第六章 基于状态空间模型的极点配置设计法
第六章 基于状态空间模型的极点
配置设计法
6.1 连续对象模型的离散化（不带延
时、包含延时）
6.2 矩阵指数及其积分的计算
6.3 按极点配置设计控制规律
6.4 按极点配置设计观测器
6.5 控制器设计
6.6 跟踪系统设计
第六章 基于状态空间模型的极点配置设计法
6.1连续对象模型的离散化（不带
延时、包含延时）
基于状态空间设计控制系统方法主要有两大类：
一类,最优设计法,包括最优控制和最优估
计，即通常所说的 LQG(Linear Quadratic Gaussion)
设计问题。
另一类,极点配置设计法,包括按极点配置
设计控制规律和按极点配置设计观测器两个方面。
第六章 基于状态空间模型的极点配置设计法
6.1.1不带延时连续对象模型的离散化
6.1.2包含延时的连续对象模型离散化
第六章 基于状态空间模型的极点配置设计法
6.1.1不带延时连续对象模型的离散化
零阶保持器的广义对象考虑零阶保持器，即带
即
前面有一零阶保持器维，同时设在连续对象维，维，
TktkTkutu
rymunx
cxy
BuAxx
)1()()(
:::
)1.6(
????
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?
?
?
???
设连续对象状态方程：
第六章 基于状态空间模型的极点配置设计法
)6.6(
)()(
,
)()()()1(
,
)()()1(
,)1(
)3.6()()()(
1.6
0
)1( )(
0
)(
0
)(
0
0
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kGukFxkx
τTkTt
kBuτdekxekx
TktkTt
τdτBuetxetx
T AtAT
Tk
RT
τTkTAAT
t
t
τtAttA
模型连续对象离散状态空间
则：若令
则
考虑零阶保持器作用。，若令
）解一般形式式（
统。系统变为纯粹的离散系
散化，使整个零阶保持器一起进行离现要求将对象模型连同
第六章 基于状态空间模型的极点配置设计法
设连续对象模型
6.1.2包含延时的连续对象模型离散化
??
?
?
???
)()(
)()()(
tCxty
tButAxtx ?? （ 6.8）
第六章 基于状态空间模型的极点配置设计法
)11.6()()()1(
)1(,
)10.6()()()(
8.6
)9.6()1(),()(
0,
)1( )(
0
)(
0
)(
0
0
?
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? ??
??
????
???
???
????
????
Tk
kT
τTkTAAT
t
t
τtAttA
τdλτBuekxekx
TktkTt
τdλτBuetxetx
TktkTkTutu
TmmlTλλ
得：上式中令
）解可写为：式（
零阶保持器，假设在对象前面有一现讨论计算机控制系统
，为控制作用的延时时间
带入上式：）（变量代换 ?? ??? Tk 1
)12.4()()(
)()()1(
0
0
?
?
??????
??????
T AAT
T AAT
dmlTTkTBuekxe
dTkTBuekxekx
??
???
?
?
第六章 基于状态空间模型的极点配置设计法
)14.6(
)1()(
)1()(
)()(
8.6)13.6(
)13.6()()(
)()()1(
12.6
0.1
00
2
1
0
?
?
?
?
?
?
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??
???
??
???
????
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kukx
lkukx
lkukx
lkGukFX
lkBuηdekxekx
m
mm
ln
n
n
T ηAAT
?
令：
）离散状态方程。即为式（式
）化为：式（
两种情况：和下面讨论
考虑零阶保持器作用
广状态向量）离散状态方程，引入增（为得到连续对象标准
时刻向量边均化为为进一步分析，上式右 k
（ 为 T的整数倍 ）?
第六章 基于状态空间模型的极点配置设计法
? ?
方程形式上式即为标准离散状态
、输出方程
其中
）变为：则式（
)19.6(0)()()(
0
0
0000
000
000
00
)16.6()()()1(
13.6
)15.6(
)(
)(
)(
)(
1
cCkXCkCXkY
I
G
I
I
GF
F
kuGkXFkX
kx
kx
kx
kX
ln
n
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?????
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令增广状态向量为
第六章 基于状态空间模型的极点配置设计法
）中各量可表为：则式（
、若令
、、式中
阵法）状态空间，采用增广矩（将该式化为标准离散
）（
行，即）的积分可分为两段进即，式（
、
21.6
)()(
)21.6(
)1()()(
)()1()1(
12.6
02
0
0
0
?
??
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???
??????
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t τAAt
m ηA
b
T
m
ηA
a
AT
ba
T
m
ηAm ηAAT
τdetGetF
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lkuGlkuGkFX
lkBuηdelkBuηdekekX
m
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m A
b
mT
a
AmA
T
m
mT mAA
a
AT
mGBdeG
GmTGmFBdee
mBdeBdeG
TFeF
0
0
0
)(
)(
)23.4()()(
)(
)(
?
?
????
?
?
??
变量代换
（ 为 T的非整数倍 ）?
(4.20)
第六章 基于状态空间模型的极点配置设计法
? ?
散状态方程）程为：（亦即为增广离则可得标准离散状态方
、、、
上式中令
和并以上两式得：
令
）变为：式（
）（
0
00)(
)(
)(
:
)(
)(
)(
00)1(
)1(
)1()(
)24.6()()1()()1(
20.6
11
1
11
1
cC
I
G
G
GF
F
kX
kX
kX
ku
I
G
kX
kXGF
kX
kX
kukX
kuGkuGkFXkX
l
ba
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b
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ba
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??
?????
?
?
??
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)29.6()()( )()()1(?
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???
?
???
kXCkY
kuGkXFkX
第六章 基于状态空间模型的极点配置设计法
?
?
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00000
0000
0000
00
)(
)(
)(
)(
29.624.6
)30.6(
)1()(
)1()(
)()(
1)2(
1
2
1
?
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????
?
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I
I
GGF
F
kx
kx
kx
kX
kukx
lkukx
lkukx
l
ba
ln
n
ln
n
n
、
其中：
）态方程如式（）可得增广标准离 散状合并上式与式（
令
? ?0
0
0
cC
I
G ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?,
?
第六章 基于状态空间模型的极点配置设计法
)34.6(
)()(
)1()()()1(
33.6
0,,1
)1(:)1(::
)33.6(
)()(
)()()()(
8.6
13
,1
1 1
111
?
?
?
?
?
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?????
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uqiλrYqimunX
tCXtY
λtuBλtuBtAXtX
mmm
m
q
i
q
i
iibiiiai
iiii
iiii
qqq
）离散状态方程为：得式（与前类似推导，不难求
，，设
延时，的各、、、、、、
）一般形式为：同，所以式（控制量，延时也不尽相
常常对于不同的个延时，实际系统中，个控制量，时，则有）当（
时（即单个控制变量）即一个控制量，一个延以上讨论中，均为
?
??
?
?
多变量系统
第六章 基于状态空间模型的极点配置设计法
问题：将专门讨论它们的计算
分，下面）所示的矩阵指数及积结为求式（以上各种离散化，均归
个优点。这是离散系统分析的一况。与连续系统相比，
情统一处理包括带延时的种分析和设计法可用来一样，因此离散系统各
全状态方程模型形式上完式，与没有延时的离散以上导出的动态方程形
。）的标准离散状态方程一步求得式（同理利用增广矩阵可进
其中：
6.6
34.6
,1),(),()(),( qimGGmTGmFGTFF
ibiiiai
??????
