数学建模（pdf电子书）：mm-03

cjkD6D6cjkC8BAcjkC4A3cjkD0CD cjkCAFDcjkD1A7cjkBDA8cjkC4A3 cjkA3A8Mathematic ModelingcjkA3A9 cjkB9FAcjkB7C0cjkBFC6cjkBCBCcjkB4F3cjkD1A7 cjkB9FAcjkB7C0cjkBFC6cjkBCBCcjkB4F3cjkD1A7 cjkCAFDcjkD1A7cjkBDA8cjkC4A3 cjkD6D6cjkC8BAcjkC4A3cjkD0CD cjkB5DAcjkC8FDcjkBDB2 trianglerightsld cjkD6F7cjkD2AAcjkC4DAcjkC8DDcjkA3BAcjkBDE9cjkC9DCcjkB6AFcjkCEEFcjkC8BAcjkCCE5cjkB5C4cjkD6D6cjkC8BAcjkC4A3cjkD0CDcjkA1A3 cjkB9FAcjkB7C0cjkBFC6cjkBCBCcjkB4F3cjkD1A7 cjkCAFDcjkD1A7cjkBDA8cjkC4A3 cjkD6D6cjkC8BAcjkC4A3cjkD0CD cjkB5DAcjkC8FDcjkBDB2 trianglerightsld cjkD6F7cjkD2AAcjkC4DAcjkC8DDcjkA3BAcjkBDE9cjkC9DCcjkB6AFcjkCEEFcjkC8BAcjkCCE5cjkB5C4cjkD6D6cjkC8BAcjkC4A3cjkD0CDcjkA1A3 cjkB9FAcjkB7C0cjkBFC6cjkBCBCcjkB4F3cjkD1A7 cjkCAFDcjkD1A7cjkBDA8cjkC4A3 cjkD6D6cjkC8BAcjkC4A3cjkD0CD cjkB5A5cjkD6D6cjkC8BAcjkC4A3cjkD0CDcjkB6E0cjkD6D6cjkC8BAcjkC4A3cjkD0CD cjkB5A5cjkD6D6cjkC8BAcjkC4A3cjkD0CD trianglerightsld Malthus cjkC4A3cjkD0CD trianglerightsld Logistic cjkC4A3cjkD0CD trianglerightsld cjkBFC9cjkBFAAcjkB7A2cjkB5C4cjkB5A5cjkD6D6cjkC8BAcjkC4A3cjkD0CD cjkB9FAcjkB7C0cjkBFC6cjkBCBCcjkB4F3cjkD1A7 cjkCAFDcjkD1A7cjkBDA8cjkC4A3 cjkD6D6cjkC8BAcjkC4A3cjkD0CD cjkB5A5cjkD6D6cjkC8BAcjkC4A3cjkD0CDcjkB6E0cjkD6D6cjkC8BAcjkC4A3cjkD0CD cjkB5A5cjkD6D6cjkC8BAcjkC4A3cjkD0CD trianglerightsld Malthus cjkC4A3cjkD0CD trianglerightsld Logistic cjkC4A3cjkD0CD trianglerightsld cjkBFC9cjkBFAAcjkB7A2cjkB5C4cjkB5A5cjkD6D6cjkC8BAcjkC4A3cjkD0CD cjkB9FAcjkB7C0cjkBFC6cjkBCBCcjkB4F3cjkD1A7 cjkCAFDcjkD1A7cjkBDA8cjkC4A3 cjkD6D6cjkC8BAcjkC4A3cjkD0CD cjkB5A5cjkD6D6cjkC8BAcjkC4A3cjkD0CDcjkB6E0cjkD6D6cjkC8BAcjkC4A3cjkD0CD 1cjkA1A2Malthus cjkC4A3cjkD0CD p(t)cjkA1AAcjkD7DCcjkCAFD r(t,p)cjkA1AAcjkD4F6cjkB3A4cjkC2CA cjkBCD9cjkC9E8 rcjkCEAAcjkB3A3cjkCAFDcjkA3ACcjkD4F2cjkD4F6cjkB3A4cjkB9E6cjkC2C9cjkCEAA dp dt = r·p(t) p(x0) = p0 (1) ? p(t) = p0er(t?t0) Malthus cjkC4A3cjkD0CD cjkB9FAcjkB7C0cjkBFC6cjkBCBCcjkB4F3cjkD1A7 cjkCAFDcjkD1A7cjkBDA8cjkC4A3 cjkD6D6cjkC8BAcjkC4A3cjkD0CD cjkB5A5cjkD6D6cjkC8BAcjkC4A3cjkD0CDcjkB6E0cjkD6D6cjkC8BAcjkC4A3cjkD0CD 1cjkA1A2Malthus cjkC4A3cjkD0CD p(t)cjkA1AAcjkD7DCcjkCAFD r(t,p)cjkA1AAcjkD4F6cjkB3A4cjkC2CA cjkBCD9cjkC9E8 rcjkCEAAcjkB3A3cjkCAFDcjkA3ACcjkD4F2cjkD4F6cjkB3A4cjkB9E6cjkC2C9cjkCEAA dp dt = r·p(t) p(x0) = p0 (1) ? p(t) = p0er(t?t0) Malthus cjkC4A3cjkD0CD cjkB9FAcjkB7C0cjkBFC6cjkBCBCcjkB4F3cjkD1A7 cjkCAFDcjkD1A7cjkBDA8cjkC4A3 cjkD6D6cjkC8BAcjkC4A3cjkD0CD cjkB5A5cjkD6D6cjkC8BAcjkC4A3cjkD0CDcjkB6E0cjkD6D6cjkC8BAcjkC4A3cjkD0CD 1cjkA1A2Malthus cjkC4A3cjkD0CD p(t)cjkA1AAcjkD7DCcjkCAFD r(t,p)cjkA1AAcjkD4F6cjkB3A4cjkC2CA cjkBCD9cjkC9E8 rcjkCEAAcjkB3A3cjkCAFDcjkA3ACcjkD4F2cjkD4F6cjkB3A4cjkB9E6cjkC2C9cjkCEAA dp dt = r·p(t) p(x0) = p0 (1) ? p(t) = p0er(t?t0) Malthus cjkC4A3cjkD0CD cjkB9FAcjkB7C0cjkBFC6cjkBCBCcjkB4F3cjkD1A7 cjkCAFDcjkD1A7cjkBDA8cjkC4A3 cjkD6D6cjkC8BAcjkC4A3cjkD0CD cjkB5A5cjkD6D6cjkC8BAcjkC4A3cjkD0CDcjkB6E0cjkD6D6cjkC8BAcjkC4A3cjkD0CD 2cjkA1A2Logistic cjkC4A3cjkD0CD dp dt = rp?bp 2 (2) VerhulstcjkA1AAcjkB1C8cjkC0FBcjkCAB1cjkC9FAcjkCEEFcjkCAFDcjkD1A7cjkBCD2cjkA1A3 p(t) = rp0bp 0 + (r?bp0)e?r(t?t0) p(t) → rb (t →∞) cjkB9FAcjkB7C0cjkBFC6cjkBCBCcjkB4F3cjkD1A7 cjkCAFDcjkD1A7cjkBDA8cjkC4A3 cjkD6D6cjkC8BAcjkC4A3cjkD0CD cjkB5A5cjkD6D6cjkC8BAcjkC4A3cjkD0CDcjkB6E0cjkD6D6cjkC8BAcjkC4A3cjkD0CD 2cjkA1A2Logistic cjkC4A3cjkD0CD dp dt = rp?bp 2 (2) VerhulstcjkA1AAcjkB1C8cjkC0FBcjkCAB1cjkC9FAcjkCEEFcjkCAFDcjkD1A7cjkBCD2cjkA1A3 p(t) = rp0bp 0 + (r?bp0)e?r(t?t0) p(t) → rb (t →∞) cjkB9FAcjkB7C0cjkBFC6cjkBCBCcjkB4F3cjkD1A7 cjkCAFDcjkD1A7cjkBDA8cjkC4A3 cjkD6D6cjkC8BAcjkC4A3cjkD0CD cjkB5A5cjkD6D6cjkC8BAcjkC4A3cjkD0CDcjkB6E0cjkD6D6cjkC8BAcjkC4A3cjkD0CD 2cjkA1A2Logistic cjkC4A3cjkD0CD dp dt = rp?bp 2 (2) VerhulstcjkA1AAcjkB1C8cjkC0FBcjkCAB1cjkC9FAcjkCEEFcjkCAFDcjkD1A7cjkBCD2cjkA1A3 p(t) = rp0bp 0 + (r?bp0)e?r(t?t0) p(t) → rb (t →∞) cjkB9FAcjkB7C0cjkBFC6cjkBCBCcjkB4F3cjkD1A7 cjkCAFDcjkD1A7cjkBDA8cjkC4A3 cjkD6D6cjkC8BAcjkC4A3cjkD0CD cjkB5A5cjkD6D6cjkC8BAcjkC4A3cjkD0CDcjkB6E0cjkD6D6cjkC8BAcjkC4A3cjkD0CD 0 t p r/2 cjkB9FAcjkB7C0cjkBFC6cjkBCBCcjkB4F3cjkD1A7 cjkCAFDcjkD1A7cjkBDA8cjkC4A3 cjkD6D6cjkC8BAcjkC4A3cjkD0CD cjkB5A5cjkD6D6cjkC8BAcjkC4A3cjkD0CDcjkB6E0cjkD6D6cjkC8BAcjkC4A3cjkD0CD (2) cjkCABDcjkBFC9cjkD2D4cjkD0B4cjkCEAAcjkB8FCcjkB3A3cjkBCFBcjkB5C4cjkD0CEcjkCABD dp dt = rp parenleftBig 1? pN parenrightBig cjkD3C3cjkB4CBcjkC4A3cjkD0CDcjkB6D4 1790cjkA1AB1950 cjkC4EAcjkC3C0cjkB9FAcjkC8CBcjkBFDAcjkCAFDcjkC1BFcjkD7F7cjkB9FDcjkD4A4cjkB2E2cjkA3ACcjkCEF3cjkB2EEcjkB2BB cjkB3ACcjkB9FD 2.1%cjkA1A3 cjkB9FAcjkB7C0cjkBFC6cjkBCBCcjkB4F3cjkD1A7 cjkCAFDcjkD1A7cjkBDA8cjkC4A3 cjkD6D6cjkC8BAcjkC4A3cjkD0CD cjkB5A5cjkD6D6cjkC8BAcjkC4A3cjkD0CDcjkB6E0cjkD6D6cjkC8BAcjkC4A3cjkD0CD (2) cjkCABDcjkBFC9cjkD2D4cjkD0B4cjkCEAAcjkB8FCcjkB3A3cjkBCFBcjkB5C4cjkD0CEcjkCABD dp dt = rp parenleftBig 1? pN parenrightBig cjkD3C3cjkB4CBcjkC4A3cjkD0CDcjkB6D4 1790cjkA1AB1950 cjkC4EAcjkC3C0cjkB9FAcjkC8CBcjkBFDAcjkCAFDcjkC1BFcjkD7F7cjkB9FDcjkD4A4cjkB2E2cjkA3ACcjkCEF3cjkB2EEcjkB2BB cjkB3ACcjkB9FD 2.1%cjkA1A3 cjkB9FAcjkB7C0cjkBFC6cjkBCBCcjkB4F3cjkD1A7 cjkCAFDcjkD1A7cjkBDA8cjkC4A3 cjkD6D6cjkC8BAcjkC4A3cjkD0CD cjkB5A5cjkD6D6cjkC8BAcjkC4A3cjkD0CDcjkB6E0cjkD6D6cjkC8BAcjkC4A3cjkD0CD 3cjkA1A2cjkBFC9cjkBFAAcjkB7A2cjkB5C4cjkB5A5cjkD6D6cjkC8BAcjkC4A3cjkD0CD cjkBFBCcjkB2ECcjkD2BBcjkB8F6cjkD3E6cjkB3A1cjkA3ACcjkCFA3cjkCDFBcjkD4DAcjkD3D0cjkB2B6cjkC0CCcjkCCF5cjkBCFEcjkCFC2cjkA3ACcjkB3D6cjkD0F8cjkB2FAcjkC1BFcjkD7EEcjkB4F3 cjkC4A3cjkD0CDcjkBCD9cjkC9E8 p(t),r,N 1. cjkD4DAcjkCEDEcjkB2B6cjkC0CCcjkCCF5cjkBCFEcjkCFC2cjkA3ACp(t) cjkB7FEcjkB4D3 Logistic cjkC4A3cjkD0CD dp dt = f(p) = rp parenleftBig 1? pN parenrightBig 2. cjkB5A5cjkCEBBcjkCAB1cjkBCE4cjkB5C4cjkB2B6cjkC0CCcjkC1BFcjkD3EBcjkD3E6cjkB3A1cjkD3E3cjkC1BFcjkB3C9cjkD5FDcjkB1C8cjkA3ACcjkB1C8cjkC0FDcjkCFB5cjkCAFDcjkCEAAkcjkA3ACcjkB1EDcjkCABE cjkB5A5cjkCEBBcjkCAB1cjkBCE4cjkB2B6cjkC0CCcjkC2CAcjkA1A3cjkD3DAcjkCAC7 h(p) = k·p cjkB9FAcjkB7C0cjkBFC6cjkBCBCcjkB4F3cjkD1A7 cjkCAFDcjkD1A7cjkBDA8cjkC4A3 cjkD6D6cjkC8BAcjkC4A3cjkD0CD cjkB5A5cjkD6D6cjkC8BAcjkC4A3cjkD0CDcjkB6E0cjkD6D6cjkC8BAcjkC4A3cjkD0CD 3cjkA1A2cjkBFC9cjkBFAAcjkB7A2cjkB5C4cjkB5A5cjkD6D6cjkC8BAcjkC4A3cjkD0CD cjkBFBCcjkB2ECcjkD2BBcjkB8F6cjkD3E6cjkB3A1cjkA3ACcjkCFA3cjkCDFBcjkD4DAcjkD3D0cjkB2B6cjkC0CCcjkCCF5cjkBCFEcjkCFC2cjkA3ACcjkB3D6cjkD0F8cjkB2FAcjkC1BFcjkD7EEcjkB4F3 cjkC4A3cjkD0CDcjkBCD9cjkC9E8 p(t),r,N 1. cjkD4DAcjkCEDEcjkB2B6cjkC0CCcjkCCF5cjkBCFEcjkCFC2cjkA3ACp(t) cjkB7FEcjkB4D3 Logistic cjkC4A3cjkD0CD dp dt = f(p) = rp parenleftBig 1? pN