式的系数向
量，高次幂系数排在前，低次幂排在后。
例如，为了求多项式的 x3-7x+6的伴随矩阵，
可使用命令：
p=[1,0,-7,6];
compan(p)
(6) 帕斯卡矩阵
我们知道，二次项 (x+y)n展开后的系数随 n
的增大组成一个三角形表，称为杨辉三角
形。由杨辉三角形表组成的矩阵称为帕斯
卡 (Pascal)矩阵。函数 pascal(n)生成一个 n阶
帕斯卡矩阵。
例 2-7 求 (x+y)5的展开式。
在 MATLAB命令窗口，输入命令：
pascal(6)
矩阵次对角线上的元素 1,5,10,10,5,1即为展
开式的系数。
2.3 MATLAB运算
2.3.1算术运算
1．基本算术运算
MATLAB的基本算术运算有：＋ (加 )、
－ (减 ),*(乘 ),/(右除 ),\(左除 ),^(乘方 )。
注意，运算是在矩阵意义下进行的，单个
数据的算术运算只是一种特例。
(1) 矩阵加减运算
假定有两个矩阵 A和 B，则可以由 A+B和
A-B实现矩阵的加减运算。运算规则是：若
A和 B矩阵的维数相同，则可以执行矩阵的
加减运算,A和 B矩阵的相应元素相加减。
如果 A与 B的维数不相同，则 MATLAB将给
出错误信息，提示用户两个矩阵的维数不
匹配。
(2) 矩阵乘法
假定有两个矩阵 A和 B，若 A为 m× n矩阵，
B为 n× p矩阵，则 C=A*B为 m× p矩阵。
(3) 矩阵除法
在 MATLAB中，有两种矩阵除法运算,\和 /，分
别表示左除和右除。如果 A矩阵是非奇异方阵，
则 A\B和 B/A运算可以实现。 A\B等效于 A的逆左
乘 B矩阵，也就是 inv(A)*B，而 B/A等效于 A矩阵
的逆右乘 B矩阵，也就是 B*inv(A)。
对于含有标量的运算，两种除法运算的结果相同，
如 3/4和 4\3有相同的值，都等于 0.75。又如，设
a=[10.5,25]，则 a/5=5\a=[2.1000 5.0000]。对于矩
阵来说，左除和右除表示两种不同的除数矩阵和
被除数矩阵的关系。对于矩阵运算，一般
A\B≠B/A。
(4) 矩阵的乘方
一个矩阵的乘方运算可以表示成 A^x，要
求 A为方阵,x为标量。
2．点运算
在 MATLAB中，有一种特殊的运算，因
为其运算符是在有关算术运算符前面加点，
所以叫点运算。点运算符有,*,./,.\和,^。
两矩阵进行点运算是指它们的对应元素进
行相关运算，要求两矩阵的维参数相同。
2.3.2 关系运算
MATLAB提供了 6种关系运算符,<(小
于 ),<=(小于或等于 ),>(大于 ),>=(大于或
等于 ),==(等于 )、～ =(不等于 )。它们的含
义不难理解，但要注意其书写方法与数学
中的不等式符号不尽相同。
关系运算符的运算法则为：
(1) 当两个比较量是标量时，直接比较两
数的大小。若关系成立，关系表达式结果
为 1，否则为 0。
(2) 当参与比较的量是两个维数相同的矩
阵时，比较是对两矩阵相同位置的元素按
标量关系运算规则逐个进行，并给出元素
比较结果。最终的关系运算的结果是一个
维数与原矩阵相同的矩阵，它的元素由 0或
1组成。
