第六章 弯曲应力
本章主要内容
1,纯弯曲梁横截面上正应力公式的分析推导 。 （ 重点 ）
2,横力弯曲横截面上正应力的计算, 最大拉应力和最
大压应力的计算 。
3,弯曲的强度分析 。 （ 难点 ）
4,弯曲横截面上的剪应力 。
5,提高弯曲强度的措施
?如何分析火车车轮轴的强度?
一、问题的提出
?如何简化出火车车轮轴的计算模型?
§ 6–1 平面弯曲时梁横截面上的正应力
纯弯曲 —— 弯矩为常量，剪力为零
横力弯曲 —— 既有弯矩，又有剪力
平面弯曲
A B D
P a Pa
C
Pa
A
C
D B
x
M
?
P
D A
C
B x
Q
?
?
P
P
平面弯曲时梁横截面上的正应力
§ 6–2纯弯曲时梁横截面上的正应力
一、求解思路
z
x
y
?dA
?? A dAN ?
?? Ay dAzM ?
? ?? Az dAyM ?)(
?已知条件
?横截面上的弯矩 M
?静力关系：
纵向对称面
一、求解思路
? 已知条件
横截面上的弯矩 M
? 静力关系：
z
x
y
?dA
0?N
0?yM
MM z ?
纯弯曲时梁横截面上的正应力
一、求解思路
? 已知条件
横截面上的弯矩 M
? 静力关系：
z
x
y
?dA
0?N
0?yM
MM z ?
? ?A dA 0?
? ?A dAz 0?
MdAy
A
??? ?)(
?
?
纯弯曲时梁横截面上的正应力
? 思路
变形几何关系
物理关系
静力关系
一、求解思路
??
? 应力分布规律
纯弯曲时梁横截面上的正应力
二、分析推导
1,变形几何关系
纯弯曲时梁横截面上的正应力
二、分析推导
1,变形几何关系
纯弯曲时梁横截面上的正应力
二、分析推导
1,变形几何关系
纯弯曲时梁横截面上的正应力
二、分析推导
1.变形几何关系
● 实验现象：
横向线
纯弯曲时梁横截面上的正应力
二、分析推导
1.变形几何关系
● 实验现象：
横向线
纵向线
纯弯曲时梁横截面上的正应力
二、分析推导
1.变形几何关系
● 实验现象：
横向线
纵向线
● 平面假设：
变形前的横截面变形后
仍保持为平面，并垂直与变
形后的梁轴线
纯弯曲时梁横截面上的正应力
二、分析推导
1.变形几何关系
● 实验现象：
横向线
纵向线
● 平面假设：
● 纵向纤维假设：
纯弯曲时梁横截面上的正应力
二、分析推导
1.变形几何关系
● 中性层和 中性轴：
纯弯曲时梁横截面上的正应力
二、分析推导
1.变形几何关系
● 中性层和 中性轴：
中性层：既不伸长也
不缩短
纯弯曲时梁横截面上的正应力
二、分析推导
1.变形几何关系
● 中性层和 中性轴：
中性层：既不伸长也
不缩短
中性轴：中性层与横面的
交线
纯弯曲时梁横截面上的正应力
二、分析推导
1.变形几何关系
● 坐标轴选取：
y 对称轴
z 中性轴
纯弯曲时梁横截面上的正应力
二、分析推导
1.变形几何关系
● 坐标轴选取：
y 对称轴
z 中性轴
x 轴代表什么方向？
纯弯曲时梁横截面上的正应力
二、分析推导
1.变形几何关系
??
????? ????? ).( y
KJ
KJKJ ?
纯弯曲时梁横截面上的正应力
二、分析推导
1.变形几何关系
??
????? ????? ).( y
KJ
KJKJ ?
??
y??
纯弯曲时梁横截面上的正应力
二、分析推导
1.变形几何关系
??
????? ????? ).( y
KJ
KJKJ ?
??
y??
物理意义：
纯弯曲时梁横截面上的正应力
二、分析推导
1.变形几何关系
??
????? ????? ).( y
KJ
KJKJ ?
??
y??
物理意义：
问题：变形几何方程是基于什么得到的？
纯弯曲时梁横截面上的正应力
二、分析推导
2.物理关系
忽略各纤维间的相互挤压和错动
z
x
y
?dA
纯弯曲时梁横截面上的正应力
二、分析推导
2.物理关系
忽略各纤维间的相互挤压和错动
z
x
y
?dA
?? E?
纯弯曲时梁横截面上的正应力
二、分析推导
2.物理关系
忽略各纤维间的相互挤压和错动
??
yE??
z
x
y
?dA
?? E?
