湖南商学院信息系
数学教研室
第二 章 第三节
连续型随机变量
连续型随机变量 X所有可能取值充满
一个区间,对这种类型的随机变量,不能
象离散型随机变量那样,以指定它取每个
值概率的方式,去给出其概率分布,而是
通过给出所谓,概率密度函数,的方式,
下面我们就来介绍对连续型随机变量
的描述方法,
第二章 第三节
连续型随机变量
请看演示,
怎样画 直方图
直方图与概率密度
（ I）直方图
(一 ) 概率密度函数
???? ba dxxfbXaP )()(
,使得对任意,有ba?? ),( ????
对于随机变量 X,如果存在非负可积函数
f(x),x
则称 X为连续型 r.v.,称 f(x)为 X 的概率密度函
数，简称为概率密度或密度,
(II) 连续型 r.v.及其概率密度函数的定义
(III) 概率密度函数的性质
1 o 0)( ?xf
2 o ??
??
? 1)( dxxf
这两条性质是判定一个
函数 f(x)是否为某 r.vX的
概率密度函数的充要条件,
f (x)
xo
面积为 1
故 X的密度 f(x) 在 x 这一点的值，恰好是
X落在区间 上的概率与区间长度
之比的极限, 这里，如果把概率理解为质量，
f (x)相当于线密度,
x?],( xxx ??
若 x是 f(x)的连续点，则：
x
xxXxP
x ?
?
?
)(lim ???
? 0 x
)(
lim
0 ?
? ?
??
??
xx
x
x
dttf
=f(x)
3,对 f(x)的进一步理解,
要注意的是，密度函数 f (x)在某点处 a
的高度，并不反映 X取值的概率, 但是，这
个高度越大，则 X取 a附近的值的概率就越
大, 也可以说，在某点密度曲线的高度反
映了概率集中在该点附近的程度,
f (x)
xo
若不计高阶无穷小，有：
xxfxxXxP ?? )(}{ ????
它表示随机变量 X 取值于 的
概率近似等于,
],( xxx ??
xxf ?)(
xxf ?)( 在连续型 r.v理论中所起的作用与
kk pxXP ?? )(
在离散型 r.v理论中所起的
作用相类似,
4,连续型 r.v取 任一 指定值的概率为 0.
即：
,0)( ?? aXP
a为任一指定值
这是因为
)(lim)(
0
xaXaPaXP
x
?
?
?????
?
? ??? xaax dxxf?? )(lim 0
0?
由此得,
)()( bXaPbXaP ????? )( bXaP ???
1) 对连续型 r.v X,有
)( bXaP ???2) 由 P(X=a)=0 可推知
? ? 1)()()( ?????? ? ?
??
aXPdxxfaRXP
而 {X=a} 并非不可能事件,
可见,由 P(A)=0,不能推出
??A
并非必然事件}}{{ aRX ??
由 P(B)=1,不能推出 B= ?
（二）、随机变量的分布函数
设 X(?)是一个随机变量,
称函数 F(x):= P{X≤x},-∞<x<∞
为随机变量 X的分布函数,
? 分布函数的性质
（ 1） ?a<b,总有 F(a)≤F(b)( 单调非减性 )
（ 2） F(x)是一个右连续的函数
（ 3） ?x?R1,总有 0≤F(x)≤1( 有界性 ),且
?定义
1)(lim0)(lim ??
?????
xFxF
xx
)()(lim)()(lim ??? ????? FxFFxF xx 为记为记
证明, 仅证 (1)
∵ {a<X≤b}={X≤b} ∩{X>a}
={X≤b} -{X≤a},而 {X≤a} ?{X≤b},
∴ P{a<X≤b}= P{X≤b} - P{X≤a}
=F(b)- F(a).
又 ∵ P{a<X≤b}≥0,∴ F(a)≤F(b).
上述证明中我们得到一个重要公式,
P{a<X≤b}=F(b) - F(a).