(3) 当参与比较的一个是标量，而另一个是
矩阵时，则把标量与矩阵的每一个元素按
标量关系运算规则逐个比较，并给出元素
比较结果。最终的关系运算的结果是一个
维数与原矩阵相同的矩阵，它的元素由 0或
1组成。
例 2-8 产生 5阶随机方阵 A，其元素为 [10,90]区间
的随机整数，然后判断 A的元素是否能被 3整除。
(1) 生成 5阶随机方阵 A。
A=fix((90-10+1)*rand(5)+10)
(2) 判断 A的元素是否可以被 3整除。
P=rem(A,3)==0
其中,rem(A,3)是矩阵 A的每个元素除以 3的余数
矩阵。此时,0被扩展为与 A同维数的零矩阵,P
是进行等于 (==)比较的结果矩阵。
2.3.3 逻辑运算
MATLAB提供了 3种逻辑运算符,&(与 ),|(或 )和～ (非 )。
逻辑运算的运算法则为：
(1) 在逻辑运算中，确认非零元素为真，用 1表示，零元
素为假，用 0表示。
(2) 设参与逻辑运算的是两个标量 a和 b，那么，
a&b a,b全为非零时，运算结果为 1，否则为 0。
a|b a,b中只要有一个非零，运算结果为 1。
～ a 当 a是零时，运算结果为 1；当 a非零时，运算结果
为 0。
(3) 若参与逻辑运算的是两个同维矩阵，那
么运算将对矩阵相同位置上的元素按标量
规则逐个进行。最终运算结果是一个与原
矩阵同维的矩阵，其元素由 1或 0组成。
(4) 若参与逻辑运算的一个是标量，一个是
矩阵，那么运算将在标量与矩阵中的每个
元素之间按标量规则逐个进行。最终运算
结果是一个与矩阵同维的矩阵，其元素由 1
或 0组成。
(5) 逻辑非是单目运算符，也服从矩阵运算规
则。
(6) 在算术、关系、逻辑运算中，算术运算
优先级最高，逻辑运算优先级最低。
例 2-9 建立矩阵 A，然后找出大于 4的元素的
位置。
(1) 建立矩阵 A。
A=[4,-65,-54,0,6;56,0,67,-45,0]
(2) 找出大于 4的元素的位置。
find(A>4)
2.4 矩阵分析
2.4.1 对角阵与三角阵
1．对角阵
只有对角线上有非 0元素的矩阵称为对角矩
阵，对角线上的元素相等的对角矩阵称为
数量矩阵，对角线上的元素都为 1的对角矩
阵称为单位矩阵。
(1) 提取矩阵的对角线元素
设 A为 m× n矩阵,diag(A)函数用于提取矩阵 A主对角线元
素，产生一个具有 min(m,n)个元素的列向量。
diag(A)函数还有一种形式 diag(A,k)，其功能是提取第 k条
对角线的元素。
(2) 构造对角矩阵
设 V为具有 m个元素的向量,diag(V)将产生一个 m× m对
角矩阵，其主对角线元素即为向量 V的元素。
diag(V)函数也有另一种形式 diag(V,k)，其功能是产生一
个 n× n(n=m+)对角阵，其第 k条对角线的元素即为向量 V
的元素。
例 2-10 先建立 5× 5矩阵 A，然后将 A的第一
行元素乘以 1，第二行乘以 2,…,第五行
乘以 5。
A=[17,0,1,0,15;23,5,7,14,16;4,0,13,0,22;10,12
,19,21,3;...
