设 X是一个离散型随机变量, 它可能取
的值是 x1,x2,…,
为了描述随机变量 X,我们不仅需
要知道随机变量 X的取值，而且还应知道
X取每个值的概率,
第二章 第二节
离散型随机变量
这样，我们就掌握了 X这个
随机变量取值的概率规律,
从中任取 3 个球
取到的白球数 X是一个随机变量
X可能取的值是 0,1,2
取每个值的概率为
10
1)0(
3
5
3
3 ???
C
CXP
10
6)1(
3
5
1
2
2
3 ???
C
CCXP
10
3)2(
3
5
2
2
1
3 ???
C
CCXP
例 1
且
?
?
??
3
1
1
i
iXP )(
其中 (k=1,2,…) 满足：kp
,0?kp k=1,2,…（ 1）
? ?
k
kp 1
（ 2）
定义 1,设 xk(k=1,2,… )是离散型随
机变量 X所取的一切可能值, 称
k=1,2,… …,)( kk pxXP ??为离散型随机变量 X的概率分布或分布
律, 有的书上也称概率函数,
用这两条性质判断
一个函数是否是
概率 分布
一、离散型随机变量概率分布的定义
解, 依据概率分布的性质,
? ??
k
kXP 1)(
P(X =k)≥0,
1
!0
???
?
?
?? ae
k
a
k
k
a≥0
从中解得
欲使上述函数为概率分布
应有
??? ea
?
?
?
?
0k
k
k
e
!
??
这里用到了常见的
幂级数展开式
例 2,设随机变量 X的概率分布为：
,
!
)(
k
akXP
k?
??
k =0,1,2,…,
试确定常数 a,
0??
二、表示方法
（ 1）列表法：
（ 2）公式法
?
?
?
?
?
?
?
?
10
3
10
6
10
1
210X~
2,1,0,)( 3
5
2
3
3 ???
?
k
C
CCkXP kk
再看例 1
任取 3 个球
X为 取到的白球数
X可能取的值
是 0,1,2
三、举例
例 3.某篮球运动员投中篮圈概率是 0.9，求
他两次独立投篮投中次数 X的概率分布,
解,X可取 0,1,2为值
P(X =0)=(0.1)(0.1)=0.01
P(X =1)= 2(0.9)(0.1) =0.18
P(X =2)=(0.9)(0.9)=0.81
且 P(X =0)+ P(X =1)+ P(X =2)=1
常常表示为：
?
?
?
?
?
?
81.018.001.0
210
~X
这就是 X的概率分布,
例 4
如上图所示,电子线路中装有两个并联的
继电器,假设这两个继电器是否接通具有随机
性,且彼此独立,已知每个电器接通的概率为
0.8,记 X为线路中接通的继电器的个数,
求,(1)X的分布律,
(2)线路接通的概率,
解, (1).记 Ai={第 i个继电器接通 },i=1,2.
∵ 两个继电器是否接通是相互独立的,∴
A1和 A2相互独立,另外 P(A1)=P(A2)=0.8.下面
求 X的分布律,
首先,X可能取 0,1,2,三个值,
P{X=0}=P{表示两个继电器都没接通 }
04.02.02.0)()()( 2121 ????? APAPAAP
转下页
32.08.02.02.08.0
)()()()(
)()())()((
2121
21212121
?????
??
????
APAPAPAP
AAPAAPAAAAP
P{X=1}=P{恰有一个继电器接通 }
64.08.08.0)()()( 2121 ????? APAPAAP
P{X=2}=P{两个继电器都接通 }
,
,∴ X的分布律为
X 0 1 2
p k 0.04 0.32 0.64
2) ∵ 是并联电路
∴ P(线路接通 )
=P(只要一个继电器接通 )=P{X≥1}
=P{X=1}+P{X=2}=0.32+0.64=0.96.
(二 )常见的离散型随机变量的概率分布
(I) 两点分布
(
设 E是一个只有两种可能结果的
随机试验,用 Ω={?1,?2}表示其样本空间,
P({?1})=p,P({?2})=1-p
? 来源
X(?)=
1,?= ?1
0,?= ?2
200件产品中,有 196件是正品,4
件是次品,今从中随机地抽取一件,若规
定
例 5
X(?)=
1,取到合格品
0,取到不合格品
则 P{X=1}=196/200=0.98,
P{X=0}=4/200=0.02
故 X服从参数为 0.98的两点分布,
即 X ～ B(1,0.98).