parenrightBig 2. cjkB5A5cjkCEBBcjkCAB1cjkBCE4cjkB5C4cjkB2B6cjkC0CCcjkC1BFcjkD3EBcjkD3E6cjkB3A1cjkD3E3cjkC1BFcjkB3C9cjkD5FDcjkB1C8cjkA3ACcjkB1C8cjkC0FDcjkCFB5cjkCAFDcjkCEAAkcjkA3ACcjkB1EDcjkCABE cjkB5A5cjkCEBBcjkCAB1cjkBCE4cjkB2B6cjkC0CCcjkC2CAcjkA1A3cjkD3DAcjkCAC7 h(p) = k·p cjkB9FAcjkB7C0cjkBFC6cjkBCBCcjkB4F3cjkD1A7 cjkCAFDcjkD1A7cjkBDA8cjkC4A3 cjkD6D6cjkC8BAcjkC4A3cjkD0CD cjkB5A5cjkD6D6cjkC8BAcjkC4A3cjkD0CDcjkB6E0cjkD6D6cjkC8BAcjkC4A3cjkD0CD 3cjkA1A2cjkBFC9cjkBFAAcjkB7A2cjkB5C4cjkB5A5cjkD6D6cjkC8BAcjkC4A3cjkD0CD cjkBFBCcjkB2ECcjkD2BBcjkB8F6cjkD3E6cjkB3A1cjkA3ACcjkCFA3cjkCDFBcjkD4DAcjkD3D0cjkB2B6cjkC0CCcjkCCF5cjkBCFEcjkCFC2cjkA3ACcjkB3D6cjkD0F8cjkB2FAcjkC1BFcjkD7EEcjkB4F3 cjkC4A3cjkD0CDcjkBCD9cjkC9E8 p(t),r,N 1. cjkD4DAcjkCEDEcjkB2B6cjkC0CCcjkCCF5cjkBCFEcjkCFC2cjkA3ACp(t) cjkB7FEcjkB4D3 Logistic cjkC4A3cjkD0CD dp dt = f(p) = rp parenleftBig 1? pN parenrightBig 2. cjkB5A5cjkCEBBcjkCAB1cjkBCE4cjkB5C4cjkB2B6cjkC0CCcjkC1BFcjkD3EBcjkD3E6cjkB3A1cjkD3E3cjkC1BFcjkB3C9cjkD5FDcjkB1C8cjkA3ACcjkB1C8cjkC0FDcjkCFB5cjkCAFDcjkCEAAkcjkA3ACcjkB1EDcjkCABE cjkB5A5cjkCEBBcjkCAB1cjkBCE4cjkB2B6cjkC0CCcjkC2CAcjkA1A3cjkD3DAcjkCAC7 h(p) = k·p cjkB9FAcjkB7C0cjkBFC6cjkBCBCcjkB4F3cjkD1A7 cjkCAFDcjkD1A7cjkBDA8cjkC4A3 cjkD6D6cjkC8BAcjkC4A3cjkD0CD cjkB5A5cjkD6D6cjkC8BAcjkC4A3cjkD0CDcjkB6E0cjkD6D6cjkC8BAcjkC4A3cjkD0CD 3cjkA1A2cjkBFC9cjkBFAAcjkB7A2cjkB5C4cjkB5A5cjkD6D6cjkC8BAcjkC4A3cjkD0CD cjkBFBCcjkB2ECcjkD2BBcjkB8F6cjkD3E6cjkB3A1cjkA3ACcjkCFA3cjkCDFBcjkD4DAcjkD3D0cjkB2B6cjkC0CCcjkCCF5cjkBCFEcjkCFC2cjkA3ACcjkB3D6cjkD0F8cjkB2FAcjkC1BFcjkD7EEcjkB4F3 cjkC4A3cjkD0CDcjkBCD9cjkC9E8 p(t),r,N 1. cjkD4DAcjkCEDEcjkB2B6cjkC0CCcjkCCF5cjkBCFEcjkCFC2cjkA3ACp(t) cjkB7FEcjkB4D3 Logistic cjkC4A3cjkD0CD dp dt = f(p) = rp parenleftBig 1? pN parenrightBig 2. cjkB5A5cjkCEBBcjkCAB1cjkBCE4cjkB5C4cjkB2B6cjkC0CCcjkC1BFcjkD3EBcjkD3E6cjkB3A1cjkD3E3cjkC1BFcjkB3C9cjkD5FDcjkB1C8cjkA3ACcjkB1C8cjkC0FDcjkCFB5cjkCAFDcjkCEAAkcjkA3ACcjkB1EDcjkCABE cjkB5A5cjkCEBBcjkCAB1cjkBCE4cjkB2B6cjkC0CCcjkC2CAcjkA1A3cjkD3DAcjkCAC7 h(p) = k·p cjkB9FAcjkB7C0cjkBFC6cjkBCBCcjkB4F3cjkD1A7 cjkCAFDcjkD1A7cjkBDA8cjkC4A3 cjkD6D6cjkC8BAcjkC4A3cjkD0CD cjkB5A5cjkD6D6cjkC8BAcjkC4A3cjkD0CDcjkB6E0cjkD6D6cjkC8BAcjkC4A3cjkD0CD 3cjkA1A2cjkBFC9cjkBFAAcjkB7A2cjkB5C4cjkB5A5cjkD6D6cjkC8BAcjkC4A3cjkD0CD cjkBFBCcjkB2ECcjkD2BBcjkB8F6cjkD3E6cjkB3A1cjkA3ACcjkCFA3cjkCDFBcjkD4DAcjkD3D0cjkB2B6cjkC0CCcjkCCF5cjkBCFEcjkCFC2cjkA3ACcjkB3D6cjkD0F8cjkB2FAcjkC1BFcjkD7EEcjkB4F3 cjkC4A3cjkD0CDcjkBCD9cjkC9E8 p(t),r,N 1. cjkD4DAcjkCEDEcjkB2B6cjkC0CCcjkCCF5cjkBCFEcjkCFC2cjkA3ACp(t) cjkB7FEcjkB4D3 Logistic cjkC4A3cjkD0CD dp dt = f(p) = rp parenleftBig 1? pN parenrightBig 2. cjkB5A5cjkCEBBcjkCAB1cjkBCE4cjkB5C4cjkB2B6cjkC0CCcjkC1BFcjkD3EBcjkD3E6cjkB3A1cjkD3E3cjkC1BFcjkB3C9cjkD5FDcjkB1C8cjkA3ACcjkB1C8cjkC0FDcjkCFB5cjkCAFDcjkCEAAkcjkA3ACcjkB1EDcjkCABE cjkB5A5cjkCEBBcjkCAB1cjkBCE4cjkB2B6cjkC0CCcjkC2CAcjkA1A3cjkD3DAcjkCAC7 h(p) = k·p cjkB9FAcjkB7C0cjkBFC6cjkBCBCcjkB4F3cjkD1A7 cjkCAFDcjkD1A7cjkBDA8cjkC4A3 cjkD6D6cjkC8BAcjkC4A3cjkD0CD cjkB5A5cjkD6D6cjkC8BAcjkC4A3cjkD0CDcjkB6E0cjkD6D6cjkC8BAcjkC4A3cjkD0CD cjkC4A3cjkD0CDcjkBDA8cjkC1A2 cjkBCC7 F(p) = f(p)?h(p)cjkA3ACcjkD4F2cjkD4DAcjkD3D0cjkB2B6cjkC0CCcjkCCF5cjkBCFEcjkCFC2cjkD3E6cjkB3A1cjkD3E3cjkC1BFcjkB5C4cjkD4F6cjkB3A4 cjkC4A3cjkD0CDcjkCEAA dp dt = F(p) = rp parenleftbigg 1? PN parenrightbigg ?kp (3) cjkC4A3cjkD0CDcjkCCD6cjkC2DB cjkD3C9cjkCECAcjkCCE2cjkC4BFcjkB1EAcjkB3F6cjkB7A2cjkA3ACcjkB2BBcjkD0E8cjkD2AAcjkBDE2cjkB3F6cjkB7BDcjkB3CCcjkA3ACcjkD6BBcjkD0E8cjkD2AAcjkCCD6cjkC2DB cjkB7BDcjkB3CC (3) cjkB5C4cjkC6BDcjkBAE2cjkB5E3cjkB2A2cjkB7D6cjkCEF6cjkC6E4cjkCEC8cjkB6A8cjkD0D4cjkA1A3 cjkB9FAcjkB7C0cjkBFC6cjkBCBCcjkB4F3cjkD1A7 cjkCAFDcjkD1A7cjkBDA8cjkC4A3 cjkD6D6cjkC8BAcjkC4A3cjkD0CD cjkB5A5cjkD6D6cjkC8BAcjkC4A3cjkD0CDcjkB6E0cjkD6D6cjkC8BAcjkC4A3cjkD0CD cjkC4A3cjkD0CDcjkBDA8cjkC1A2 cjkBCC7 F(p) = f(p)?h(p)cjkA3ACcjkD4F2cjkD4DAcjkD3D0cjkB2B6cjkC0CCcjkCCF5cjkBCFEcjkCFC2cjkD3E6cjkB3A1cjkD3E3cjkC1BFcjkB5C4cjkD4F6cjkB3A4 cjkC4A3cjkD0CDcjkCEAA dp dt = F(p) = rp parenleftbigg 1? PN parenrightbigg ?kp (3) cjkC4A3cjkD0CDcjkCCD6cjkC2DB cjkD3C9cjkCECAcjkCCE2cjkC4BFcjkB1EAcjkB3F6cjkB7A2cjkA3ACcjkB2BBcjkD0E8cjkD2AAcjkBDE2cjkB3F6cjkB7BDcjkB3CCcjkA3ACcjkD6BBcjkD0E8cjkD2AAcjkCCD6cjkC2DB cjkB7BDcjkB3CC (3) cjkB5C4cjkC6BDcjkBAE2cjkB5E3cjkB2A2cjkB7D6cjkCEF6cjkC6E4cjkCEC8cjkB6A8cjkD0D4cjkA1A3 cjkB9FAcjkB7C0cjkBFC6cjkBCBCcjkB4F3cjkD1A7 cjkCAFDcjkD1A7cjkBDA8cjkC4A3 cjkD6D6cjkC8BAcjkC4A3cjkD0CD cjkB5A5cjkD6D6cjkC8BAcjkC4A3cjkD0CDcjkB6E0cjkD6D6cjkC8BAcjkC4A3cjkD0CD cjkC6BDcjkBAE2cjkB5E3cjkA3BAF(p) = 0 cjkC1EEF(p) = rp parenleftBig 1? pN parenrightBig ?kp = 0 cjkBDE2cjkB5C3 (3) cjkB5C4cjkC1BDcjkB8F6cjkC6BDcjkBAE2cjkB5E3cjkCEAAcjkA3BA p0 = N parenleftbigg 1? kr parenrightbigg , p1 = 0 cjkC8DDcjkD2D7cjkCBE3cjkB3F6 Fprime(p0) = k?r, Fprime(p1) = r?k. cjkB3C6cjkC6BDcjkBAE2cjkB5E3 p?cjkCAC7cjkCEC8cjkB6A8cjkB5C4cjkCAC7cjkD6B8cjkA3BAcjkB6D4cjkB7BDcjkB3CC (3) cjkB5C4cjkC8CEcjkD2BBcjkB8F6 cjkBDE2 p = p(t)cjkA3ACcjkBAE3cjkD3D0 limt→∞p(t) = p? cjkB9FAcjkB7C0cjkBFC6cjkBCBCcjkB4F3cjkD1A7 cjkCAFDcjkD1A7cjkBDA8cjkC4A3 cjkD6D6cjkC8BAcjkC4A3cjkD0CD cjkB5A5cjkD6D6cjkC8BAcjkC4A3cjkD0CDcjkB6E0cjkD6D6cjkC8BAcjkC4A3cjkD0CD cjkC6BDcjkBAE2cjkB5E3cjkA3BAF(p) = 0 cjkC1EEF(p) = rp parenleftBig 1? pN parenrightBig ?kp = 0 cjkBDE2cjkB5C3 (3) cjkB5C4cjkC1BDcjkB8F6cjkC6BDcjkBAE2cjkB5E3cjkCEAAcjkA3BA p0 = N parenleftbigg 1? kr parenrightbigg , p1 = 0 cjkC8DDcjkD2D7cjkCBE3cjkB3F6 Fprime(p0) = k?r, Fprime(p1) = r?k. cjkB3C6cjkC6BDcjkBAE2cjkB5E3 p?cjkCAC7cjkCEC8cjkB6A8cjkB5C4cjkCAC7cjkD6B8cjkA3BAcjkB6D4cjkB7BDcjkB3CC (3) cjkB5C4cjkC8CEcjkD2BBcjkB8F6 cjkBDE2 p = p(t)cjkA3ACcjkBAE3cjkD3D0 limt→∞p(t) = p? cjkB9FAcjkB7C0cjkBFC6cjkBCBCcjkB4F3cjkD1A7 cjkCAFDcjkD1A7cjkBDA8cjkC4A3 cjkD6D6cjkC8BAcjkC4A3cjkD0CD cjkB5A5cjkD6D6cjkC8BAcjkC4A3cjkD0CDcjkB6E0cjkD6D6cjkC8BAcjkC4A3cjkD0CD cjkC6BDcjkBAE2cjkB5E3cjkA3BAF(p) = 0 cjkC1EEF(p) = rp parenleftBig 1? pN parenrightBig ?kp = 0 cjkBDE2cjkB5C3 (3) cjkB5C4cjkC1BDcjkB8F6cjkC6BDcjkBAE2cjkB5E3cjkCEAAcjkA3BA p0 = N parenleftbigg 1? kr parenrightbigg , p1 = 0 cjkC8DDcjkD2D7cjkCBE3cjkB3F6 Fprime(p0) = k?r, Fprime(p1) = r?k. cjkB3C6cjkC6BDcjkBAE2cjkB5E3 p?cjkCAC7cjkCEC8cjkB6A8cjkB5C4cjkCAC7cjkD6B8cjkA3BAcjkB6D4cjkB7BDcjkB3CC (3) cjkB5C4cjkC8CEcjkD2BBcjkB8F6 cjkBDE2 p = p(t)cjkA3ACcjkBAE3cjkD3D0 limt→∞p(t) = p? cjkB9FAcjkB7C0cjkBFC6cjkBCBCcjkB4F3cjkD1A7 cjkCAFDcjkD1A7cjkBDA8cjkC4A3 cjkD6D6cjkC8BAcjkC4A3cjkD0CD cjkB5A5cjkD6D6cjkC8BAcjkC4A3cjkD0CDcjkB6E0cjkD6D6cjkC8BAcjkC4A3cjkD0CD cjkBDFCcjkCBC6cjkB7BDcjkB3CCcjkA3BA dp dt = F(p) .