第六章 基于状态空间模型的极点配置设计法
6.2矩阵指数及其积分的计算
即求：
常用方法：
一,拉普拉斯反变换
二,凯莱 — 哈密尔顿（ Cayley— Hanilton）法
三,特征值和特征向量法
四,直接指数求和法
??? T AtAT d tBeGeF 0
第六章 基于状态空间模型的极点配置设计法
6460
11
1
1
1
1
1
1
1
1
11
~
32
21)(
1
)(
)(
)(
)(
||
)(
)(
)(
PP
nkIaABB
nkABtr
k
a
IB
Ba
BsBsBsB
asasassφ
sφ
sB
AsI
AsIadj
AsI
AsILe
kkk
kk
kk
nn
n
nn
nn
AT
详见
、、
、、
可由下列迭代算出：、
其中：
定理
拉普拉斯反变换法一
?
?
?
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???
???
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?????
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?
6, 1
.
第六章 基于状态空间模型的极点配置设计法
6.3 按极点配置设计控制规律
首先讨论 r(k)=0的情况，按极点配置设计的控制
器通常有两部分：状态控制器和控制规律
控制对象
控制规律 观测器
u(k)
)(? kx
y(k)
控制器
控制对象
u(k)
x(k)
控制规律
第六章 基于状态空间模型的极点配置设计法
)()()1(
83.684.6
)84.6()()(
,
)83.6()()()1(
)(
kXGLFkX
a
kLXku
RuRX
kGukFXkX
nn
???
??
??
???
程为：），得闭环系统状态方）代入式（将式（
）的极点配置（设计目标使闭环系统具有所需要、问题：设计
馈：控制规律为线性状态反、
设对象状态方程为：
设计控制规律非重构部状态首先讨论按实际对象全
L,
第六章 基于状态空间模型的极点配置设计法
? ? nGFFGGr a n k
b
L
nnmLm
L
zaGLFzI
L
azaz
βzβzβzza
niβ
GLFzI
n
c
n
nn
nc
i
?
??
???
?????
????
?
???
?
?
1
1
1
21
,
1
)88.6()(||
)87.6(0
)())(()(
,,2,1
)86.6(0||
?
?
?
?
即
控制对象完全能控：
是具有唯一解的充要条件配置，可证明：对于任意极点
、单输入情况：
能完全确定解耦、干扰解耦等）才
制条件（如输出此时需同时附加其他限所以不能完全确定
个方程，个未知数，而总共有有）时，但多输入（
中的未知元素求得单输入情况下由上式比较系数，便可
应满足，反馈矩阵为获取所需的极点配置
要求闭环方程为：
）（设给定所需闭环极点为
闭环特征方程为：
L
L
适用于单入单出系统
即 m＝ 1（一个控制量）
第六章 基于状态空间模型的极点配置设计法
? ?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
??
???
?
?
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n
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c
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kGukFXkX
BA
x
x
X
BuAXX
L
krT
TT
C o n t r o lD e a d b e a t
zzac
0
2
1
1.0
0 0 5.0
10
1.01
)()()1(
1
0
00
10
0)(1.06.35.0
.2.1
n
,)(
利用前述方法，求得
、、
设连续状态方程为：
。设计状态反馈控制规律
用极点配置法要求按、、
例：控制对象为
该方式一个很大缺点。很大的控制能量，这是
较小时，需要，的选择控制量幅度取决于但该方式特点：
拍后回到零初态。），所有状态最高至（
将导致有限拍控制点，即、若将极点均配置在原
?
??
s1 s1
yx ??2u yx ?1
给定二阶闭环极点用
Matlab设计
第六章 基于状态空间模型的极点配置设计法
? ?
? ?
? ?5.3105.310
7.011.00 0 5.0
6.120 0 5.01.0
11.00 0 5.0)20 0 5.01.0(
1.0
0 0 5.0
10
1.01
10
01
)(
)(:
7.06.1))(()(
8 3 5.0,
12.38.11
21
21
12
2112
2
21
21
2
21
9.17
2
2,1
0
????
?
?
?
???
????
???????
?
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?
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?
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???????
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LLL
LL
LL
LLzLLz
LLzGLFzIza
LLL
zzzzzzza
ezez
jjS
S
c
c
jST
nn
n
，、
比较系数得：
闭环特征方程为：
方法一、比较系数法
设计任务设状态反馈
为：得要求的闭环特征方程
求得，利用
平面上两极点为：得闭环系统相应闭环响应性能要求，求、由
????
??
?
-1
?
?
s
?
?
Z
第六章 基于状态空间模型的极点配置设计法
? ?? ?
? ?? ? ? ?? ? ? ?
? ? 时闭环系统的动态特性下图给出了当
软件中矩阵计算该式可由
）计控制规律的实用算法式即为利用极点配置设方法二、矩阵求解（上
求得：
用下面显式直接是系统阶数较高时，可此法计算较烦索，尤其
T
c
c
n
x
a t l a b
IFFFGGFaFGGL
FaGFFGGL
01)0(
M
5.310)7.06.1(10)(10
)(100
211
1
1
?
?????
?
??
?
?
??
L有唯一解的充要条件
第六章 基于状态空间模型的极点配置设计法
u(t) yt)
1.0
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
-0.2
0
2
4
-2
-4
-6
-8
-10
1.0
X(0)=[1 0]T
系统是可控的, 经有限拍后回到零态
第六章 基于状态空间模型的极点配置设计法
6.4 按极点配置设计观测器
6.4.1 预报观测器
6.4.2 现时观测器
6.4.3 降阶观测器
第六章 基于状态空间模型的极点配置设计法
6.4.1 预报观测器
、开环观测器
均为已知对象模型参数、、设、、其中
如已知对象状态方程：
。该算法即为观测器设计
代替实际状态反馈，的重构或估计，则为实际状态状态，记
构全部据所能观测到的输出重法是找到一种算法，根对于高阶系统，通常方
尤其，实际上是不可能的，，可直接用于状态反馈被控制对象状态均可观
1
,
)1 2 5.6(
)()(
)()()1(
)(
?
)()()(
?
CGFRYRuRX
kCXkY
kGukFXkX
kXLkukXkX
rmn
???
?
?
?
?
???
??
第六章 基于状态空间模型的极点配置设计法
对象F,G
模型F,G
u(k)
)(? kx
y(k)
C
C
)( kx
)0(x
)0(?x
)(? ky
开环观测器
第六章 基于状态空间模型的极点配置设计法
克服这一缺点。预报观测器则可较好地
的动态特性。内，但也往往不具有好即使特征根均在单位圆
更不能采用，特性不好的极点）时，具有不稳定特征根（或）当
出量来进行校正。没有利用可测量到的输
进行预报于输入量及模型参数来）重构误差动特性只取
点（即状态重构法）实际应用中存在严重缺
实现状态重构。
）可能特征值均在单位圆内时条件下（理论上讲，该法在一定
小结：
重构误差状态方程
重构误差令
变化？能否跟踪，当
将始终等于则即若与上式有相等初值，
.3
2
1
.2
.1
)()(
~
)1(
~
)()(
?
)()(
~
)()(
?
)0()0(
?
)()(
?
),0()0(
?
)1 2 5.4(
)1 2 6.6()()(
?
)1(
?
F
F
kXFkX
kXkXkX
kXkXXX
kXkXXX
kGukXFkX
??
??
?
?
???
