李洁《数字信号处理》2005?
Digital Signal Processing__Jie Li
2005? 1
数字信号处理
第三章 离散 Fourier变换
Digital Signal Processing
主讲教师：李洁
李洁李洁--《《数字信号处理数字信号处理》》--第三章第三章离散离散Fourier变换变换2 / 51
由于数字信号处理由于数字信号处理
器只能处理离散信
号，所以我们需要继号，所以我们需要继
续将离散时间序列进续将离散时间序列进
行行 频域离散化频域离散化 （即就（即就
是要找到是要找到 依赖于离散依赖于离散
时间变量到依赖于离时间变量到依赖于离
散频率变量之间的一散频率变量之间的一
种映射关系种映射关系 ）） —这就这就
是是 DFT的作用。
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总之，一个域的离散就必然造成另总之，一个域的离散就必然造成另
一个域的周期延拓，而一个域的非周期与一个域的周期延拓，而一个域的非周期与
另一个域的连续是相对应的。另一个域的连续是相对应的。
仅此变换对适合于在数字信号处理器上实现仅此变换对适合于在数字信号处理器上实现
结论结论
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李洁李洁--《《数字信号处理数字信号处理》》--第三章第三章离散离散Fourier变换变换5 / 51
1. 定义
1,,1,0)()]([)(
1
0
?===
∑
?
=
NkWnxnxDFTkX
N
n
kn
N
L
1,,1,0)(
1
)]([)(
1
0
?===
∑
?
=
?
NnWkX
N
kXIDFTnx
N
k
kn
N
L
其中
N
j
N
eW
π2
?
=
§§ 3.1 离散离散 Fourier变换的定义变换的定义
（（ 1）） x(n)是有限长序列，且长度为是有限长序列，且长度为 M。与。与 Fourier变换和变换和 z变换不同，变换不同， n仅定义在仅定义在
[0,M-1]的整数区间上；的整数区间上；
（（ 2）变换核为）变换核为 ，将时域序列，将时域序列 x(n)变换为频域序列变换为频域序列 X(k)；；
（（ 3）序列）序列 x(n)经离散经离散 Fourier变换后得到变换后得到 k定义在定义在 [0,N-1]上的频域序列上的频域序列 X(k)，其中，其中
N称为变换区间长度，称为变换区间长度， N≥M；；
（（ 4）离散）离散 Fourier变换使得时域序列与频域序列之间建立关系，使信号在微处理变换使得时域序列与频域序列之间建立关系，使信号在微处理
器上的频域分析成为可能；器上的频域分析成为可能；
（（ 5）） x(n)的离散的离散 Fourier变换的结果与变换区间长度有关。变换的结果与变换区间长度有关。
N
j
N
eW
π2
?
=
注意注意
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例 3.1.1 x(n)=R
4
(n),求 x(n)的 8
点和 16点 DFT。
解：设变换区间 N=8
∑∑
=
?
=
==
3
0
8
2
7
0
8
)()(
n
knj
n
kn
enxkX
W
π
)(
)(
)1(
)1(1
888
222
8
2
4
8
2
kjkjkj
kjkjkj
kj
kj
eee
eee
e
e
πππ
πππ
π
π
??
??
?
??
?
?
=
?
??
=
)
8
sin(
)
2
sin(
8
3
k
k
e
kj
π
π
π?
=
7,...,1,0=k
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MATLAB 用用 MATLAB实现实现 DFT
function [Xk] = dft(xn,N)
% Computes Discrete Fourier Transform
% -----------------------------------
% [Xk] = dft(xn,N)
% Xk = DFT coeff. array over 0 <= k <= N-1
% xn = N-point finite-duration sequence
% N = Length of DFT
%
n = [0:1:N-1]; % row vector for n
k = [0:1:N-1]; % row vecor for k
WN = exp(-j*2*pi/N); % Wn factor
nk = n'*k; % creates a N by N matrix of nk values
WNnk = WN .^ nk; % DFT matrix
Xk = xn * WNnk; % row vector for DFT coefficients
习题
习题
1（
（
6）
）
解
习题开讲
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10)()(
2
?≤≤=
=
NkzXkX
k
N
j
ez
π
+?