= Fprime(p?)(p?p?) (4) cjkCFDFcjkD0D4cjkB7BDcjkB3CC (4) cjkB5C4cjkD2BBcjkB0E3cjkBDE2cjkCEAAcjkA3BA p(t) = C ·eFprime(p?)t + p? cjkD3DAcjkCAC7cjkD3D0cjkBDE1cjkC2DB cjkC8F4 Fprime(p?) < 0cjkA3ACcjkD4F2 p? cjkCAC7cjkCEC8cjkB6A8cjkC6BDcjkBAE2cjkB5E3cjkA3BB cjkC8F4 Fprime(p?) > 0cjkA3ACcjkD4F2 p? cjkB2BBcjkCAC7cjkCEC8cjkB6A8cjkC6BDcjkBAE2cjkB5E3cjkA1A3 cjkB9FAcjkB7C0cjkBFC6cjkBCBCcjkB4F3cjkD1A7 cjkCAFDcjkD1A7cjkBDA8cjkC4A3 cjkD6D6cjkC8BAcjkC4A3cjkD0CD cjkB5A5cjkD6D6cjkC8BAcjkC4A3cjkD0CDcjkB6E0cjkD6D6cjkC8BAcjkC4A3cjkD0CD cjkBDFCcjkCBC6cjkB7BDcjkB3CCcjkA3BA dp dt = F(p) .= Fprime(p?)(p?p?) (4) cjkCFDFcjkD0D4cjkB7BDcjkB3CC (4) cjkB5C4cjkD2BBcjkB0E3cjkBDE2cjkCEAAcjkA3BA p(t) = C ·eFprime(p?)t + p? cjkD3DAcjkCAC7cjkD3D0cjkBDE1cjkC2DB cjkC8F4 Fprime(p?) < 0cjkA3ACcjkD4F2 p? cjkCAC7cjkCEC8cjkB6A8cjkC6BDcjkBAE2cjkB5E3cjkA3BB cjkC8F4 Fprime(p?) > 0cjkA3ACcjkD4F2 p? cjkB2BBcjkCAC7cjkCEC8cjkB6A8cjkC6BDcjkBAE2cjkB5E3cjkA1A3 cjkB9FAcjkB7C0cjkBFC6cjkBCBCcjkB4F3cjkD1A7 cjkCAFDcjkD1A7cjkBDA8cjkC4A3 cjkD6D6cjkC8BAcjkC4A3cjkD0CD cjkB5A5cjkD6D6cjkC8BAcjkC4A3cjkD0CDcjkB6E0cjkD6D6cjkC8BAcjkC4A3cjkD0CD cjkBDFCcjkCBC6cjkB7BDcjkB3CCcjkA3BA dp dt = F(p) .= Fprime(p?)(p?p?) (4) cjkCFDFcjkD0D4cjkB7BDcjkB3CC (4) cjkB5C4cjkD2BBcjkB0E3cjkBDE2cjkCEAAcjkA3BA p(t) = C ·eFprime(p?)t + p? cjkD3DAcjkCAC7cjkD3D0cjkBDE1cjkC2DB cjkC8F4 Fprime(p?) < 0cjkA3ACcjkD4F2 p? cjkCAC7cjkCEC8cjkB6A8cjkC6BDcjkBAE2cjkB5E3cjkA3BB cjkC8F4 Fprime(p?) > 0cjkA3ACcjkD4F2 p? cjkB2BBcjkCAC7cjkCEC8cjkB6A8cjkC6BDcjkBAE2cjkB5E3cjkA1A3 cjkB9FAcjkB7C0cjkBFC6cjkBCBCcjkB4F3cjkD1A7 cjkCAFDcjkD1A7cjkBDA8cjkC4A3 cjkD6D6cjkC8BAcjkC4A3cjkD0CD cjkB5A5cjkD6D6cjkC8BAcjkC4A3cjkD0CDcjkB6E0cjkD6D6cjkC8BAcjkC4A3cjkD0CD cjkD3C9cjkD3DA Fprime(p0) = k?r, Fprime(p1) = r?kcjkA3ACcjkCBF9cjkD2D4 trianglerightsld cjkB5B1 k < r cjkCAB1cjkA3ACFprime(p0) < 0, Fprime(p1) > 0 ? p0 cjkCAC7cjkCEC8cjkB6A8cjkC6BDcjkBAE2 cjkB5E3cjkA3ACp1 cjkB2BBcjkCAC7cjkA3BB trianglerightsld cjkB5B1 k > r cjkCAB1cjkA3ACFprime(p0) > 0, Fprime(p1) < 0 ? p0 cjkB2BBcjkCAC7cjkCEC8cjkB6A8cjkC6BDcjkBAE2 cjkB5E3cjkA3ACp1 cjkCAC7cjkA1A3 cjkB9FAcjkB7C0cjkBFC6cjkBCBCcjkB4F3cjkD1A7 cjkCAFDcjkD1A7cjkBDA8cjkC4A3 cjkD6D6cjkC8BAcjkC4A3cjkD0CD cjkB5A5cjkD6D6cjkC8BAcjkC4A3cjkD0CDcjkB6E0cjkD6D6cjkC8BAcjkC4A3cjkD0CD cjkBDE1cjkB9FBcjkB7D6cjkCEF6 cjkB2B6cjkC0CCcjkCACAcjkB6C8(k < r),cjkBFC9cjkCAB9cjkD3E6cjkB3A1cjkB2FAcjkC1BFcjkCEC8cjkB6A8cjkD4DA p0 = N parenleftbig1? krparenrightbigcjkA3ACcjkB4D3 cjkB6F8cjkBBF1cjkB5C3cjkB3D6cjkD0F8cjkB2FAcjkC1BF h(p0) = kp0cjkA1A3cjkB6F8cjkB5B1cjkB2B6cjkC0CCcjkB9FDcjkB6C8cjkA3A8k > rcjkA3A9cjkCAB1cjkA3ACcjkD3E6cjkB3A1 cjkB2FAcjkC1BFcjkBDABcjkBCF5cjkD6C1 p1 = 0cjkA3ACcjkB4D3cjkB6F8cjkCAC7cjkB2BBcjkBFC9cjkB3D6cjkD0F8cjkB5C4cjkA3ACcjkC6C6cjkBBB5cjkD0D4cjkB2B6cjkC0CCcjkA1A3 cjkBDF8cjkD2BBcjkB2BDcjkCCD6cjkC2DB cjkC8E7cjkBACEcjkBFD8cjkD6C6cjkB2B6cjkC0CCcjkC7BFcjkB6C8 k cjkCAB9cjkB5C3cjkB3D6cjkD0F8cjkB2FAcjkC1BFcjkD7EEcjkB4F3cjkA3BF h(p0) = kp0 = N parenleftbigg 1? kr parenrightbigg ·k defines h(k) hprime(k) = N parenleftbigg 1? 2kr parenrightbigg = 0 ? km = r2 cjkB6D4cjkD3A6cjkB5C4 hm = r2N parenleftbigg 1? 12 parenrightbigg = rN4 , pm = N2 cjkA1A3 cjkB9FAcjkB7C0cjkBFC6cjkBCBCcjkB4F3cjkD1A7 cjkCAFDcjkD1A7cjkBDA8cjkC4A3 cjkD6D6cjkC8BAcjkC4A3cjkD0CD cjkB5A5cjkD6D6cjkC8BAcjkC4A3cjkD0CDcjkB6E0cjkD6D6cjkC8BAcjkC4A3cjkD0CD cjkBDE1cjkB9FBcjkB7D6cjkCEF6 cjkB2B6cjkC0CCcjkCACAcjkB6C8(k < r),cjkBFC9cjkCAB9cjkD3E6cjkB3A1cjkB2FAcjkC1BFcjkCEC8cjkB6A8cjkD4DA p0 = N parenleftbig1? krparenrightbigcjkA3ACcjkB4D3 cjkB6F8cjkBBF1cjkB5C3cjkB3D6cjkD0F8cjkB2FAcjkC1BF h(p0) = kp0cjkA1A3cjkB6F8cjkB5B1cjkB2B6cjkC0CCcjkB9FDcjkB6C8cjkA3A8k > rcjkA3A9cjkCAB1cjkA3ACcjkD3E6cjkB3A1 cjkB2FAcjkC1BFcjkBDABcjkBCF5cjkD6C1 p1 = 0cjkA3ACcjkB4D3cjkB6F8cjkCAC7cjkB2BBcjkBFC9cjkB3D6cjkD0F8cjkB5C4cjkA3ACcjkC6C6cjkBBB5cjkD0D4cjkB2B6cjkC0CCcjkA1A3 cjkBDF8cjkD2BBcjkB2BDcjkCCD6cjkC2DB cjkC8E7cjkBACEcjkBFD8cjkD6C6cjkB2B6cjkC0CCcjkC7BFcjkB6C8 k cjkCAB9cjkB5C3cjkB3D6cjkD0F8cjkB2FAcjkC1BFcjkD7EEcjkB4F3cjkA3BF h(p0) = kp0 = N parenleftbigg 1? kr parenrightbigg ·k defines h(k) hprime(k) = N parenleftbigg 1? 2kr parenrightbigg = 0 ? km = r2 cjkB6D4cjkD3A6cjkB5C4 hm = r2N parenleftbigg 1? 12 parenrightbigg = rN4 , pm = N2 cjkA1A3 cjkB9FAcjkB7C0cjkBFC6cjkBCBCcjkB4F3cjkD1A7 cjkCAFDcjkD1A7cjkBDA8cjkC4A3 cjkD6D6cjkC8BAcjkC4A3cjkD0CD cjkB5A5cjkD6D6cjkC8BAcjkC4A3cjkD0CDcjkB6E0cjkD6D6cjkC8BAcjkC4A3cjkD0CD cjkBDE1cjkB9FBcjkB7D6cjkCEF6 cjkB2B6cjkC0CCcjkCACAcjkB6C8(k < r),cjkBFC9cjkCAB9cjkD3E6cjkB3A1cjkB2FAcjkC1BFcjkCEC8cjkB6A8cjkD4DA p0 = N parenleftbig1? krparenrightbigcjkA3ACcjkB4D3 cjkB6F8cjkBBF1cjkB5C3cjkB3D6cjkD0F8cjkB2FAcjkC1BF h(p0) = kp0cjkA1A3cjkB6F8cjkB5B1cjkB2B6cjkC0CCcjkB9FDcjkB6C8cjkA3A8k > rcjkA3A9cjkCAB1cjkA3ACcjkD3E6cjkB3A1 cjkB2FAcjkC1BFcjkBDABcjkBCF5cjkD6C1 p1 = 0cjkA3ACcjkB4D3cjkB6F8cjkCAC7cjkB2BBcjkBFC9cjkB3D6cjkD0F8cjkB5C4cjkA3ACcjkC6C6cjkBBB5cjkD0D4cjkB2B6cjkC0CCcjkA1A3 cjkBDF8cjkD2BBcjkB2BDcjkCCD6cjkC2DB cjkC8E7cjkBACEcjkBFD8cjkD6C6cjkB2B6cjkC0CCcjkC7BFcjkB6C8 k cjkCAB9cjkB5C3cjkB3D6cjkD0F8cjkB2FAcjkC1BFcjkD7EEcjkB4F3cjkA3BF h(p0) = kp0 = N parenleftbigg 1? kr parenrightbigg ·k defines h(k) hprime(k) = N parenleftbigg 1? 2kr parenrightbigg = 0 ? km = r2 cjkB6D4cjkD3A6cjkB5C4 hm = r2N parenleftbigg 1? 12 parenrightbigg = rN4 , pm = N2 cjkA1A3 cjkB9FAcjkB7C0cjkBFC6cjkBCBCcjkB4F3cjkD1A7 cjkCAFDcjkD1A7cjkBDA8cjkC4A3 cjkD6D6cjkC8BAcjkC4A3cjkD0CD cjkB5A5cjkD6D6cjkC8BAcjkC4A3cjkD0CDcjkB6E0cjkD6D6cjkC8BAcjkC4A3cjkD0CD cjkBDE1cjkB9FBcjkB7D6cjkCEF6 cjkB2B6cjkC0CCcjkCACAcjkB6C8(k < r),cjkBFC9cjkCAB9cjkD3E6cjkB3A1cjkB2FAcjkC1BFcjkCEC8cjkB6A8cjkD4DA p0 = N parenleftbig1? krparenrightbigcjkA3ACcjkB4D3 cjkB6F8cjkBBF1cjkB5C3cjkB3D6cjkD0F8cjkB2FAcjkC1BF h(p0) = kp0cjkA1A3cjkB6F8cjkB5B1cjkB2B6cjkC0CCcjkB9FDcjkB6C8cjkA3A8k > rcjkA3A9cjkCAB1cjkA3ACcjkD3E6cjkB3A1 cjkB2FAcjkC1BFcjkBDABcjkBCF5cjkD6C1 p1 = 0cjkA3ACcjkB4D3cjkB6F8cjkCAC7cjkB2BBcjkBFC9cjkB3D6cjkD0F8cjkB5C4cjkA3ACcjkC6C6cjkBBB5cjkD0D4cjkB2B6cjkC0CCcjkA1A3 cjkBDF8cjkD2BBcjkB2BDcjkCCD6cjkC2DB cjkC8E7cjkBACEcjkBFD8cjkD6C6cjkB2B6cjkC0CCcjkC7BFcjkB6C8 k cjkCAB9cjkB5C3cjkB3D6cjkD0F8cjkB2FAcjkC1BFcjkD7EEcjkB4F3cjkA3BF h(p0) = kp0 = N parenleftbigg 1? kr parenrightbigg ·k defines h(k) hprime(k) = N parenleftbigg 1? 2kr parenrightbigg = 0 ? km = r2 cjkB6D4cjkD3A6cjkB5C4 hm = r2N parenleftbigg 1? 