第六章 基于状态空间模型的极点配置设计法
的性能。，使重构误差具有满意根，也可通过适当调整
阵原有的不稳定构性能。即使便可获得要求的状态重增益阵
，只要适当地选择性取决于此时重构误差的动态特
分析：
误差状态方程：）与上式相减，得重构将式（
观测器增益矩阵。
为，，因此称为预报观测器时刻的只用到了因
观测器方程为：
预报观测器
K
K
KCF
kxKCFkX
kykTkX
kXCkyKkGukXFkX
F
K
][
)1 3 0.6()(
~
][)1(
~
1 2 5.6
)()1(
?
)1 2 9.6()](
?
)([)()(
?
)1(
?
.2
?
???
?
?????
对象F,G
模型F,G
u(k)
)(? kx
y(k)
C
C
)( kx
)0(x
?
-
K
)(? ky
预报观测器结构
第六章 基于状态空间模型的极点配置设计法
? ?
)1 3 5.6()(||
)(1 3 3.4
)1 3 4.6(
1
)1 3 3.6()(||
)1 3 2.6(0
)())(()(
,,2,1
)()(
?
)1 3 1.6(0||
""
1
1
1
1
21
zaKCFzI
K
CFCFCn
CF
CF
C
r a n k
r
zaKCFzI
azaz
βzβzβzza
niβ
kXkX
KCFzI
K
c
TTT
T
n
n
c
n
nn
nc
i
???
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
????
????
?
???
?
?
?
则：
矩阵转置行列式不变）求出定，由式（假设观测器极点已经给
系统完全能观，即：
是具有唯一解的充要条件定观测器极点，可以证明，对于任意指
）情况：下面只讨论单出（
则应有：
特征方程为：
）（定观测器特征根为根据重构性能要求，给
。性能取决于方程根分布跟随
程为）：（也称为观测器特征方状态重构误差特征方程
在于如何合理地选取所以设计观测器的关键
?
?
?
?
?
K
第六章 基于状态空间模型的极点配置设计法
? ?? ?
预报观测器实用算法该式即为极点配置设计
两边转置得：
）求得：由式（
）式（）式（
）建立对应关系：）、式（对比式（
)137.6(
1
0
0
)(
)()(100
111.6
)()(
135.688.6
88.6135.6
1
1
1
1
?
?
?
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cc
T
T
T
CF
CF
C
FaK
FaCFCFCK
zaza
KL
CG
FF
)(zaGLFzI c???
第六章 基于状态空间模型的极点配置设计法
? ?
? ?
2
211
2
2
1
2
1
2
0
2
1
)(
)1.01()2(
1
1.01
01
10
1.01
10
01
)(
)1 4 3.6()](
?
)([)()(
?
)1(
?
01),()(
1.0
0 0 5.0
,
10
1.01
)()()1(
1.0,
1
0
,
00
10
.
zza
kkzkz
zk
kz
k
k
zKCFzI
zza
kXkyKkGukXFkX
CkCXkY
d t BeGeF
kGukFXkX
TBA
x
x
X
BuAXX
c
c
T
AtAT
??
??????
?
???
?
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?
?
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?
?
??
?
配置在原点，即
将观测器两个根速度跟随实际状态，可要求重构状态能以最快假设：
：系统预报观测器方程为
，
器统为例，设计预报观测例：仍以前述双积分系
?
s1 s1
yx ??2u yx ?1
?????????????? 10221kkK
比较系数得：
第六章 基于状态空间模型的极点配置设计法
6.4.2 现时观测器
)1(?)1()1(~ ????? kXkXkX
)(~][ kXKCFF ??
0)(|| ???? zaK C FFZI c
（ 6.151）
（ 6.152）
??
???
???????
???
)]1()1([)1()1(?
)()(?)1(
kXCkYKkXkX
kGukXFkX
上式即为现时观测器，即根据最新系统的输出量
y(k+1)来修正同一时刻的状态重构。
状态重构误差方程：
（ 6.153）
观测器特征方程：
（ 6.154）
开环观测器，作为状态重构一步预报
替代了预报观测器中的 C
第六章 基于状态空间模型的极点配置设计法
条件,给定观测器极点，即 ac(z)已知,K具有唯一解的
充要条件是系统完全可观 。所以可求得现时观
测器解为：
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
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?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? ??
?
0
0
0
)(
0
0
0
)( 11
1
2
???
PFFa
CF
CF
CF
FaK c
n
c （ 6.155）
只有当系统完全能观时, 才能由该式求得 K
与预报观测器条件一致
式中,P为系统能观性矩阵
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?1nCF
CF
C
P ?
第六章 基于状态空间模型的极点配置设计法
设
??????? )( )()( kX kXkX ba
xa(k):能够测量部分，即输出量 y(k)
xb(k):需重构部分（不可观测部分）
原状态方程可分块为,
)()( )()1( )1( kuGGkX kXFF FFkX kX
b
a
b
a
bbba
abaa
b
a ?
?
??
?
???
?
??
?
??
?
??
?
???
?
??
?
?
?
? （ 6.159）
（ 6.158）
? ? ??????? )( )(0)( kX kXIkY
b
a
（ 6.159）
展开并整理上式为：
)()()()1( kuGkXFkXFkX bababbbb ????
)()()()1( kXFkuGkXFkX babaaaaa ????
（ 6.163）
（ 6.164）
6.4.3 降阶观测器
第六章 基于状态空间模型的极点配置设计法
将上两式与（ 6.125）比较及对应关系
式（ 6.125） 式（ 6.163）和（ 6.164）
X(k) Xb(k) 需估状态
F Fbb 系数阵
Gu(k) FbaXa(k)+Gbu(k) 已知输入
y(k) Xa(k+1)-FaaXa(k)-Gau(k) 已知测量
C Fab 测量方程系数阵
观测器方程如下 （ 实质上为降阶预报观测器 ）
)1(?)1()1(~ ????? kXkXkX bbb
)()()()1( kuGkXFkXFkX bababbbb ????
)](?)()()1([ kXFkuGkXFkXK babaaaaa ????? （ 6.165）
状态重构误差方程：
特征方程：
)(~][ kXKFF babbb ??
0)(|| ???? zaKFFzI cabbb
条件,给定降阶观测极点, 只考虑单输出, 即可求出增益阵 K。 K具有唯
一解的充要条件也是系统完全能观 。 （ 与预报, 现时观测器条件一样 ）
第六章 基于状态空间模型的极点配置设计法
求得：
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? 1
0
0
)(
1
11
?
?
n
abab
bbab
ab
bbc
FF
FF
F
FaK
)(kXb
（ 6.168）
式中 n1为 维数, 因假定为单输出, 所以 n1=n-1。
第六章 基于状态空间模型的极点配置设计法
6.5 控制器设计
??
?
?
???
)()(
)()()1(
kCXkY
kGukFXkX
)(?)( kXLku ??
??????? )(?
)()(
kX
kXkZ
? ?)(?)()()(?)1(? kXCkYKkGukXFkX ?????
控制对象,（ 6.173）
预报观测器：
（ 6.174）
控制规律,（ 6.175 ）
令闭环系统状态为,（ 6.176）
预估状态线性反馈
实际状态
重构状态
第六章 基于状态空间模型的极点配置设计法
由 上 式 得,
? ?????? ????? ??? )(?)()(?)(?)1(? )(
?)()1(
kXCkCXKkXGLkXFkX
kXGLkFXkX
)(?( kXKCGLFkKCX ）（） ????
)()1( kZFkZ ??
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
? KCGLFKC
GLF
F
||||)( KCFzIGLFzIFzIza ????????
