第 8章 MATLAB数值积分与微分
8.1 数值积分
8.2 数值微分
8.1 数值积分
8.1.1 数值积分基本原理
求解定积分的数值方法多种多样，如简单
的梯形法、辛普生 (Simpson) 法、牛顿－柯
特斯 (Newton-Cotes)法等都是经常采用的方
法。它们的基本思想都是将整个积分区间
[a,b]分成 n个子区间 [xi,xi+1],i=1,2,…,n,其
中 x1=a,xn+1=b。这样求定积分问题就分解
为求和问题。
8.1.2 数值积分的实现方法
1．变步长辛普生法
基于变步长辛普生法,MATLAB给出了 quad函数
来求定积分。该函数的调用格式为：
[I,n]=quad('fname',a,b,tol,trace)
其中 fname是被积函数名。 a和 b分别是定积分的下
限和上限。 tol用来控制积分精度，缺省时取
tol=0.001。 trace控制是否展现积分过程，若取非 0
则展现积分过程，取 0则不展现，缺省时取
trace=0。返回参数 I即定积分值,n为被积函数的
调用次数。
例 8-1 求定积分。
(1) 建立被积函数文件 fesin.m。
function f=fesin(x)
f=exp(-0.5*x).*sin(x+pi/6);
(2) 调用数值积分函数 quad求定积分。
[S,n]=quad('fesin',0,3*pi)
S =
0.9008
n =
77
2．牛顿－柯特斯法
基于牛顿－柯特斯法,MATLAB给出了
quad8函数来求定积分。该函数的调用格式
为：
[I,n]=quad8('fname',a,b,tol,trace)
其中参数的含义和 quad函数相似，只是 tol的
缺省值取 10-6。 该函数可以更精确地求出定
积分的值，且一般情况下函数调用的步数
明显小于 quad函数，从而保证能以更高的
效率求出所需的定积分值。
例 8-2 求定积分。
(1) 被积函数文件 fx.m。
function f=fx(x)
f=x.*sin(x)./(1+cos(x).*cos(x));
(2) 调用函数 quad8求定积分。
I=quad8('fx',0,pi)
I =
2.4674
例 8-3 分别用 quad函数和 quad8函数求定积分的近
似值，并在相同的积分精度下，比较函数的调用
次数。
调用函数 quad求定积分：
format long;
fx=inline('exp(-x)');
[I,n]=quad(fx,1,2.5,1e-10)
I =
0.28579444254766
n =
65
调用函数 quad8求定积分：
format long;
fx=inline('exp(-x)');
[I,n]=quad8(fx,1,2.5,1e-10)
I =
0.28579444254754
n =
33
3．被积函数由一个表格定义
在 MATLAB中，对由表格形式定义的函数关系的求定积分
问题用 trapz(X,Y)函数。其中向量 X,Y定义函数关系
Y=f(X)。
例 8-4 用 trapz函数计算定积分。
命令如下：
X=1:0.01:2.5;
Y=exp(-X); %生成函数关系数据向量
trapz(X,Y)
ans =
0.28579682416393
8.1.3 二重定积分的数值求解
使用 MATLAB提供的 dblquad函数
就可以直接求出上述二重定积分的
数值解。该函数的调用格式为：
I=dblquad(f,a,b,c,d,tol,trace)
该函数求 f(x,y)在 [a,b]× [c,d]区域上
的二重定积分。参数 tol,trace的
用法与函数 quad完全相同。
例 8-5 计算二重定积分
(1) 建立一个函数文件 fxy.m：
function f=fxy(x,y)
global ki;
ki=ki+1; %ki用于统计被积函数的调用次数
f=exp(-x.^2/2).*sin(x.^2+y);
(2) 调用 dblquad函数求解。
global ki;ki=0;
I=dblquad('fxy',-2,2,-1,1)
ki
I =
1.57449318974494
ki =
1038
8.2 数值微分
8.2.1 数值差分与差商
8.2.2 数值微分的实现
在 MATLAB中，没有直接提供求数值导数的函数，只有计
算向前差分的函数 diff，其调用格式为：
DX=diff(X)：计算向量 X的向前差分,DX(i)=X(i+1)-X(i)，
i=1,2,…,n -1。
DX=diff(X,n)：计算 X的 n阶向前差分。例如，
diff(X,2)=diff(diff(X))。
DX=diff(A,n,dim)：计算矩阵 A的 n阶差分,dim=1时 (缺省状
态 )，按列计算差分； dim=2，按行计算差分。
例 8-6 生成以向量 V=[1,2,3,4,5,6]为基础的范得蒙矩
阵，按列进行差分运算。
命令如下：
V=vander(1:6)
DV=diff(V) %计算 V的一阶差分
例 8-7 用不同的方法求函数 f(x)的数值导数，并在同一个坐
标系中做出 f'(x)的图像。
程序如下：
f=inline('sqrt(x.^3+2*x.^2-x+12)+(x+5).^(1/6)+5*x+2');
g=inline('(3*x.^2+4*x-1)./sqrt(x.^3+2*x.^2-
x+12)/2+1/6./(x+5).^(5/6)+5');
x=-3:0.01:3;
p=polyfit(x,f(x),5); %用 5次多项式 p拟合 f(x)
dp=polyder(p); %对拟合多项式 p求导数 dp
dpx=polyval(dp,x); %求 dp在假设点的函数值
dx=diff(f([x,3.01]))/0.01; %直接对 f(x)求数值导数
gx=g(x); %求函数 f的导函数 g在假设点的导数
plot(x,dpx,x,dx,'.',x,gx,'-'); %作图
