李洁《数字信号处理》2005? Digital Signal Processing__Jie Li 2005? 1 Digital Signal Processing Digital Signal Processing Digital Signal Processing Digital Signal Processing Digital Signal Processing Digital Signal Processing Digital Signal Processing Digital Signal Processing Digital Signal Processing Digital Signal Processing Digital Signal Processing Digital Signal Processing Digital Signal Processing Digital Signal Processing 第1章 时域离散信号和时域离散系统 Chapter 1 Discrete Time Signals and Systems 主讲教师：李洁 李洁 --《数字信号处理》--第一章时域离散信号和时域离散系统2 / 60 1、时域离散信号的表示方法和典型信号、时域离散信号的表示方法和典型信号 2、线性时不变系统的因果性和稳定性、线性时不变系统的因果性和稳定性 3、系统的输入输出描述法、系统的输入输出描述法 4、线性常系数差分方程的解法、线性常系数差分方程的解法 5、模拟信号数字处理方法、模拟信号数字处理方法 内容概要Topics 李洁《数字信号处理》2005? Digital Signal Processing__Jie Li 2005? 2 李洁 --《数字信号处理》--第一章时域离散信号和时域离散系统3 / 60 1、时域离散信号的表示方法和典型信号 §1.2 时域离散信号 1. 概念：时间离散，幅值连续的信号。 又可称为序列。 从数学描述的角度定义，即可以用数字序 列： 表示的信号，其中为整数集。 对于由模拟信号采样得到的时域离散信号 }),({ Ζ∈nnx Ζ }),()({ Ζ∈= nnTxnx a n取整数，非整数时无定义 李洁 --《数字信号处理》--第一章时域离散信号和时域离散系统4 / 60 2. 时域离散信号的表示方法 a. 公式法 b. 集合法 {0 0.470 0.808 0.939 0.839 0.542 0.125 -0.305……} c. 单位采样序列的移位加权和表示法 )5.0cos()( 02.0 nenx n? = =)(nx ∑ ∞ ?∞= ?= m mnmxnx )()()( δ ? ? ? ≠ = =? mn mn mn ,0 ,1 )(δ式中 1、时域离散信号的表示方法和典型信号 李洁《数字信号处理》2005? Digital Signal Processing__Jie Li 2005? 3 李洁 --《数字信号处理》--第一章时域离散信号和时域离散系统5 / 60 d. 图示法 1、时域离散信号的表示方法和典型信号 李洁 --《数字信号处理》--第一章时域离散信号和时域离散系统6 / 60 3. 常用典型序列 a. 单位采样序列 )(nδ ? ? ? ≠ = = 0,0 0,1 )( n n nδ 1、时域离散信号的表示方法和典型信号 )2( ?nδ的杆图是怎样的？ )0(δ )1(?δ )1(δ )2(δ )0(δ )1(?δ )1(δ )2(δ 李洁《数字信号处理》2005? Digital Signal Processing__Jie Li 2005? 4 MATLAB 序列的Matlab实现 例：δ(n)的Matlab实现 function [x,n] = impseq(n0,n1,n2) % Generates x(n) = δ(n-n0); n1 <= n,n0 <= n2 % ---------------------------------------------- % [x,n] = impseq(n0,n1,n2) % if ((n0 < n1) | (n0 > n2) | (n1 > n2)) error(‘参数必须满足n1 <= n0 <= n2') end n = [n1:n2]; x = [(n-n0) == 0]; 将函数保存为m文件时， 文件名必须与函数名相同 李洁 --《数字信号处理》--第一章时域离散信号和时域离散系统8 / 60 3. 