12 parenrightbigg = rN4 , pm = N2 cjkA1A3 cjkB9FAcjkB7C0cjkBFC6cjkBCBCcjkB4F3cjkD1A7 cjkCAFDcjkD1A7cjkBDA8cjkC4A3 cjkD6D6cjkC8BAcjkC4A3cjkD0CD cjkB5A5cjkD6D6cjkC8BAcjkC4A3cjkD0CDcjkB6E0cjkD6D6cjkC8BAcjkC4A3cjkD0CD cjkBDE1cjkB9FBcjkB7D6cjkCEF6 cjkB2B6cjkC0CCcjkCACAcjkB6C8(k < r),cjkBFC9cjkCAB9cjkD3E6cjkB3A1cjkB2FAcjkC1BFcjkCEC8cjkB6A8cjkD4DA p0 = N parenleftbig1? krparenrightbigcjkA3ACcjkB4D3 cjkB6F8cjkBBF1cjkB5C3cjkB3D6cjkD0F8cjkB2FAcjkC1BF h(p0) = kp0cjkA1A3cjkB6F8cjkB5B1cjkB2B6cjkC0CCcjkB9FDcjkB6C8cjkA3A8k > rcjkA3A9cjkCAB1cjkA3ACcjkD3E6cjkB3A1 cjkB2FAcjkC1BFcjkBDABcjkBCF5cjkD6C1 p1 = 0cjkA3ACcjkB4D3cjkB6F8cjkCAC7cjkB2BBcjkBFC9cjkB3D6cjkD0F8cjkB5C4cjkA3ACcjkC6C6cjkBBB5cjkD0D4cjkB2B6cjkC0CCcjkA1A3 cjkBDF8cjkD2BBcjkB2BDcjkCCD6cjkC2DB cjkC8E7cjkBACEcjkBFD8cjkD6C6cjkB2B6cjkC0CCcjkC7BFcjkB6C8 k cjkCAB9cjkB5C3cjkB3D6cjkD0F8cjkB2FAcjkC1BFcjkD7EEcjkB4F3cjkA3BF h(p0) = kp0 = N parenleftbigg 1? kr parenrightbigg ·k defines h(k) hprime(k) = N parenleftbigg 1? 2kr parenrightbigg = 0 ? km = r2 cjkB6D4cjkD3A6cjkB5C4 hm = r2N parenleftbigg 1? 12 parenrightbigg = rN4 , pm = N2 cjkA1A3 cjkB9FAcjkB7C0cjkBFC6cjkBCBCcjkB4F3cjkD1A7 cjkCAFDcjkD1A7cjkBDA8cjkC4A3 cjkD6D6cjkC8BAcjkC4A3cjkD0CD cjkB5A5cjkD6D6cjkC8BAcjkC4A3cjkD0CDcjkB6E0cjkD6D6cjkC8BAcjkC4A3cjkD0CD cjkBDE1cjkC2DB cjkBFD8cjkD6C6cjkB2B6cjkC0CCcjkC7BFcjkB6C8 k = r2cjkA3ACcjkCAB9cjkD3E6cjkB3A1cjkB2FAcjkC1BFcjkB1A3cjkB3D6cjkD4DAcjkD7EEcjkB4F3cjkD3E3cjkC1BF N cjkB5C4cjkD2BBcjkB0EBcjkCAB1cjkA3ACcjkBFC9cjkD2D4cjkBBF1cjkB5C3cjkD7EEcjkB4F3cjkB5C4cjkB3D6cjkD0F8cjkB2FAcjkC1BFcjkA1A3 cjkB9FAcjkB7C0cjkBFC6cjkBCBCcjkB4F3cjkD1A7 cjkCAFDcjkD1A7cjkBDA8cjkC4A3 cjkD6D6cjkC8BAcjkC4A3cjkD0CD cjkB5A5cjkD6D6cjkC8BAcjkC4A3cjkD0CDcjkB6E0cjkD6D6cjkC8BAcjkC4A3cjkD0CD cjkB6E0cjkD6D6cjkC8BAcjkC4A3cjkD0CD cjkCFC8cjkBDE9cjkC9DCcjkD2BBcjkD0A9cjkCEA2cjkB7D6cjkB7BDcjkB3CCcjkB6A8cjkD0D4cjkC0EDcjkC2DBcjkD6D0cjkB5C4cjkBDE1cjkC2DB cjkB3C6cjkB7BDcjkB3CCcjkD7E9 ? ?? ?? dx dt = P(x,y)dy dt = Q(x,y) (5) cjkCEAAcjkC6BDcjkC3E6cjkD7D4cjkD6CEcjkCFB5cjkCDB3 cjkB9FAcjkB7C0cjkBFC6cjkBCBCcjkB4F3cjkD1A7 cjkCAFDcjkD1A7cjkBDA8cjkC4A3 cjkD6D6cjkC8BAcjkC4A3cjkD0CD cjkB5A5cjkD6D6cjkC8BAcjkC4A3cjkD0CDcjkB6E0cjkD6D6cjkC8BAcjkC4A3cjkD0CD cjkB6E0cjkD6D6cjkC8BAcjkC4A3cjkD0CD cjkCFC8cjkBDE9cjkC9DCcjkD2BBcjkD0A9cjkCEA2cjkB7D6cjkB7BDcjkB3CCcjkB6A8cjkD0D4cjkC0EDcjkC2DBcjkD6D0cjkB5C4cjkBDE1cjkC2DB cjkB3C6cjkB7BDcjkB3CCcjkD7E9 ? ?? ?? dx dt = P(x,y)dy dt = Q(x,y) (5) cjkCEAAcjkC6BDcjkC3E6cjkD7D4cjkD6CEcjkCFB5cjkCDB3 cjkB9FAcjkB7C0cjkBFC6cjkBCBCcjkB4F3cjkD1A7 cjkCAFDcjkD1A7cjkBDA8cjkC4A3 cjkD6D6cjkC8BAcjkC4A3cjkD0CD cjkB5A5cjkD6D6cjkC8BAcjkC4A3cjkD0CDcjkB6E0cjkD6D6cjkC8BAcjkC4A3cjkD0CD cjkB6E0cjkD6D6cjkC8BAcjkC4A3cjkD0CD cjkCFC8cjkBDE9cjkC9DCcjkD2BBcjkD0A9cjkCEA2cjkB7D6cjkB7BDcjkB3CCcjkB6A8cjkD0D4cjkC0EDcjkC2DBcjkD6D0cjkB5C4cjkBDE1cjkC2DB cjkB3C6cjkB7BDcjkB3CCcjkD7E9 ? ?? ?? dx dt = P(x,y)dy dt = Q(x,y) (5) cjkCEAAcjkC6BDcjkC3E6cjkD7D4cjkD6CEcjkCFB5cjkCDB3 cjkB9FAcjkB7C0cjkBFC6cjkBCBCcjkB4F3cjkD1A7 cjkCAFDcjkD1A7cjkBDA8cjkC4A3 cjkD6D6cjkC8BAcjkC4A3cjkD0CD cjkB5A5cjkD6D6cjkC8BAcjkC4A3cjkD0CDcjkB6E0cjkD6D6cjkC8BAcjkC4A3cjkD0CD cjkB6FEcjkD4AAcjkB7BDcjkB3CCcjkD7E9 braceleftbigg P(x,y) = 0 Q(x,y) = 0 cjkB5C4cjkB8F9cjkB3C6cjkCEAAcjkB7BDcjkB3CCcjkD7E9cjkA3A85cjkA3A9cjkB5C4cjkC6E6cjkB5E3cjkA1A3cjkC9E8 (x?,y?) cjkCAC7cjkA3A85cjkA3A9cjkB5C4cjkD2BBcjkB8F6cjkB9C2cjkC1A2cjkC6E6 cjkB5E3cjkA3ACcjkBDAB P(x,y), Q(x,y) cjkD4DA (x?,y?) cjkB8BDcjkBDFCcjkD5B9cjkBFAAcjkA3ACcjkC2D4cjkC8A5cjkB8DFcjkBDD7cjkCFEEcjkA3ACcjkBFC9 cjkB5C3cjkBDFCcjkCBC6cjkCFDFcjkD0D4cjkCFB5cjkCDB3cjkA3BA braceleftbigg dx dt = a11x + a12ydy dt = a21x + a22y (6) cjkC6E4cjkD6D0 a11 = ?P?x|(x?,y?) a12 = ?P?y |(x?,y?) a21 = ?Q?x|(x?,y?) a22 = ?Q?y |(x?,y?) cjkB9FAcjkB7C0cjkBFC6cjkBCBCcjkB4F3cjkD1A7 cjkCAFDcjkD1A7cjkBDA8cjkC4A3 cjkD6D6cjkC8BAcjkC4A3cjkD0CD cjkB5A5cjkD6D6cjkC8BAcjkC4A3cjkD0CDcjkB6E0cjkD6D6cjkC8BAcjkC4A3cjkD0CD cjkB6FEcjkD4AAcjkB7BDcjkB3CCcjkD7E9 braceleftbigg P(x,y) = 0 Q(x,y) = 0 cjkB5C4cjkB8F9cjkB3C6cjkCEAAcjkB7BDcjkB3CCcjkD7E9cjkA3A85cjkA3A9cjkB5C4cjkC6E6cjkB5E3cjkA1A3cjkC9E8 (x?,y?) cjkCAC7cjkA3A85cjkA3A9cjkB5C4cjkD2BBcjkB8F6cjkB9C2cjkC1A2cjkC6E6 cjkB5E3cjkA3ACcjkBDAB P(x,y), Q(x,y) cjkD4DA (x?,y?) cjkB8BDcjkBDFCcjkD5B9cjkBFAAcjkA3ACcjkC2D4cjkC8A5cjkB8DFcjkBDD7cjkCFEEcjkA3ACcjkBFC9 cjkB5C3cjkBDFCcjkCBC6cjkCFDFcjkD0D4cjkCFB5cjkCDB3cjkA3BA braceleftbigg dx dt = a11x + a12ydy dt = a21x + a22y (6) cjkC6E4cjkD6D0 a11 = ?P?x|(x?,y?) a12 = ?P?y |(x?,y?) a21 = ?Q?x|(x?,y?) a22 = ?Q?y |(x?,y?) cjkB9FAcjkB7C0cjkBFC6cjkBCBCcjkB4F3cjkD1A7 cjkCAFDcjkD1A7cjkBDA8cjkC4A3 cjkD6D6cjkC8BAcjkC4A3cjkD0CD cjkB5A5cjkD6D6cjkC8BAcjkC4A3cjkD0CDcjkB6E0cjkD6D6cjkC8BAcjkC4A3cjkD0CD (0,0) cjkB5E3cjkCAC7 (6) cjkB5C4cjkC6E6cjkB5E3cjkA3ACcjkC9E8 parenleftbigg a 11 a12 a21 a22 parenrightbigg cjkB5C4cjkCCD8cjkD5F7cjkB8F9 cjkCEAAλ1, λ2cjkA3ACcjkD4F2cjkD3D0cjkD2D4cjkCFC2cjkBDE1cjkC2DBcjkA3BA 1. λ1, λ2 cjkCAC7cjkCDACcjkBAC5cjkCAB5cjkCAFDcjkA3BA λi < 0 ? (0,0) cjkCAC7cjkCEC8cjkB6A8cjkB5E3cjkA3BBλi > 0 ? (0,0) cjkB2BBcjkCEC8cjkB6A8cjkA1A3 2. λ1, λ2 cjkCAC7cjkD2ECcjkBAC5cjkCAB5cjkCAFDcjkA3ACcjkD4F2 (0,0) cjkB2BBcjkCAC7cjkCEC8cjkB6A8cjkB5E3cjkA3ACcjkB3C6cjkCEAAcjkB0B0cjkB5E3cjkA1A3 3. λ1, λ2 cjkCAC7cjkB9B2cjkE9EEcjkB8B4cjkCAFDcjkA3BAλ1,2 = a±bi a < 0 ? (0,0) cjkCAC7cjkCEC8cjkB6A8cjkB5E3cjkA3BBa > 0 ? (0,0) cjkB2BBcjkCEC8cjkB6A8cjkA1A3 cjkB9FAcjkB7C0cjkBFC6cjkBCBCcjkB4F3cjkD1A7 cjkCAFDcjkD1A7cjkBDA8cjkC4A3 cjkD6D6cjkC8BAcjkC4A3cjkD0CD cjkB5A5cjkD6D6cjkC8BAcjkC4A3cjkD0CDcjkB6E0cjkD6D6cjkC8BAcjkC4A3cjkD0CD (0,0) cjkB5E3cjkCAC7 (6) cjkB5C4cjkC6E6cjkB5E3cjkA3ACcjkC9E8 parenleftbigg a 11 a12 a21 a22 parenrightbigg cjkB5C4cjkCCD8cjkD5F7cjkB8F9 cjkCEAAλ1, λ2cjkA3ACcjkD4F2cjkD3D0cjkD2D4cjkCFC2cjkBDE1cjkC2DBcjkA3BA 1. λ1, λ2 cjkCAC7cjkCDACcjkBAC5cjkCAB5cjkCAFDcjkA3BA λi < 0 ? (0,0) cjkCAC7cjkCEC8cjkB6A8cjkB5E3cjkA3BBλi > 0 ? (0,0) cjkB2BBcjkCEC8cjkB6A8cjkA1A3 2. λ1, λ2 cjkCAC7cjkD2ECcjkBAC5cjkCAB5cjkCAFDcjkA3ACcjkD4F2 (0,0) cjkB2BBcjkCAC7cjkCEC8cjkB6A8cjkB5E3cjkA3ACcjkB3C6cjkCEAAcjkB0B0cjkB5E3cjkA1A3 3. λ1, λ2 cjkCAC7cjkB9B2cjkE9EEcjkB8B4cjkCAFDcjkA3BAλ1,2 = a±bi a < 0 ? (0,0) cjkCAC7cjkCEC8cjkB6A8cjkB5E3cjkA3BBa > 0 ? (0,0) cjkB2BBcjkCEC8cjkB6A8cjkA1A3 cjkB9FAcjkB7C0cjkBFC6cjkBCBCcjkB4F3cjkD1A7 cjkCAFDcjkD1A7cjkBDA8cjkC4A3 cjkD6D6cjkC8BAcjkC4A3cjkD0CD cjkB5A5cjkD6D6cjkC8BAcjkC4A3cjkD0CDcjkB6E0cjkD6D6cjkC8BAcjkC4A3cjkD0CD (0,0) cjkB5E3cjkCAC7 (6) cjkB5C4cjkC6E6cjkB5E3cjkA3ACcjkC9E8 parenleftbigg a 11 a12 a21 a22 parenrightbigg cjkB5C4cjkCCD8cjkD5F7cjkB8F9 cjkCEAAλ1, λ2cjkA3ACcjkD4F2cjkD3D0cjkD2D4cjkCFC2cjkBDE1cjkC2DBcjkA3BA 