∞
?∞=
?
<<==
∑ xx
n
n
RzRznxnxZTzX ||)()]([)(
1,,1,0)()]([)(
1
0
?===
∑
?
=
NkWnxnxDFTkX
N
n
kn
N
L
10)()( 2 ?≤≤=
=
NkeXkX
k
N
j
π
ω
ω
说明说明 DFT是是 z变换在单位园上等间隔采样变换在单位园上等间隔采样 N个点的结果个点的结果
说明说明 DFT是序列是序列 Fourier变换在变换在 [0，， 2π]区间上等区间上等
间隔采样间隔采样 N个点的结果。个点的结果。
2. DFT和 z变换的关系
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例：例： R
8
(n)的的 Fourier变换与变换与 64点点 DFT、、
128点点 DFT
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由此例我们可以看出，对同一个序列由此例我们可以看出，对同一个序列 x(n)：：
（（ 1）） DFT的变换区间不同，得到不同的的变换区间不同，得到不同的 X(k)。当。当 n确确
定后，定后， X(k)与与 x(n)是一一对应的；是一一对应的；
（（ 2）当）当 N足够大时，足够大时， |X(k)|的包络可逼近的包络可逼近 |X(e
jω
)|曲线；曲线；
（（ 3）） |X(k)|表示表示 频率点的幅度谱线。频率点的幅度谱线。
kN
k
)/2( πω =
? 请问请问 k处对应的模拟频率应该是多少处对应的模拟频率应该是多少
对于模拟频率， N点点 DFT意味着频域采样间隔为
(1/NT)Hz。所以用。所以用 DFT进行谱分析时，称进行谱分析时，称 F= (1/NT)
为为 频率分辨率频率分辨率 。而。而 NT表示时域采样的区间长度表示时域采样的区间长度 (也称也称
为为 观察时间观察时间 或或 记录时间记录时间 ，记为，记为 T
p
=NT)。。
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均为整数均为整数
∴∴DFT后的后的X(k)具周期性，周期为具周期性，周期为N
)()( kXmNkX =+
)()( nxmNnx =+∴∴IDFT后的后的x(n)具周期性，周期为具周期性，周期为N
∑
∞
?∞=
+=
m
mNnxnx )()(
~
周期延拓序列周期延拓序列
主值序列主值序列
)()(
~
)( nRnxnx
N
?=
N
nxnx ))(()(
~
=
记作记作
3. DFT的隐含周期性
Ⅰ）
NmkWW
mNk
N
k
N
,,
+
=
ⅡⅡ ）概念）概念
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ⅢⅢ ）周期延拓序列的离散）周期延拓序列的离散 Fourier级数（级数（ DFS））
（（ 1）和连续时间周期信号类似，周期序列可用离散）和连续时间周期信号类似，周期序列可用离散 Fourier级数来表示；级数来表示；
（（ 2）对周期序列，只要知道它的一个周期的内容就可以完全确定这个序列，也就是说）对周期序列，只要知道它的一个周期的内容就可以完全确定这个序列，也就是说
只有一个周期承载信息，其它周期的值都是冗余的；只有一个周期承载信息，其它周期的值都是冗余的；
（（ 3）点数为）点数为 N的有限长序列和周期为的有限长序列和周期为 N的周期序列，都是由的周期序列，都是由 N个值来定义。个值来定义。
（（ 4）与有限长序列的）与有限长序列的 DFT变换对相比，不难发现，周期序列和有限长序列本质上是一变换对相比，不难发现，周期序列和有限长序列本质上是一
样的；样的；
（（ 5）有限长序列及其）有限长序列及其 DFT可以分别看作周期序列及其可以分别看作周期序列及其 DFS的主值序列，因此，一定要的主值序列，因此，一定要
注意有限长序列的隐含周期性。（这个隐含周期性主要对有限长序列的移位运算产生注意有限长序列的隐含周期性。（这个隐含周期性主要对有限长序列的移位运算产生
较大影响，进而使得对有限长序列只能计算圆周卷积）较大影响，进而使得对有限长序列只能计算圆周卷积）
注意注意
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§ 3.2 离散 Fourier变换的基本性质
线性性质线性性质
循环移位性质循环移位性质
时域循环卷积定理时域循环卷积定理
复共轭序列的复共轭序列的DFT
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DFT的共轭对称性的共轭对称性
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2. 循环卷积定理
Ⅰ）时域循环卷积定理
或
记作记作
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Ⅱ）频域循环卷积定理
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0
17
图解图解
