李洁《数字信号处理》2005?
Digital Signal Processing__Jie Li
2005? 1
数字信号处理
第二章 时域离散信号和系统的频域分析
Digital Signal Processing
主讲教师：李洁
李洁李洁--《《数字信号处理数字信号处理》》--第二章第二章时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析2 / 76
? 请问：请问： 对一个 LTI离散系统施加一个单位幅度的复
正弦输入 那么，系统的输出是什么？
系统的特征信号对 LTI系统的分析十分重要。
nj
enx
0
)(
ω
=
∑
∞
?∞=
?=
m
mnxmhny )()()(
∑
∞
?∞=
?
=
m
mnj
emh
)(
0
)(
ω
∑
∞
?∞=
?
=
m
mjnj
emhe
00
)(
ωω
)(
00
ωω jnj
eHe ?=
)})(arg{(
0
00
)(
ω
ωω
j
eHnjj
eeH
+
?=
∑
=
=
M
k
nj
k
k
eanx
1
)(
ω
nj
M
k
j
k
kk
eeHany
ωω
∑
=
?=
1
)()(
LTI(Linear Time-invariant)系统
][?T
特征函数
序列的傅里叶变换在序列的傅里叶变换在 ω0处的取值处的取值
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§ 2.2 序列的 Fourier变换
的定义和性质
1. Fourier变换的定义
∑
∞
?∞=
?
=
n
njj
enxeX
ωω
)()(
FT（Fourier Transform)
存在FT的条件：序列绝对可和∑
∞
?∞=
∞<
n
nx |)(|
ω
π
ω
π
π
ω
deeXnx
njj
∫
?
= )(
2
1
)(
IFT（Inverse Fourier Transform)
§ 2.1 引言
?+= js σ
ωjsT
erez ?==
对对 Fourier变换的理解：变换的理解：
是信号在频域的表达，在时域中是信号在频域的表达，在时域中 x(n)各点的值承载各点的值承载
信息，而在频域中则是由信息，而在频域中则是由 X(e
jω
)承载信息。其含义承载信息。其含义
是将信号表达为许多复正弦信号是将信号表达为许多复正弦信号 e
jωωn
的加权平均和的加权平均和
，权值为，权值为 X(e
jω
)。。
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例 2.2.1 设，求x(n)的 FT。)()( nRnx
N
=
∑∑
?
=
?
∞
?∞=
?
==
1
0
)()(
N
n
nj
n
nj
N
j
eenReX
ωωω
)(
)(
1
1
2/2/2/
2/2/2/
ωωω
ωωω
ω
ω
jjj
NjNjNj
j
Nj
eee
eee
e
e
??
??
?
?
?
?
=
?
?
=
)2/sin(
)2/sin(
2/)1(
ω
ω
ω
N
e
Nj ??
=
)(
4
nR
)(
4
nR
习题6
习题开讲
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习题开讲
MATLAB
2. 序列序列Fourier变换的变换的MATLAB实现实现
function [X,magX,angX] = FourierTran(n,x,definition)
% 计算离散序列的Fourier变换，并画出幅频特性和相频特性图
% 调用格式:
% [X,magX,angX] = FourierTran(n,x)
% 其中
% n ---- x(n)的序号向量
% x ----时域序列x(n)
% definiton ----图像分辨率(默认值每周期600点)
% X ---- x(n)的Fourier变换X(ejw)
% magX ---- X(ejw)的模
% angX ---- X(ejw)的幅角
if nargin<3
definition = 600;
end
k = -definition:definition; w = (pi/definition)*k;
X = x*(exp(-j).^(n'*w));
magX = abs(X);
angX =angle(X);
figure(1)
subplot(211)
plot(w/pi,magX,'r','LineWidth',2)
xlabel('频率（单位π）'); ylabel('|X(e^{ j\omega})|')
title('幅频特性')
subplot(212)
plot(w/pi,angX/pi,'r','LineWidth',2)
xlabel('频率（单位π）'); ylabel('弧度/π')
title('相频特性')
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3. 序列 Fourier变换的性质
Ⅰ）周期性
序列的 Fourier变换是频率ω的周期函数，周期为 2π。
)(6 nR
)(5 nR
)()()()(
)2()2( Mj
n
nMj
n
njj
eXenxenxeX
πωπωωω +
∞
?∞=
+?
∞
?∞=
?