（ 6.178）
可求得闭环系统状态方程为,（ 6.179）
其中,
（ 闭环系统状态转移阵 ）
闭环特征方程为：
（ 6.181 ）
闭环系统 2n个极点有两部分组成：
（ 1） n个控制极点 （ 设计控制规律用 ）
（ 2） n个观测器极点 （ 设计观测器用 ）
行列式经变换后其值不变
（ 6.180 ）
第六章 基于状态空间模型的极点配置设计法
这就是著名的 分离性原理 。 使得控制规律和观测器设计
可分开进行，简化了控制器设计 。
小结：
（ 1） 控制极点是根据系统性能要求给定的, 因此闭环
系统性能主要取决于控制极点, 即系统的主导极点 。
（ 2） 观测器极点的引入通常使系统性能变差, 为减少
影响, 应使系统观测器极点所决定的状态重构跟随速度
远大于由控制极点所决定的系统响应速度, 极限情况可
将观测器极点均配置在原点, 这时状态重构具有最快的
跟随速度 。
（ 3） 若测量输出存在误差或测量噪声, 那么状态重构
跟随速度越快, 测量误差对系统影响也越大, 下面简要
说明这一点 。
第六章 基于状态空间模型的极点配置设计法
)()(? kGukXF ?
? ?)(?)( kXCkYK ?
（ 1 ）
（ 2 ）
根据初始状态进行的预报
根据初始状态进行的修正
为加快重构跟随速度, 须加大修正项, 即 K须取较大值 。
若输出量测量中存在误差或噪声, 用子式表示为：
)()()( kWkCXkY ?? （ 6.182 ）
式（ 6.174）中状态重构有两部分组成：
第六章 基于状态空间模型的极点配置设计法
则前式 （ 6.178） 将变为：
??
?
?
?
??
?
??
??
???
K
K
kWKkZFkZ
0
)()()1(
)()(?)()()1(? kKWkXKCGLFkK C XkX ?????? （ 6.183）
相应闭环系统状态方程为：
（ 6.184）
第六章 基于状态空间模型的极点配置设计法
可见, 当要求状态重构较快跟随时, K要求取较大值, 从
而测量误差或噪声对系统的影响也变大, 因此观测器极点也
应根据系统整体性能要求折衷选择 。
按极点配置设计控制器步骤：
（ 1） 按系统性能要求给定 n个控制极点 。
（ 2） 按极点配置设计出控制规律 L。
（ 3） 给定观测器极点, 全阶 n个, 降阶 n-1个 （ y(k)可测 ）
1） 若测量中误差或噪声较小, 则配置观测器极点为原
点 （ 保证快速跟随 ） 。
2） 若测量中包含较大误差或噪声, 则可按 重构速度比
控制极点对应的系统响应速度快 4～ 5倍 来给定观测器极点 。
第六章 基于状态空间模型的极点配置设计法
（ 5） 根据观测器极点及类型计算增益阵 K
（ 4）选择观测器类型
1）若测量比较准确，只是其中的一个状态，则
可选用降阶观测器
2） 若控制器计算延时与采样周期大小为同一数
量级, 则采用预报观测器, 否则考虑采用现时观测
器 。 （ 计算延时小, 采用预报器；计算延时大, 采
样周期大, 则采用现时观测器 ）
第六章 基于状态空间模型的极点配置设计法
例,
???????? 1.0100A
5.0??
??
?
?
???
)(
)()()1(
kCXY
kBukAXkX
)110(
1)(
?? sssG
??
?
?
???
)()(
)()()1(
kCXkY
kGukFXkX
设对象传递函数：
要求闭环系统性能,1,1 ??? 二阶连续系统n?
要求按极点配置法设计控制器。
将连续对象 (包括零阶保持器 )离散化，得：
??????? 1.00B ????????? 01C
用M a t l a b 软件设计
对象
u(t)
y(t)
数控器
y(k)
零保器
u(k)
T
对象状态方程
第六章 基于状态空间模型的极点配置设计法
求得：
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
9 0 4 8.00
9 5 1 6.01
ATeF
5.0?? 1?n?
2
35.01 2
2,1 jjS nn ??????? ????
GLFzI
zzzzzzGLFzIza c
???
????????? 3 6 8.07 8 6.0))(()( 221
? ? ? ?6 4 8.81 1 6.621 ?? llL
???????? ? 09516.0 04833.00 d tBeG T AT
由 可求得 S平面的两个控制极点为：
进一步求得 Z平面根 2 35.02 35.0
2,1
jj eee ???? ???
相应特征多项式为：
比较系数利用式（ 6.111）得：
假定有测量噪声，考虑选用全阶（现时）观测器，计算延时可忽略不计。
由于存在测量噪声，所以按照观测器极点所对应衰减速度比控制极点对
应衰减速度快约 5倍要求考虑。
?
?
Z
第六章 基于状态空间模型的极点配置设计法
选择观测器两个极点为：
08.0)( 5.255.02,1 ??? ?? ee?
? ?TX 01)0( ?
??????? 7 9 0.0 9 9 3.0K
得观测器多项式：
0 0 6 4.016.0)08.0()( 22 ???????? zzzKCFFzIza c
由式（ 6.155）求得：
取
系统仿真曲线见下页图，输出存在较大超调，是由于观测器极点引起
的，使系统性能变差。
前述设计中，假定,r(k)=0,设计控制器目的是使系统从非零初态回到零
状态时具有满意的动态响应性能，即所设计系统能很好的抑制脉冲干扰。
对于阶跃或常值型干扰，系统输出亦将存在误差，以下讨论如何
设计 PI控制器来消除误差。
控制极点的实部幅值
两个重极点
第六章 基于状态空间模型的极点配置设计法
1.0
0.0
0.2
-0.2
0
2
4
u
kT
y
-2
-4
-6
-8
-10
-12
-0.2
-0.4
-0.6
非零初态系统响应曲线
第六章 基于状态空间模型的极点配置设计法
PI控制器设计（ ）0)( ?tv
1）状态完全可观
x(k+1)=Fx(k)+Gu(k)+v(k)
u(k)
y(k)
-L2
C
)( kx
?
+
-
-L1 ?
+
v(k)
PI 规律
按极点配置设计的PI 控制规律
)197.6()()( )()()()1(??? ? ???? kCXkY kvkGukFXkX
设控制对象状态方程为：
第六章 基于状态空间模型的极点配置设计法
V(k)为阶跃干扰
??
???
?
?
?
00
0
k
k常数
定义各差分量为：
?
?
?
??
?
?
????
????
????
????
)1()()(
)1()()(
)1()()(
)1()()(
kvkvkv
kYkYkY
kukuku
kXkXkX
式（ 6.197）两边取差分，则有,0)(1 ??? kvk 时，
??
?
?????
???????
)1()1(
1),()()1(
kXCkY
kkuGkXFkX
)()()()1( kuCGkXCFkYkY ?????? （ 6.203）
令：
???????? )()()( kXkYkZ
关于 Z(k)状态方程：
1),()()1( ????? kkuGkZFkZ （ 6.204）
构造新的状态向量
第六章 基于状态空间模型的极点配置设计法
设系统为 SISO：
针对式（ 6.204）设计出如下增量式状态反馈控制：
?
?
?
?
?
?
?
?
?
F
CFIF
0
??????? GCGG
)()()()( 21 kXLkYLkLZku ??????? （ 6.206）
? ?21 LLL ?
上式两边作求和运算得
?????? ???
???
k
j
k
j
k
j
jXLjYLju
11 21 1
)()()(
?? ????? kj uXLkxLkyLku 1 221 )0()0()()()( （ 6.208）
u(k)与 X(0),u(0)有关，而它们一般难以预先知道，所以工程上实现时
通常不考虑这两个初始条件，实际控制规律为：
?? ??? kj kXLkYLku 1 21 )()()(
（ 6.209）
? ?)0()()()0()( 1 21 XkXLjYLuku kj ????? ??