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（（ 1）离散频域的有限长序列卷积（）离散频域的有限长序列卷积（ 圆周卷积圆周卷积 ）与连）与连
续频域的卷积（续频域的卷积（ 线性卷积线性卷积 ）有很大的区别，这是由）有很大的区别，这是由
于于 FT在在 -∞到到 ∞讨论问题，而讨论问题，而 DFT仅能在仅能在 [0,N-1]区间区间
上讨论问题，更重要的是有限长序列的卷积本质上上讨论问题，更重要的是有限长序列的卷积本质上
是周期序列的线性卷积；是周期序列的线性卷积；
（（ 2）手工计算圆周卷积的法则依然是）手工计算圆周卷积的法则依然是 ”翻、移、翻、移、
乘、加乘、加 ”，只是序列的翻转是在圆周上进行的；，只是序列的翻转是在圆周上进行的；
（（ 3）有限长序列的圆周卷积与线性卷积相等的条件）有限长序列的圆周卷积与线性卷积相等的条件
是是 L≥L
1
+L
2
-1
注意注意
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? 有限长序列共轭对称的定义
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? 任何有限长序列都可以表示成其共轭对称分量和
共轭反对称分量之和。
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DFT的共轭对称性的共轭对称性
)()()( njxnxnx
ir
+=
)()()( kXkXkX
opep
+=
)()()( nxnxnx
opep
+=
)()()( kjXkXkX
IR
+=
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MATLAB
用用MATLAB实现有限长序列的奇偶分解实现有限长序列的奇偶分解
function [xec, xoc] = circevod(x)
% signal decomposition into circular-even and
% circular-odd parts
% ---------------------------------------
% [xec, xoc] = circecod(x)
%
N = length(x); n = 0:(N-1);
xec = 0.5*(x + (x(mod(-n,N)+1))'.');
xoc = 0.5*(x - (x(mod(-n,N)+1))'.');
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MATLAB
用用MATLAB实现有限长序列的循环移位实现有限长序列的循环移位
function y = cirshftt(x,m,N)
% Circular shift of m samples wrt size N
% in sequence x: (time domain)
% ---------------------------------------
% [y] = cirshftt(x,m,N)
% y = output sequence containing the circular shift
% x = input sequence of length <= N
% m = sample shift
% N = size of circular buffer
% Check for length of x
if length(x) > N
error('N must be >= the length of x')
end
x = [x zeros(1,N-length(x))];
n = [0:1:N-1];
n = mod(n-m,N);
y = x(n+1);
MATLAB
用用MATLAB实现有限长序列的循环卷积实现有限长序列的循环卷积
function y = circonvt(x1,x2,N)
% N-point circular convolution between x1 and x2: (time-domain)
% -----------------------------------------------------
% [y] = circonvt(x1,x2,N)
% y = output sequence containing the circular convolution
% x1 = input sequence of length N1 <= N
% x2 = input sequence of length N2 <= N
% N = size of circular buffer
x1=[x1 zeros(1,N-length(x1))];
x2=[x2 zeros(1,N-length(x2))];
m = [0:1:N-1];
x2 = x2(mod(-m,N)+1);
H = zeros(N,N);
for n = 1:1:N
H(n,:) = cirshftt(x2,n-1,N);
end
y = x1*H';
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习题