它表明随机变量落在区间 (a,b]上的概
率可以通过它的分布函数来计算,
注意
设离散型随机变量 X的分布律为
pk:= P{X=xk},k=1,2,…,
X的分布函数
离散型随机变量的分布函数
? ? ??
?
?
?
?
?
?
????
?
?
xx
k
k
xXPxXPxF }{)(
? ? ??
??
????
xx
k
xx
k
kk
pxXPxF )(
分布函数 F(x)是一个右连续的函数,在
x=xk(k=1,2… )处有跳跃值 pk=P{X=xk},如下
图 (图 2.2.1)所示
P29,例 2.2.1 X
的分布函数
F(x)=
0 x<0
0.04 0≤ X<1
0.36 1≤X<2
1 2≤X
连续型 r.v.的分布函数
即分布函数是密度函数的可变上限的
定积分,
若 X 是连续型 r.v.,X ～ f (x),则
F(x) = P(X x) = ?
??
x dttf )(
～
?
由上式可得,在 f (x)的连续点,
)()( xf
dx
xdF ?
下面我们来求一个连续型 r.v 的分布函数,
例 设 r.v X 的密度函数为 f (x)
??
?
?
? ????
?
其它0,
11,1
2
)(
2 xx
xf ? 求 F(x).
F(x) = P(X x) =
? ??x dttf )(?
解：
对 x < -1,F(x) = 0
?? ???? ???? x dttdtxF 1 21 120)( ?
2
1a r c s i n11 2 ???? xxx
??
,11 ??? x
对
对 x>1,F (x) = 1
?
?
?
?
?
?
??????
??
?
1,1
11,
2
1
a r c s i n
1
1
1,0
)(
2
x
xxx
x
x
xF
??
即
(三 )常见的连续型随机变量
正态分布、均匀分布、指数分布
正态分布是应用最
广泛的一种连续型分布,
正态分布在十九世纪前叶由
高斯 (Gauss)加以推广，所以通
常称为高斯分布,
德莫佛德莫佛（ De Moivre)最早发现了二项分布的一个近似公
式，这一公式被认为是 正态分
布的首次露面,
一、正态分布
你们是否见过街头的一种赌博游戏?
用一个钉板作赌具。
下面我们在计算机上模拟这个游戏：
街头赌博
高尔顿钉板试验
高
尔
顿
钉
板
试
验
这条曲线就近似我们将要介
绍的 正态分布 的密度曲线。
(I),正态分布的定义
若 r.v,X 的 概率密度为
),(~ 2??NX
记作
f (x)所确定的曲线叫作 正态曲线,
??????
??
xexf
x
,)(
)(
2
2
2
2
1 ? ?
??
其中 和 都是常数,任意,>0，
则称 X服从参数为 和 的正态分布,
???
? ?
?
(Normal)
(II),正态分布 的图形特点),( 2??N
正态分布的密度曲线是一条关于 对
称的钟形曲线,
?
特点是,两头小，中间大，左右对称,,
决定了图形的中心位置,决定了图形
中峰的陡峭程度,?
?
正态分布 的图形特点),( 2??N
故 f(x)以 μ为对称轴，并在 x=μ处达到最大
值,
??????
??
xexf
x
,)(
)(
2
2
2
2
1 ? ?
??
令 x=μ+c,x=μ-c (c>0),分别代入 f (x),可
得
f (μ+c)=f (μ-c)
且 f (μ+c) ≤f (μ),f (μ-c)≤f (μ)
??
??
2
1)(f
这说明曲线 f(x)向左右伸展时，越来越
贴近 x轴。即 f (x)以 x轴为渐近线。
??????
??
xexf
x
,)(
)(
2
2
2
2
1 ? ?
??
当 x→ ?∞ 时,f(x) → 0,
用求导的方法可以证明，
??????
??
xexf
x
,)(
)(
2
2
2
2
1 ? ?