常用典型序列 b. 单位阶跃序列 )(nu ? ? ? < ≥ = 0,0 0,1 )( n n nu 1、时域离散信号的表示方法和典型信号 李洁《数字信号处理》2005? Digital Signal Processing__Jie Li 2005? 5 李洁 --《数字信号处理》--第一章时域离散信号和时域离散系统9 / 60 1、时域离散信号的表示方法和典型信号 3. 常用典型序列 c. 矩形序列 )(nR N ? ? ? ?≤≤ = n Nn nR N 其它,0 10,1 )( 李洁 --《数字信号处理》--第一章时域离散信号和时域离散系统10 / 60 1、时域离散信号的表示方法和典型信号 3. 常用典型序列 d. 实指数序列)(nua n 为实数anuanx n ),()( = 10 << a 1>a 李洁《数字信号处理》2005? Digital Signal Processing__Jie Li 2005? 6 李洁 --《数字信号处理》--第一章时域离散信号和时域离散系统11 / 60 1、时域离散信号的表示方法和典型信号 3. 常用典型序列 e. 正弦序列)sin( nω )sin()( nnx ω= srad /102 ×=? π srad /10/2πω = Hzf s 100= 如果正弦序列是由模拟信号 x a (t)采样得到的，那么 x a (t)=sin(Ωt) x a (t)| t=nT =sin(ΩnT) x(n)=sin(ωn) ω=ΩT s f ω ? = 数字频率 模拟频率 李洁 --《数字信号处理》--第一章时域离散信号和时域离散系统12 / 60 1、时域离散信号的表示方法和典型信号 3. 常用典型序列 f. 复指数序列 nj enx )( 0 )( ωσ+ = L2,1,0 )2( ±±== + Mee njnMj ωπω 注意，只有当ω 0 为常数时 才是一个序列，它是否具有 周期性，还有待讨论。 而如果ω 0 也成了自变量，那么 则是一个二元函数。而这个函 数只能对自变量ω具有2π周期性。而这个二元函数就是傅里叶变 换的核。 常数 nj e )( 0 ωσ+ nj e ω 李洁《数字信号处理》2005? Digital Signal Processing__Jie Li 2005? 7 李洁 --《数字信号处理》--第一章时域离散信号和时域离散系统13 / 60 1、时域离散信号的表示方法和典型信号 3. 常用典型序列 g. 周期序列 如果对所有 n存在一个最小的正整数 N，使下面等式成立： x(n)=x(n+N), -∞ <n<∞ 则称序列 x(n)为周期性序列，周期为 N。 例 上式中，数字频率是 π/4， 由于 n取整数，可以写成下式： () sin( ) 4 x nn π = ))8( 4 sin()( += nnx π N=8 李洁 --《数字信号处理》--第一章时域离散信号和时域离散系统14 / 60 1、时域离散信号的表示方法和典型信号 4. 正弦序列一定是周期序列吗？ 设 x(n)=Asin(ω 0 n+φ) 如果 x(n+N)=x(n) 那么 x(n+N) =Asin(ω 0 (n+N)+φ)=Asin(ω 0 n+ω 0 N+φ) || 2πk N=(2π/ω 0 )k，式中 k与 N均取整数 信号周期的正整数倍恰能被采样周期均分 李洁《数字信号处理》2005? Digital Signal Processing__Jie Li 2005? 8 李洁 --《数字信号处理》--第一章时域离散信号和时域离散系统15 / 60 1、时域离散信号的表示方法和典型信号 N=(2π/ω 0 )k 2、 2π/ ω 0 是一个有理数， 设 2π/ ω 0 =P/Q (P、 Q互为素数 ) 取 k=Q,那么 N=P， 正弦序列是周期序列，且 N=P。 3、 2π/ ω 0 是无理数， 正弦序列不是周期序列。 如何判断序列的周期性？如何判断序列的周期性？ 1、 当 2π/ ω 0 为整数时， k=1 正弦序列是周期序列，且 N=2π/ ω 0 。 注意： （ 1）指数为纯虚数的复指数序列的周期性与正弦序列的情况相同； （ 2）无论正弦或复指数序列是否为周期序列，参数ω 0 仍称为序列 的数字频率 习题3 （Page 25） 习题开讲 李洁《数字信号处理》2005? Digital Signal Processing__Jie Li 2005? 