习题
7 Page 94
习题开讲
7.证明若x(n)实偶对称，即x(n)=x(N-n)，则X(k)也实偶对称；若x(n)实奇对
称，即x(n)=-x(N-n)，则X(k)为纯虚函数且奇对称。（X(k)=DFT[x(n)]）
证明：当x(n)实偶对称时，相当于该序列只含共轭对称部分x
ep
(n)。
由DFT的共轭对称性
可知当x(n)偶对称时，X(k)只有实部，即X(k)为实函数。
又因为DFT的另一组共轭对称性
可知当x(n)为实序列时（即虚部为零），X(k)仅存在共轭对称部分
X
ep
(k)，对实函数而言就是实偶对称。
)()()( nxnxnx
opep
+=
)()()( kjXkXkX
IR
+=
)()()( njxnxnx
ir
+=
)()()( kXkXkX
opep
+=
习题
习题
12 Page 95
习题开讲
12.已知f(n)=x(n)+jy(n)，x(n)与y(n)均为N长实序列。设
F(k)=DFT[f(n)], 0≤k≤N-1
（1），a、b为实数
（2），N为整数
试求X(k)=DFT[x(n)],Y(k)=DFT[y(n)]以及x(n)和y(n)。
10,
1
1
1
1
)( ?≤≤
?
?
+
?
?
= Nk
bW
b
j
aW
a
kF
k
N
N
k
N
N
jNkF +=1)(
解：由解：由 DFT的共轭对称性可知的共轭对称性可知
（（ 2））
)()()( kFkXnx
ep
=?
)()()( kFkjYnjy
op
=?
[]1)(*)(
2
1
)( =?+= kNFkFkX
NkNFkF
j
kY =??= )](*)([
2
1
)(
)()( nnx δ=
)()( nNny δ=
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频率域的抽取造成时域的周期延拓
§ 3.3 频率域采样
什么条件下可以由频率离散采样恢复原来的频率函数？什么条件下可以由频率离散采样恢复原来的频率函数？
注意注意
（（ 1）若）若 x(n)不是有限长序列，则由于频域的采样使得时域周期延拓不是有限长序列，则由于频域的采样使得时域周期延拓
后，必然造成混叠现象；后，必然造成混叠现象；
（（ 2）如果）如果 x(n)是有限长序列，点数为是有限长序列，点数为 M，则当频域采样不够密时，，则当频域采样不够密时，
即当即当 N<M时，时， x(n)以以 N为周期延拓，也会造成混叠；为周期延拓，也会造成混叠；
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怎样由怎样由 X(k)恢复恢复 X(z)和和 X(e
jω
)?
内插函数
内插公式
内插函数
内插公式
)()( zXkX ?→?
)()(
ωj
eXkX ?→?
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李洁李洁--《《数字信号处理数字信号处理》》--第三章第三章离散离散Fourier变换变换41 / 51
§§ 3.4 DFT应用应用
1.用用 DFT计算线性卷积计算线性卷积
DFT仅能计算两序列的循环卷积，但实际应用仅能计算两序列的循环卷积，但实际应用
中需要计算两序列的线性卷积，所以有必要中需要计算两序列的线性卷积，所以有必要
先来讨论以下两个问题：先来讨论以下两个问题：
ⅠⅠ ）循环卷积与线性卷积之间的关系）循环卷积与线性卷积之间的关系
结论：结论： L点循环卷积等于线性卷积以点循环卷积等于线性卷积以 L为周为周
期的周期延拓序列的主值序列。期的周期延拓序列的主值序列。
∑
∞
?∞=
+=
q
Llc
nRqLnyny )()()(
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ⅡⅡ ）循环卷积与线性卷积相等的条件）循环卷积与线性卷积相等的条件
结论：结论： 若若 L≥≥ N
1
+N
2
-1，则，则 L点循环卷积能代点循环卷积能代
表线性卷积。表线性卷积。
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李洁李洁--《《数字信号处理数字信号处理》》--第三章第三章离散离散Fourier变换变换43 / 51
M
0
N
M M
x
1
(n)x
0
(n) x
2
(n)
N＋ M－ 1
N＋ M－ 1
y
0
(n)
y
1
(n)
N＋ M－ 1
y
2
(n)
2M M
3M＋ N－ 1
0
N－ 1
y(n)＝ y
0
(n)＋y
1
(n)＋y
2
(n)＋ …
n
n
n
n
n
n
h(n)
重叠相加法卷积示意图重叠相加法卷积示意图
用用 DFT计算线性卷积计算线性卷积两序列长度相差很大
两序列长度相差很大
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2. 用用 DFT对信号进行谱分析对信号进行谱分析
Ⅰ）用 DFT对连续信号进行谱分析
所谓信号的谱分析就是计算信号的傅里叶变换。
)]([)()()(
1
0
2
nxDFTTenxTjkFXkX
N
n
kn
N
j
a
?===
∑
?