例 6 设生男孩的概率为 p,生女孩的概率为
q=1-p,令 X表示随机抽查出生的 4个婴儿
中“男孩”的个数,
贝努里概型 和 二项分布(II)
我们来求 X的概率分布,
4,3,2,1,0,)1(}{ 44 ???? ? kppCkXP kkk
X的概率分布是：
男 女
X表示随机抽查的 4个婴儿中男孩的个数，
生男孩的概率为 p.
X=0 X =1 X =2 X =3 X =4
X可取值 0,1,2,3,4.
例 7 将 一枚均匀骰子抛掷 3次，
令 X 表示 3次中出现,4” 点的次数
3,2,1,0,)
6
5()
6
1(}{ 3
3 ???
? kCkXP kkk
X的概率分布是：
不难求得，
掷骰子：“掷出 4点”，,未掷出 4点,
一般地,设在一次试验中我们只考虑两个
互逆的结果,A或, 或者形象地把两个互
逆结果叫做, 成功, 和, 失败,,
A
新生儿：“是男孩”，,是女孩,
抽验产品：“是正品”，,是次品,
?
再设我们重复地进行 n次独立试验 (,重
复, 是指这次试验中各次试验条件相同 )
这样的 n次独立重复试验称作 n重贝努里
试验，简称贝努里试验或 贝努里概型,
每次试验成功的概率都是 p，失败的概率
都是 q=1-p.
用 X表示 n重贝努里试验中事件 A（ 成
功 ）出现的次数，则
nkppCkXP knkkn,,1,0,)1()( ????? ?
称 r.v.X服从参数为 n和 p的二项分布，记作
X~B(n,p)
注, 贝努里概型对试验结果没有等可能
的要求，但有下述要求：
（ 1）每次试验条件相同；
二项分布描述的是 n重贝努里试验中出现
“成功”次数 X的概率分布,
（ 2）每次试验只考虑两个互逆结果 A或,A
且 P(A)=p, ；pAP ?? 1)(
（ 3）各次试验相互独立,
例 8 某类灯泡使用时数在 2000小时以上视为正
品,已知有 一大批 这类的灯泡,其次品率是 0.2.
随机抽出 20只灯泡做寿命试验,求这 20只灯泡
中恰有 3只是次品的概率,
解, 设 X为 20只灯泡中次品的个 数,则,
X ~ B (20,0.2)，
(见新版书上 P34,旧版书 P36表 )
,)8.0()2.0()( 2020 kkkCkXP ???
.20,.,,,1,0?k
下面我们研究二项分布 B(n,p)和两
点分布 B(1,p)之间的一个重要关系,
?说明
设试验 E只有两个结果,A和,
记 p=P(A),则 P( )= 1- p,0<p<1,AA
我们把试验 E在相同条件下,相互 独立地进行
n次,且记 X为 n次独立试验中结果 A出现的次
数,把描述第 i次实验的随机变量记作 Xi
则 Xi ～ B(1,p),且 X1,X2,?,Xn也是相互
独立的 (随机变量相互独立的严格定义第三
章再讲 ).则有
X= X1+X2+?+Xn
一, 泊松分布的定义及图形特点
,,2,1,0,
!
}{:);( ?????? ? k
k
ekXPkp
k?
? ?
设随机变量 X所有可能取的值为 0,1,
2,…,且概率分布为：
其中 >0 是常数,则称 X 服从参数为 的
泊松分布,记作 X~P( ).λλ λ
(III) 泊松分布
易见
??
?
?
?
?
???
?
?
?
?
0
1
!
,2,1,00}{
k
k
e
k
kkXP
??
?