9 李洁《数字信号处理》2005? Digital Signal Processing__Jie Li 2005? 10 李洁 --《数字信号处理》--第一章时域离散信号和时域离散系统19 / 60 1、时域离散信号的表示方法和典型信号 5. 序列的运算 a. 加法 ＋ 记作 x(n)=x 1 (n)+x 2 (n) 即，相应序号 的值相加。 n=[n1:n2]; x1=… ; x2=… ; x=x1.+x2; 李洁 --《数字信号处理》--第一章时域离散信号和时域离散系统20 / 60 1、时域离散信号的表示方法和典型信号 5. 序列的运算 b. 乘法 × 记作 x(n)=x 1 (n)·x 2 (n) 即，相应序号 的值相乘。 n=[n1:n2]; x1=… ; x2=… ; x=x1.*x2; 李洁《数字信号处理》2005? Digital Signal Processing__Jie Li 2005? 11 李洁 --《数字信号处理》--第一章时域离散信号和时域离散系统21 / 60 1、时域离散信号的表示方法和典型信号 5. 序列的运算 c. 移位 记作 x(n-n 0 ) 若规定 n 0 为正整 数，则有如下规 律： 减延迟，加超前 n=[n1:n2]; x=… ; n0=… ; n=n+n0; 李洁 --《数字信号处理》--第一章时域离散信号和时域离散系统22 / 60 1、时域离散信号的表示方法和典型信号 5. 序列的运算 d. 翻转 记作 x(-n) 即，将序列 x(n)在 n=0处水平翻转。 n=[-n1:n1]; x=… ; x=fliplr(x); 李洁《数字信号处理》2005? Digital Signal Processing__Jie Li 2005? 12 序列及其翻转序列的移位问题讨论序列及其翻转序列的移位问题讨论 已知h(n) n h(-n) ∞ 0 1 -1 -2 -3 h(1) h(0) h(-1) h(-2) h(-3) 2 3 h(n-2) ? n h(n+1) ∞ 0 1 -1 -2 -3 h(1) h(0) h(-1) h(-2) h(-3) -4 n h(n-2) ∞ 0 1 -1 -2 -3 h(1) h(0) h(-1) h(-2) h(-3) 2 3 n h(n) ∞ 0 1 -1 -2 -3 h(1) h(0) h(-1) h(-2) h(-3) h(n+1) ? n h(-n-2) ∞ 0 1 -1 -2 -3 h(1) h(0) h(-1) h(-2) h(-3) 2 3 n h(-n+1) ∞ 0 1 -1 -2 -3 h(1) h(0) h(-1) h(-2) h(-3) 2 3 4 已知h(-n) h(-n-2) ? h(1-n) ? 减滞后，加超前减滞后，加超前 对原序列而言，时间的增长方向向右，即向右移滞后，向左移超前；对原序列而言，时间的增长方向向右，即向右移滞后，向左移超前； 而对原序列的翻转序列而言，时间的增长方向向左，即向左移滞后，向右移超前。而对原序列的翻转序列而言，时间的增长方向向左，即向左移滞后，向右移超前。 李洁 --《数字信号处理》--第一章时域离散信号和时域离散系统24 / 60 1、时域离散信号的表示方法和典型信号 5. 序列的运算 d. 尺度变换 记作 x(mn) 即，每隔 m点取一点形成新的序列。 李洁《数字信号处理》2005? Digital Signal Processing__Jie Li 2005? 13 习题2（Page 25） 习题开讲 李洁《数字信号处理》2005? Digital Signal Processing__Jie Li 2005? 14 李洁 --《数字信号处理》--第一章时域离散信号和时域离散系统27 / 60 1、时域离散信号的表示方法和典型信号 )()()()( mnmxmnnx ?=? δδ ∑ ∞ ?∞= ?= m mnmxnx )()()( δ ? ? ? ≠ = =? mn mn mn ,0 ,1 )(δ 式中 移位 和 加权 单位采样序列 6. 单位采样序列的移位加权和表示法 习题开讲 习题1（Page 25）用单位脉冲序列δ(n)及其加权和 表示题1图所示的序列。 )6(2)4(5.0)3(4)2(2)1()(2)1()2(2)4()( ?+?+?+?+?+++?