1. λ1, λ2 cjkCAC7cjkCDACcjkBAC5cjkCAB5cjkCAFDcjkA3BA λi < 0 ? (0,0) cjkCAC7cjkCEC8cjkB6A8cjkB5E3cjkA3BBλi > 0 ? (0,0) cjkB2BBcjkCEC8cjkB6A8cjkA1A3 2. λ1, λ2 cjkCAC7cjkD2ECcjkBAC5cjkCAB5cjkCAFDcjkA3ACcjkD4F2 (0,0) cjkB2BBcjkCAC7cjkCEC8cjkB6A8cjkB5E3cjkA3ACcjkB3C6cjkCEAAcjkB0B0cjkB5E3cjkA1A3 3. λ1, λ2 cjkCAC7cjkB9B2cjkE9EEcjkB8B4cjkCAFDcjkA3BAλ1,2 = a±bi a < 0 ? (0,0) cjkCAC7cjkCEC8cjkB6A8cjkB5E3cjkA3BBa > 0 ? (0,0) cjkB2BBcjkCEC8cjkB6A8cjkA1A3 cjkB9FAcjkB7C0cjkBFC6cjkBCBCcjkB4F3cjkD1A7 cjkCAFDcjkD1A7cjkBDA8cjkC4A3 cjkD6D6cjkC8BAcjkC4A3cjkD0CD cjkB5A5cjkD6D6cjkC8BAcjkC4A3cjkD0CDcjkB6E0cjkD6D6cjkC8BAcjkC4A3cjkD0CD (0,0) cjkB5E3cjkCAC7 (6) cjkB5C4cjkC6E6cjkB5E3cjkA3ACcjkC9E8 parenleftbigg a 11 a12 a21 a22 parenrightbigg cjkB5C4cjkCCD8cjkD5F7cjkB8F9 cjkCEAAλ1, λ2cjkA3ACcjkD4F2cjkD3D0cjkD2D4cjkCFC2cjkBDE1cjkC2DBcjkA3BA 1. λ1, λ2 cjkCAC7cjkCDACcjkBAC5cjkCAB5cjkCAFDcjkA3BA λi < 0 ? (0,0) cjkCAC7cjkCEC8cjkB6A8cjkB5E3cjkA3BBλi > 0 ? (0,0) cjkB2BBcjkCEC8cjkB6A8cjkA1A3 2. λ1, λ2 cjkCAC7cjkD2ECcjkBAC5cjkCAB5cjkCAFDcjkA3ACcjkD4F2 (0,0) cjkB2BBcjkCAC7cjkCEC8cjkB6A8cjkB5E3cjkA3ACcjkB3C6cjkCEAAcjkB0B0cjkB5E3cjkA1A3 3. λ1, λ2 cjkCAC7cjkB9B2cjkE9EEcjkB8B4cjkCAFDcjkA3BAλ1,2 = a±bi a < 0 ? (0,0) cjkCAC7cjkCEC8cjkB6A8cjkB5E3cjkA3BBa > 0 ? (0,0) cjkB2BBcjkCEC8cjkB6A8cjkA1A3 cjkB9FAcjkB7C0cjkBFC6cjkBCBCcjkB4F3cjkD1A7 cjkCAFDcjkD1A7cjkBDA8cjkC4A3 cjkD6D6cjkC8BAcjkC4A3cjkD0CD cjkB5A5cjkD6D6cjkC8BAcjkC4A3cjkD0CDcjkB6E0cjkD6D6cjkC8BAcjkC4A3cjkD0CD cjkC8F5cjkC8E2cjkC7BFcjkCAB3cjkC4A3cjkD0CD 1914 1915 1916 1917 1918 1919 1920 1921 1922 11.9 21.4 22.1 21.2 36.4 27.3 16.0 15.9 14.8 cjkB9FAcjkB7C0cjkBFC6cjkBCBCcjkB4F3cjkD1A7 cjkCAFDcjkD1A7cjkBDA8cjkC4A3 cjkD6D6cjkC8BAcjkC4A3cjkD0CD cjkB5A5cjkD6D6cjkC8BAcjkC4A3cjkD0CDcjkB6E0cjkD6D6cjkC8BAcjkC4A3cjkD0CD cjkC8F5cjkC8E2cjkC7BFcjkCAB3cjkC4A3cjkD0CD 1914 1915 1916 1917 1918 1919 1920 1921 1922 11.9 21.4 22.1 21.2 36.4 27.3 16.0 15.9 14.8 cjkB9FAcjkB7C0cjkBFC6cjkBCBCcjkB4F3cjkD1A7 cjkCAFDcjkD1A7cjkBDA8cjkC4A3 cjkD6D6cjkC8BAcjkC4A3cjkD0CD cjkB5A5cjkD6D6cjkC8BAcjkC4A3cjkD0CDcjkB6E0cjkD6D6cjkC8BAcjkC4A3cjkD0CD Volterra cjkC4A3cjkD0CD cjkCAB3cjkB6FCcjkCAFDcjkC1BF x1(t)cjkA3ACcjkB2B6cjkCAB3cjkD5DFcjkCAFDcjkC1BF x2(t) cjkB5DAcjkD2BBcjkB2BDcjkA3BAcjkD6BBcjkBFBCcjkC2C7cjkCAB3cjkB6FCcjkA1A3cjkBCD9cjkB6A8cjkB4F3cjkBAA3cjkB5C4cjkD7CAcjkD4B4cjkB7C7cjkB3A3cjkB7E1cjkB8BBcjkA3ACcjkCAB3cjkB6FCcjkD6AEcjkBCE4 cjkB2BBcjkB4E6cjkD4DAcjkBEBAcjkD5F9cjkA3ACcjkD4F2 x1(t) cjkBDABcjkD2D4cjkB9CCcjkD3D0cjkD4F6cjkB3A4cjkC2CA r1 cjkB5C4cjkCBD9cjkB6C8cjkCEDEcjkCFDEcjkD4F6cjkB3A4cjkA3AC cjkBCB4cjkA3BA ˙x1 = r1x1 cjkB5DAcjkB6FEcjkB2BDcjkA3BAcjkBFBCcjkC2C7cjkB5BDcjkB2B6cjkCAB3cjkD5DFcjkB5C4cjkB4E6cjkD4DAcjkA3ACcjkCAB3cjkB6FCcjkB5C4cjkD4F6cjkB3A4cjkBDABcjkCADCcjkB5BDcjkCFDEcjkD6C6cjkA3ACcjkC9E8 cjkBDB5cjkB5CDcjkB5C4cjkCBD9cjkB6C8cjkD3EBcjkB2B6cjkCAB3cjkD5DFcjkCAFDcjkC1BFcjkB3C9cjkD5FDcjkB1C8 ˙x1(t) = x1(r1 ?α1x2) defines f(x1,x2) (7) cjkB1C8cjkC0FDcjkCFB5cjkCAFD α1 cjkB7B4cjkD3B3cjkB2B6cjkCAB3cjkD5DFcjkB5C4cjkB2B6cjkCAB3cjkC4DCcjkC1A6cjkA1A3 cjkB9FAcjkB7C0cjkBFC6cjkBCBCcjkB4F3cjkD1A7 cjkCAFDcjkD1A7cjkBDA8cjkC4A3 cjkD6D6cjkC8BAcjkC4A3cjkD0CD cjkB5A5cjkD6D6cjkC8BAcjkC4A3cjkD0CDcjkB6E0cjkD6D6cjkC8BAcjkC4A3cjkD0CD Volterra cjkC4A3cjkD0CD cjkCAB3cjkB6FCcjkCAFDcjkC1BF x1(t)cjkA3ACcjkB2B6cjkCAB3cjkD5DFcjkCAFDcjkC1BF x2(t) cjkB5DAcjkD2BBcjkB2BDcjkA3BAcjkD6BBcjkBFBCcjkC2C7cjkCAB3cjkB6FCcjkA1A3cjkBCD9cjkB6A8cjkB4F3cjkBAA3cjkB5C4cjkD7CAcjkD4B4cjkB7C7cjkB3A3cjkB7E1cjkB8BBcjkA3ACcjkCAB3cjkB6FCcjkD6AEcjkBCE4 cjkB2BBcjkB4E6cjkD4DAcjkBEBAcjkD5F9cjkA3ACcjkD4F2 x1(t) cjkBDABcjkD2D4cjkB9CCcjkD3D0cjkD4F6cjkB3A4cjkC2CA r1 cjkB5C4cjkCBD9cjkB6C8cjkCEDEcjkCFDEcjkD4F6cjkB3A4cjkA3AC cjkBCB4cjkA3BA ˙x1 = r1x1 cjkB5DAcjkB6FEcjkB2BDcjkA3BAcjkBFBCcjkC2C7cjkB5BDcjkB2B6cjkCAB3cjkD5DFcjkB5C4cjkB4E6cjkD4DAcjkA3ACcjkCAB3cjkB6FCcjkB5C4cjkD4F6cjkB3A4cjkBDABcjkCADCcjkB5BDcjkCFDEcjkD6C6cjkA3ACcjkC9E8 cjkBDB5cjkB5CDcjkB5C4cjkCBD9cjkB6C8cjkD3EBcjkB2B6cjkCAB3cjkD5DFcjkCAFDcjkC1BFcjkB3C9cjkD5FDcjkB1C8 ˙x1(t) = x1(r1 ?α1x2) defines f(x1,x2) (7) cjkB1C8cjkC0FDcjkCFB5cjkCAFD α1 cjkB7B4cjkD3B3cjkB2B6cjkCAB3cjkD5DFcjkB5C4cjkB2B6cjkCAB3cjkC4DCcjkC1A6cjkA1A3 cjkB9FAcjkB7C0cjkBFC6cjkBCBCcjkB4F3cjkD1A7 cjkCAFDcjkD1A7cjkBDA8cjkC4A3 cjkD6D6cjkC8BAcjkC4A3cjkD0CD cjkB5A5cjkD6D6cjkC8BAcjkC4A3cjkD0CDcjkB6E0cjkD6D6cjkC8BAcjkC4A3cjkD0CD Volterra cjkC4A3cjkD0CD cjkCAB3cjkB6FCcjkCAFDcjkC1BF x1(t)cjkA3ACcjkB2B6cjkCAB3cjkD5DFcjkCAFDcjkC1BF x2(t) cjkB5DAcjkD2BBcjkB2BDcjkA3BAcjkD6BBcjkBFBCcjkC2C7cjkCAB3cjkB6FCcjkA1A3cjkBCD9cjkB6A8cjkB4F3cjkBAA3cjkB5C4cjkD7CAcjkD4B4cjkB7C7cjkB3A3cjkB7E1cjkB8BBcjkA3ACcjkCAB3cjkB6FCcjkD6AEcjkBCE4 cjkB2BBcjkB4E6cjkD4DAcjkBEBAcjkD5F9cjkA3ACcjkD4F2 x1(t) cjkBDABcjkD2D4cjkB9CCcjkD3D0cjkD4F6cjkB3A4cjkC2CA r1 cjkB5C4cjkCBD9cjkB6C8cjkCEDEcjkCFDEcjkD4F6cjkB3A4cjkA3AC cjkBCB4cjkA3BA ˙x1 = r1x1 cjkB5DAcjkB6FEcjkB2BDcjkA3BAcjkBFBCcjkC2C7cjkB5BDcjkB2B6cjkCAB3cjkD5DFcjkB5C4cjkB4E6cjkD4DAcjkA3ACcjkCAB3cjkB6FCcjkB5C4cjkD4F6cjkB3A4cjkBDABcjkCADCcjkB5BDcjkCFDEcjkD6C6cjkA3ACcjkC9E8 cjkBDB5cjkB5CDcjkB5C4cjkCBD9cjkB6C8cjkD3EBcjkB2B6cjkCAB3cjkD5DFcjkCAFDcjkC1BFcjkB3C9cjkD5FDcjkB1C8 ˙x1(t) = x1(r1 ?α1x2) defines f(x1,x2) (7) cjkB1C8cjkC0FDcjkCFB5cjkCAFD α1 cjkB7B4cjkD3B3cjkB2B6cjkCAB3cjkD5DFcjkB5C4cjkB2B6cjkCAB3cjkC4DCcjkC1A6cjkA1A3 cjkB9FAcjkB7C0cjkBFC6cjkBCBCcjkB4F3cjkD1A7 cjkCAFDcjkD1A7cjkBDA8cjkC4A3 cjkD6D6cjkC8BAcjkC4A3cjkD0CD cjkB5A5cjkD6D6cjkC8BAcjkC4A3cjkD0CDcjkB6E0cjkD6D6cjkC8BAcjkC4A3cjkD0CD Volterra cjkC4A3cjkD0CD cjkCAB3cjkB6FCcjkCAFDcjkC1BF x1(t)cjkA3ACcjkB2B6cjkCAB3cjkD5DFcjkCAFDcjkC1BF x2(t) cjkB5DAcjkD2BBcjkB2BDcjkA3BAcjkD6BBcjkBFBCcjkC2C7cjkCAB3cjkB6FCcjkA1A3cjkBCD9cjkB6A8cjkB4F3cjkBAA3cjkB5C4cjkD7CAcjkD4B4cjkB7C7cjkB3A3cjkB7E1cjkB8BBcjkA3ACcjkCAB3cjkB6FCcjkD6AEcjkBCE4 cjkB2BBcjkB4E6cjkD4DAcjkBEBAcjkD5F9cjkA3ACcjkD4F2 x1(t) cjkBDABcjkD2D4cjkB9CCcjkD3D0cjkD4F6cjkB3A4cjkC2CA r1 cjkB5C4cjkCBD9cjkB6C8cjkCEDEcjkCFDEcjkD4F6cjkB3A4cjkA3AC cjkBCB4cjkA3BA ˙x1 = r1x1 cjkB5DAcjkB6FEcjkB2BDcjkA3BAcjkBFBCcjkC2C7cjkB5BDcjkB2B6cjkCAB3cjkD5DFcjkB5C4cjkB4E6cjkD4DAcjkA3ACcjkCAB3cjkB6FCcjkB5C4cjkD4F6cjkB3A4cjkBDABcjkCADCcjkB5BDcjkCFDEcjkD6C6cjkA3ACcjkC9E8 cjkBDB5cjkB5CDcjkB5C4cjkCBD9cjkB6C8cjkD3EBcjkB2B6cjkCAB3cjkD5DFcjkCAFDcjkC1BFcjkB3C9cjkD5FDcjkB1C8 ˙x1(t) = x1(r1 ?