第七章 弯曲变形
本章主要内容
1 梁的变形分析
2 挠曲轴近似微分方程
3 积分法求变形 。
4 叠加法求梁的变形
5 静不定梁
1、齿轮传动
? 轮齿不均匀磨损，噪声
增大，产生振动；
? 加速轴承磨损，降低使
用寿命；若变形过大，
使传动失效。
§ 7-1 梁的变形分析
一、工程实例
弊端：
1
2
1
2
2、继电器中的簧片
电磁力
当变形足够大时，可以有效接通电路；
触点
当变形不够大时，不能有效接通电路；
簧片
工程中，一方面要限制变形，另一
方面要利用变形。
x
y 挠曲轴
m-m
n-n
（ 1）挠度 y：横截面形心在垂直于轴线方向的位移
（ 3）转角 θ,横截面绕中性轴的转过的角度
y
符号规定：向上为正，向下为负。 ? ?y y x?
符号规定：逆时针为正，顺时针为负。 ? ?x?? ?
（ 2）轴向位移 Δ X,横截面形心在轴线方向的位移，
小变形情况下，略去不计。
Δ X
x
（连续,光滑
平坦的平面
曲线）y
z
二、梁变形的表示方法
θ
(通常 θ <1o=0.0175弧度 )
挠曲轴曲线性质：
挠曲轴
x
y
x
y(x)
o
θ(x)
θ(x)
? ?y y x?
（ 2）挠曲轴上任一点的切线斜率等
于梁上该截面的转角值。
（ 1）挠曲轴上任一点的纵坐标等
于梁上该截面的挠度值；
?tgk ? ? ?xy
dx
dy ???
?? tg? ? ?xy??
三、挠度和转角之间的关系
1、中性层曲率表示的弯曲变形公式
EI
M?
?
1 ? ?
EI
xM
x ?)(
1
?
? ? 2321
1
y
y
??
????
?
2、数学中的曲率公式
一、挠曲轴微分方程
Mρ
o x
y
? ?y y x?
ρ (x) M(x)
§ 7-2 梁变形基本方程
? ?
? ?
EI
xM
y
y ?
??
???
2321
3、挠曲轴微分方程
4、挠曲轴近似微分方程
弧度
（ 1）在小变形条件下，
0 1 7 5.01' ???? ?y 1 12? ? ?y12 ???? y
o
x
y
M>0 M<0
0'' ?y 0'' ?y
（ 2）正负号确定：
M与 y′′保持同号
? ?? ?? ?y M x
EI
（ 1）线弹性范围
（ 2）小变形条件
（ 3）平面弯曲
适用条件：
? ?
? ?
EI
xM
y
y ?
??
???
2321
二、积分法计算梁的变形
y′=θ ? ??? dxEI xM
? ? dxdx
EI
xMy )(???
? ?
EI
xMy ???
C,D为积分常数,由位移边界与连续条件确定。
边界条件：
,0?Ay
(2)铰支座：
A BC 0?
By
A B
（ 1）固定端约束：
连续条件,
＋ C
Cx? ＋ D
0?A?
0?Ay
右左 CC ?? ?
右左 CC yy ?
例 1,简支梁 AB，弯曲刚
度 EI为常数，受力 F和
力偶 M=FL作用，求 y(x)，
θ (x)； 并计算 B截面的
转角值。
解,1,建立挠曲轴微分方程并积分
A端约束反力 FAy=F
梁的弯矩方程：
L BM
A
FFAy
x
FxxM ?)(
挠曲轴近似微分方程：
C
EI
Fxxy ???
2
)('
2
? DCxEI
Fxy ???
6
3
EI
Fxy ?''
2、确定积分常数
A端为固定端约束,X=0,y=0
X=0,θ =0
C=0,D=0
3、挠度方程、转角方程及 B截面的转角
EI
Fxxy
2
)('
2
?? ?
EI
Fxy
6
3
? EI
FL
B 2
2
??
将 x=L 代入转角方程：
L BM
A
FFAy
x
例 2：求图示梁的挠
曲轴微分方程。
A B
C
MO
L/2 L/2
MO/L MO/L
MO/2
MO/2
+
-解,1 画出弯矩图：
AC段：
l
xMXM
0)( ?
???y MEI xl1 0
1
2
0'
1 2 Cl
x
EI
My ??
11
3
0
1 6 DxCl
x
EI
My ???
BC段：
)1()( 0 ?? lxMXM
?? ? ???? ???y MEI xl2 0 1
2
2
0'
2 2 Cxl
x
EI
My ?
???
?
???
? ??
22
23
0
2 26 DxC
x
l
x
EI
My ??
???
?
???
? ??
2 建立挠曲轴微分方程并积分
3 边界和连续条件：
? ?y1 0 0?
? ?y l2 0?
y l y l1 22 2??? ??? ? ??? ???(连续条件 )
???? ??? ? ? ??? ???y l y l1 22 2(光滑条件 )
? ? ? ?y x M xlE I x l1 0 2 224 4? ?? ? ? ?y x M x lE I l2 024? ?