输出量积分反馈 状态线性反馈
该式称为按极点配置设计的
PI控制规律
第六章 基于状态空间模型的极点配置设计法
为什么该控制器能抑制阶跃干扰而无稳态误差？
稳态误差：由前式（ 6.204）式（ 6.206）得：
)()()1( kZLGFkZ ??? （ 6.210）
该阵特征值即给定的闭环控制极点，应都在单位圆内。
即式（ 4.210）闭环系统一定是渐进稳定的：即 稳态无差。)(),( kXkY ?
因此对于任意初始条件有：
x(k+1)=Fx(k)+Gu(k)+v(k)
u(k)
y(k)
-L2
C
)( kx
?
+
-
-L1 ?
+
v(k)
PI 规律
0)(lim ??? kZk
由于 Y(k)为 Z(k)一状态，显然应有 0)(lim,0)(lim ???
???? kXkY kk
第六章 基于状态空间模型的极点配置设计法
控制对象
u(k)
y(k)
-L2
C
)( kx
?
+
-L1
+
v(k)
PI 控制器
观测器
积分
)(? kx
2)需重构状态
尽管存在常值干扰 v（ k）,输出稳态值终将回到 0，即不存
在稳态稳差。
上图中 PI规律要求全部状态直接反馈，实际上是不现实的，
可通过构造观测器来获得状态重构,然后再线性反馈
如下图。
)(? kX
)(? kX
第六章 基于状态空间模型的极点配置设计法
控制器）组成（
器）按极点配置设计观测（
点）合适地给定观测器极（
预报、现时、降阶））选择观测器类型（
）针对式（规律）按极点配置设计控制（
”个极点。，给定适合的“根据系统设计性能要求
）组成矩阵）按式（（
控制器步骤：按极点配置设计
PI
LL
n
G
7
6
5
(4
)2 0 4.6(3
1)2(
,2 0 5.61
21
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
L
F
PI
第六章 基于状态空间模型的极点配置设计法
输出响应。
时，闭环系统的求，，其中，
控制器。器的按极点配置设计带观测考虑阶跃扰动情况下，
给定系统为：
作业：
T
n
XT
ss
sG
]01[)0(,115.0
)1(
1
)(
????
?
?
??
PI
第六章 基于状态空间模型的极点配置设计法
6.6 跟踪系统设计
6.6.1 调节系统与跟踪系统
6.6.2 参考输入的引入方式
6.6.3 根据零点配置选择
6.6.4 根据静态增益选择 N
6.6.5 一般控制器结构时 M和 N的选择
6.6.6 设计举例
6.6.7 积分控制引入
M
第六章 基于状态空间模型的极点配置设计法
6.6.1 调节系统与跟踪系统
对象对象
u(k) y(k)
控制器r(k)=0
控制对象状态方程为：
??
?
?
???
)()(
)()()1(
kCXkY
kGukFXkX
控制器方程 （以预报器为例） 为,
?
?
?
?
?
?
?
??
????
?????
)(?)(
)()(?)(
)](?)([)()(?)1(?
kXLku
kKYkXKCGLF
kXCkYKkGukXFkX
对象对象
u(k) y(k)
控制器
跟踪系统结构
r(k)
r(k)?0
第六章 基于状态空间模型的极点配置设计法
??
???
???
??????
)()(?)(
)()()(?)()1(?
kNrkXLku
kMrkKYkXKCGLFkX
（ 6.215）
NM
Nn
,
M/ 1
入阵问题：如何确定参考输
标量列向量，出，设系统为单入 ?
控制方程为,
第六章 基于状态空间模型的极点配置设计法
4.6.2 参考输入的引入方式
第六章 基于状态空间模型的极点配置设计法
?
?
?
?
?
??
?????
???
??
????
?????????
)(
?
)(
)()(
?
)()1(
?
0
)()()(
)618617.4(
)()()(
~
)()1(
?
)1()1(
~
)(
?
215.6
kXLku
kKekXKCGLFkX
KMN
kYkrke
NM
NMN
G
N
M
MGNM
kMrkGN rkXKCFkXkXkX
r
kX
控制方程为：
、据此须有：
误差量
参考输入与输出间的使控制器方程中只用到、：合适地选择方式
即可确定。、，则求确定进一步根据静态增益要
或：为满足上述条件须满足
于即状态重构误差不依赖
仍为系统状态重构）中以使式（：合适地选择方式
2
NM,1
r(k)
对象对象
u(k) y(k)
控制器
仅用误差控制的跟踪系统
? e(k)
第六章 基于状态空间模型的极点配置设计法
方式 3：任意地选择 M,N使系统具有满意地动态和静态跟踪性能，由于
增加参考输入不会影响闭环系统特征方程，因而 M,N选取不会
影响闭环极点，因此选择 M,N主要是使闭环系统具有要求的零
点位置和满意的静态精度。 （动静态特性：零点影响动态特性，极点影响静态特性）
反馈控制主要用来改变系统的极点，使系统具有满意的稳定性和
调节性能。
前馈控制主要用来改变系统零点，以使系统具有满意的动态和静
态跟踪性能。
方式 4：在以上任何一种方式中，在参考输入引入前附加输入补偿器
可进一步改善系统跟踪性能或对输入信号滤波，它的设计需
要根据实际系统加以考虑。
第六章 基于状态空间模型的极点配置设计法
6.6.3 根据零点配置选择 M
G(z)
u(k) y(k)
D1(z)
控制器
D2(z)
?
u1(k)
u2(k)
r(k)
+
+
即根据前馈环节 D1(z)零点选择 M
第六章 基于状态空间模型的极点配置设计法
)()(||||||)(
)()(2
)()1
)()()()(
)()(
)()(1
)()(
)(
)(
)(
)()
)223.6(
)(
)(
)(
)(
)()(
)222.6(
)(
)(
)(
)(
)()(
)(
)(
)()(
1
22
1
2
1
21
2
21
2
1
11
1
1
zazaKCFzIGLFzIFzIza
zz
zB
zBzBzAzA
zBzB
zDzG
zGzD
zR
zY
zH
KCGLFzIzAzA
zY
zU
zA
zB
KKCGLFzILzD
zR
zU
zA
zB
NMKCGLFzILzD
zA
zB
FzICzG
ec
?????????
?
?
?
??
?????
???????
????????
???
?
?
?
点，即为：规律和设计观测器的极仍按极点配置设计控制
也即闭环系统极点会影响闭环系统极点，外界参考输入的引入不
根零点，）输入前馈传递函数
根。对象固有零点
：闭环零点由两部分组成
闭环传递函数：
（比较上面两式有：
BD
1
控制极点 观测器极点
)()()()()()( 22 zazazBzBzAzA ec??
r(k)－ u(k)
y(k)－ u(k)
第六章 基于状态空间模型的极点配置设计法
)2 3 5.6(0)(
?
,
,)(
?
)(
)2 3 3.6(
0)()()(
?
0)()(
?
)(
0)(,0)(156
0)()()(
0)(0)(
)(2 1 5.6
)()(
?
)(
)()()(
?
)()1(
?
2 1 5.6
0)(2 1 5.6),(
0010
0010
1
1
1
?????
?
?
?
?
?
?
????
?????
??
??
???
?
?
?
?
?
???
??????
?