??
为 f (x)的两个拐点的横坐标。
x = μ? σ
这是高等数学的内容，如果忘记了，课下
再复习一下。
实例 年降雨量问题, 我们用上海 99年
年降雨量的数据画出了频率直方图 。
从直方图，我们可以初步看出，年降
雨量近似服从正态分布。
下面是我们用某大学大学生的身高的
数据画出的频率直方图。
红线 是拟
合的正态
密度曲线
可见，某大学大学生的身高应
服从正态分布。
人的身高高低不等, 但中等身材的占大
多数, 特高和特矮的只是少数, 而且较
高和较矮的人数大致相近, 这从一个方
面反映了服从正态分布的随机变量的特
点 。
除了我们在前面遇到过的年降雨量和
身高外,在正常条件下各种产品的质量指标，
如零件的尺寸；纤维的强度和张力；农作
物的产量，小麦的穗长、株高；测量误差，
射击目标的水平或垂直偏差；信号噪声等
等，都服从或近似服从正态分布,
(III), 设 X~,
),( 2??N
X的分布函数是
?????? ?
??
?
?
xdtexF
x
t
,)(
)(
2
2
2
2
1 ??
??
dtex
x t
? ??
?
?? 2
2
2
1)(
?
(IV)、标准正态分布
1,0 ?? ?? 的正态分布称为标准正态分布,
??????
?
xex
x
,
2
1)( 2
2
?
?
其密度函数和分布函数常用 和 表示：)(x? )(x?
)(x?
)(x?
它的依据是下面的定理：
标准正态分布的重要性在于,任何一个
一般的正态分布都可以通过线性变换转化为
标准正态分布,
根据定理 1,只要将标准正态分布的分布
函数制成表，就可以解决一般正态分布的概
率计算问题,
),(~ 2??NX
?
??? XY,则 ~N(0,1)设
定理 1
书末附有标准正态分布函数数值表，有了
它，可以解决一般正态分布的概率计算查表,
（ V）、正态分布表
)(1)( xx ?????
dtex
x
t
? ??
?
?? 2
2
2
1
)(
?
表中给的是 x>0时,Φ(x)的值,
当 -x<0时
x? x
),,(~ 2??NX若 ? ??? XY ~N(0,1)
若 X～ N(0,1),
}{
?
?
?
? ????? bYaP}{ bXaP ??
)()(
}{}{
ab
bXaPbXaP
????
?????
)()(
?
?
?
? ?????? ab
由标准正态分布的查表计算可以求得，
这说明,X的取值几乎全部集中在 [-3,3]区间
内，超出这个范围的可能性仅占不到 0.3%.
当 X～ N(0,1)时，
P(|X| 1)=2 (1)-1=0.6826? ?
? ?P(|X| 2)=2 (2)-1=0.9544
? ?P(|X| 3)=2 (3)-1=0.9974
（ VI）,3 准则?
将上述结论推广到一般的正态分布,
),(~ 2??NY 时，
6 8 2 6.0)|(| ??? ??YP
9544.0)2|(| ??? ??YP
9 9 7 4.0)3|(| ??? ??YP
可以认为,Y 的取值几乎全部集中在
]3,3[ ???? ?? 区间内,
这在统计学上称作, 3 准则,
（三倍标准差原则）,
?
例 1 （ 1） 假设某地区成年男性的身高（单
位,cm） X～ N(170,7.692)，求该地区成年
男性的身高超过 175cm的概率。
解, (1) 根据假设 X～ N(170,7.692)，则
).1,0(~69.7 170 NX ? 故事件 {X>175}的概率为
P {X>175}= }175{1 ?? XP
)65.0(1)
69.7
170175(1 ??????? =0.2578
解, (2) 设车门高度为 h cm,按设计要求
P(X≥ h)≤0.01
或 P(X< h)≥ 0.99，
下面我们来求满足上式的最小的 h.