例 9 某一无线寻呼台,每分钟收到寻呼的次
数 X服从参数 ?=3的泊松分布,
求,(1)一分钟内恰好收到 3次寻的概率,
(2)一分钟内收到 2至 5次寻呼的概率,
解,(1)P{X=3}=p(3;3)=(33/3!)e-3≈0.2240
(2) P{2≤X≤5}
=P{X=2}+P{X=3}+P{X=4}+P{X=5}
=[(32/2!)+(33/3!)+(34/4!)+(35/5!)]e-3
≈0.7169
解,
例 10
某一城市每天发生火灾的次数 X服从参数
为 0.8的泊松分布,
求,该城市一天内发生 3次以上火灾的概率,
P{X≥3}=1 - P{X<3}
=1-[P{X=0}+ P{X=1}+P{X=2}]
=1-[(0.8 0/0!)+(0.81/1!)+(0.82/2!)]e-0.8
≈0.0474
请看演示
泊松分布的图形特点,X~P( )λ
泊松分布
历史上，泊松分布是作为二项分布的近
似，于 1837年由法国数学家泊松引入的,
二、二项分布与泊松分布
?命题 对于二项分布 B(n,p),当 n充
分大,p又很小时,则对任意固定的非负
整数 k,有近似公式
np
e
k
ppCpnkb
k
knkk
n
?
???
??
?
? ?
其中
!
)1(:),;(
由泊松定理,n重贝努里试验中 稀有事件
出现的次数近似地服从泊松分布,
我们把在每次试验中出现概率很小的事
件称作 稀有事件, 如地震、火山爆发、特大
洪水、意外事故等等
解,
例 11 某出租汽车公司共有出租车 400辆,设
每天每辆出租车出现故障的概率为 0.02,
求,一天内没有出租车出现故障的概率,
将观察一辆车一天内是否出现故障看成
一次试验 E.因为每辆车是否出现故障与其它
车无关,于是观察 400辆出租车是否出现故障
就是做 400次伯努利试验,设 X表示一天内出现
故障的出租车数,则, X ～ B(400,0.02).
令 ?=np=400× 0.02=8 于是,
P{一天内没有出租车出现故障 }=P{X=0}
=b(0;400,0.02) ≈(8 0/0!)e-8 =0.0003355
对于离散型随机变量，如果知道了它的
概率分布,也就知道了该随机变量取值的概率
规律, 在这个意义上，我们说
这一讲，我们介绍了离散型随机变量及
其概率分布,
离散型随机变量由它的概率分布唯一确定,
两点分布、二项分布、泊松分布
及其关系
的值是 x1,x2,…,
为了描述随机变量 X,我们不仅需
要知道随机变量 X的取值，而且还应知道
X取每个值的概率,
第二章 第二节
离散型随机变量
这样，我们就掌握了 X这个
随机变量取值的概率规律,
从中任取 3 个球
取到的白球数 X是一个随机变量
X可能取的值是 0,1,2
取每个值的概率为
10
1)0(
3
5
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CXP
10
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例 1
且
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其中 (k=1,2,…) 满足：kp
,0?kp k=1,2,…（ 1）
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（ 2）
定义 1,设 xk(k=1,2,… )是离散型随
机变量 X所取的一切可能值, 称
k=1,2,… …,)( kk pxXP ??为离散型随机变量 X的概率分布或分布
律, 有的书上也称概率函数,
用这两条性质判断
一个函数是否是
概率 分布
一、离散型随机变量概率分布的定义
解, 依据概率分布的性质,
? ??
k
kXP 1)(
P(X =k)≥0,
1
!0
???
?
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k
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k
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a≥0
从中解得
欲使上述函数为概率分布
应有
??? ea
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?
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0k
k
k
e
!
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这里用到了常见的
幂级数展开式
例 2,设随机变量 X的概率分布为：
,
!
)(
k
akXP
k?
??
k =0,1,2,…,
试确定常数 a,
0??
二、表示方法
（ 1）列表法：
（ 2）公式法
?
?
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k
C
CCkXP kk
再看例 1
任取 3 个球
X为 取到的白球数
X可能取的值
是 0,1,2
三、举例
例 3.某篮球运动员投中篮圈概率是 0.9，求
他两次独立投篮投中次数 X的概率分布,
解,X可取 0,1,2为值
P(X =0)=(0.1)(0.1)=0.01
P(X =1)= 2(0.9)(0.1) =0.18
P(X =2)=(0.9)(0.9)=0.81
且 P(X =0)+ P(X =1)+ P(X =2)=1
常常表示为：
?