?
zXL
N
M
KCGLFzI
kX
N
L
zR
zUzNRzXL
zMRzXKCGLFzI
zUkY
zRzDzU
zRzDzz
z
kNrkXLku
kMrkKYkXKCGLFkX
kYzD
N
M
MzB
））（（
要使上式成立必须有：对于非零
即得条件代入将
）得：变换（令）两边控制器方程式（
，则应有，即使使若
零点）求根据式（
）式（
）中可令式（由于只考虑
的选择题，关系到）的零点选择是主要问（
R( z )
z.2
D
第六章 基于状态空间模型的极点配置设计法
)2 4 2.6(
)()(
)()(
)(
2 3 62 2 62 2 5.6(
2 4 1.6)(||)(
2 1 5.6
)(
)(3
)2 3 9.6(
1
0
0
)(
1 3 7.6)1 3 3.6(
)(
/2 3 5.6
)()(
)()(
)2 3 6.6()()(
)()(
)2 3 5.6(0||)(
11
1
1
1
1
1
1
1
11
111
111
11
1
zaza
zBzBk
zH
zaKCFzIzB
G
N
G
M
zD
M
GM
MzD
FL
FL
L
FB
N
M
M
LMFzIzB
KCGLFF
NMM
zBzD
zBzBk
zBkzB
zDzB
L
N
M
KCGLFzIzB
ec
e
n
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得）、、由式（闭环传递函数
）（
）得：带入式（有方式
自由选择零点均是确定的，不能
都是确定的和，对于方式
是确定的，对于方式
的过程。零点确定，由上式即为根据方式
）比较得：、（与式
令
）可求出从而根据式（
已知，零点，即能要求给定若根据闭环系统跟踪性
为首一多项式中首项系数，为
令
的零点的根即为
即有：
1
N2
1
??
闭环极点即为控制极点
仍为系统期望特性
即前馈补偿器 D1(z)零点
等于观测器极点
已知零点
第六章 基于状态空间模型的极点配置设计法
上式表明：
对于方式 1：物理意义上可解释为，观测器状态重构误差不受 r(k)控制，
即观测器是不能控的子系统，反映在闭环传递函数中观测
器的极点被零点所抵消。
对于方式 2：即误差控制情况，因为 N=0,M= -K，令 y(k)=0
则式（ 6.215）变为：
的零点多项式时上式即为仅用误差控制
要式上式成立须有：对于非零
得：变换，令两边取
)(
)245.6(0|)(|||)(
)244.6(0
)(
)(
0
0)(
)243.6(
)(
?
)(
)()(
~
)()1(
?
1
1
z
KFzILFzIz
zR
zX
L
KKCGLFzI
zUZ
kXLku
kKrkXKCGLFkX
D
B
R ( z ),
1
??????
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???
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?????
?
第六章 基于状态空间模型的极点配置设计法
6.6.4 根据静态增益选择 N
第六章 基于状态空间模型的极点配置设计法
）（
则上式可简化为即含有积分环节若对于控制对象中已包
求得：）及由上式（
式中：
）得：）、）、）、根据前述公式（
即
态误差求对于单位阶跃输入稳，对于跟踪系统通常要闭环系统增益要求来定
可根据对的选择来讨论、式，因此这里主要针对方中必须选方式
2 5 1.6
)
?
(1
)
?
(
,)1(,
)2 5 0.6(
)1(])
?
(1[
)1()
?
(1
1)1(2 4 8.6
)()(
)2 4 8.6(
)()
?
(1
)(])
?
(1[
)()(1
)(])([
)()(1
)()(
)(
2 3 7.6(2 2 3.6(2 2 2.6(2 2 5.6
)2 4 7.6(1
)(
)(
lim)(lim
,0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
11
MFIL
KFIL
N
G
GMFIL
KGFIL
N
H
GFzICzG
zKGFzIL
zGMFzILN
zKGKCGLFzIL
zGMKCGLFzILN
zGzD
zGzD
zH
zR
zY
zH
N
zz
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????
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??
? N312
第六章 基于状态空间模型的极点配置设计法
输入的响应决定））确定（即闭环系统对）或（由式（
）确定。的零点配置由式（根据对方式
即误差控制情况，方式）（
）确定式（
）或由式（响状态重构，即引入参考输入不会影）方式（
的选择方法：和引入方式下，归纳对于不同参考输入
2 5 1.62 5 0.6
2 3 9.6)()3(
0,2
51
2 5 0.6,1
1
N
zDM
NK
NG
3
M2
6, 2
M1
NM
???
?
第六章 基于状态空间模型的极点配置设计法
6.6.5 一般控制器结构时
M和 N的选择
)2 5 2.6(
)()()()(
)()()()1(
?
?
?
???
????
kNrkyDkXCku
kMrkYGkXFkX
NM
NM
ccc
cccc
程：一般控制器标准状态方
分析：
和即选择器如何引入参考输入，而对于一般结构的控制
的选择。和制器用预报观测器形式的控以上所讨论的只是对采
第六章 基于状态空间模型的极点配置设计法
?
?
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)()()(
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,,
),(
252.6
)257.6()()()(
)()]()([)()(
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)(
)256.6()()())(()())(()1(
),1()1(
?
)1(
)(
?
)(
)]1()1([)1(
?
)1(
?
)()(
?
)1(
252.6)2(
)253.6(
)()(
?
,0
,
252.6215.6)1(
kKYkXkXLKDLC
KFGGLFKCIF
kNrkL K YkLX
kNrkKYkXLkNrkXLku
kMrkKYGLFKCIkXGLFKCIkX
kKYkXkX
kXLku
kXCkYKkXkX
kGukXFkX
kXkXD
LKKGKCGLFF
ccc
ccc
c
c
cc
c
cc
ccc
）（
转换关系为：）标准型比较，得它们与式（
同时引入参考，得：令
）标准形式换为（对于现时观测器也可转
、
预报观测器比较））得转换关系为：（与）与（比较式（
第六章 基于状态空间模型的极点配置设计法
：根据静态增益要求决定下一步确定
降阶观测器
现时观测器
预报观测器
式。测器形式时，才有该方只有当控制器包括有观）方式（
方式的选择：针对三种输入、）标准型中讨论式
）标准型形式化到式（构形式，也可根据具体对于其它类型控制器结
的转换关系类似求得与标准形式间
对于降阶观测器
,
)(
11
252.6(
252.6
)260.6(
)()()(
?
,
)(
?
)()(
)](
?
)()()1([
)()()(
?
)1(
?
)3(
N
KGGM
GKCIM
G
N
M
M
NM
kKYkXkX
LKLDLC
KFLKGKFLGFG
KFLKGLGFF
kXLkXLku
kXFkuGkXFkXk
kuGkXFkXFkX
ab
cb
abcbc
caaaaabbac
abbabbbbc
bbaa
babaaaaa
bababbbb
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?????
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???
?????
????
第六章 基于状态空间模型的极点配置设计法
)265.6(
1)(
)(
,)1(
)264.6(
)1(]1)([
)1(])([1
,1)1(),(
1
1
1
1
??
??
??
??
??
???
?
?
?
?
?
?
MFIC
DGFIC
N
G
GMFIC
GDGFIC
N
HzH
cc
cccc
cc
cccc
则，即若对象中含有积分环节
从而求得：再令先求出闭环
）进行。）、（的确定，同样可由式（
应满足下式则的零点多项式为
，若给定点配置即静态精度要求可任意选择，以满足零和：方式
、）显然应有式（
：误差控制方式方式
4 6 5.62 6 4.6
)2 6 8.6(
1
0
0
)(
)(||
),()(
)3(
2 5 2.6
)2(
1
1
1
1
11
N
FC
FC
C
FBM
zBCMFzI
N
M
MzBzD
NM
DNGM
n
cc
cc
c
c
cc
cc
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3
2
第六章 基于状态空间模型的极点配置设计法
6.6.6 设计举例
s
1
s
1yx ??2 yx ?1u
G(z)
u(z) y(k)
D1(z)
D2(z)
?
r(z)
+
+
第六章 基于状态空间模型的极点配置设计法
? ? ? ?