===
∑∑
数字频率与模拟频率的区别与联系：数字频率与模拟频率的区别与联系：
1）） ω=ΩT，模拟频率的单位为，模拟频率的单位为 rad/s，而数字频率的单位为，而数字频率的单位为 rad，代表在一个采样，代表在一个采样
间隔间隔 T上正弦序列相位的变化量。上正弦序列相位的变化量。
2）它们所代表的信号变化快慢有所不同。对模拟频率，）它们所代表的信号变化快慢有所不同。对模拟频率， Ω越大，模拟正弦信号变化越大，模拟正弦信号变化
地越快；而对数字频率地越快；而对数字频率 ω，正弦序列对，正弦序列对 ω的变化呈现的变化呈现 2π周期性，当周期性，当 ω=0时，变化时，变化
最慢，当最慢，当 ω= π时，变化最快。所以将时，变化最快。所以将 ω=0附近称为数字低频，将附近称为数字低频，将 ω= π附近称为附近称为
数字高频。数字高频。
2/
s
?? 2/s?
0
00
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)(
0
nxe
njω
线性
时移与频移
)(
)(
0
ωω?j
eX
时域卷积定理
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)()(
4/
nxeny
njπ
=
)
2
cos()(
n
nx
π
=
1000 ≤≤ n
1000 ≤≤ n
序列 Fourier变换频移性质 FT[e
jω0n
x(n)]=X(e
j(ω-ω0)
)例证
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序列 Fourier变换时域卷积定理 FT[x(n)*y(n)]=X(e
jω
)Y(ejω)例证
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频域卷积定理
FT的对称性
Parseval定理
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习题1
习题开讲
习题开讲
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习题开讲
习题开讲
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? FT的对称性
Ⅰ）定义
)()(
*
nxnx
ee
?=
共轭对称
共轭反对称)()(
*
nxnx
oo
??=
实部为偶函数，虚部为奇函数
实部为奇函数，虚部为偶函数
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? FT的对称性
Ⅱ）一般序列的共轭对称序列和共轭反对称序列
)](*)([
2
1
)( nxnxnx
e
?+=共轭对称
共轭反对称
)](*)([
2
1
)( nxnxnx
o
??=
)()()( nxnxnx
oe
+=
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MATLAB
用用 MATLAB求共轭对称序列与共轭反对称序列求共轭对称序列与共轭反对称序列
function [xe, xo, m] = eocompl(x,n)
% 将复序列分解成共轭对称序列与共轭反对称序列
%
m = -fliplr(n);
m1 = min([m,n]); m2 = max([m,n]); m = m1:m2;
nm = n(1)-m(1); n1 = 1:length(n);
x1 = zeros(1,length(m));
x1(n1+nm) = x; x = x1;
xe = 0.5*(x + fliplr(x)'.');
xo = 0.5*(x - fliplr(x)'.');
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? FT的对称性
Ⅲ）一般序列的 Fourier变换的共轭对称序列和
共轭反对称序列
)](*)([
2
1
)(
ωωω jjj
e
eXeXeX
?
+=共轭对称
共轭反对称)](*)([
2
1
)(
ωωω jjj
o
eXeXeX
?
?=
)()()(
ωωω j
o
j
e
j
eXeXeX +=
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? FT的对称性
Ⅳ） FT的对称性
)()]}({Re[
ωj
e
eXnxFT =
)()]}(Im[{
ωj
o
eXnxjFT =
)](Re[)]([
ωj
e
eXnxFT =
)](Im[)]([
ωj
o
eXjnxFT =
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)](Re[)]([
ωj
e
eXnxFT =
)](Im[)]([
ωj
o
eXjnxFT =
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)](Re[)]([
ωj
e
eXnxFT =
)](Im[)]([
ωj
o
eXjnxFT =
李洁李洁--《《数字信号处理数字信号处理》》--第二章第二章时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析26 / 76
)()]}({Re[
ωj
e
eXnxFT =
)()]}(Im[{
ωj
o
eXnxjFT =
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FT的共轭对称性
)()()( njxnxnx
ir
+=
)()()(
ωωω j
o
j
e
j
eXeXeX +=
)()()( nxnxnx
oe
+=
)()()(
ωωω j
I
j
R
j
ejXeXeX +=
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李洁李洁--《《数字信号处理数字信号处理》》--第二章第二章时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析29 / 76
? FT的对称性
Ⅴ）实序列 FT的对称性
若 x(n)为实序列
（ 1）其 FT必满足共轭对称性；
（ 2）实部是ω的偶函数，虚部是ω的奇函数；
（ 3）幅度是ω的偶函数，幅角是ω的奇函数。
李洁李洁--《《数字信号处理数字信号处理》》--第二章第二章时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析30 / 76
? FT的对称性
Ⅵ）实因果序列与其偶函数 h
e
(n)和奇函数 h
o
(n)的关系
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李洁李洁--《《数字信号处理数字信号处理》》--第二章第二章时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析31 / 76
对实因果序列，只要知道 的实部或虚部以及
即可求得 和
)(
ωj
eX )0(x
)(nx )(
ωj
eX
)()()()]([)](Re[
ωω jFT
e
IFT
e
j
eXnxnxnxFTeX ?→??→??→?=
习题9
习题开讲
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§ 2.3 周期序列的离散 Fourier级数及
Fourier变换表示式
1. 周期序列的离散 Fourier级数
kn
N
j
N
n
enxnxDFSkX
π2
1
0
)(
~
)](
~
[)(
~
?