=
?
π
连续信号频谱与其采样序列频谱间关系连续信号频谱与其采样序列频谱间关系
)]([
1
)( kXIDFT
T
nx
a
?=
其中其中 F为频率分辨率，为频率分辨率， F=1/NT
T
p
F
1
1
s
p
f
F
NNT
F
T
==
=
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李洁李洁--《《数字信号处理数字信号处理》》--第三章第三章离散离散Fourier变换变换45 / 51
Ⅱ）用 DFT进行谱分析的问题
1、混叠现象、混叠现象 ：如果：如果 x(t)不是带限信号，必定产生 频率混叠，但可以选不是带限信号，必定产生 频率混叠，但可以选
择一个合理的采样频率择一个合理的采样频率 fs使这种混叠可以忽略不计；如果使这种混叠可以忽略不计；如果 x(t)的最高频的最高频
率为率为 fh（通常是使用一个防混叠滤波 器将高频成分滤除），虽然（通常是使用一个防混叠滤波 器将高频成分滤除），虽然
fs>2fh可满足采样定理，但工程上通常取可满足采样定理，但工程上通常取 fs=(3~5)fh以取得更好的效以取得更好的效
果。果。
2、栅栏效应、栅栏效应 ：因为：因为 DFT计算频谱只限于离散点上频谱，而不是连续计算频谱只限于离散点上频谱，而不是连续
的函数，这就像通过一个的函数，这就像通过一个 ““ 栅栏栅栏 ”” 观察连续频谱一样，因此称这种现观察连续频谱一样，因此称这种现
象为象为 “栅栏栅栏”现象。现象。
3、截断效应、截断效应 ：如果：如果 x(t)是无限长信号，用是无限长信号，用 DFT作谱分析时，必须取有作谱分析时，必须取有
限长的一段，这就相当于在时域给信号乘 了一个矩形函数，结果得到限长的一段，这就相当于在时域给信号乘 了一个矩形函数，结果得到
的频谱是原信号的频谱与矩形函数频谱的 卷积，造成频谱泄漏问题和的频谱是原信号的频谱与矩形函数频谱的 卷积，造成频谱泄漏问题和
谱间干扰问题。谱间干扰问题。
4、频率分辨率、频率分辨率 ：： F=1/NT，， NT的增大会提高分辨率。因此，当的增大会提高分辨率。因此，当 N固固
定时，过大的定时，过大的 T会造成明显的混叠现象，而会造成明显的混叠现象，而 T的减小又会使观察时间缩的减小又会使观察时间缩
短，从而增强截断效应、降低分辨率。短，从而增强截断效应、降低分辨率。
李洁李洁--《《数字信号处理数字信号处理》》--第三章第三章离散离散Fourier变换变换46 / 51
例 3.4.1 对实信号进行谱分析， 要求谱分辨率 F≤ 10
Hz，信号最高频率 f
c
=2.5 kHz， 试确定最小记录时间
T
Pmin
， 最大的采样间隔 T
max
， 最少的采样点数 N
min
。
如果 f
c
不变， 要求谱分辨率增加一倍， 最少的采样点
数和最小的记录时间是多少 ?