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???
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?
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?
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?
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?
?
?
?
45
5.3
25.12
1 7 5.0
2 5 2.6
105.310
1
05.0
10
1.01
abc
bc
caaaaabbac
abbabbbbc
ba
b
a
bbba
abaa
LLD
LC
KFLKGKFLGFG
KFLKGLGFF
KLLL
a
a
G
FF
FF
F
各参数）（标准形），并求解（首先将降维观测器化为
、
、
例 1：仍以双积分系统为例，要求按跟踪系统设计，并希望参考输
入不影响系统状态重构，控制器采用降阶观测器，计算 M,N，仿
真单位阶跃响应。已知有关参数为：
第六章 基于状态空间模型的极点配置设计法
阶跃响应见下页图。
反馈控制传递函数
数为：）求得前馈控制传递函由式（
对象中有积分环节
）求得：影响，由（引入，即状态重构不受采用方式
1 7 5.0
)7 7 8.0(45
)()(
1 7 5.0
10
)()(
2 5 2.6
5.0
10
1)(
)(
)2(
05.0
2 6 3.6)()1(
1
2
1
1
1
1
?
?
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?
????
??
?
??
???
?
???
?
?
?
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z
z
DGFICzD
z
z
NMFICzD
NMM
MFIC
DGFIC
N
KGGM
kr
cccc
cc
cc
cccc
ab
1
第六章 基于状态空间模型的极点配置设计法
1.0
0.0
0.2
-0.2
0
2
4
-2
-4
y(k)
y(t)
u(t)
阶跃响应
t
第六章 基于状态空间模型的极点配置设计法
? ?
? ?
）标准型对应参数化为式（
、引入参考输入，并确定、分别以方式，现要求按跟踪系统设计
，＝已知有关参数
为：设控制对象传递函数例
252.6
21
790.0
993.0
,648.8006.6
01,
0 9 5 1 6.0
0 4 8 3 7.0
9 0 4 8.00
9 5 1 6.01
)110(
1
)(2
NM
KL
CGF
ss
G
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
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?
?
?
?
?
?
?s
按极点配置设计的反馈控制规律 现时观测器增益矩阵
第一步：将现时观测器控制器化为引入 M,N后一般控制器标准形式式（ 4.252)
第六章 基于状态空间模型的极点配置设计法
? ?
12.6
1)(
)(
106 9 5.5
103 8 6.3
)(
11
9 0 5.12
6 4 8.81 1 6.6
3 9 8.1
108 4 4.7
3 3 9 4.01 3 8.1
107 3 3.3109 2 9.4
))((
1
1
2
4
3
33
?
??
??
??
?
?
?
?
?
?
?
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???
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MFIC
DGFIC
N
GKCIM
LKD
LC
KFG
GLFKCIF
CC
CCCC
C
C
CC
C
：）方式（
第二步：计算
第六章 基于状态空间模型的极点配置设计法
?
?
?
?
?
?
?
???
????
????
???
???
????
???
?
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????
????
???
??
????
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
32
62
1
2
32
62
1
1
3
32
62
1
2
32
2
1
1
105 7 5.23 3 4 5.0
)104 6 2.05 9 8 7.0(9 0 5.12
)()(
105 7 5.23 3 4 5.0
)104 6 2.05 9 8 7.0(9 0 5.12
)()(
9 0 5.12
3 9 8.1
108 4 4.7
2 6 6.622
105 7 5.23 3 4 5.0
)104 6 2.05 9 8 7.0(9 0 5.12
)()
105 7 5.23 3 4 5.0
)0 0 6 4.016.0(12.6
)()(
2 5 2.6
ZZ
ZZ
DGFZICzD
ZZ
ZZ
NMFZICzD
DNGM
ZZ
ZZ
DGFZICzD
ZZ
ZZ
NMFZICzD
CCCC
CC
CC
CCCC
CC
）可得：由式（方式）（
（
）可导出：由一般控制方程（
第六章 基于状态空间模型的极点配置设计法
到较大限制。利用误差控制，所以受
中只能因为方式有较好的跟踪性，较方式由图可见，方式 221
)()( 21 ZDZD ??
1.2
0
6
-1
-2
y(k)
y(t)
u(t)
方式1 阶跃响应2 4 6 8 t
1.0
0.8
0.6
0.4
0
5
4
3
2
1
第六章 基于状态空间模型的极点配置设计法
u(t)
y(t)
0
1.312
8
6
2
0
-2
-4
-6
t
方式 2阶跃响应
2 4 6 8
第六章 基于状态空间模型的极点配置设计法
6.6.7 积分控制引入
。态误差，是有效的控制引入积分控制、消除稳；）则可能存在稳态误差阶跃干扰（或常值干扰
用，但对于干扰具有很好的抑制作此外上述设计对于脉冲；数输入将产生稳态误差
设计对于常参数发生变化时，上述当控制对象模型不准或
.3
.2
.1
x(k+1)=Fx(k)+Gu(k)+v(k)
u(k)
y(k)
L2
C
)( kx
+
L1?
v(k)
?
-
?
e(k)
-
r(k)
ue(k)
控制器
第六章 基于状态空间模型的极点配置设计法
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
??
?
???
??
??
?
?
?
?
?
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??
?
?
?
?
)()()(
)()(
)2 8 7.6()()()(
)2 8 6.6()()(
)2 8 5.6()()()1(
0)(,)(2
)(,0)(1
)()()(
)()()(
0
1
2
21
0
21
kYkrke
ieLku
kXLkuku
kCXkY
kGukFXkX
kvkr
kvkr
LL
kykrke
kxLieLku
k
i
e
e
k
i
，方程可写为：常值当）（
误差前节已分析不存在稳态常值，当）（
下面来说明这一点：
存在稳态误差值输入及常值干扰均不对于该控制器结构，常
设计。均按上一节极点配置法、其中
控制方程为：
第六章 基于状态空间模型的极点配置设计法
制，见下图：
的前馈控差度，还可引入为进一步提高系统无静
。，即＝的积分，所以是由于
＝常数。＝常数，一定有＝常数时，一定有
，当闭环系统是渐进稳定的因为按极点配置设计的
结合上式可求得：
）（）（对上式整理代入得：
)(
)()(0)()()(
)()()(
)(
)(
1
)(
)()()(
)290.6()()()()1(
285.6287.6
1
2
1
2
2
kr
rYekeku
uYkr
Y
GGLFIC
u
GuGLFICY
kGukXGLFkX
e
e
e
e
e
????
??
?
?
?
?
?
?
??
??
?????
????
?
?
?
第六章 基于状态空间模型的极点配置设计法
r(k)前馈控制
X(k+1)=FX(k)+Gu(k)+v(k)
u(k)
y(k)
L2
C
)( kx
+
L1?
v(k)
?
-
?
e(k)
-
r(k)
ue(k)
L3
+
ur(k)
控制器
第六章 基于状态空间模型的极点配置设计法
GGLFIC
L
rLr
GGLFIC
u
uryk
y
GGLFIC
uukr
kXLkukukuL
LL
r
e
er
er
1
2
3
3
1
2
1
2
23
21
)(
1
)()(
)(
1
)(
0)(),()(
)(
)(
1
)()()(
)()()()(
?