?
=
∑
==
kn
N
j
N
k
ekX
N
kXIDFSnx
π2
1
0
)(
~1
)](
~
[)(
~
∑
?
=
==
物理含义： 将周期序列分解成 N次谐波， 第 k个谐波频
率为 ω
k
=(2π/N)k, k=0, 1, 2 … N-1，幅度为 。
基波分量的频率是 2π/N，幅度是 。一个周期
序列可以用其 DFS表示它的频谱分布规律。
~
(1/ ) ( )NXk
~
(1/ ) (1)NX
李洁李洁--《《数字信号处理数字信号处理》》--第二章第二章时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析34 / 76
273
~~
8 4
00
4
4
4
4
22 2
4888
() ()
1
1
1()
1 ()
jkn kn
nn
jk
jk
jk jk jk
jk
jk jk jk jk
Xk Xne e
e
e
eeee
e ee e
ππ
π
π
ππ π
ππππ
? ?
==
??
?
??
??
?? ?
?
=
?
==
? ?
∑∑
3
8
sin
2
sin
8
jk
k
e
k
π
π
π
?
=
例 2.3.1 设 x(n)=R
4
(n)，将 x(n)以 N=8为周期，进行周期延拓，得到
如图 (a)所示的周期序列 ，周期为 8，求 的 DFS。
~
()x n
~
()x n
k
N
π2
0 N
π2
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习题4
习题开讲
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2. 周期序列的 Fourier变换表示式
~
2
1
~~
0
22
() ()( )
() ()
j
k
N
jkn
N
n
Xe xk k
NN
xk xne
ω
π
π π
δω
∞
=?∞
?
?
=
=
∑
∑
式中
为了在连续频域上也能得到周期序列的Fourier变换而引入的一个变换
为了在连续频域上也能得到周期序列的Fourier变换而引入的一个变换
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基本序列的 FT
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例 2.3.2 求例 2.3.1中周期序列的 FT。
解：
3
8
sin( / 2)
() ( )
4sin(84
jk
j
k
k
Xe e k
k
π
ω
π ππ
δω
π
∞
?
=?∞
∑
其幅频特性如图所示。
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§ 2.4时域离散信号的 Fourier变换与模拟信号
Fourier变换之间的关系
模拟频率与数字频率之间的定标关系
－0.5－ 1 0 0.5 1
－0.5－ 1 0 0.5 1
－0.5－ 1 0 0.5 1
－ f
s
2
s
f?
f
s f
f ′
2
s
??
2
s
f
2
s
?
s
?
s
??
?
?′
ω
ω′
0
0
0 π2ππ?π2?
fπ2=?
s
f/?=ω
∑
∞
?∞=
?=
r
a
j
r
TT
jX
T
eX ))
2
((
1
)(
πω
ω
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李洁李洁--《《数字信号处理数字信号处理》》--第二章第二章时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析41 / 76
? Z变换在离散时间系
统中的作用就如同拉
氏变换在连续时间系
统中的作用一样，它
把描述离散系统的差
分方程 转化为简单的
代数方程 ，使其求解
大大简化。
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§ 2.5 序列的 z变换
1. 定义
+?
∞
?∞=
?
<<==
∑ xx
n
n
RzRznxnxZTzX ||)()]([)(
∞<
∑
∞
?∞=
?
n
n
znx )(
存在条件：绝对可和
∫
+?
?
∈==
c
xx
n
RRcdzzzX
j
zXIZTnx ),()(
2
1
)]([)(
1
π
可小到0
可大到∞
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习题15
习题开讲
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§ 2.5 序列的 z变换
2. ZT与 FT之间的关系
() ()
j
j
z e
Xe Xz
ω
ω
=
=
z=e
jω
表示在 z平面上 r=1的圆，该圆称为单位圆。
单位圆上的z变换就是序列的傅里叶变换。
() ()
jjn
n
X exne
ω ω
∞
?