8.1 数值积分
8.2 数值微分
8.1 数值积分
8.1.1 数值积分基本原理
求解定积分的数值方法多种多样，如简单
的梯形法、辛普生 (Simpson) 法、牛顿－柯
特斯 (Newton-Cotes)法等都是经常采用的方
法。它们的基本思想都是将整个积分区间
[a,b]分成 n个子区间 [xi,xi+1],i=1,2,…,n,其
中 x1=a,xn+1=b。这样求定积分问题就分解
为求和问题。
8.1.2 数值积分的实现方法
1．变步长辛普生法
基于变步长辛普生法,MATLAB给出了 quad函数
来求定积分。该函数的调用格式为：
[I,n]=quad('fname',a,b,tol,trace)
其中 fname是被积函数名。 a和 b分别是定积分的下
限和上限。 tol用来控制积分精度，缺省时取
tol=0.001。 trace控制是否展现积分过程，若取非 0
则展现积分过程，取 0则不展现，缺省时取
trace=0。返回参数 I即定积分值,n为被积函数的
调用次数。
例 8-1 求定积分。
(1) 建立被积函数文件 fesin.m。
function f=fesin(x)
f=exp(-0.5*x).*sin(x+pi/6);
(2) 调用数值积分函数 quad求定积分。
[S,n]=quad('fesin',0,3*pi)
S =
0.9008
n =
77
2．牛顿－柯特斯法
基于牛顿－柯特斯法,MATLAB给出了
quad8函数来求定积分。该函数的调用格式
为：
[I,n]=quad8('fname',a,b,tol,trace)
其中参数的含义和 quad函数相似，只是 tol的
缺省值取 10-6。 该函数可以更精确地求出定
积分的值，且一般情况下函数调用的步数
明显小于 quad函数，从而保证能以更高的
效率求出所需的定积分值。
例 8-2 求定积分。
(1) 被积函数文件 fx.m。
function f=fx(x)
f=x.*sin(x)./(1+cos(x).*cos(x));
(2) 调用函数 quad8求定积分。
I=quad8('fx',0,pi)
I =
2.4674
例 8-3 分别用 quad函数和 quad8函数求定积分的近
似值，并在相同的积分精度下，比较函数的调用
次数。
调用函数 quad求定积分：
format long;
fx=inline('exp(-x)');
[I,n]=quad(fx,1,2.5,1e-10)
I =
0.28579444254766
n =
65
调用函数 quad8求定积分：
format long;
fx=inline('exp(-x)');
[I,n]=quad8(fx,1,2.5,1e-10)
I =
0.28579444254754
n =
33
3．被积函数由一个表格定义
在 MATLAB中，对由表格形式定义的函数关系的求定积分
问题用 trapz(X,Y)函数。其中向量 X,Y定义函数关系
Y=f(X)。
例 8-4 用 trapz函数计算定积分。
命令如下：
X=1:0.01:2.5;
Y=exp(-X); %生成函数关系数据向量
trapz(X,Y)
ans =
0.28579682416393
8.1.3 二重定积分的数值求解
使用 MATLAB提供的 dblquad函数
就可以直接求出上述二重定积分的
数值解。该函数的调用格式为：
I=dblquad(f,a,b,c,d,tol,trace)
该函数求 f(x,y)在 [a,b]× [c,d]区域上
的二重定积分。参数 tol,trace的
用法与函数 quad完全相同。
例 8-5 计算二重定积分
(1) 建立一个函数文件 fxy.m：
function f=fxy(x,y)
global ki;
ki=ki+1; %ki用于统计被积函数的调用次数
f=exp(-x.^2/2).*sin(x.^2+y);
(2) 调用 dblquad函数求解。
global ki;ki=0;
I=dblquad('fxy',-2,2,-1,1)
ki
I =
1.57449318974494
ki =
1038
8.2 数值微分
8.2.1 数值差分与差商
8.2.2 数值微分的实现
在 MATLAB中，没有直接提供求数值导数的函数，只有计
算向前差分的函数 diff，其调用格式为：
DX=diff(X)：计算向量 X的向前差分,DX(i)=X(i+1)-X(i)，
i=1,2,…,n -1。
DX=diff(X,n)：计算 X的 n阶向前差分。例如，
diff(X,2)=diff(diff(X))。
DX=diff(A,n,dim)：计算矩阵 A的 n阶差分,dim=1时 (缺省状
态 )，按列计算差分； dim=2，按行计算差分。
例 8-6 生成以向量 V=[1,2,3,4,5,6]为基础的范得蒙矩
阵，按列进行差分运算。
命令如下：
V=vander(1:6)
DV=diff(V) %计算 V的一阶差分
例 8-7 用不同的方法求函数 f(x)的数值导数，并在同一个坐
标系中做出 f'(x)的图像。
程序如下：
f=inline('sqrt(x.^3+2*x.^2-x+12)+(x+5).^(1/6)+5*x+2');
g=inline('(3*x.^2+4*x-1)./sqrt(x.^3+2*x.^2-
x+12)/2+1/6./(x+5).^(5/6)+5');
x=-3:0.01:3;
p=polyfit(x,f(x),5); %用 5次多项式 p拟合 f(x)
dp=polyder(p); %对拟合多项式 p求导数 dp
dpx=polyval(dp,x); %求 dp在假设点的函数值
dx=diff(f([x,3.01]))/0.01; %直接对 f(x)求数值导数
gx=g(x); %求函数 f的导函数 g在假设点的导数
plot(x,dpx,x,dx,'.',x,gx,'-'); %作图