11,18,25,2,19];
D=diag(1:5);
D*A %用 D左乘 A，对 A的每行乘
以一个指定常数
2．三角阵
三角阵又进一步分为上三角阵和下三角阵，
所谓上三角阵，即矩阵的对角线以下的元
素全为 0的一种矩阵，而下三角阵则是对角
线以上的元素全为 0的一种矩阵。
(1) 上三角矩阵
求矩阵 A的上三角阵的 MATLAB函数是 triu(A)。
triu(A)函数也有另一种形式 triu(A,k)，其功能是
求矩阵 A的第 k条对角线以上的元素。例如，提取
矩阵 A的第 2条对角线以上的元素，形成新的矩阵
B。
(2) 下三角矩阵
在 MATLAB中，提取矩阵 A的下三角矩阵的函数
是 tril(A)和 tril(A,k)，其用法与提取上三角矩阵的
函数 triu(A)和 triu(A,k)完全相同。
2.4.2 矩阵的转置与旋转
1．矩阵的转置
转置运算符是单撇号 (‘)。
2．矩阵的旋转
利用函数 rot90(A,k)将矩阵 A旋转 90o的 k倍，
当 k为 1时可省略。
3．矩阵的左右翻转
对矩阵实施左右翻转是将原矩阵的第一列
和最后一列调换，第二列和倒数第二列调
换,…,依次类推。 MATLAB对矩阵 A实
施左右翻转的函数是 fliplr(A)。
4．矩阵的上下翻转
MATLAB对矩阵 A实施上下翻转的函数是
flipud(A)。
2.4.3 矩阵的逆与伪逆
1．矩阵的逆
对于一个方阵 A，如果存在一个与其同阶的方阵 B，使得：
A·B=B·A=I (I为单位矩阵 )
则称 B为 A的逆矩阵，当然,A也是 B的逆矩阵。
求一个矩阵的逆是一件非常烦琐的工作，容易出错，但在
MATLAB中，求一个矩阵的逆非常容易。求方阵 A的逆矩
阵可调用函数 inv(A)。
例 2-11 用求逆矩阵的方法解线性方程组。
Ax=b
其解为：
x=A-1b
2．矩阵的伪逆
如果矩阵 A不是一个方阵，或者 A是一个非满秩的
方阵时，矩阵 A没有逆矩阵，但可以找到一个与 A
的转置矩阵 A‘同型的矩阵 B，使得：
A·B·A=A
B·A·B=B
此时称矩阵 B为矩阵 A的伪逆，也称为广义逆矩阵。
在 MATLAB中，求一个矩阵伪逆的函数是
pinv(A)。
2.4.4 方阵的行列式
把一个方阵看作一个行列式，并对其按行
列式的规则求值，这个值就称为矩阵所对
应的行列式的值。在 MATLAB中，求方阵
A所对应的行列式的值的函数是 det(A)。
2.4.5 矩阵的秩与迹
1．矩阵的秩
矩阵线性无关的行数与列数称为矩阵的秩。
在 MATLAB中，求矩阵秩的函数是 rank(A)。
2．矩阵的迹
矩阵的迹等于矩阵的对角线元素之和，也
等于矩阵的特征值之和。在 MATLAB中，
求矩阵的迹的函数是 trace(A)。
2.4.6 向量和矩阵的范数
矩阵或向量的范数用来度量矩阵或向量在
某种意义下的长度。范数有多种方法定义，
其定义不同，范数值也就不同。
1．向量的 3种常用范数及其计算函数
在 MATLAB中，求向量范数的函数为：
(1) norm(V)或 norm(V,2)：计算向量 V的 2—
范数。
(2) norm(V,1)：计算向量 V的 1— 范数。
(3) norm(V,inf)：计算向量 V的 ∞— 范数。
2．矩阵的范数及其计算函数
MATLAB提供了求 3种矩阵范数的函数，其函数
调用格式与求向量的范数的函数完全相同。
2.4.7 矩阵的条件数
在 MATLAB中，计算矩阵 A的 3种条件数的函数
是：
(1) cond(A,1) 计算 A的 1— 范数下的条件数。
(2) cond(A)或 cond(A,2) 计算 A的 2— 范数数下的
条件数。
(3) cond(A,inf) 计算 A的 ∞— 范数下的条件数。
2.4.8 矩阵的特征值与特征向量
在 MATLAB中，计算矩阵 A的特征值和特