=?∞
=
∑
() ()
n
n
X zxnz
∞
?
=?∞
=
∑
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李洁李洁--《《数字信号处理数字信号处理》》--第二章第二章时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析45 / 76
§ 2.5 序列的 z变换
3. 序列特性对收敛域的影响
∑
=
?
=
2
1
)()(
n
nn
n
znxzX有限长序列
∞<≤≤< znn 00,0
21
∞<<>< znn 00,0
21
∞≤<>≥ znn 00,0
21
∑
∞
=
?
=
1
)()(
nn
n
znxzX
右序列
∞<<<
?
zRn
x
,0
1
∞≤<≥
?
zRn
x
,0
1
∑
∞=
?
=
2
)()(
n
n
n
znxzX左序列
+
<≤≤
x
Rzn 0,0
2
+
<<>
x
Rzn 0,0
2
∑
∞
?∞=
?
=
n
n
znxzX )()(双边序列
+?+?
<<<
xxxx
RzRRR ,
,
+?
>
xx
RR
无收敛域
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§ 2.5 序列的 z变换
4. 逆 z变换
留数法留数法
部分分式展开法部分分式展开法
长除法长除法
∫
+?
?
∈=
c
xx
n
RRcdzzzX
j
nx ),()(
2
1
)(
1
π
c
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习题16
习题开讲
c
习题开讲
c
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习题开讲
c
习题18
习题开讲
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习题开讲
习题19
习题开讲
长除法不易得到解析解
长除法不易得到解析解
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习题19
习题开讲
李洁李洁--《《数字信号处理数字信号处理》》--第二章第二章时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析56 / 76
基本序列的z变换
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基本序列的z变换
MATLAB
用MATLAB求部分分式展开式
% Example 2.5.10
%
b=[0 5];a=[1 1 -6];
[r,p,k]=residuez(b,a)
][
3210 m
bbbbbbL=
m
m
zbzbzbbzb
???
+++=L
2
2
1
10
)(
)(1
121
)1()2()1(
)(1
)(
)2(1
)2(
)1(1
)1(
)(
)(
nm
znmkzkk
znp
nr
zp
r
zp
r
za
zb
???
???
+?++++
?
++
?
+
?
=LL
residuez----计算b(z)/a(z)的部分分式展开式
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李洁李洁--《《数字信号处理数字信号处理》》--第二章第二章时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析59 / 76
z变换的性质
线性
时移
共轭
翻转
对称性
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时域卷积
频域卷积
Parseval定理
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习题17
习题开讲
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§ 2.5 序列的 z变换
5. 利用 z变换解差分方程
Ⅰ）求稳态解
)]([)( zYIZTny =
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§ 2.5 序列的 z变换
5. 利用 z变换解差分方程
Ⅱ）求暂态解
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§ 2.5 序列的 z变换
Ⅱ）求暂态解
1
00
1
00
[() () ] ()
()
() ()
k
NM
klk
k
kik
MN
kkl
kkik
NN
az Y z ylz bX zz
bz az yl z
Yz Xz
az az
?
???
===
?
? ??
===
??
+=
=?
∑∑∑
∑∑∑
零状态解
零输入解
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习题21
习题开讲
习题开讲
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§ 2.5 序列的 z变换
6. 利用 z变换分析信号和系统的频域特性
Ⅰ）传函与系统函数
一般称 为系统的传输函数。
如果 H(z)的收敛域包含单位园时，
表示系统的频率特性。
∑
∞
?∞=
?
=
n
njj
enheH
ωω
)()(
ω
ω
j
ez
j
zHeH
=
= )()(
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Ⅱ）用系统函数的极点分布分析系统的因果性和稳定性
∞
因果性：其单位脉冲响应h(n)一定满足：n<0时，h(n)=0
即其系统函数H(z)的收敛域一定包含
稳定性：要求收敛域包含单位园
因果、稳定：
即H(z)的极点集中在单位园内
10, <<∞≤< rzr
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习题23
习题开讲
习题开讲
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Ⅲ）利用系统的零极点分布分析系统的频率特性
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% 为证明教材61页中的错误而作的图
% 可以看出相位特性的确推导有误
close all
z=[-0.9];
p=[0.25+0.8*i 0.25-0.8*i]';
[num,den]=zp2tf(z,p,1)
zplane(z,p)
freqzm(num,den)
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