（ 2）公共汽车车门的高度是按成年
男性与车门顶头碰头机会在 0.01以下
来设计的，问车门高度应如何确定?
因为 X～ N(170,7.692),)1,0(~
69.7
1 7 0 NX ?
)69.7 170( ?? h ?故 P(X< h)= 0.99
?查表得 (2.33)=0.9901>0.99
69.7
170?h所以 =2.33,
即 h=170+17.92 188?
设计车门高度为
188厘米时，可使
男子与车门碰头
机会不超过 0.01.
P(X< h ) 0.99?求满足 的最小的 h,
若 r.v,X的概率密度为：
则称 X服从区间 ( a,b)上的均匀分布，记作：
X ～ U[a,b]
)(xf
a b
??
?
?
?
??
??
其它,0
,
1
)(
bxa
abxf
二、均匀分布 (Uniform)
（注,X～ U（ a,b））
均匀分布常见于下列情形：
如在数值计算中，由于四舍五 入，小数
点后某一位小数引入的误差，例如对小数点
后第一位进行四舍五 入时，那么一般认为误
差服从（ -0.5,0.5）上的均匀分布。
若 X ～ U[a,b]，则对于满足 bdca ???
的 c,d,总有
ab
cddxxfdXcP b
a ?
????? ? )(}{
则称 X 服从参数为 的指数分布,?
指数分布常用于可靠性统计研究
中，如元件的寿命,
三,指数分布,若 r.v X具有概率密度
?
?
?
?
?
?
?
00
0
)(
x
xe
xf
x?? 0??
常简记为 X~E( ),?
这一讲，我们介绍了连续型随机变量、
概率密度函数及性质。
还介绍了正态分布,它的应用极为广
泛，在本课程中我们一直要和它打交道,
后面第五章中，我们还将介绍为什么
这么多随机现象都近似服从正态分布 ;还要
给出德莫佛极限定理的证明,
另外我们简单介绍了均匀分布和指
数分布
数学教研室
第二 章 第三节
连续型随机变量
连续型随机变量 X所有可能取值充满
一个区间,对这种类型的随机变量,不能
象离散型随机变量那样,以指定它取每个
值概率的方式,去给出其概率分布,而是
通过给出所谓,概率密度函数,的方式,
下面我们就来介绍对连续型随机变量
的描述方法,
第二章 第三节
连续型随机变量
请看演示,
怎样画 直方图
直方图与概率密度
（ I）直方图
(一 ) 概率密度函数
???? ba dxxfbXaP )()(
,使得对任意,有ba?? ),( ????
对于随机变量 X,如果存在非负可积函数
f(x),x
则称 X为连续型 r.v.,称 f(x)为 X 的概率密度函
数，简称为概率密度或密度,
(II) 连续型 r.v.及其概率密度函数的定义
(III) 概率密度函数的性质
1 o 0)( ?xf
2 o ??
??
? 1)( dxxf
这两条性质是判定一个
函数 f(x)是否为某 r.vX的
概率密度函数的充要条件,
f (x)
xo
面积为 1
故 X的密度 f(x) 在 x 这一点的值，恰好是
X落在区间 上的概率与区间长度
之比的极限, 这里，如果把概率理解为质量，
f (x)相当于线密度,
x?],( xxx ??
若 x是 f(x)的连续点，则：
x
xxXxP
x ?
?
?
)(lim ???
? 0 x
)(
lim
0 ?
? ?
??
??
xx
x
x
dttf
=f(x)
3,对 f(x)的进一步理解,
要注意的是，密度函数 f (x)在某点处 a
的高度，并不反映 X取值的概率, 但是，这
个高度越大，则 X取 a附近的值的概率就越
大, 也可以说，在某点密度曲线的高度反
映了概率集中在该点附近的程度,
f (x)
xo
若不计高阶无穷小，有：
xxfxxXxP ?? )(}{ ????