解：
因此 TP
min
=0.1 s，因为要求 f
s
≥ 2f
c
，所以
11
0.1
10
P
Ts
F
≥==
3
max
min
11
0.2 10
2 2 2500
2 2 2500
500
10
c
c
f
f
N
F
?
== =×
×
×
== =
为使频率分辨率提高一倍， F=5 Hz，要求
min
min
2 2500
1000
5
1
0.2
5
p
N
Ts
×
==
==
李洁《数字信号处理》2005?
Digital Signal Processing__Jie Li
2005? 24
李洁李洁--《《数字信号处理数字信号处理》》--第三章第三章离散离散Fourier变换变换47 / 51
Ⅲ）用DFT进行谱分析时的参数选择问题
用用 DFT作连续信号的频谱分析时，必须选择合理的作连续信号的频谱分析时，必须选择合理的 T
和和 N，以防止混叠现象发生并且尽量提高频谱分辨率。，以防止混叠现象发生并且尽量提高频谱分辨率。
例：对连续信号例：对连续信号 用用 DFT进行谱分析。进行谱分析。0,)(
1.0
≥=
?
tetx
t
调节方法调节方法
①① 固定分辨率（意味着固定分辨率（意味着 T增大一倍，增大一倍， N需减小一半），调节需减小一半），调节 T，直到两次，直到两次
得到的频谱的最大值相差不大（小于得到的频谱的最大值相差不大（小于 1％）即混叠现象可以忽略时得到％）即混叠现象可以忽略时得到
合适的合适的 T；；
②② 固定上一步得到的固定上一步得到的 T，只增大，只增大 N，这时频谱的误差主要由截断效应造，这时频谱的误差主要由截断效应造
成，增大成，增大 N直到两次得到的频谱相差不大时，得到合适的直到两次得到的频谱相差不大时，得到合适的 N。。
?+
=
?
j
eX
j
1.0
1
)(
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Ⅳ）高密度谱和高分辨率谱
补零的好处补零的好处
①① 可以使频域的抽样更密，削弱可以使频域的抽样更密，削弱 ”栅栏栅栏 ”效应；效应；
②② 使使 N成为成为 2的整数次幂，便于的整数次幂，便于 FFT的使用。的使用。
例：对离散信号例：对离散信号 用用 DFT进行谱分析。进行谱分析。
)52.0cos()48.0cos()( nnnx ππ +=
但，补零是不能提高谱分辨率的！但，补零是不能提高谱分辨率的！
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Digital Signal Processing__Jie Li
2005? 25
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-1
-0.5
0
0.5
1
036912151821242730
time
0
2
4
6
8
036912bin
-1
-0.5
0
0.5
1
0481216
time
0
2
4
6
8
0123456
bin
0
2
4
6
8
012243648bin
-0.5
0.5
0 10203040506070809010011120
time
1,,1,0)()]([)(
1
0
?===
∑
?
=
NkWnxnxDFTkX
N
n
kn
N
L
∑
∞
?∞=
?
==
n
njj
enxnxFTeX
ωω
)()]([)(
∑
=
?
=
15
0
)()(
n
njj
enxeX
ωω
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Ⅴ）截断效应
削弱截断效应的方法削弱截断效应的方法
①① 取更长的数据，也就是窗宽加宽，当然数据太长会使运取更长的数据，也就是窗宽加宽，当然数据太长会使运
算量和存储量都大大增加；算量和存储量都大大增加；
②② 不要突然截断数据，即不加矩形窗而使用缓变的窗（例不要突然截断数据，即不加矩形窗而使用缓变的窗（例
如三角窗、升余弦窗等），使窗谱的旁瓣能量更小，卷积如三角窗、升余弦窗等），使窗谱的旁瓣能量更小，卷积
后造成的泄露减小。后造成的泄露减小。
例：对理想低通滤波器单位脉冲响应用例：对理想低通滤波器单位脉冲响应用 DFT进行谱分析。进行谱分析。
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Digital Signal Processing__Jie Li
2005? 26
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加矩形窗前后的频谱cos( )
4
n
π