?
?
?
?
?
81.018.001.0
210
~X
这就是 X的概率分布,
例 4
如上图所示,电子线路中装有两个并联的
继电器,假设这两个继电器是否接通具有随机
性,且彼此独立,已知每个电器接通的概率为
0.8,记 X为线路中接通的继电器的个数,
求,(1)X的分布律,
(2)线路接通的概率,
解, (1).记 Ai={第 i个继电器接通 },i=1,2.
∵ 两个继电器是否接通是相互独立的,∴
A1和 A2相互独立,另外 P(A1)=P(A2)=0.8.下面
求 X的分布律,
首先,X可能取 0,1,2,三个值,
P{X=0}=P{表示两个继电器都没接通 }
04.02.02.0)()()( 2121 ????? APAPAAP
转下页
32.08.02.02.08.0
)()()()(
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2121
21212121
?????
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APAPAPAP
AAPAAPAAAAP
P{X=1}=P{恰有一个继电器接通 }
64.08.08.0)()()( 2121 ????? APAPAAP
P{X=2}=P{两个继电器都接通 }
,
,∴ X的分布律为
X 0 1 2
p k 0.04 0.32 0.64
2) ∵ 是并联电路
∴ P(线路接通 )
=P(只要一个继电器接通 )=P{X≥1}
=P{X=1}+P{X=2}=0.32+0.64=0.96.
(二 )常见的离散型随机变量的概率分布
(I) 两点分布
(
设 E是一个只有两种可能结果的
随机试验,用 Ω={?1,?2}表示其样本空间,
P({?1})=p,P({?2})=1-p
? 来源
X(?)=
1,?= ?1
0,?= ?2
200件产品中,有 196件是正品,4
件是次品,今从中随机地抽取一件,若规
定
例 5
X(?)=
1,取到合格品
0,取到不合格品
则 P{X=1}=196/200=0.98,
P{X=0}=4/200=0.02
故 X服从参数为 0.98的两点分布,
即 X ～ B(1,0.98).
例 6 设生男孩的概率为 p,生女孩的概率为
q=1-p,令 X表示随机抽查出生的 4个婴儿
中“男孩”的个数,
贝努里概型 和 二项分布(II)
我们来求 X的概率分布,
4,3,2,1,0,)1(}{ 44 ???? ? kppCkXP kkk
X的概率分布是：
男 女
X表示随机抽查的 4个婴儿中男孩的个数，
生男孩的概率为 p.
X=0 X =1 X =2 X =3 X =4
X可取值 0,1,2,3,4.
例 7 将 一枚均匀骰子抛掷 3次，
令 X 表示 3次中出现,4” 点的次数
3,2,1,0,)
6
5()
6
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? kCkXP kkk
X的概率分布是：
不难求得，
掷骰子：“掷出 4点”，,未掷出 4点,
一般地,设在一次试验中我们只考虑两个
互逆的结果,A或, 或者形象地把两个互
逆结果叫做, 成功, 和, 失败,,
A
新生儿：“是男孩”，,是女孩,
抽验产品：“是正品”，,是次品,
?
再设我们重复地进行 n次独立试验 (,重
复, 是指这次试验中各次试验条件相同 )
这样的 n次独立重复试验称作 n重贝努里
试验，简称贝努里试验或 贝努里概型,
每次试验成功的概率都是 p，失败的概率
都是 q=1-p.
用 X表示 n重贝努里试验中事件 A（ 成
功 ）出现的次数，则
nkppCkXP knkkn,,1,0,)1()( ????? ?
称 r.v.X服从参数为 n和 p的二项分布，记作
X~B(n,p)
注, 贝努里概型对试验结果没有等可能
的要求，但有下述要求：
（ 1）每次试验条件相同；
二项分布描述的是 n重贝努里试验中出现
“成功”次数 X的概率分布,
（ 2）每次试验只考虑两个互逆结果 A或,A
且 P(A)=p, ；pAP ?? 1)(
（ 3）各次试验相互独立,
例 8 某类灯泡使用时数在 2000小时以上视为正
品,已知有 一大批 这类的灯泡,其次品率是 0.2.