它表示随机变量 X 取值于 的
概率近似等于,
],( xxx ??
xxf ?)(
xxf ?)( 在连续型 r.v理论中所起的作用与
kk pxXP ?? )(
在离散型 r.v理论中所起的
作用相类似,
4,连续型 r.v取 任一 指定值的概率为 0.
即：
,0)( ?? aXP
a为任一指定值
这是因为
)(lim)(
0
xaXaPaXP
x
?
?
?????
?
? ??? xaax dxxf?? )(lim 0
0?
由此得,
)()( bXaPbXaP ????? )( bXaP ???
1) 对连续型 r.v X,有
)( bXaP ???2) 由 P(X=a)=0 可推知
? ? 1)()()( ?????? ? ?
??
aXPdxxfaRXP
而 {X=a} 并非不可能事件,
可见,由 P(A)=0,不能推出
??A
并非必然事件}}{{ aRX ??
由 P(B)=1,不能推出 B= ?
（二）、随机变量的分布函数
设 X(?)是一个随机变量,
称函数 F(x):= P{X≤x},-∞<x<∞
为随机变量 X的分布函数,
? 分布函数的性质
（ 1） ?a<b,总有 F(a)≤F(b)( 单调非减性 )
（ 2） F(x)是一个右连续的函数
（ 3） ?x?R1,总有 0≤F(x)≤1( 有界性 ),且
?定义
1)(lim0)(lim ??
?????
xFxF
xx
)()(lim)()(lim ??? ????? FxFFxF xx 为记为记
证明, 仅证 (1)
∵ {a<X≤b}={X≤b} ∩{X>a}
={X≤b} -{X≤a},而 {X≤a} ?{X≤b},
∴ P{a<X≤b}= P{X≤b} - P{X≤a}
=F(b)- F(a).
又 ∵ P{a<X≤b}≥0,∴ F(a)≤F(b).
上述证明中我们得到一个重要公式,
P{a<X≤b}=F(b) - F(a).
它表明随机变量落在区间 (a,b]上的概
率可以通过它的分布函数来计算,
注意
设离散型随机变量 X的分布律为
pk:= P{X=xk},k=1,2,…,
X的分布函数
离散型随机变量的分布函数
? ? ??
?
?
?
?
?
?
????
?
?
xx
k
k
xXPxXPxF }{)(
? ? ??
??
????
xx
k
xx
k
kk
pxXPxF )(
分布函数 F(x)是一个右连续的函数,在
x=xk(k=1,2… )处有跳跃值 pk=P{X=xk},如下
图 (图 2.2.1)所示
P29,例 2.2.1 X
的分布函数
F(x)=
0 x<0
0.04 0≤ X<1
0.36 1≤X<2
1 2≤X
连续型 r.v.的分布函数
即分布函数是密度函数的可变上限的
定积分,
若 X 是连续型 r.v.,X ～ f (x),则
F(x) = P(X x) = ?
??
x dttf )(
～
?
由上式可得,在 f (x)的连续点,
)()( xf
dx
xdF ?
下面我们来求一个连续型 r.v 的分布函数,
例 设 r.v X 的密度函数为 f (x)
??
?
?
? ????
?
其它0,
11,1
2
)(
2 xx
xf ? 求 F(x).
F(x) = P(X x) =
? ??x dttf )(?
解：
对 x < -1,F(x) = 0
?? ???? ???? x dttdtxF 1 21 120)( ?
2
1a r c s i n11 2 ???? xxx
??
,11 ??? x
对
对 x>1,F (x) = 1
?
?
?
?
?
?
??????
??
?
1,1
11,
2
1
a r c s i n
1
1
1,0
)(
2
x
xxx
x
x
xF
??