?写出梁的弯矩方程，求挠曲轴近似微分方程
积分法求位移步骤如下：
?积分求挠度方程、转角方程
?利用边界条件和连续条件，确定出积分常数
§ 7–3用叠加法求梁的变形
一, 叠加原理
二, 用叠加法求梁的变形
当梁上同时作用 n个荷载时，可分别
计算每一个荷载单独作用时所引起的变
形，然后将所得的变形求代数和
本章主要内容
1 梁的变形分析
2 挠曲轴近似微分方程
3 积分法求变形 。
4 叠加法求梁的变形
5 静不定梁
1、齿轮传动
? 轮齿不均匀磨损，噪声
增大，产生振动；
? 加速轴承磨损，降低使
用寿命；若变形过大，
使传动失效。
§ 7-1 梁的变形分析
一、工程实例
弊端：
1
2
1
2
2、继电器中的簧片
电磁力
当变形足够大时，可以有效接通电路；
触点
当变形不够大时，不能有效接通电路；
簧片
工程中，一方面要限制变形，另一
方面要利用变形。
x
y 挠曲轴
m-m
n-n
（ 1）挠度 y：横截面形心在垂直于轴线方向的位移
（ 3）转角 θ,横截面绕中性轴的转过的角度
y
符号规定：向上为正，向下为负。 ? ?y y x?
符号规定：逆时针为正，顺时针为负。 ? ?x?? ?
（ 2）轴向位移 Δ X,横截面形心在轴线方向的位移，
小变形情况下，略去不计。
Δ X
x
（连续,光滑
平坦的平面
曲线）y
z
二、梁变形的表示方法
θ
(通常 θ <1o=0.0175弧度 )
挠曲轴曲线性质：
挠曲轴
x
y
x
y(x)
o
θ(x)
θ(x)
? ?y y x?
（ 2）挠曲轴上任一点的切线斜率等
于梁上该截面的转角值。
（ 1）挠曲轴上任一点的纵坐标等
于梁上该截面的挠度值；
?tgk ? ? ?xy
dx
dy ???
?? tg? ? ?xy??
三、挠度和转角之间的关系
1、中性层曲率表示的弯曲变形公式
EI
M?
?
1 ? ?
EI
xM
x ?)(
1
?
? ? 2321
1
y
y
??
????
?
2、数学中的曲率公式
一、挠曲轴微分方程
Mρ
o x
y
? ?y y x?
ρ (x) M(x)
§ 7-2 梁变形基本方程
? ?
? ?
EI
xM
y
y ?
??
???
2321
3、挠曲轴微分方程
4、挠曲轴近似微分方程
弧度
（ 1）在小变形条件下，
0 1 7 5.01' ???? ?y 1 12? ? ?y12 ???? y
o
x
y
M>0 M<0
0'' ?y 0'' ?y
（ 2）正负号确定：
M与 y′′保持同号
? ?? ?? ?y M x
EI
（ 1）线弹性范围
（ 2）小变形条件
（ 3）平面弯曲
适用条件：
? ?
? ?
EI
xM
y
y ?
??
???
2321
二、积分法计算梁的变形
y′=θ ? ??? dxEI xM
? ? dxdx
EI
xMy )(???
? ?
EI
xMy ???
C,D为积分常数,由位移边界与连续条件确定。
边界条件：
,0?Ay
(2)铰支座：
A BC 0?
By
A B
（ 1）固定端约束：
连续条件,
＋ C
Cx? ＋ D
0?A?
0?Ay
右左 CC ?? ?
右左 CC yy ?
例 1,简支梁 AB，弯曲刚
度 EI为常数，受力 F和
力偶 M=FL作用，求 y(x)，
θ (x)； 并计算 B截面的
转角值。
解,1,建立挠曲轴微分方程并积分
A端约束反力 FAy=F
梁的弯矩方程：
L BM
A
FFAy
x
FxxM ?)(
挠曲轴近似微分方程：
C
EI
Fxxy ???
2
)('
2
? DCxEI
Fxy ???
6
3
EI
Fxy ?''
2、确定积分常数
A端为固定端约束,X=0,y=0
X=0,θ =0
C=0,D=0
3、挠度方程、转角方程及 B截面的转角
EI
Fxxy
2
)('
2
?? ?
EI
Fxy
6
3
? EI
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B 2
2
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将 x=L 代入转角方程：
L BM
A
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x
例 2：求图示梁的挠
曲轴微分方程。
A B
C
MO
L/2 L/2
MO/L MO/L
MO/2
MO/2
+
-解,1 画出弯矩图：
AC段：
l
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1
2
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x
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1 6 DxCl
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BC段：
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22
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0
2 26 DxC
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x
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2 建立挠曲轴微分方程并积分
3 边界和连续条件：
? ?y1 0 0?
? ?y l2 0?
y l y l1 22 2??? ??? ? ??? ???(连续条件 )
???? ??? ? ? ??? ???y l y l1 22 2(光滑条件 )
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?写出梁的弯矩方程，求挠曲轴近似微分方程
积分法求位移步骤如下：
?积分求挠度方程、转角方程
?利用边界条件和连续条件，确定出积分常数
§ 7–3用叠加法求梁的变形
一, 叠加原理
二, 用叠加法求梁的变形
当梁上同时作用 n个荷载时，可分别
计算每一个荷载单独作用时所引起的变
形，然后将所得的变形求代数和