征向量的函数是 eig(A)，常用的调用格式有
3种：
(1) E=eig(A)：求矩阵 A的全部特征值，构
成向量 E。
(2) [V,D]=eig(A)：求矩阵 A的全部特征值，
构成对角阵 D，并求 A的特征向量构成 V的
列向量。
(3) [V,D]=eig(A,‘nobalance’)：与第 2种格式类
似，但第 2种格式中先对 A作相似变换后求
矩阵 A的特征值和特征向量，而格式 3直接
求矩阵 A的特征值和特征向量。
例 2-12 用求特征值的方法解方程。
3x5-7x4+5x2+2x-18=0
p=[3,-7,0,5,2,-18];
A=compan(p); %A的伴随矩阵
x1=eig(A) %求 A的特征值
x2=roots(p) %直接求多项式 p的零
点
2.5 矩阵的超越函数
1．矩阵平方根 sqrtm
sqrtm(A)计算矩阵 A的平方根。
2．矩阵对数 logm
logm(A)计算矩阵 A的自然对数。此函数输
入参数的条件与输出结果间的关系和函数
sqrtm(A)完全一样
3．矩阵指数 expm,expm1,expm2,expm3
expm(A),expm1(A),expm2(A)、
expm3(A)的功能都求矩阵指数 eA。
4．普通矩阵函数 funm
funm(A,‘fun’)用来计算直接作用于矩阵 A的
由‘ fun’指定的超越函数值。当 fun取 sqrt
时,funm(A,‘sqrt’)可以计算矩阵 A的平方
根，与 sqrtm(A)的计算结果一样。
2.6 字符串
在 MATLAB中，字符串是用单撇号括起
来的字符序列。
MATLAB将字符串当作一个行向量，每个
元素对应一个字符，其标识方法和数值向
量相同。也可以建立多行字符串矩阵。
字符串是以 ASCII码形式存储的。 abs和
double函数都可以用来获取字符串矩阵所对
应的 ASCII码数值矩阵。相反,char函数可
以把 ASCII码矩阵转换为字符串矩阵。
例 2-13 建立一个字符串向量，然后对该向量
做如下处理：
(1) 取第 1～ 5个字符组成的子字符串。
(2) 将字符串倒过来重新排列。
(3) 将字符串中的小写字母变成相应的大写
字母，其余字符不变。
(4) 统计字符串中小写字母的个数。
命令如下：
ch=‘ABc123d4e56Fg9’;
subch=ch(1:5) %取子字符串
revch=ch(end:-1:1) %将字符串倒排
k=find(ch>=‘a’&ch<=‘z’); %找小写字母的位置
ch(k)=ch(k)-(‘a’-‘A’); %将小写字母变成相应
的大写字母
char(ch)
length(k) %统计小写字母的个数
与字符串有关的另一个重要函数是 eval，其调用
格式为：
eval(t)
其中 t为字符串。它的作用是把字符串的内容作为对
应的 MATLAB语句来执行。
2.7 结构数据和单元数据
2.7.1 结构数据
1．结构矩阵的建立与引用
结构矩阵的元素可以是不同的数据类型，
它能将一组具有不同属性的数据纳入到一
个统一的变量名下进行管理。建立一个结
构矩阵可采用给结构成员赋值的办法。具
体格式为：
结构矩阵名,成员名 =表达式
其中表达式应理解为矩阵表达式。
2．结构成员的修改
可以根据需要增加或删除结构的成员。例如要给结构矩阵
a增加一个成员 x4，可给 a中任意一个元素增加成员 x4：
a(1).x4=‘410075’;
但其他成员均为空矩阵，可以使用赋值语句给它赋确定的
值。
要删除结构的成员，则可以使用 rmfield函数来完成。例
如，删除成员 x4：
a=rmfield(a,‘x4’);
3．关于结构的函数
除了一般的结构数据的操作外,MATLAB还提供了部分
函数来进行结构矩阵的操作。
2.7.2 单元数据
1．单元矩阵的建立与引用