α1x2) defines f(x1,x2) (7) cjkB1C8cjkC0FDcjkCFB5cjkCAFD α1 cjkB7B4cjkD3B3cjkB2B6cjkCAB3cjkD5DFcjkB5C4cjkB2B6cjkCAB3cjkC4DCcjkC1A6cjkA1A3 cjkB9FAcjkB7C0cjkBFC6cjkBCBCcjkB4F3cjkD1A7 cjkCAFDcjkD1A7cjkBDA8cjkC4A3 cjkD6D6cjkC8BAcjkC4A3cjkD0CD cjkB5A5cjkD6D6cjkC8BAcjkC4A3cjkD0CDcjkB6E0cjkD6D6cjkC8BAcjkC4A3cjkD0CD cjkB5DAcjkC8FDcjkB2BDcjkA3BAcjkB2B6cjkCAB3cjkD5DFcjkC0EBcjkBFAAcjkCAB3cjkB6FCcjkCEDEcjkB7A8cjkC9FAcjkB4E6cjkA3ACcjkC9E8cjkC6E4cjkD7D4cjkC8BBcjkCBC0cjkCDF6cjkC2CA cjkCEAAr2(> 0)cjkA3ACcjkD4F2 ˙x2/x2 = ?r2cjkA1A3cjkB6F8cjkCAB3cjkB6FCcjkCEAAcjkCBFCcjkCCE1cjkB9A9cjkCAB3cjkCEEFcjkB5C4cjkD7F7cjkD3C3cjkCFE0cjkB5B1 cjkD3DAcjkCAB9cjkCBC0cjkCDF6cjkC2CAcjkBDB5cjkB5CDcjkA3ACcjkB4D9cjkBDF8cjkC1CBcjkC6E4cjkD4F6cjkB3A4cjkA1A3cjkC9E8cjkD5E2cjkB8F6cjkD7F7cjkD3C3cjkD3EBcjkCAB3cjkB6FCcjkCAFDcjkC1BFcjkB3C9cjkD5FD cjkB1C8cjkA3ACcjkD3DAcjkCAC7cjkA3BA ˙x2 x2 = ?r2 + α2x1 ∴ ˙x2 = x2(?r2 + α2x1) defines g(x1,x2) (8) cjkB1C8cjkC0FDcjkCFB5cjkCAFD α2 cjkB7B4cjkD3B3cjkCAB3cjkB6FCcjkB6D4cjkB2B6cjkCAB3cjkD5DFcjkB5C4cjkB9A9cjkD1F8cjkC4DCcjkC1A6cjkA1A3 cjkB7BDcjkB3CCcjkA3A87cjkA3A9cjkA1A2cjkA3A88cjkA3A9cjkB1EDcjkCABEcjkD4DAcjkD5FDcjkB3A3cjkB5C4cjkC7E9cjkBFF6cjkCFC2cjkA3ACcjkC1BDcjkC0E0cjkD3E3cjkCFE0cjkBBA5cjkD6AEcjkBCE4cjkB5C4 cjkD3B0cjkCFECcjkB9D8cjkCFB5cjkA1A3 cjkB9FAcjkB7C0cjkBFC6cjkBCBCcjkB4F3cjkD1A7 cjkCAFDcjkD1A7cjkBDA8cjkC4A3 cjkD6D6cjkC8BAcjkC4A3cjkD0CD cjkB5A5cjkD6D6cjkC8BAcjkC4A3cjkD0CDcjkB6E0cjkD6D6cjkC8BAcjkC4A3cjkD0CD cjkB5DAcjkC8FDcjkB2BDcjkA3BAcjkB2B6cjkCAB3cjkD5DFcjkC0EBcjkBFAAcjkCAB3cjkB6FCcjkCEDEcjkB7A8cjkC9FAcjkB4E6cjkA3ACcjkC9E8cjkC6E4cjkD7D4cjkC8BBcjkCBC0cjkCDF6cjkC2CA cjkCEAAr2(> 0)cjkA3ACcjkD4F2 ˙x2/x2 = ?r2cjkA1A3cjkB6F8cjkCAB3cjkB6FCcjkCEAAcjkCBFCcjkCCE1cjkB9A9cjkCAB3cjkCEEFcjkB5C4cjkD7F7cjkD3C3cjkCFE0cjkB5B1 cjkD3DAcjkCAB9cjkCBC0cjkCDF6cjkC2CAcjkBDB5cjkB5CDcjkA3ACcjkB4D9cjkBDF8cjkC1CBcjkC6E4cjkD4F6cjkB3A4cjkA1A3cjkC9E8cjkD5E2cjkB8F6cjkD7F7cjkD3C3cjkD3EBcjkCAB3cjkB6FCcjkCAFDcjkC1BFcjkB3C9cjkD5FD cjkB1C8cjkA3ACcjkD3DAcjkCAC7cjkA3BA ˙x2 x2 = ?r2 + α2x1 ∴ ˙x2 = x2(?r2 + α2x1) defines g(x1,x2) (8) cjkB1C8cjkC0FDcjkCFB5cjkCAFD α2 cjkB7B4cjkD3B3cjkCAB3cjkB6FCcjkB6D4cjkB2B6cjkCAB3cjkD5DFcjkB5C4cjkB9A9cjkD1F8cjkC4DCcjkC1A6cjkA1A3 cjkB7BDcjkB3CCcjkA3A87cjkA3A9cjkA1A2cjkA3A88cjkA3A9cjkB1EDcjkCABEcjkD4DAcjkD5FDcjkB3A3cjkB5C4cjkC7E9cjkBFF6cjkCFC2cjkA3ACcjkC1BDcjkC0E0cjkD3E3cjkCFE0cjkBBA5cjkD6AEcjkBCE4cjkB5C4 cjkD3B0cjkCFECcjkB9D8cjkCFB5cjkA1A3 cjkB9FAcjkB7C0cjkBFC6cjkBCBCcjkB4F3cjkD1A7 cjkCAFDcjkD1A7cjkBDA8cjkC4A3 cjkD6D6cjkC8BAcjkC4A3cjkD0CD cjkB5A5cjkD6D6cjkC8BAcjkC4A3cjkD0CDcjkB6E0cjkD6D6cjkC8BAcjkC4A3cjkD0CD cjkC8DDcjkD2D7cjkB5C3cjkB5BDcjkB7BDcjkB3CCcjkD7E9cjkA3A87cjkA3A9cjkA1A2cjkA3A88cjkA3A9cjkB5C4cjkC6BDcjkBAE2cjkB5E3cjkCEAA P0 parenleftbiggr 2 α2, r1 α1 parenrightbigg , P1(0,0) cjkC8D4cjkD3C3cjkCFDFcjkD0D4cjkBBAFcjkB5C4cjkB7BDcjkB7A8cjkD1D0cjkBEBFcjkC6BDcjkBAE2cjkB5E3cjkB5C4cjkCEC8cjkB6A8cjkD0D4cjkA1A3 fx1 = r1 ?α1x2, fx2 = ?α1x1 gx1 = α2x2, gx2 = ?r2 + α1x1 cjkB9FAcjkB7C0cjkBFC6cjkBCBCcjkB4F3cjkD1A7 cjkCAFDcjkD1A7cjkBDA8cjkC4A3 cjkD6D6cjkC8BAcjkC4A3cjkD0CD cjkB5A5cjkD6D6cjkC8BAcjkC4A3cjkD0CDcjkB6E0cjkD6D6cjkC8BAcjkC4A3cjkD0CD cjkC8DDcjkD2D7cjkB5C3cjkB5BDcjkB7BDcjkB3CCcjkD7E9cjkA3A87cjkA3A9cjkA1A2cjkA3A88cjkA3A9cjkB5C4cjkC6BDcjkBAE2cjkB5E3cjkCEAA P0 parenleftbiggr 2 α2, r1 α1 parenrightbigg , P1(0,0) cjkC8D4cjkD3C3cjkCFDFcjkD0D4cjkBBAFcjkB5C4cjkB7BDcjkB7A8cjkD1D0cjkBEBFcjkC6BDcjkBAE2cjkB5E3cjkB5C4cjkCEC8cjkB6A8cjkD0D4cjkA1A3 fx1 = r1 ?α1x2, fx2 = ?α1x1 gx1 = α2x2, gx2 = ?r2 + α1x1 cjkB9FAcjkB7C0cjkBFC6cjkBCBCcjkB4F3cjkD1A7 cjkCAFDcjkD1A7cjkBDA8cjkC4A3 cjkD6D6cjkC8BAcjkC4A3cjkD0CD cjkB5A5cjkD6D6cjkC8BAcjkC4A3cjkD0CDcjkB6E0cjkD6D6cjkC8BAcjkC4A3cjkD0CD cjkB6D4cjkD3DA P1(0,0) cjkB5E3cjkA3BA a11 = r1, a12 = 0, a21 = 0, a22 = ?r2 ? λ1 = r1, λ2 = ?r2 ?cjkC1BDcjkB8F6cjkCCD8cjkD5F7cjkB8F9cjkCEAAcjkD2ECcjkBAC5cjkCAB5cjkCAFDcjkA3ACcjkB9CA P1(0,0) cjkB5E3cjkB2BBcjkCEC8cjkB6A8cjkA1A3 cjkB6D4cjkD3DA P0 parenleftbiggr 2 α2, r1 α1 parenrightbigg cjkA3BA a11 = 0, a12 = ?α1r2α 2 , a21 = α2r1α 1 , a22 = 0 cjkCCD8cjkD5F7cjkB7BDcjkB3CCcjkCEAA λ2 + r1r2 = 0 cjkB9FAcjkB7C0cjkBFC6cjkBCBCcjkB4F3cjkD1A7 cjkCAFDcjkD1A7cjkBDA8cjkC4A3 cjkD6D6cjkC8BAcjkC4A3cjkD0CD cjkB5A5cjkD6D6cjkC8BAcjkC4A3cjkD0CDcjkB6E0cjkD6D6cjkC8BAcjkC4A3cjkD0CD cjkB6D4cjkD3DA P1(0,0) cjkB5E3cjkA3BA a11 = r1, a12 = 0, a21 = 0, a22 = ?r2 ? λ1 = r1, λ2 = ?r2 ?cjkC1BDcjkB8F6cjkCCD8cjkD5F7cjkB8F9cjkCEAAcjkD2ECcjkBAC5cjkCAB5cjkCAFDcjkA3ACcjkB9CA P1(0,0) cjkB5E3cjkB2BBcjkCEC8cjkB6A8cjkA1A3 cjkB6D4cjkD3DA P0 parenleftbiggr 2 α2, r1 α1 parenrightbigg cjkA3BA a11 = 0, a12 = ?α1r2α 2 , a21 = α2r1α 1 , a22 = 0 cjkCCD8cjkD5F7cjkB7BDcjkB3CCcjkCEAA λ2 + r1r2 = 0 cjkB9FAcjkB7C0cjkBFC6cjkBCBCcjkB4F3cjkD1A7 cjkCAFDcjkD1A7cjkBDA8cjkC4A3 cjkD6D6cjkC8BAcjkC4A3cjkD0CD cjkB5A5cjkD6D6cjkC8BAcjkC4A3cjkD0CDcjkB6E0cjkD6D6cjkC8BAcjkC4A3cjkD0CD cjkB6D4cjkD3DA P1(0,0) cjkB5E3cjkA3BA a11 = r1, a12 = 0, a21 = 0, a22 = ?r2 ? λ1 = r1, λ2 = ?r2 ?cjkC1BDcjkB8F6cjkCCD8cjkD5F7cjkB8F9cjkCEAAcjkD2ECcjkBAC5cjkCAB5cjkCAFDcjkA3ACcjkB9CA P1(0,0) cjkB5E3cjkB2BBcjkCEC8cjkB6A8cjkA1A3 cjkB6D4cjkD3DA P0 parenleftbiggr 2 α2, r1 α1 parenrightbigg cjkA3BA a11 = 0, a12 = ?α1r2α 2 , a21 = α2r1α 1 , a22 = 0 cjkCCD8cjkD5F7cjkB7BDcjkB3CCcjkCEAA λ2 + r1r2 = 0 cjkB9FAcjkB7C0cjkBFC6cjkBCBCcjkB4F3cjkD1A7 cjkCAFDcjkD1A7cjkBDA8cjkC4A3 cjkD6D6cjkC8BAcjkC4A3cjkD0CD cjkB5A5cjkD6D6cjkC8BAcjkC4A3cjkD0CDcjkB6E0cjkD6D6cjkC8BAcjkC4A3cjkD0CD cjkB5BDcjkCFE0cjkBFD5cjkBCE4cjkD6D0cjkC8A5cjkB7D6cjkCEF6cjkCFE0cjkB9ECcjkCFDFcjkB5C4cjkD4B2cjkD0CEcjkA3ACcjkD4DAcjkA3A87cjkA3A9cjkA1A2cjkA3A88cjkA3A9cjkD6D0cjkCFFB cjkC8A5 dt cjkB5C3cjkA3BA dx1 dx2 = x1(r1 ?α1x2) x2(?r2 + α2x1) ? ?r2 + α2x1x 1 dx1 = r1 + α1x2x 2 dx2 ? ?r2 lnx1 + α2x1 = r1 lnx2 ?α1x2 + C1 ? (xr21 ·e?α2x1)·(xr12 ·e?α1x2) = C cjkB9FAcjkB7C0cjkBFC6cjkBCBCcjkB4F3cjkD1A7 cjkCAFDcjkD1A7cjkBDA8cjkC4A3 cjkD6D6cjkC8BAcjkC4A3cjkD0CD cjkB5A5cjkD6D6cjkC8BAcjkC4A3cjkD0CDcjkB6E0cjkD6D6cjkC8BAcjkC4A3cjkD0CD cjkB5BDcjkCFE0cjkBFD5cjkBCE4cjkD6D0cjkC8A5cjkB7D6cjkCEF6cjkCFE0cjkB9ECcjkCFDFcjkB5C4cjkD4B2cjkD0CEcjkA3ACcjkD4DAcjkA3A87cjkA3A9cjkA1A2cjkA3A88cjkA3A9cjkD6D0cjkCFFB cjkC8A5 dt cjkB5C3cjkA3BA dx1 dx2 = x1(r1 ?α1x2) x2(?r2 + α2x1) ? ?r2 + α2x1x 1 dx1 = r1 + α1x2x 2 dx2 ? ?r2 lnx1 + α2x1 = r1 lnx2 ?α1x2 + C1 ? (xr21 ·e?α2x1)·(xr12 ·e?α1x2) = C cjkB9FAcjkB7C0cjkBFC6cjkBCBCcjkB4F3cjkD1A7 cjkCAFDcjkD1A7cjkBDA8cjkC4A3 cjkD6D6cjkC8BAcjkC4A3cjkD0CD cjkB5A5cjkD6D6cjkC8BAcjkC4A3cjkD0CDcjkB6E0cjkD6D6cjkC8BAcjkC4A3cjkD0CD cjkB6A8cjkC0ED cjkB5B1 x1,x2 > 0 cjkCAB1cjkA3ACcjkB7BDcjkB3CC (xr21 ·e?α2x1)·(xr12 ·e?