即
(三 )常见的连续型随机变量
正态分布、均匀分布、指数分布
正态分布是应用最
广泛的一种连续型分布,
正态分布在十九世纪前叶由
高斯 (Gauss)加以推广，所以通
常称为高斯分布,
德莫佛德莫佛（ De Moivre)最早发现了二项分布的一个近似公
式，这一公式被认为是 正态分
布的首次露面,
一、正态分布
你们是否见过街头的一种赌博游戏?
用一个钉板作赌具。
下面我们在计算机上模拟这个游戏：
街头赌博
高尔顿钉板试验
高
尔
顿
钉
板
试
验
这条曲线就近似我们将要介
绍的 正态分布 的密度曲线。
(I),正态分布的定义
若 r.v,X 的 概率密度为
),(~ 2??NX
记作
f (x)所确定的曲线叫作 正态曲线,
??????
??
xexf
x
,)(
)(
2
2
2
2
1 ? ?
??
其中 和 都是常数,任意,>0，
则称 X服从参数为 和 的正态分布,
???
? ?
?
(Normal)
(II),正态分布 的图形特点),( 2??N
正态分布的密度曲线是一条关于 对
称的钟形曲线,
?
特点是,两头小，中间大，左右对称,,
决定了图形的中心位置,决定了图形
中峰的陡峭程度,?
?
正态分布 的图形特点),( 2??N
故 f(x)以 μ为对称轴，并在 x=μ处达到最大
值,
??????
??
xexf
x
,)(
)(
2
2
2
2
1 ? ?
??
令 x=μ+c,x=μ-c (c>0),分别代入 f (x),可
得
f (μ+c)=f (μ-c)
且 f (μ+c) ≤f (μ),f (μ-c)≤f (μ)
??
??
2
1)(f
这说明曲线 f(x)向左右伸展时，越来越
贴近 x轴。即 f (x)以 x轴为渐近线。
??????
??
xexf
x
,)(
)(
2
2
2
2
1 ? ?
??
当 x→ ?∞ 时,f(x) → 0,
用求导的方法可以证明，
??????
??
xexf
x
,)(
)(
2
2
2
2
1 ? ?
??
为 f (x)的两个拐点的横坐标。
x = μ? σ
这是高等数学的内容，如果忘记了，课下
再复习一下。
实例 年降雨量问题, 我们用上海 99年
年降雨量的数据画出了频率直方图 。
从直方图，我们可以初步看出，年降
雨量近似服从正态分布。
下面是我们用某大学大学生的身高的
数据画出的频率直方图。
红线 是拟
合的正态
密度曲线
可见，某大学大学生的身高应
服从正态分布。
人的身高高低不等, 但中等身材的占大
多数, 特高和特矮的只是少数, 而且较
高和较矮的人数大致相近, 这从一个方
面反映了服从正态分布的随机变量的特
点 。
除了我们在前面遇到过的年降雨量和
身高外,在正常条件下各种产品的质量指标，
如零件的尺寸；纤维的强度和张力；农作
物的产量，小麦的穗长、株高；测量误差，
射击目标的水平或垂直偏差；信号噪声等
等，都服从或近似服从正态分布,
(III), 设 X~,
),( 2??N
X的分布函数是
?????? ?
??
?
?
xdtexF
x
t
,)(
)(
2
2
2
2
1 ??
??
dtex
x t
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2
2
1)(
?
(IV)、标准正态分布
1,0 ?? ?? 的正态分布称为标准正态分布,
??????
?
xex
x
,
2
1)( 2
2
?
?
其密度函数和分布函数常用 和 表示：)(x? )(x?
)(x?
)(x?
它的依据是下面的定理：
标准正态分布的重要性在于,任何一个
一般的正态分布都可以通过线性变换转化为
标准正态分布,
根据定理 1,只要将标准正态分布的分布
函数制成表，就可以解决一般正态分布的概
率计算问题,
),(~ 2??NX
?
??? XY,则 ~N(0,1)设
定理 1
书末附有标准正态分布函数数值表，有了
它，可以解决一般正态分布的概率计算查表,
（ V）、正态分布表
)(1)( xx ?????
dtex
x
t
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?