+++= nnnnnnnnnnx δδδδδδδδδ n = -4:6; x = [1 0 2 -1 2 1 2 4 0.5 0 2]; stem(n,x,’s’,’fill’) grid on title('题1图') xlabel('n') ylabel('x(n)') 李洁《数字信号处理》2005? Digital Signal Processing__Jie Li 2005? 15 习题4（Page 25） 习题开讲 李洁《数字信号处理》2005? Digital Signal Processing__Jie Li 2005? 16 李洁 --《数字信号处理》--第一章时域离散信号和时域离散系统31 / 60 2、线性时不变系统的因果性和稳定性、线性时不变系统的因果性和稳定性 )]([)]([ nxaTnaxT = )]([)]([)]()([ 2121 nxTnxTnxnxT +=+ )(nx )(ny ][?T LTI(Linear Time-invariant)系统 1、概念：、概念： 可加性 比例性 /齐次性 2、线性系统：满足叠加原理的系统。满足叠加原理的系统。 )]([)( 11 nxTny = )]([)( 22 nxTny = 对于 §1.3 时域离散系统 )()()]()([ 2121 nbynaynbxnaxT +=+ （习题5.1） )2(3)1(2)()( ?+?+= nxnxnxny 习题开讲 （习题5.2） 李洁《数字信号处理》2005? Digital Signal Processing__Jie Li 2005? 17 李洁 --《数字信号处理》--第一章时域离散信号和时域离散系统33 / 60 §1.3 时域离散系统 3. 时不变系统 系统对于输入信号的响应与信号加于系统 的时间无关。 )()]([ 00 nnynnxT ?=? )]([)( nxTny = 2、线性时不变系统的因果性和稳定性、线性时不变系统的因果性和稳定性 （习题5） )2(3)1(2)()( ?+?+= nxnxnxny 习题开讲 李洁《数字信号处理》2005? Digital Signal Processing__Jie Li 2005? 18 李洁 --《数字信号处理》--第一章时域离散信号和时域离散系统35 / 60 第1章时域离散信号和时域离散系统 §1.3 时域离散系统 4. LTI系统输入与输出之间的关系 1）单位取样响应 单位取样响应即是系统对于单位取样序列 δ(n)的零状态响应。 )]([)( nTnh δ= 完全代表了系统的时域特征 李洁 --《数字信号处理》--第一章时域离散信号和时域离散系统36 / 60 第1章时域离散信号和时域离散系统 §1.3 时域离散系统 4. LTI系统输入与输出之间的关系 ∑ ∞ ?∞= ?= m mnmxnx )()()( δ ])()([)( ∑ ∞ ?∞= ?=∴ m mnmxTny δ ∑ ∞ ?∞= ?= m mnTmx )]([)( δ ∑ ∞ ?∞= ?= m mnhmx )()( )()( nhnx ?= 2）） LTI系统输入输出关系系统输入输出关系 3）） 卷卷 积积 的的 计计 算算 翻转、 移位、 相乘、 相加 李洁《数字信号处理》2005? Digital Signal Processing__Jie Li 2005? 19 习题8 习题开讲 MATLAB 4）卷积的MATLAB实现 Ⅰ） 李洁《数字信号处理》2005? Digital Signal Processing__Jie Li 2005? 20 MATLAB 4）卷积的MATLAB实现 Ⅱ） function [y,ny] = conv_m(x,nx,h,nh) % Modified convolution routine for signal processing % ----------------------------------------------- % [y,ny] = conv_m(x,nx,h,nh) % y = convolution result % ny = support of y % x = first signal on support nx % nx = support of x % h = second signal on support nh % nh = support of h nyb = nx(1)+nh(1); nye = nx(length(x)) + nh(length(h)); ny = [nyb:nye]; y = conv(x,h); 注释 函数头 李洁 --《数字信号处理》--第一章时域离散信号和时域离散系统40 / 60 第1章时域离散信号和时域离散系统 5）卷积的性质 Ⅰ）交换律 习题9 李洁《数字信号处理》2005? Digital Signal Processing__Jie Li 2005? 