纯弯曲时梁横截面上的正应力
二、分析推导
2.物理关系
忽略各纤维间的相互挤压和错动
??
yE??
z
x
y
?dA
?? E?
Z
纯弯曲时梁横截面上的正应力
二、分析推导
2.物理关系
忽略各纤维间的相互挤压和牵扯
3.静力关系
??
yE??
z
x
y
?dA
?? E?
Z? ?
A
dA 0?
? ?A dAz 0?
MdAy
A
??? ?)(
纯弯曲时梁横截面上的正应力
二、分析推导
2.物理关系
3.静力关系
??
yE??
z
x
y
?dA
? ?A dA 0? ? ?A yd A 0
纯弯曲时梁横截面上的正应力
二、分析推导
2.物理关系
3.静力关系
??
yE??
0?zS
z
x
y
?dA
? ?A dA 0? ? ?A yd A 0
纯弯曲时梁横截面上的正应力
二、分析推导
2.物理关系
3.静力关系
??
yE??
0?zS
z
x
y
?dA
? ?A dA 0? ? ?A yd A 0 表明中性轴通过截面形心
纯弯曲时梁横截面上的正应力
二、分析推导
2.物理关系
3.静力关系
??
yE??
0?zS
z
x
y
?dA
? ?A dA 0? ? ?A yd A 0 表明中性轴通过截面形心
? ?A dAz 0? ? ?A zy d A 0
纯弯曲时梁横截面上的正应力
二、分析推导
2.物理关系
3.静力关系
??
yE??
0?zS
z
x
y
?dA
? ?A dA 0? ? ?A yd A 0 表明中性轴通过截面形心
? ?A dAz 0? ? ?A zy d A 0
惯性积为零
纯弯曲时梁横截面上的正应力
二、分析推导
2.物理关系
3.静力关系
??
yE??
0?zS
z
x
y
?dA
? ?A dA 0? ? ?A yd A 0
表明中性轴通过截面形心
? ?A dAz 0?
MdAy
A
??? ?)(
? ?A zy d A 0 惯性积为零
? ?
A
MdAyE 2?
纯弯曲时梁横截面上的正应力
二、分析推导
2.物理关系
3.静力关系
??
yE??
0?zS
z
x
y
?dA
? ?A dA 0? ? ?A yd A 0
表明中性轴通过截面形心
? ?A dAz 0?
MdAy
A
??? ?)(
? ?A zy d A 0 惯性积为零
? ?
A
MdAyE 2? ? ?
A
zIdAy 2
纯弯曲时梁横截面上的正应力
二、分析推导
zEI
M?
?
1 弯曲变形的基本公式
正应力计算公式
zI
yM,?? Z
纯弯曲时梁横截面上的正应力
二、分析推导
zEI
M?
?
1 弯曲变形的基本公式
正应力计算公式
zI
yM,??
注意两点：
Z
纯弯曲时梁横截面上的正应力
二、分析推导
zEI
M?
?
1 弯曲变形的基本公式
正应力计算公式
zI
yM,??
注意两点：
a) 应力正、负的判断
Z
纯弯曲时梁横截面上的正应力
二、分析推导
zEI
M?
?
1 弯曲变形的基本公式
正应力计算公式
zI
yM,??
注意两点：
a) 应力正、负的判断
b) 应力大小的计算
Z
纯弯曲时梁横截面上的正应力
二、分析推导
zEI
M?
?
1 弯曲变形的基本公式
正应力计算公式
zI
yM,??
注意两点：
a) 应力正、负的判断
b) 应力大小的计算
zI
yM,??
Z
纯弯曲时梁横截面上的正应力
二、分析推导
4.公式的适用范围
a) 平面弯曲
b)梁的变形在线弹性范围内
c) 单向应力
纯弯曲时梁横截面上的正应力
二、分析推导
4.公式的适用范围
a) 平面弯曲
b) 梁的变形在线弹性范围内
c) 单向应力
思考题：公式的适用范围是根据什么得出的？
纯弯曲时梁横截面上的正应力
三、最大应力
zI
yM m a x
m a x
.??
令
m a xy
IW z
z ?
抗弯截面模量
最大应力为：
zW
M?
m a x?
纯弯曲时梁横截面上的正应力
三、最大应力
最大应力为：
zW
M?
max?
● 对于梁的横截面对中性轴对称的
zW
M?
max?
z
纯弯曲时梁横截面上的正应力
三、最大应力
最大应力为：
zW
M?
max?