α1x2) = C (9) cjkB6A8cjkD2E5cjkC1CBcjkD2BBcjkD7E5cjkB7E2cjkB1D5cjkC7FAcjkCFDFcjkA1A3 cjkB4CBcjkB7E2cjkB1D5cjkB9ECcjkCFDFcjkB5C4cjkB7BDcjkCFF2cjkCEAAcjkC4E6cjkCAB1cjkD5EBcjkB7BDcjkCFF2cjkA3A8cjkD3C9cjkB5BCcjkCAFDcjkB7FBcjkBAC5cjkC8B7cjkB6A8cjkA3A9 cjkB5B1 C cjkB4D3 M1M2 cjkB1E4cjkD0A1cjkB6F8cjkC7F7cjkD3DAcjkC1E3cjkCAB1cjkA3ACcjkB9ECcjkCFDFcjkCAC7cjkD2BBcjkD7E5cjkD2D4cjkC6BDcjkBAE2cjkB5E3 P0 cjkCEAAcjkD6D0cjkD0C4cjkA3ACcjkD4BDcjkC0B4cjkD4BDcjkC0A9cjkD5B9cjkB5C4cjkB7E2cjkB1D5cjkC7FAcjkCFDFcjkA1A3 cjkB9FAcjkB7C0cjkBFC6cjkBCBCcjkB4F3cjkD1A7 cjkCAFDcjkD1A7cjkBDA8cjkC4A3 cjkD6D6cjkC8BAcjkC4A3cjkD0CD cjkB5A5cjkD6D6cjkC8BAcjkC4A3cjkD0CDcjkB6E0cjkD6D6cjkC8BAcjkC4A3cjkD0CD cjkB6A8cjkC0ED cjkB5B1 x1,x2 > 0 cjkCAB1cjkA3ACcjkB7BDcjkB3CC (xr21 ·e?α2x1)·(xr12 ·e?α1x2) = C (9) cjkB6A8cjkD2E5cjkC1CBcjkD2BBcjkD7E5cjkB7E2cjkB1D5cjkC7FAcjkCFDFcjkA1A3 cjkB4CBcjkB7E2cjkB1D5cjkB9ECcjkCFDFcjkB5C4cjkB7BDcjkCFF2cjkCEAAcjkC4E6cjkCAB1cjkD5EBcjkB7BDcjkCFF2cjkA3A8cjkD3C9cjkB5BCcjkCAFDcjkB7FBcjkBAC5cjkC8B7cjkB6A8cjkA3A9 cjkB5B1 C cjkB4D3 M1M2 cjkB1E4cjkD0A1cjkB6F8cjkC7F7cjkD3DAcjkC1E3cjkCAB1cjkA3ACcjkB9ECcjkCFDFcjkCAC7cjkD2BBcjkD7E5cjkD2D4cjkC6BDcjkBAE2cjkB5E3 P0 cjkCEAAcjkD6D0cjkD0C4cjkA3ACcjkD4BDcjkC0B4cjkD4BDcjkC0A9cjkD5B9cjkB5C4cjkB7E2cjkB1D5cjkC7FAcjkCFDFcjkA1A3 cjkB9FAcjkB7C0cjkBFC6cjkBCBCcjkB4F3cjkD1A7 cjkCAFDcjkD1A7cjkBDA8cjkC4A3 cjkD6D6cjkC8BAcjkC4A3cjkD0CD cjkB5A5cjkD6D6cjkC8BAcjkC4A3cjkD0CDcjkB6E0cjkD6D6cjkC8BAcjkC4A3cjkD0CD cjkB6A8cjkC0ED cjkB5B1 x1,x2 > 0 cjkCAB1cjkA3ACcjkB7BDcjkB3CC (xr21 ·e?α2x1)·(xr12 ·e?α1x2) = C (9) cjkB6A8cjkD2E5cjkC1CBcjkD2BBcjkD7E5cjkB7E2cjkB1D5cjkC7FAcjkCFDFcjkA1A3 cjkB4CBcjkB7E2cjkB1D5cjkB9ECcjkCFDFcjkB5C4cjkB7BDcjkCFF2cjkCEAAcjkC4E6cjkCAB1cjkD5EBcjkB7BDcjkCFF2cjkA3A8cjkD3C9cjkB5BCcjkCAFDcjkB7FBcjkBAC5cjkC8B7cjkB6A8cjkA3A9 cjkB5B1 C cjkB4D3 M1M2 cjkB1E4cjkD0A1cjkB6F8cjkC7F7cjkD3DAcjkC1E3cjkCAB1cjkA3ACcjkB9ECcjkCFDFcjkCAC7cjkD2BBcjkD7E5cjkD2D4cjkC6BDcjkBAE2cjkB5E3 P0 cjkCEAAcjkD6D0cjkD0C4cjkA3ACcjkD4BDcjkC0B4cjkD4BDcjkC0A9cjkD5B9cjkB5C4cjkB7E2cjkB1D5cjkC7FAcjkCFDFcjkA1A3 cjkB9FAcjkB7C0cjkBFC6cjkBCBCcjkB4F3cjkD1A7 cjkCAFDcjkD1A7cjkBDA8cjkC4A3 cjkD6D6cjkC8BAcjkC4A3cjkD0CD cjkB5A5cjkD6D6cjkC8BAcjkC4A3cjkD0CDcjkB6E0cjkD6D6cjkC8BAcjkC4A3cjkD0CD cjkB7E2cjkB1D5cjkB9ECcjkCFDFcjkB6D4cjkD3A6cjkD7C5cjkB7BDcjkB3CC(9)cjkB5C4cjkD6DCcjkC6DAcjkBDE2 x1 = x1(t), x2 = x2(t)cjkA3AC cjkCBF9cjkD2D4 P0 cjkCAC7cjkB2BBcjkCEC8cjkB6A8cjkB5C4cjkA3ACcjkCED2cjkC3C7cjkD3C3cjkD2BBcjkB8F6cjkD6DCcjkC6DAcjkC4DAcjkB5C4cjkC6BDcjkBEF9cjkD6B5cjkD7F7cjkCEAAcjkCAB3cjkB6FCcjkD3EBcjkB2B6 cjkCAB3cjkD5DFcjkB5C4cjkBDFCcjkCBC6cjkD6B5cjkA1A3 ˉx1 = 1T integraldisplay T 0 x1(t)dt = 1T integraldisplay T 0 1 α2 parenleftbigg r2 + ˙x2x 2 parenrightbigg dt = r2α 2 = x01 ˉx2 = 1T integraldisplay T 0 x2(t)dt = 1T integraldisplay T 0 1 α1 parenleftbigg r1 ? ˙x1x 1 parenrightbigg dt = r1α 1 = x02 cjkB9FAcjkB7C0cjkBFC6cjkBCBCcjkB4F3cjkD1A7 cjkCAFDcjkD1A7cjkBDA8cjkC4A3 cjkD6D6cjkC8BAcjkC4A3cjkD0CD cjkB5A5cjkD6D6cjkC8BAcjkC4A3cjkD0CDcjkB6E0cjkD6D6cjkC8BAcjkC4A3cjkD0CD cjkC4A3cjkD0CDcjkBDE2cjkCACD 1. cjkB2B6cjkCAB3cjkD5DFcjkCBC0cjkCDF6cjkC2CAcjkB5C4cjkCFC2cjkBDB5cjkA3A8r2 arrowsoutheastcjkA3A9cjkBBF2cjkCAB3cjkB6FCcjkB6D4cjkB2B6cjkCAB3cjkD5DFcjkB5C4cjkB9A9cjkD1F8cjkC4DCcjkC1A6 cjkB5C4cjkD4F6cjkBCD3cjkA3A8α2 arrownortheastcjkA3A9cjkB6BCcjkBDABcjkB5BCcjkD6C2cjkCAB3cjkB6FCcjkB5C4cjkBCF5cjkC9D9cjkA3A8ˉx1 arrowsoutheastcjkA3A9cjkA3BB 2. cjkCAB3cjkB6FCcjkD4F6cjkB3A4cjkC2CAcjkB5C4cjkCFC2cjkBDB5cjkA3A8r1 arrowsoutheastcjkA3A9cjkBBF2cjkB2B6cjkCAB3cjkD5DFcjkB5C4cjkC2D3cjkCAB3cjkC4DCcjkC1A6cjkB5C4cjkD4F6cjkBCD3 cjkA3A8α1 arrownortheastcjkA3A9cjkB6BCcjkBDABcjkB5BCcjkD6C2cjkB2B6cjkCAB3cjkD5DFcjkCAFDcjkC1BFcjkB5C4cjkBCF5cjkC9D9cjkA3A8ˉx2 arrowsoutheastcjkA3A9cjkA3BB 3. cjkD6DCcjkC6DAcjkD0D4cjkBFC9cjkD2D4cjkBDE2cjkCACDcjkCEAAcjkB5B1cjkCAB3cjkD3C3cjkD3E3cjkB4F3cjkC1BFcjkD4F6cjkBCD3cjkCAB1cjkA3ACcjkF6E8cjkD3E3cjkD3C9cjkD3DAcjkD3D0cjkC1CBcjkB7E1cjkB8BB cjkB5C4cjkCAB3cjkCEEFcjkB6F8cjkB4F3cjkC1BFcjkD4F6cjkBCD3cjkA3ACcjkB4D3cjkB6F8cjkB4F3cjkC1BFcjkB5C4cjkCAB3cjkD3C3cjkD3E3cjkB1BBcjkCDCCcjkB3D4cjkA3ACcjkCAFDcjkC1BFcjkBCB1cjkBEE7cjkBCF5 cjkC9D9cjkA3ACcjkB7B4cjkB9FDcjkC0B4cjkD4ECcjkB3C9cjkF6E8cjkD3E3cjkB5C4cjkBCF5cjkC9D9cjkA3ACcjkB6F8cjkF6E8cjkD3E3cjkB5C4cjkBCF5cjkC9D9cjkD3D6cjkB4D9cjkCAB9cjkCAB3cjkD3C3cjkD3E3 cjkB4F3cjkC1BFcjkD4F6cjkBCD3cjkA3ACcjkC8E7cjkB4CBcjkD1ADcjkBBB7cjkCDF9cjkB8B4cjkA3ACcjkD0CEcjkB3C9cjkD6DCcjkC6DAcjkD0D4cjkA1A3 cjkB9FAcjkB7C0cjkBFC6cjkBCBCcjkB4F3cjkD1A7 cjkCAFDcjkD1A7cjkBDA8cjkC4A3 cjkD6D6cjkC8BAcjkC4A3cjkD0CD cjkB5A5cjkD6D6cjkC8BAcjkC4A3cjkD0CDcjkB6E0cjkD6D6cjkC8BAcjkC4A3cjkD0CD cjkC4A3cjkD0CDcjkBDE2cjkCACD 1. cjkB2B6cjkCAB3cjkD5DFcjkCBC0cjkCDF6cjkC2CAcjkB5C4cjkCFC2cjkBDB5cjkA3A8r2 arrowsoutheastcjkA3A9cjkBBF2cjkCAB3cjkB6FCcjkB6D4cjkB2B6cjkCAB3cjkD5DFcjkB5C4cjkB9A9cjkD1F8cjkC4DCcjkC1A6 cjkB5C4cjkD4F6cjkBCD3cjkA3A8α2 arrownortheastcjkA3A9cjkB6BCcjkBDABcjkB5BCcjkD6C2cjkCAB3cjkB6FCcjkB5C4cjkBCF5cjkC9D9cjkA3A8ˉx1 arrowsoutheastcjkA3A9cjkA3BB 2. cjkCAB3cjkB6FCcjkD4F6cjkB3A4cjkC2CAcjkB5C4cjkCFC2cjkBDB5cjkA3A8r1 arrowsoutheastcjkA3A9cjkBBF2cjkB2B6cjkCAB3cjkD5DFcjkB5C4cjkC2D3cjkCAB3cjkC4DCcjkC1A6cjkB5C4cjkD4F6cjkBCD3 cjkA3A8α1 arrownortheastcjkA3A9cjkB6BCcjkBDABcjkB5BCcjkD6C2cjkB2B6cjkCAB3cjkD5DFcjkCAFDcjkC1BFcjkB5C4cjkBCF5cjkC9D9cjkA3A8ˉx2 arrowsoutheastcjkA3A9cjkA3BB 3. cjkD6DCcjkC6DAcjkD0D4cjkBFC9cjkD2D4cjkBDE2cjkCACDcjkCEAAcjkB5B1cjkCAB3cjkD3C3cjkD3E3cjkB4F3cjkC1BFcjkD4F6cjkBCD3cjkCAB1cjkA3ACcjkF6E8cjkD3E3cjkD3C9cjkD3DAcjkD3D0cjkC1CBcjkB7E1cjkB8BB cjkB5C4cjkCAB3cjkCEEFcjkB6F8cjkB4F3cjkC1BFcjkD4F6cjkBCD3cjkA3ACcjkB4D3cjkB6F8cjkB4F3cjkC1BFcjkB5C4cjkCAB3cjkD3C3cjkD3E3cjkB1BBcjkCDCCcjkB3D4cjkA3ACcjkCAFDcjkC1BFcjkBCB1cjkBEE7cjkBCF5 cjkC9D9cjkA3ACcjkB7B4cjkB9FDcjkC0B4cjkD4ECcjkB3C9cjkF6E8cjkD3E3cjkB5C4cjkBCF5cjkC9D9cjkA3ACcjkB6F8cjkF6E8cjkD3E3cjkB5C4cjkBCF5cjkC9D9cjkD3D6cjkB4D9cjkCAB9cjkCAB3cjkD3C3cjkD3E3 cjkB4F3cjkC1BFcjkD4F6cjkBCD3cjkA3ACcjkC8E7cjkB4CBcjkD1ADcjkBBB7cjkCDF9cjkB8B4cjkA3ACcjkD0CEcjkB3C9cjkD6DCcjkC6DAcjkD0D4cjkA1A3 cjkB9FAcjkB7C0cjkBFC6cjkBCBCcjkB4F3cjkD1A7 cjkCAFDcjkD1A7cjkBDA8cjkC4A3 cjkD6D6cjkC8BAcjkC4A3cjkD0CD cjkB5A5cjkD6D6cjkC8BAcjkC4A3cjkD0CDcjkB6E0cjkD6D6cjkC8BAcjkC4A3cjkD0CD cjkC4A3cjkD0CDcjkBDE2cjkCACD 1. cjkB2B6cjkCAB3cjkD5DFcjkCBC0cjkCDF6cjkC2CAcjkB5C4cjkCFC2cjkBDB5cjkA3A8r2 arrowsoutheastcjkA3A9cjkBBF2cjkCAB3cjkB6FCcjkB6D4cjkB2B6cjkCAB3cjkD5DFcjkB5C4cjkB9A9cjkD1F8cjkC4DCcjkC1A6 cjkB5C4cjkD4F6cjkBCD3cjkA3A8α2 arrownortheastcjkA3A9cjkB6BCcjkBDABcjkB5BCcjkD6C2cjkCAB3cjkB6FCcjkB5C4cjkBCF5cjkC9D9cjkA3A8ˉx1 arrowsoutheastcjkA3A9cjkA3BB 2. cjkCAB3cjkB6FCcjkD4F6cjkB3A4cjkC2CAcjkB5C4cjkCFC2cjkBDB5cjkA3A8r1 