21 李洁 --《数字信号处理》--第一章时域离散信号和时域离散系统41 / 60 第1章时域离散信号和时域离散系统 5）卷积的性质 Ⅱ）结合律 李洁 --《数字信号处理》--第一章时域离散信号和时域离散系统42 / 60 第1章时域离散信号和时域离散系统 5）卷积的性质 Ⅲ）分配律 Ⅳ） Ⅴ） )()()( nnxnx δ?= )()()( 00 nnnxnnx ??=? δ 李洁《数字信号处理》2005? Digital Signal Processing__Jie Li 2005? 22 李洁 --《数字信号处理》--第一章时域离散信号和时域离散系统43 / 60 第1章时域离散信号和时域离散系统 §1.3 时域离散系统 5. 系统的因果性和稳定性 1）因果系统： n=n 0 时的输出 y(n 0 )只取决于 n≤ n 0 的输入。 LTI系统是因果系统的充分必要条件是 00)( <= nnh 李洁 --《数字信号处理》--第一章时域离散信号和时域离散系统44 / 60 第1章时域离散信号和时域离散系统 §1.3 时域离散系统 5. 系统的因果性和稳定性 2）稳定系统： 有界输入产生有界输出（ BIBO）的系统。 LTI系统是稳定系统的充分必要条件是 即单位取样响应绝对可和。 ∞< ∑ ∞ ?∞= |)(| nh n Bounded input bounded output 李洁《数字信号处理》2005? Digital Signal Processing__Jie Li 2005? 23 李洁 --《数字信号处理》--第一章时域离散信号和时域离散系统45 / 60 第1章时域离散信号和时域离散系统 §1.3 时域离散系统 5. 系统的因果性和稳定性 3）结论 因果稳定的LTI系统的单位取样响应是因 果的（单边的）且是绝对可和的，即 ∞< ∑ ∞ ?∞= |)(| nh n )()()( nunhnh = 李洁 --《数字信号处理》--第一章时域离散信号和时域离散系统46 / 60 第1章时域离散信号和时域离散系统 李洁《数字信号处理》2005? Digital Signal Processing__Jie Li 2005? 24 李洁 --《数字信号处理》--第一章时域离散信号和时域离散系统47 / 60 第1章时域离散信号和时域离散系统 李洁 --《数字信号处理》--第一章时域离散信号和时域离散系统48 / 60 第1章时域离散信号和时域离散系统 §1.4 线性常系数差分方程 1. 什么叫“N阶线性常系数差分方程”？ 李洁《数字信号处理》2005? Digital Signal Processing__Jie Li 2005? 25 李洁 --《数字信号处理》--第一章时域离散信号和时域离散系统49 / 60 第1章时域离散信号和时域离散系统 §1.4 线性常系数差分方程 2. 线性常系数差分方程的求解 序列域求解法 变换域求解法 经典解法 迭代法 z变换（下一章中讨论）变换（下一章中讨论） 手工迭代 借助计算机软件 （例如 MATLAB） 习题11 习题开讲 李洁《数字信号处理》2005? Digital Signal Processing__Jie Li 2005? 26 李洁 --《数字信号处理》--第一章时域离散信号和时域离散系统51 / 60 第1章时域离散信号和时域离散系统 % 用filter函数求解差分方程 a=[1,-1,0.9];b=1; x=impseq(0,-20,120);n=[-20:120]; h=filter(b,a,x); stem(n,h,'fill') axis([-20,120,-1.1,1.1]) title('取样响应');xlabel('n');ylabel('h(n)') 结论： 一个线性常系数差分方程描述的系统是否因果、 是否线性非时变，与系统的初始状态有关。 设离散系统可由下列差分方程表示 y(n)-y(n-1)+0.9y(n-2)=x(n) 对任意的 n， 计算n=-20,…,100上的 取样响应。 