一、问题的提出
在实际中，人们常常对随机变量的函数
更感兴趣, 例如，已知圆轴截面直径 d 的分布，
4
2d?求截面面积 A=
的分布,
第二章第四节
随机变量函数的分布
又如：已知 t=t0 时刻噪声电压 V的分布，
求功率 W=V2/R (R为电阻）的分布等,
t
0t
0
一般地、设随机变量 X 的分布已知，
Y=g (X) (设 g是连续函数），如何由 X 的
分布求出 Y 的分布？
这个问题无论在实践中还是在理论
上都是重要的,
二、离散型随机变量 函数的分布
解,当 X 取值 1,2,5 时，
Y 取对应值 5,7,13，
例 1 设 X
?
?
?
?
?
?
3.0
5
5.02.0
21
求 Y= 2X + 3 的概率函数,
～
?
?
?
?
?
?
30
13
5020
75
...
~Y
而且 X取某值与 Y取其对应值是两个同时发生
的事件,两者具有相同的概率,
故
如果 g(xk)中有一些是相同的，把它们作适当
并项即可,
一般，若 X是离散型 r.v, X的概率函数为
X
?
?
?
?
?
?
n
n
ppp
xxx
?
?
21
21
～
则 Y=g(X) ～
?
?
?
?
?
?
n
n
ppp
xgxgxg
?
?
21
21 )()()(
如,X
?
?
?
?
?
? ?
1.0
1
6.03.0
01～
则 Y=X2的概率函数为：
?
?
?
?
?
?
4060
10
..
Y ～
三、连续型随机变量函数的分布
解：设 Y的分布函数为 FY(y)，
例 2 设 X ~
?
?
? ???
其它,0
40,8/
)(
xx
xf X
求 Y=2X+8 的概率密度,
? ?FY(y)=P{ Y y } = P (2X+8 y )
=P{ X } = FX( )?
2
8?y
2
8?y
于是 Y 的密度函数
2
1)
2
8()()( ???? yf
dy
ydFyf
X
Y
Y
0)28(??yfX16?
故
??
?
?
? ???
?
其它,0
168,
32
8
)( y
y
yf Y
2
1)
2
8()()( ???? yf
dy
ydFyf
X
Y
Y
注意到 0 < x < 4 时,0?)( xf X
即 8 < y < 16 时,0)
2
8( ??yf
X
此时
16
8)
2
8( ??? yyf
X
Y=2X+8
?
?
? ???
其它,0
40,8/
)(
xx
xf X
例 3设 X 具有概率密度,求 Y=X2的概率密度,)(xf
X
)( yXyP ????
求导可得
? ?
??
?
?
?
?
???
??
0,0
0,)()(
2
1
)(
)(
y
yyfyf
y
dy
ydF
yf XXYY
当 y>0 时,)()( yYPyF
Y ?? )( 2 yXP ??
注意到 Y=X2 0，故当 y 0时，?? 0?)( yF Y
)(xFX)(yFY解,设 Y和 X的分布函数分别为 和,
)()( yFyF XX ???
若 e xxf
X 2
2
2
1 ??
?
)(
则 Y=X2的概率密度为：
??
?
?
?
?
??
??
0,0
0,
2
1
)(
22
1
y
yyf ey
y
Y ?
? ?
??
?
?
?
?
???
??
0,0
0,)()(
2
1
)(
)(
y
yyfyf
y
dy
ydF
yf XXYY
????? x
从上述两例中可以看到，在求 P(Y≤y) 的过
程中，关键的一步是设法 从 { g(X) ≤ y }中解出 X,
从而得到与 {g(X) ≤ y }等价的 X的不等式,
例如，用 代替 {2X+8 ≤ y }{ X } ?
2
8?y
用 代替 { X2 ≤ y }}{ yXy ???
这样做是为了利用已知的 X的分布，从
而求出相应的概率,
这是求 r.v的函数的分布的一种常用方法,
例 4 设随机变量 X的概率密度为
?
?
?
?
?
??
?
其它0
0
2
)( 2
?
?
x
x
xf 求 Y=sinX的概率密度,
?,0)( ?yF Y当 y 0时,
当 y 1时,1)( ?yF
Y
?
10 ?? y??? x0当 时
故
解：注意到,
)()( yYPyF Y ?? )( s in yXP ??
?=P(0 X arcsiny)+P( - arcsiny X ）? ????
??
y
dxx
a r c s i n
0 2
2
? ? ?
?
?
? ?y
dxx
a r c s i n 2
2
当 0<y<1时,
2)a r c s in(
?
y?
2)a r c s in(1
?
? y???
dy
ydFyf Y
Y
)()( ?而
求导得,
?
?
?
?
?
??
??
其它,0
10,
1
2
)( 2
y
yyf Y ?
例 5 已知随机变量 X的分布函数 F(x)是严格单
调的连续函数,证明 Y=F(X)服从 [0,1]上的均
匀分布,
又由于 X的分布函数 F是严格递增的连续函
数,其反函数 F-1 存在且严格递增,
证明, 设 Y的分布函数是 G(y),
于是 对 y>1,G(y)=1;对 y<0,G(y)=0;
10 ?? y由于
对 0≤y≤1,G(y)=P(Y≤ y) =P(F(X)≤ y)
=P(X ≤ (y))1?F
1?F=F( (y))= y
?
?
?
?
?
?
??
?
?
1,1
10,
0,0
)(
y
yy
y
yG
即 Y的分布函数是
?
?
? ??
?
其它,0
10,1
)(
y
yg
求导得 Y的密度函数
可见,Y 服从 [0,1]上的均匀分布,
本例的结论在计算机模拟中有重要的应用,
下面给出一个定理，在满
足定理条件时可直接用它求出
随机变量函数的概率密度,
?
?
?
?
?
??
?
其它,0
,
)(
)]([
)(
?? y
dy
ydh
yhf
yf Y
其中，
),(m in xgbxa ???? ),(m a x xgbxa ????
此定理的证明与前面的解题思路类似,
x=h(y)是 y=g(x)
的反函数
定理 设 X是一个取值于区间 [a,b]，具有概率
密度 f(x)的连续型 r.v,又设 y=g(x)处处可导，且
对于任意 x,恒有 或恒有,则
Y=g(X)是一个 连续型 r.v，它的概率密度为
0)( ?? xg 0)( ?? xg
例 6 设随机变量 X在 (0,1)上服从均匀分布，求
Y=-2lnX的概率密度,
解,在区间 (0,1)上,函数 lnx<0,
故 y=-2lnx>0,
02 ???? xy
于是 y在区间 (0,1)上单调下降，有反函数
2/)( yeyhx ???
由前述定理得
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
其它,0
10,
)(
)(
)(
2/
2/
2/ y
y
y
X
Y
e
dy
ed
ef
yf
注意取
绝对值
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
其它,0
10,
)(
)(
)(
2/
2/
2/ y
y
y
X
Y
e
dy
ed
ef
yf
?
?
? ???
其它,0
10,1
)(
x
xf X
已知 X在 (0,1)上服从均匀分布，
代入 的表达式中)( yf
Y
??
?
?
?
?
?
?
其它,
,
)(
/
0
0
2
1 2
ye
yf
y
Y
得
即 Y服从参数为 1/2的指数分布,
对于连续型随机变量，在求 Y=g(X) 的
分布时,关键的一步是把事件 { g(X)≤ y } 转
化为 X在一定范围内取值的形式,从而可以
利用 X 的分布来求 P { g(X)≤ y }.
这一讲我们介绍了随机变量函数的分布,