● 对于梁的横截面对中性轴对称的
● 对于梁的横截面对中性轴不对称的
zW
M?
max?
z
T
I
yM 1
ma x
.?? 最大拉应力
z
C
I
yM 2
m a x
.?? 最大压应力
z
z
y1
y2
纯弯曲时梁横截面上的正应力
[例 1] 如图所示的悬臂梁，其横截面为直径等于 200mm
的实心圆，试计算轴内横截面上最大正应力。
分析：
Ｄ
L
30 kN·m
M
30 kN·m
?
纯弯曲
W
M?
m a x?
解,（ 1）计算 W
3
32 DW
?? 93 10200
32
???? ? 34 m109.7 ???
（ 2）计算 ?max
4
3
109.7
1030
??
?? M P a2.38?
W
M?
m a x?
例题
（ 2）比较两种情况下的重量比 (面积比 )：
由此可见，载荷相同,?max要求相等的条件
下，采用空心轴节省材料。
Ｄ 1
ｄ 1Ｄ
2
22
200
)6.01(210 ?? 7.0?
[例 2] 在相同载荷下，将实心轴改成 ?max 相等的空心轴，
空心轴内外径比为 0.6。求空心轴和实心轴的重量比。
解,（ 1）确定空心轴尺寸
由
W
M?
m a x?
M
max W
443
1 109.7)6.01(32
????D?
mm2101 ?D
实
空
A
A
2
22
1
4
)1(
4
D
D
?
?
?
?
?
例题
思考
试用弯曲正应力条件证明：从圆木锯出的矩形
截面梁，上述尺寸比例接近最佳比值。
d h
b
从圆木中锯出的矩形截面梁，矩形的高,宽 =？
才能最有效利用材料？
意为矩形梁木的高,宽 =3:2。
“
凡
梁
之
大
小
，
各
随
其
广
分
为
三
分
，
以
二
分
为
厚
。
”
结论与讨论
李
诫
《
营
造
法
式
》
四、横力弯曲时梁横截面上的正应力
1、横力弯曲 与纯弯曲的差别
2、当梁的跨长与截面高度之比 L/h?5时，剪
应力对梁的正应力分布的影响可以忽略
3、横截面上的正应力的计算公式为：
ZI
My??
4、最大正应力：
ZI
yM m a xm a x
m a x ??
§ 6–3 弯曲的强度计算
一、强度条件
][ma xma xma xma x ?? ???
W
My
I
M
z
m a xy
IW z? 抗弯截面系数
二、强度计算
本章主要内容
1,纯弯曲梁横截面上正应力公式的分析推导 。 （ 重点 ）
2,横力弯曲横截面上正应力的计算, 最大拉应力和最
大压应力的计算 。
3,弯曲的强度分析 。 （ 难点 ）
4,弯曲横截面上的剪应力 。
5,提高弯曲强度的措施
?如何分析火车车轮轴的强度?
一、问题的提出
?如何简化出火车车轮轴的计算模型?
§ 6–1 平面弯曲时梁横截面上的正应力
纯弯曲 —— 弯矩为常量，剪力为零
横力弯曲 —— 既有弯矩，又有剪力
平面弯曲
A B D
P a Pa
C
Pa
A
C
D B
x
M
?
P
D A
C
B x
Q
?
?
P
P
平面弯曲时梁横截面上的正应力
§ 6–2纯弯曲时梁横截面上的正应力
一、求解思路
z
x
y
?dA
?? A dAN ?
?? Ay dAzM ?
? ?? Az dAyM ?)(
?已知条件
?横截面上的弯矩 M
?静力关系：
纵向对称面
一、求解思路
? 已知条件
横截面上的弯矩 M
? 静力关系：
z
x
y
?dA
0?N
0?yM
MM z ?
纯弯曲时梁横截面上的正应力
一、求解思路
? 已知条件
横截面上的弯矩 M
? 静力关系：
z
x
y
?dA
0?N
0?yM
MM z ?
? ?A dA 0?
? ?A dAz 0?
MdAy
A
??? ?)(
?
?
纯弯曲时梁横截面上的正应力
? 思路
变形几何关系
物理关系
静力关系
一、求解思路
??