李洁 --《数字信号处理》--第一章时域离散信号和时域离散系统52 / 60 设离散系统可由下列差分方程表示 y(n)-y(n-1)+0.9y(n-2)=x(n) 对任意的 n， 计算n=-20,…,100上的 取样响应。 第1章时域离散信号和时域离散系统 李洁《数字信号处理》2005? Digital Signal Processing__Jie Li 2005? 27 李洁 --《数字信号处理》--第一章时域离散信号和时域离散系统53 / 60 第1章时域离散信号和时域离散系统 §1.5 模拟信号数字处理方法 采样频率 f s =1/T 1. 离散时间信号的产生离散时间信号的产生 李洁 --《数字信号处理》--第一章时域离散信号和时域离散系统54 / 60 第1章时域离散信号和时域离散系统 ms V 模拟信号模拟信号 ms V 预滤波 Antialiasing k A 数字信号数字信号 A/D k A 数字信号处 理 ms V 模拟信号模拟信号 D/A ms V 平滑滤波 Reconstruction 有时会省去 -预滤波+ A/D (例如: 股市分析); -D/A + 平滑滤波 (例如: 一些希望得到数字输 出的场合，如液晶或 LED显示). General scheme 李洁《数字信号处理》2005? Digital Signal Processing__Jie Li 2005? 28 李洁 --《数字信号处理》--第一章时域离散信号和时域离散系统55 / 60 第1章时域离散信号和时域离散系统 1. 信号被抽样后频谱如何变化？ 2. 什么情况下，可以从抽样信号中 不失真地恢复出原来信号？ §1.5 模拟信号数字处理方法 2. 离散时间信号和连续时间信号之间的关系 李洁 --《数字信号处理》--第一章时域离散信号和时域离散系统56 / 60 第1章时域离散信号和时域离散系统 到底对一个连续信号应该用多快的频率 采样才能得到正确的信息？ 举个例子: 在电影中看到转动的车轮 25 frames (即25个样点）per second. Frequency misidentification due to low sampling frequency. Train starts wheels ‘go’ clockwise. Train accelerates wheels ‘go’ counter-clockwise. Why? 李洁《数字信号处理》2005? Digital Signal Processing__Jie Li 2005? 29 李洁 --《数字信号处理》--第一章时域离散信号和时域离散系统57 / 60 第1章时域离散信号和时域离散系统 -B 0 B f 连续信号频谱 (a)带限信号: frequencies in [-B, B] (f MAX = B). (a) -B 0 B f S /2 f 离散信号频谱 No aliasing (b)时域采样频域的周期延拓 f S > 2 B no aliasing. (b) 0 f S /2 f 离散信号频谱 Aliasing & corruption (c) (c) f S 2 B aliasing ! ∑ ∞ ?∞= ???=? k saa jkjX T jX )( 1 )( ) 李洁 --《数字信号处理》--第一章时域离散信号和时域离散系统58 / 60 第1章时域离散信号和时域离散系统 问题问题 2的答案：的答案： 要不失真地提取要不失真地提取 原模拟信号，原模拟信号， 或或 cs ?≥? 2 cs ff 2≥ 问题问题 1的答案：的答案： 采样信号的频谱采样信号的频谱 是原模拟信号频谱 沿频率轴以沿频率轴以 Ω s 为周为周 期延拓而成的。 李洁《数字信号处理》2005? Digital Signal Processing__Jie Li 2005? 30 李洁 --《数字信号处理》--第一章时域离散信号和时域离散系统59 / 60 第1章时域离散信号和时域离散系统 §1.5 模拟信号数字处理方法 3. 将数字信号转换成模拟信号 1）理想恢复 2）实用方法 t g(t) Tt Tt tg / )/sin( )( π π = 0 T 2T -T 3T-2T -3T 1 单位脉冲响应为单位脉冲响应为 g(t)的低通滤波器可以对模拟信号进的低通滤波器可以对模拟信号进 行无失真的恢复。行无失真的恢复。