随机抽出 20只灯泡做寿命试验,求这 20只灯泡
中恰有 3只是次品的概率,
解, 设 X为 20只灯泡中次品的个 数,则,
X ~ B (20,0.2)，
(见新版书上 P34,旧版书 P36表 )
,)8.0()2.0()( 2020 kkkCkXP ???
.20,.,,,1,0?k
下面我们研究二项分布 B(n,p)和两
点分布 B(1,p)之间的一个重要关系,
?说明
设试验 E只有两个结果,A和,
记 p=P(A),则 P( )= 1- p,0<p<1,AA
我们把试验 E在相同条件下,相互 独立地进行
n次,且记 X为 n次独立试验中结果 A出现的次
数,把描述第 i次实验的随机变量记作 Xi
则 Xi ～ B(1,p),且 X1,X2,?,Xn也是相互
独立的 (随机变量相互独立的严格定义第三
章再讲 ).则有
X= X1+X2+?+Xn
一, 泊松分布的定义及图形特点
,,2,1,0,
!
}{:);( ?????? ? k
k
ekXPkp
k?
? ?
设随机变量 X所有可能取的值为 0,1,
2,…,且概率分布为：
其中 >0 是常数,则称 X 服从参数为 的
泊松分布,记作 X~P( ).λλ λ
(III) 泊松分布
易见
??
?
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???
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0
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!
,2,1,00}{
k
k
e
k
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??
?
例 9 某一无线寻呼台,每分钟收到寻呼的次
数 X服从参数 ?=3的泊松分布,
求,(1)一分钟内恰好收到 3次寻的概率,
(2)一分钟内收到 2至 5次寻呼的概率,
解,(1)P{X=3}=p(3;3)=(33/3!)e-3≈0.2240
(2) P{2≤X≤5}
=P{X=2}+P{X=3}+P{X=4}+P{X=5}
=[(32/2!)+(33/3!)+(34/4!)+(35/5!)]e-3
≈0.7169
解,
例 10
某一城市每天发生火灾的次数 X服从参数
为 0.8的泊松分布,
求,该城市一天内发生 3次以上火灾的概率,
P{X≥3}=1 - P{X<3}
=1-[P{X=0}+ P{X=1}+P{X=2}]
=1-[(0.8 0/0!)+(0.81/1!)+(0.82/2!)]e-0.8
≈0.0474
请看演示
泊松分布的图形特点,X~P( )λ
泊松分布
历史上，泊松分布是作为二项分布的近
似，于 1837年由法国数学家泊松引入的,
二、二项分布与泊松分布
?命题 对于二项分布 B(n,p),当 n充
分大,p又很小时,则对任意固定的非负
整数 k,有近似公式
np
e
k
ppCpnkb
k
knkk
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其中
!
)1(:),;(
由泊松定理,n重贝努里试验中 稀有事件
出现的次数近似地服从泊松分布,
我们把在每次试验中出现概率很小的事
件称作 稀有事件, 如地震、火山爆发、特大
洪水、意外事故等等
解,
例 11 某出租汽车公司共有出租车 400辆,设
每天每辆出租车出现故障的概率为 0.02,
求,一天内没有出租车出现故障的概率,
将观察一辆车一天内是否出现故障看成
一次试验 E.因为每辆车是否出现故障与其它
车无关,于是观察 400辆出租车是否出现故障
就是做 400次伯努利试验,设 X表示一天内出现
故障的出租车数,则, X ～ B(400,0.02).
令 ?=np=400× 0.02=8 于是,
P{一天内没有出租车出现故障 }=P{X=0}
=b(0;400,0.02) ≈(8 0/0!)e-8 =0.0003355
对于离散型随机变量，如果知道了它的
概率分布,也就知道了该随机变量取值的概率
规律, 在这个意义上，我们说
这一讲，我们介绍了离散型随机变量及
其概率分布,
离散型随机变量由它的概率分布唯一确定,
两点分布、二项分布、泊松分布
及其关系