? 应力分布规律
纯弯曲时梁横截面上的正应力
二、分析推导
1,变形几何关系
纯弯曲时梁横截面上的正应力
二、分析推导
1,变形几何关系
纯弯曲时梁横截面上的正应力
二、分析推导
1,变形几何关系
纯弯曲时梁横截面上的正应力
二、分析推导
1.变形几何关系
● 实验现象：
横向线
纯弯曲时梁横截面上的正应力
二、分析推导
1.变形几何关系
● 实验现象：
横向线
纵向线
纯弯曲时梁横截面上的正应力
二、分析推导
1.变形几何关系
● 实验现象：
横向线
纵向线
● 平面假设：
变形前的横截面变形后
仍保持为平面，并垂直与变
形后的梁轴线
纯弯曲时梁横截面上的正应力
二、分析推导
1.变形几何关系
● 实验现象：
横向线
纵向线
● 平面假设：
● 纵向纤维假设：
纯弯曲时梁横截面上的正应力
二、分析推导
1.变形几何关系
● 中性层和 中性轴：
纯弯曲时梁横截面上的正应力
二、分析推导
1.变形几何关系
● 中性层和 中性轴：
中性层：既不伸长也
不缩短
纯弯曲时梁横截面上的正应力
二、分析推导
1.变形几何关系
● 中性层和 中性轴：
中性层：既不伸长也
不缩短
中性轴：中性层与横面的
交线
纯弯曲时梁横截面上的正应力
二、分析推导
1.变形几何关系
● 坐标轴选取：
y 对称轴
z 中性轴
纯弯曲时梁横截面上的正应力
二、分析推导
1.变形几何关系
● 坐标轴选取：
y 对称轴
z 中性轴
x 轴代表什么方向？
纯弯曲时梁横截面上的正应力
二、分析推导
1.变形几何关系
??
????? ????? ).( y
KJ
KJKJ ?
纯弯曲时梁横截面上的正应力
二、分析推导
1.变形几何关系
??
????? ????? ).( y
KJ
KJKJ ?
??
y??
纯弯曲时梁横截面上的正应力
二、分析推导
1.变形几何关系
??
????? ????? ).( y
KJ
KJKJ ?
??
y??
物理意义：
纯弯曲时梁横截面上的正应力
二、分析推导
1.变形几何关系
??
????? ????? ).( y
KJ
KJKJ ?
??
y??
物理意义：
问题：变形几何方程是基于什么得到的？
纯弯曲时梁横截面上的正应力
二、分析推导
2.物理关系
忽略各纤维间的相互挤压和错动
z
x
y
?dA
纯弯曲时梁横截面上的正应力
二、分析推导
2.物理关系
忽略各纤维间的相互挤压和错动
z
x
y
?dA
?? E?
纯弯曲时梁横截面上的正应力
二、分析推导
2.物理关系
忽略各纤维间的相互挤压和错动
??
yE??
z
x
y
?dA
?? E?
纯弯曲时梁横截面上的正应力
二、分析推导
2.物理关系
忽略各纤维间的相互挤压和错动
??
yE??
z
x
y
?dA
?? E?
Z
纯弯曲时梁横截面上的正应力
二、分析推导
2.物理关系
忽略各纤维间的相互挤压和牵扯
3.静力关系
??
yE??
z
x
y
?dA
?? E?
Z? ?
A
dA 0?
? ?A dAz 0?
MdAy
A
??? ?)(
纯弯曲时梁横截面上的正应力
二、分析推导
2.物理关系
3.静力关系
??
yE??
z
x
y
?dA
? ?A dA 0? ? ?A yd A 0
纯弯曲时梁横截面上的正应力
二、分析推导
2.物理关系
3.静力关系
??
yE??
0?zS
z
x
y
?dA
? ?A dA 0? ? ?A yd A 0
纯弯曲时梁横截面上的正应力
二、分析推导
2.物理关系
3.静力关系
??
yE??
0?zS
z
x
y
?dA
? ?A dA 0? ? ?A yd A 0 表明中性轴通过截面形心
纯弯曲时梁横截面上的正应力
二、分析推导
2.物理关系
3.静力关系
??
yE??
0?zS
z
x
y
?dA
? ?A dA 0? ? ?A yd A 0 表明中性轴通过截面形心
? ?A dAz 0? ? ?A zy d A 0
纯弯曲时梁横截面上的正应力
二、分析推导
2.物理关系
3.静力关系
??
yE??
0?zS
z
x
y
?dA
? ?A dA 0? ? ?A yd A 0 表明中性轴通过截面形心
? ?A dAz 0? ? ?A zy d A 0
惯性积为零
纯弯曲时梁横截面上的正应力
二、分析推导
2.物理关系
3.静力关系
??
yE??
0?zS
z
x
y
?dA
? ?A dA 0? ? ?A yd A 0
表明中性轴通过截面形心
? ?A dAz 0?
MdAy
A
??? ?)(
? ?A zy d A 0 惯性积为零
? ?
A
MdAyE 2?
纯弯曲时梁横截面上的正应力
二、分析推导
2.物理关系
3.静力关系
??
yE??
0?zS
z
x
y
?dA
? ?A dA 0? ? ?A yd A 0
表明中性轴通过截面形心
? ?A dAz 0?