arrowsoutheastcjkA3A9cjkBBF2cjkB2B6cjkCAB3cjkD5DFcjkB5C4cjkC2D3cjkCAB3cjkC4DCcjkC1A6cjkB5C4cjkD4F6cjkBCD3 cjkA3A8α1 arrownortheastcjkA3A9cjkB6BCcjkBDABcjkB5BCcjkD6C2cjkB2B6cjkCAB3cjkD5DFcjkCAFDcjkC1BFcjkB5C4cjkBCF5cjkC9D9cjkA3A8ˉx2 arrowsoutheastcjkA3A9cjkA3BB 3. cjkD6DCcjkC6DAcjkD0D4cjkBFC9cjkD2D4cjkBDE2cjkCACDcjkCEAAcjkB5B1cjkCAB3cjkD3C3cjkD3E3cjkB4F3cjkC1BFcjkD4F6cjkBCD3cjkCAB1cjkA3ACcjkF6E8cjkD3E3cjkD3C9cjkD3DAcjkD3D0cjkC1CBcjkB7E1cjkB8BB cjkB5C4cjkCAB3cjkCEEFcjkB6F8cjkB4F3cjkC1BFcjkD4F6cjkBCD3cjkA3ACcjkB4D3cjkB6F8cjkB4F3cjkC1BFcjkB5C4cjkCAB3cjkD3C3cjkD3E3cjkB1BBcjkCDCCcjkB3D4cjkA3ACcjkCAFDcjkC1BFcjkBCB1cjkBEE7cjkBCF5 cjkC9D9cjkA3ACcjkB7B4cjkB9FDcjkC0B4cjkD4ECcjkB3C9cjkF6E8cjkD3E3cjkB5C4cjkBCF5cjkC9D9cjkA3ACcjkB6F8cjkF6E8cjkD3E3cjkB5C4cjkBCF5cjkC9D9cjkD3D6cjkB4D9cjkCAB9cjkCAB3cjkD3C3cjkD3E3 cjkB4F3cjkC1BFcjkD4F6cjkBCD3cjkA3ACcjkC8E7cjkB4CBcjkD1ADcjkBBB7cjkCDF9cjkB8B4cjkA3ACcjkD0CEcjkB3C9cjkD6DCcjkC6DAcjkD0D4cjkA1A3 cjkB9FAcjkB7C0cjkBFC6cjkBCBCcjkB4F3cjkD1A7 cjkCAFDcjkD1A7cjkBDA8cjkC4A3 cjkD6D6cjkC8BAcjkC4A3cjkD0CD cjkB5A5cjkD6D6cjkC8BAcjkC4A3cjkD0CDcjkB6E0cjkD6D6cjkC8BAcjkC4A3cjkD0CD cjkC4A3cjkD0CDcjkBDE2cjkCACD 1. cjkB2B6cjkCAB3cjkD5DFcjkCBC0cjkCDF6cjkC2CAcjkB5C4cjkCFC2cjkBDB5cjkA3A8r2 arrowsoutheastcjkA3A9cjkBBF2cjkCAB3cjkB6FCcjkB6D4cjkB2B6cjkCAB3cjkD5DFcjkB5C4cjkB9A9cjkD1F8cjkC4DCcjkC1A6 cjkB5C4cjkD4F6cjkBCD3cjkA3A8α2 arrownortheastcjkA3A9cjkB6BCcjkBDABcjkB5BCcjkD6C2cjkCAB3cjkB6FCcjkB5C4cjkBCF5cjkC9D9cjkA3A8ˉx1 arrowsoutheastcjkA3A9cjkA3BB 2. cjkCAB3cjkB6FCcjkD4F6cjkB3A4cjkC2CAcjkB5C4cjkCFC2cjkBDB5cjkA3A8r1 arrowsoutheastcjkA3A9cjkBBF2cjkB2B6cjkCAB3cjkD5DFcjkB5C4cjkC2D3cjkCAB3cjkC4DCcjkC1A6cjkB5C4cjkD4F6cjkBCD3 cjkA3A8α1 arrownortheastcjkA3A9cjkB6BCcjkBDABcjkB5BCcjkD6C2cjkB2B6cjkCAB3cjkD5DFcjkCAFDcjkC1BFcjkB5C4cjkBCF5cjkC9D9cjkA3A8ˉx2 arrowsoutheastcjkA3A9cjkA3BB 3. cjkD6DCcjkC6DAcjkD0D4cjkBFC9cjkD2D4cjkBDE2cjkCACDcjkCEAAcjkB5B1cjkCAB3cjkD3C3cjkD3E3cjkB4F3cjkC1BFcjkD4F6cjkBCD3cjkCAB1cjkA3ACcjkF6E8cjkD3E3cjkD3C9cjkD3DAcjkD3D0cjkC1CBcjkB7E1cjkB8BB cjkB5C4cjkCAB3cjkCEEFcjkB6F8cjkB4F3cjkC1BFcjkD4F6cjkBCD3cjkA3ACcjkB4D3cjkB6F8cjkB4F3cjkC1BFcjkB5C4cjkCAB3cjkD3C3cjkD3E3cjkB1BBcjkCDCCcjkB3D4cjkA3ACcjkCAFDcjkC1BFcjkBCB1cjkBEE7cjkBCF5 cjkC9D9cjkA3ACcjkB7B4cjkB9FDcjkC0B4cjkD4ECcjkB3C9cjkF6E8cjkD3E3cjkB5C4cjkBCF5cjkC9D9cjkA3ACcjkB6F8cjkF6E8cjkD3E3cjkB5C4cjkBCF5cjkC9D9cjkD3D6cjkB4D9cjkCAB9cjkCAB3cjkD3C3cjkD3E3 cjkB4F3cjkC1BFcjkD4F6cjkBCD3cjkA3ACcjkC8E7cjkB4CBcjkD1ADcjkBBB7cjkCDF9cjkB8B4cjkA3ACcjkD0CEcjkB3C9cjkD6DCcjkC6DAcjkD0D4cjkA1A3 cjkB9FAcjkB7C0cjkBFC6cjkBCBCcjkB4F3cjkD1A7 cjkCAFDcjkD1A7cjkBDA8cjkC4A3 cjkD6D6cjkC8BAcjkC4A3cjkD0CD cjkB5A5cjkD6D6cjkC8BAcjkC4A3cjkD0CDcjkB6E0cjkD6D6cjkC8BAcjkC4A3cjkD0CD cjkCFC2cjkC3E6cjkD3C3cjkD5E2cjkB8F6cjkC4A3cjkD0CDcjkBDE2cjkCACDcjkCEAAcjkCAB2cjkC3B4cjkD5BDcjkD5F9cjkCAB1cjkC6DAcjkB2B6cjkC0CCcjkC1BFcjkCFC2cjkBDB5cjkD3D0cjkC0FBcjkD3DAcjkF6E8cjkD3E3 cjkB7B1cjkD6B3cjkB5C4cjkCECAcjkCCE2cjkA1A3 cjkC9E8cjkB1EDcjkCABEcjkB2B6cjkC0CCcjkC4DCcjkC1A6cjkB5C4cjkCFB5cjkCAFDcjkCEAAecjkA3ACcjkD4F2cjkCFE0cjkB5B1cjkD3DAcjkCAB3cjkB6FCcjkB5C4cjkD7D4cjkC8BBcjkD4F6cjkB3A4cjkC2CA cjkD3C9 r1 cjkCFC2cjkBDB5cjkCEAAr1 ?ecjkA3ACcjkB2B6cjkCAB3cjkD5DFcjkB5C4cjkCBC0cjkCDF6cjkC2CAcjkD3C9 r2 cjkD4F6cjkBCD3cjkCEAAr2 + ecjkA1A3 cjkD3C3 y1(t) cjkBACD y2(t) cjkB1EDcjkCABEcjkD5E2cjkD6D6cjkC7E9cjkBFF6cjkCFC2cjkCAB3cjkB6FCcjkBACDcjkB2B6cjkCAB3cjkD5DFcjkB5C4cjkCAFDcjkC1BFcjkA3ACcjkC6BDcjkBEF9cjkCAFD cjkC1BFcjkCEAA ˉy1 = r2 + eα 2 , ˉy2 = r1 ?eα 1 cjkD3DAcjkCAC7cjkA3ACˉy1 cjkB9D8cjkD3DA e arrownortheastcjkA3ACˉy2 cjkB9D8cjkD3DA e arrowsoutheastcjkA1A3cjkB2B6cjkC0CCcjkB5C4cjkD4BDcjkB6E0cjkA3ACcjkD4F2cjkCAB3cjkD3C3cjkD3E3cjkCAFDcjkC1BF cjkD4F6cjkBCD3cjkA3ACcjkD5E2cjkD1F9cjkA3ACVoltera cjkC4A3cjkD0CDcjkB1E3cjkBDE2cjkCACDcjkC1CB D’Ancona cjkCCE1cjkB3F6cjkB5C4cjkCECAcjkCCE2cjkA1A3 cjkB9FAcjkB7C0cjkBFC6cjkBCBCcjkB4F3cjkD1A7 cjkCAFDcjkD1A7cjkBDA8cjkC4A3 cjkD6D6cjkC8BAcjkC4A3cjkD0CD cjkB5A5cjkD6D6cjkC8BAcjkC4A3cjkD0CDcjkB6E0cjkD6D6cjkC8BAcjkC4A3cjkD0CD cjkCFC2cjkC3E6cjkD3C3cjkD5E2cjkB8F6cjkC4A3cjkD0CDcjkBDE2cjkCACDcjkCEAAcjkCAB2cjkC3B4cjkD5BDcjkD5F9cjkCAB1cjkC6DAcjkB2B6cjkC0CCcjkC1BFcjkCFC2cjkBDB5cjkD3D0cjkC0FBcjkD3DAcjkF6E8cjkD3E3 cjkB7B1cjkD6B3cjkB5C4cjkCECAcjkCCE2cjkA1A3 cjkC9E8cjkB1EDcjkCABEcjkB2B6cjkC0CCcjkC4DCcjkC1A6cjkB5C4cjkCFB5cjkCAFDcjkCEAAecjkA3ACcjkD4F2cjkCFE0cjkB5B1cjkD3DAcjkCAB3cjkB6FCcjkB5C4cjkD7D4cjkC8BBcjkD4F6cjkB3A4cjkC2CA cjkD3C9 r1 cjkCFC2cjkBDB5cjkCEAAr1 ?ecjkA3ACcjkB2B6cjkCAB3cjkD5DFcjkB5C4cjkCBC0cjkCDF6cjkC2CAcjkD3C9 r2 cjkD4F6cjkBCD3cjkCEAAr2 + ecjkA1A3 cjkD3C3 y1(t) cjkBACD y2(t) cjkB1EDcjkCABEcjkD5E2cjkD6D6cjkC7E9cjkBFF6cjkCFC2cjkCAB3cjkB6FCcjkBACDcjkB2B6cjkCAB3cjkD5DFcjkB5C4cjkCAFDcjkC1BFcjkA3ACcjkC6BDcjkBEF9cjkCAFD cjkC1BFcjkCEAA ˉy1 = r2 + eα 2 , ˉy2 = r1 ?eα 1 cjkD3DAcjkCAC7cjkA3ACˉy1 cjkB9D8cjkD3DA e arrownortheastcjkA3ACˉy2 cjkB9D8cjkD3DA e arrowsoutheastcjkA1A3cjkB2B6cjkC0CCcjkB5C4cjkD4BDcjkB6E0cjkA3ACcjkD4F2cjkCAB3cjkD3C3cjkD3E3cjkCAFDcjkC1BF cjkD4F6cjkBCD3cjkA3ACcjkD5E2cjkD1F9cjkA3ACVoltera cjkC4A3cjkD0CDcjkB1E3cjkBDE2cjkCACDcjkC1CB D’Ancona cjkCCE1cjkB3F6cjkB5C4cjkCECAcjkCCE2cjkA1A3 cjkB9FAcjkB7C0cjkBFC6cjkBCBCcjkB4F3cjkD1A7 cjkCAFDcjkD1A7cjkBDA8cjkC4A3 cjkD6D6cjkC8BAcjkC4A3cjkD0CD cjkB5A5cjkD6D6cjkC8BAcjkC4A3cjkD0CDcjkB6E0cjkD6D6cjkC8BAcjkC4A3cjkD0CD cjkCFC2cjkC3E6cjkD3C3cjkD5E2cjkB8F6cjkC4A3cjkD0CDcjkBDE2cjkCACDcjkCEAAcjkCAB2cjkC3B4cjkD5BDcjkD5F9cjkCAB1cjkC6DAcjkB2B6cjkC0CCcjkC1BFcjkCFC2cjkBDB5cjkD3D0cjkC0FBcjkD3DAcjkF6E8cjkD3E3 cjkB7B1cjkD6B3cjkB5C4cjkCECAcjkCCE2cjkA1A3 cjkC9E8cjkB1EDcjkCABEcjkB2B6cjkC0CCcjkC4DCcjkC1A6cjkB5C4cjkCFB5cjkCAFDcjkCEAAecjkA3ACcjkD4F2cjkCFE0cjkB5B1cjkD3DAcjkCAB3cjkB6FCcjkB5C4cjkD7D4cjkC8BBcjkD4F6cjkB3A4cjkC2CA cjkD3C9 r1 cjkCFC2cjkBDB5cjkCEAAr1 ?ecjkA3ACcjkB2B6cjkCAB3cjkD5DFcjkB5C4cjkCBC0cjkCDF6cjkC2CAcjkD3C9 r2 cjkD4F6cjkBCD3cjkCEAAr2 + ecjkA1A3 cjkD3C3 y1(t) cjkBACD y2(t) cjkB1EDcjkCABEcjkD5E2cjkD6D6cjkC7E9cjkBFF6cjkCFC2cjkCAB3cjkB6FCcjkBACDcjkB2B6cjkCAB3cjkD5DFcjkB5C4cjkCAFDcjkC1BFcjkA3ACcjkC6BDcjkBEF9cjkCAFD cjkC1BFcjkCEAA ˉy1 = r2 + eα 2 , ˉy2 = r1 ?eα 1 cjkD3DAcjkCAC7cjkA3ACˉy1 cjkB9D8cjkD3DA e arrownortheastcjkA3ACˉy2 cjkB9D8cjkD3DA e arrowsoutheastcjkA1A3cjkB2B6cjkC0CCcjkB5C4cjkD4BDcjkB6E0cjkA3ACcjkD4F2cjkCAB3cjkD3C3cjkD3E3cjkCAFDcjkC1BF cjkD4F6cjkBCD3cjkA3ACcjkD5E2cjkD1F9cjkA3ACVoltera cjkC4A3cjkD0CDcjkB1E3cjkBDE2cjkCACDcjkC1CB D’Ancona cjkCCE1cjkB3F6cjkB5C4cjkCECAcjkCCE2cjkA1A3 cjkB9FAcjkB7C0cjkBFC6cjkBCBCcjkB4F3cjkD1A7 cjkCAFDcjkD1A7cjkBDA8cjkC4A3