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2
2
1
)(
?
表中给的是 x>0时,Φ(x)的值,
当 -x<0时
x? x
),,(~ 2??NX若 ? ??? XY ~N(0,1)
若 X～ N(0,1),
}{
?
?
?
? ????? bYaP}{ bXaP ??
)()(
}{}{
ab
bXaPbXaP
????
?????
)()(
?
?
?
? ?????? ab
由标准正态分布的查表计算可以求得，
这说明,X的取值几乎全部集中在 [-3,3]区间
内，超出这个范围的可能性仅占不到 0.3%.
当 X～ N(0,1)时，
P(|X| 1)=2 (1)-1=0.6826? ?
? ?P(|X| 2)=2 (2)-1=0.9544
? ?P(|X| 3)=2 (3)-1=0.9974
（ VI）,3 准则?
将上述结论推广到一般的正态分布,
),(~ 2??NY 时，
6 8 2 6.0)|(| ??? ??YP
9544.0)2|(| ??? ??YP
9 9 7 4.0)3|(| ??? ??YP
可以认为,Y 的取值几乎全部集中在
]3,3[ ???? ?? 区间内,
这在统计学上称作, 3 准则,
（三倍标准差原则）,
?
例 1 （ 1） 假设某地区成年男性的身高（单
位,cm） X～ N(170,7.692)，求该地区成年
男性的身高超过 175cm的概率。
解, (1) 根据假设 X～ N(170,7.692)，则
).1,0(~69.7 170 NX ? 故事件 {X>175}的概率为
P {X>175}= }175{1 ?? XP
)65.0(1)
69.7
170175(1 ??????? =0.2578
解, (2) 设车门高度为 h cm,按设计要求
P(X≥ h)≤0.01
或 P(X< h)≥ 0.99，
下面我们来求满足上式的最小的 h.
（ 2）公共汽车车门的高度是按成年
男性与车门顶头碰头机会在 0.01以下
来设计的，问车门高度应如何确定?
因为 X～ N(170,7.692),)1,0(~
69.7
1 7 0 NX ?
)69.7 170( ?? h ?故 P(X< h)= 0.99
?查表得 (2.33)=0.9901>0.99
69.7
170?h所以 =2.33,
即 h=170+17.92 188?
设计车门高度为
188厘米时，可使
男子与车门碰头
机会不超过 0.01.
P(X< h ) 0.99?求满足 的最小的 h,
若 r.v,X的概率密度为：
则称 X服从区间 ( a,b)上的均匀分布，记作：
X ～ U[a,b]
)(xf
a b
??
?
?
?
??
??
其它,0
,
1
)(
bxa
abxf
二、均匀分布 (Uniform)
（注,X～ U（ a,b））
均匀分布常见于下列情形：
如在数值计算中，由于四舍五 入，小数
点后某一位小数引入的误差，例如对小数点
后第一位进行四舍五 入时，那么一般认为误
差服从（ -0.5,0.5）上的均匀分布。
若 X ～ U[a,b]，则对于满足 bdca ???
的 c,d,总有
ab
cddxxfdXcP b
a ?
????? ? )(}{
则称 X 服从参数为 的指数分布,?
指数分布常用于可靠性统计研究
中，如元件的寿命,
三,指数分布,若 r.v X具有概率密度
?
?
?
?
?
?
?
00
0
)(
x
xe
xf
x?? 0??
常简记为 X~E( ),?
这一讲，我们介绍了连续型随机变量、
概率密度函数及性质。
还介绍了正态分布,它的应用极为广
泛，在本课程中我们一直要和它打交道,
后面第五章中，我们还将介绍为什么
这么多随机现象都近似服从正态分布 ;还要
给出德莫佛极限定理的证明,
另外我们简单介绍了均匀分布和指
数分布