MdAy
A
??? ?)(
? ?A zy d A 0 惯性积为零
? ?
A
MdAyE 2? ? ?
A
zIdAy 2
纯弯曲时梁横截面上的正应力
二、分析推导
zEI
M?
?
1 弯曲变形的基本公式
正应力计算公式
zI
yM,?? Z
纯弯曲时梁横截面上的正应力
二、分析推导
zEI
M?
?
1 弯曲变形的基本公式
正应力计算公式
zI
yM,??
注意两点：
Z
纯弯曲时梁横截面上的正应力
二、分析推导
zEI
M?
?
1 弯曲变形的基本公式
正应力计算公式
zI
yM,??
注意两点：
a) 应力正、负的判断
Z
纯弯曲时梁横截面上的正应力
二、分析推导
zEI
M?
?
1 弯曲变形的基本公式
正应力计算公式
zI
yM,??
注意两点：
a) 应力正、负的判断
b) 应力大小的计算
Z
纯弯曲时梁横截面上的正应力
二、分析推导
zEI
M?
?
1 弯曲变形的基本公式
正应力计算公式
zI
yM,??
注意两点：
a) 应力正、负的判断
b) 应力大小的计算
zI
yM,??
Z
纯弯曲时梁横截面上的正应力
二、分析推导
4.公式的适用范围
a) 平面弯曲
b)梁的变形在线弹性范围内
c) 单向应力
纯弯曲时梁横截面上的正应力
二、分析推导
4.公式的适用范围
a) 平面弯曲
b) 梁的变形在线弹性范围内
c) 单向应力
思考题：公式的适用范围是根据什么得出的？
纯弯曲时梁横截面上的正应力
三、最大应力
zI
yM m a x
m a x
.??
令
m a xy
IW z
z ?
抗弯截面模量
最大应力为：
zW
M?
m a x?
纯弯曲时梁横截面上的正应力
三、最大应力
最大应力为：
zW
M?
max?
● 对于梁的横截面对中性轴对称的
zW
M?
max?
z
纯弯曲时梁横截面上的正应力
三、最大应力
最大应力为：
zW
M?
max?
● 对于梁的横截面对中性轴对称的
● 对于梁的横截面对中性轴不对称的
zW
M?
max?
z
T
I
yM 1
ma x
.?? 最大拉应力
z
C
I
yM 2
m a x
.?? 最大压应力
z
z
y1
y2
纯弯曲时梁横截面上的正应力
[例 1] 如图所示的悬臂梁，其横截面为直径等于 200mm
的实心圆，试计算轴内横截面上最大正应力。
分析：
Ｄ
L
30 kN·m
M
30 kN·m
?
纯弯曲
W
M?
m a x?
解,（ 1）计算 W
3
32 DW
?? 93 10200
32
???? ? 34 m109.7 ???
（ 2）计算 ?max
4
3
109.7
1030
??
?? M P a2.38?
W
M?
m a x?
例题
（ 2）比较两种情况下的重量比 (面积比 )：
由此可见，载荷相同,?max要求相等的条件
下，采用空心轴节省材料。
Ｄ 1
ｄ 1Ｄ
2
22
200
)6.01(210 ?? 7.0?
[例 2] 在相同载荷下，将实心轴改成 ?max 相等的空心轴，
空心轴内外径比为 0.6。求空心轴和实心轴的重量比。
解,（ 1）确定空心轴尺寸
由
W
M?
m a x?
M
max W
443
1 109.7)6.01(32
????D?
mm2101 ?D
实
空
A
A
2
22
1
4
)1(
4
D
D
?
?
?
?
?
例题
思考
试用弯曲正应力条件证明：从圆木锯出的矩形
截面梁，上述尺寸比例接近最佳比值。
d h
b
从圆木中锯出的矩形截面梁，矩形的高,宽 =？
才能最有效利用材料？
意为矩形梁木的高,宽 =3:2。
“
凡
梁
之
大
小
，
各
随
其
广
分
为
三
分
，
以
二
分
为
厚
。
”
结论与讨论
李
诫
《
营
造
法
式
》
四、横力弯曲时梁横截面上的正应力
1、横力弯曲 与纯弯曲的差别
2、当梁的跨长与截面高度之比 L/h?5时，剪
应力对梁的正应力分布的影响可以忽略
3、横截面上的正应力的计算公式为：
ZI
My??
4、最大正应力：
ZI
yM m a xm a x
m a x ??
§ 6–3 弯曲的强度计算
一、强度条件
][ma xma xma xma x ?? ???
W
My
I
M
z
m a xy
IW z? 抗弯截面系数
二、强度计算