建立单元矩阵和一般矩阵相似，只是矩阵元素用
大括号括起来。
可以用带有大括号下标的形式引用单元矩阵元素。
例如 b{3,3}。单元矩阵的元素可以是结构或单元
数据。
可以使用 celldisp函数来显示整个单元矩阵，如
celldisp(b)。还可以删除单元矩阵中的某个元素。
2．关于单元的函数
MATLAB还提供了部分函数用于单元的操作。
2.8 稀疏矩阵
2.8.1 矩阵存储方式
MATLAB的矩阵有两种存储方式：完全存
储方式和稀疏存储方式。
1．完全存储方式
完全存储方式是将矩阵的全部元素按列存
储。以前讲到的矩阵的存储方式都是按这
个方式存储的，此存储方式对稀疏矩阵也
适用。
2．稀疏存储方式
稀疏存储方式仅存储矩阵所有的非零元素
的值及其位置，即行号和列号。在
MATLAB中，稀疏存储方式也是按列存储
的。
注意，在讲稀疏矩阵时，有两个不同的概
念，一是指矩阵的 0元素较多，该矩阵是一
个具有稀疏特征的矩阵，二是指采用稀疏
方式存储的矩阵。
2.8.2 稀疏存储方式的产生
1．将完全存储方式转化为稀疏存储方式
函数 A=sparse(S)将矩阵 S转化为稀疏存储方式的矩阵 A。当矩阵 S是稀
疏存储方式时，则函数调用相当于 A=S。
sparse函数还有其他一些调用格式：
sparse(m,n)：生成一个 m× n的所有元素都是 0的稀疏矩阵。
sparse(u,v,S), u,v,S是 3个等长的向量。 S是要建立的稀疏矩阵的非 0
元素,u(i),v(i)分别是 S(i)的行和列下标，该函数建立一个 max(u)行、
max(v)列并以 S为稀疏元素的稀疏矩阵。
此外，还有一些和稀疏矩阵操作有关的函数。例如
[u,v,S]=find(A)：返回矩阵 A中非 0元素的下标和元素。这里产生的
u,v,S可作为 sparse(u,v,S)的参数。
full(A)：返回和稀疏存储矩阵 A对应的完全存储方式矩阵。
2．产生稀疏存储矩阵
只把要建立的稀疏矩阵的非 0元素及其所在行和列的位置
表示出来后由 MATLAB自己产生其稀疏存储，这需要使
用 spconvert函数。调用格式为：
B=spconvert(A)
其中 A为一个 m× 3或 m× 4的矩阵，其每行表示一个非 0元
素,m是非 0元素的个数,A每个元素的意义是：
(i,1) 第 i个非 0元素所在的行。
(i,2) 第 i个非 0元素所在的列。
(i,3) 第 i个非 0元素值的实部。
(i,4) 第 i个非 0元素值的虚部，若矩阵的全部元素都是实数，
则无须第四列。
该函数将 A所描述的一个稀疏矩阵转化为一个稀疏存储矩
阵。
例 2-15 根据表示稀疏矩阵的矩阵 A，产生一
个稀疏存储方式矩阵 B。
命令如下：
A=[2,2,1;3,1,-1;4,3,3;5,3,8;6,6,12];
B=spconvert(A)
3．带状稀疏存储矩阵
用 spdiags函数产生带状稀疏矩阵的稀疏存
储，调用格式是：
A=spdiags(B,d,m,n)
其中，参数 m,n为原带状矩阵的行数与列数。
B为 r× p阶矩阵，这里 r=min(m,n),p为原
带状矩阵所有非零对角线的条数，矩阵 B的
第 i列即为原带状矩阵的第 i条非零对角线。
4．单位矩阵的稀疏存储
单位矩阵只有对角线元素为 1，其他元素都
为 0，是一种具有稀疏特征的矩阵。函数
eye产生一个完全存储方式的单位矩阵。
MATLAB还有一个产生稀疏存储方式的单
位矩阵的函数，这就是 speye。函数
speye(m,n)返回一个 m× n的稀疏存储单位
矩阵。
2.8.3 稀疏矩阵应用举例
稀疏存储矩阵只是矩阵的存储方式不同，
它的运算规则与普通矩阵是一样的。所以，
在运算过程中，稀疏存储矩阵可以直接参
与运算。当参与运算的对象不全是稀疏存
储矩阵时，所得结果一般是完全存储形式。