?
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?????
?
??
?????
???
＝进而求得
＝＝所以得到
系统无静差度。
，以提高＝同时希望＝时，有
常数时当
的确定：增益
仍用以前方法设计。
、前馈通道，其他参数该方案仅多了一个输入
第六章 基于状态空间模型的极点配置设计法
。任何一种形式的观测器观测器可选用讨论过的
，如下图所示。然后再反馈来获取状态重构因此可通过构造观测器
，馈，实际上是不现实的求全部实际状态直接反上述两方案中，仍然要
)(?),(? kXkXX(k+1)=FX(k)+Gu(k)+v(k)
Y(k)=CX(k)
u(k)
Y(k)
L2
C
)( kX
+
L1?
v(k)
?
-
?
e(k)
-
r(k)
ue(k)
L3
+
ur(k)
)(
?
kX
控制器
观测器
第六章 基于状态空间模型的极点
配置设计法
6.1 连续对象模型的离散化（不带延
时、包含延时）
6.2 矩阵指数及其积分的计算
6.3 按极点配置设计控制规律
6.4 按极点配置设计观测器
6.5 控制器设计
6.6 跟踪系统设计
第六章 基于状态空间模型的极点配置设计法
6.1连续对象模型的离散化（不带
延时、包含延时）
基于状态空间设计控制系统方法主要有两大类：
一类,最优设计法,包括最优控制和最优估
计，即通常所说的 LQG(Linear Quadratic Gaussion)
设计问题。
另一类,极点配置设计法,包括按极点配置
设计控制规律和按极点配置设计观测器两个方面。
第六章 基于状态空间模型的极点配置设计法
6.1.1不带延时连续对象模型的离散化
6.1.2包含延时的连续对象模型离散化
第六章 基于状态空间模型的极点配置设计法
6.1.1不带延时连续对象模型的离散化
零阶保持器的广义对象考虑零阶保持器，即带
即
前面有一零阶保持器维，同时设在连续对象维，维，
TktkTkutu
rymunx
cxy
BuAxx
)1()()(
:::
)1.6(
????
?
?
?
?
???
设连续对象状态方程：
第六章 基于状态空间模型的极点配置设计法
)6.6(
)()(
,
)()()()1(
,
)()()1(
,)1(
)3.6()()()(
1.6
0
)1( )(
0
)(
0
)(
0
0
?
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???
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kcxky
d t BeGeF
kGukFxkx
τTkTt
kBuτdekxekx
TktkTt
τdτBuetxetx
T AtAT
Tk
RT
τTkTAAT
t
t
τtAttA
模型连续对象离散状态空间
则：若令
则
考虑零阶保持器作用。，若令
）解一般形式式（
统。系统变为纯粹的离散系
散化，使整个零阶保持器一起进行离现要求将对象模型连同
第六章 基于状态空间模型的极点配置设计法
设连续对象模型
6.1.2包含延时的连续对象模型离散化
??
?
?
???
)()(
)()()(
tCxty
tButAxtx ?? （ 6.8）
第六章 基于状态空间模型的极点配置设计法
)11.6()()()1(
)1(,
)10.6()()()(
8.6
)9.6()1(),()(
0,
)1( )(
0
)(
0
)(
0
0
?
?
? ??
??
????
???
???
????
????
Tk
kT
τTkTAAT
t
t
τtAttA
τdλτBuekxekx
TktkTt
τdλτBuetxetx
TktkTkTutu
TmmlTλλ
得：上式中令
）解可写为：式（
零阶保持器，假设在对象前面有一现讨论计算机控制系统
，为控制作用的延时时间
带入上式：）（变量代换 ?? ??? Tk 1
)12.4()()(
)()()1(
0
0
?
?
??????
??????
T AAT
T AAT
dmlTTkTBuekxe
dTkTBuekxekx
??
???
?
?
第六章 基于状态空间模型的极点配置设计法
)14.6(
)1()(
)1()(
)()(
8.6)13.6(
)13.6()()(
)()()1(
12.6
0.1
00
2
1
0
?
?
?
?
?
?
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???
??
???
????
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kukx
lkukx
lkukx
lkGukFX
lkBuηdekxekx
m
mm
ln
n
n
T ηAAT
?
令：
）离散状态方程。即为式（式
）化为：式（
两种情况：和下面讨论
考虑零阶保持器作用
广状态向量）离散状态方程，引入增（为得到连续对象标准
时刻向量边均化为为进一步分析，上式右 k
（ 为 T的整数倍 ）?
第六章 基于状态空间模型的极点配置设计法
? ?
方程形式上式即为标准离散状态
、输出方程
其中
）变为：则式（
)19.6(0)()()(
0
0
0000
000
000
00
)16.6()()()1(
13.6
)15.6(
)(
)(
)(
)(
1
cCkXCkCXkY
I
G
I
I
GF
F
kuGkXFkX
kx
kx
kx
kX
ln
n
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?????
?
?
?
令增广状态向量为
第六章 基于状态空间模型的极点配置设计法
）中各量可表为：则式（
、若令
、、式中
阵法）状态空间，采用增广矩（将该式化为标准离散
）（
行，即）的积分可分为两段进即，式（
、
21.6
)()(
)21.6(
)1()()(
)()1()1(
12.6
02
0
0
0
?
??
??
??
???
??????
???????
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t τAAt
m ηA
b
T
m
ηA
a
AT
ba
T
m
ηAm ηAAT
τdetGetF
BηdeGBηdeGeF
lkuGlkuGkFX
lkBuηdelkBuηdekekX
m
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m A
b
mT
a
AmA
T
m
mT mAA
a
AT
mGBdeG
GmTGmFBdee
mBdeBdeG
TFeF
0
0
0
)(
)(
)23.4()()(
)(
)(
?
?
????
?
?
??
变量代换
（ 为 T的非整数倍 ）?
(4.20)
第六章 基于状态空间模型的极点配置设计法
? ?
散状态方程）程为：（亦即为增广离则可得标准离散状态方
、、、
上式中令
和并以上两式得：
令
）变为：式（
）（
0
00)(
)(
)(
:
)(
)(
)(
00)1(
)1(
)1()(
)24.6()()1()()1(
20.6
11
1
11
1
cC
I
G
G
GF
F
kX
kX
kX
ku
I
G
kX
kXGF
kX
kX
kukX
kuGkuGkFXkX
l
ba
n
b
n
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n
n
ba
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??
?????
?
?
??
?
)29.6()()( )()()1(?
?
???
?
???
kXCkY
kuGkXFkX
第六章 基于状态空间模型的极点配置设计法
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
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?
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?
?
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?
00000
0000
0000
00
)(
)(
)(
)(
29.624.6
)30.6(
)1()(
)1()(
)()(
1)2(
1
2
1
?
?
????
?
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?
?
I
I
GGF
F
kx
kx
kx
kX
kukx
lkukx
lkukx
l
ba
ln
n
ln
n
n
、
其中：
）态方程如式（）可得增广标准离 散状合并上式与式（
令
? ?0
0
0
cC
I
G ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?,
?
第六章 基于状态空间模型的极点配置设计法
)34.6(
)()(
)1()()()1(
33.6
0,,1
)1(:)1(::
)33.6(
)()(
)()()()(
8.6
13
,1
1 1
111
?
?
?
?
?
?
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?????
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?
?
?
?
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lkuGlkuGkFXkX
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uqiλrYqimunX
tCXtY
λtuBλtuBtAXtX
mmm
m
q
i
q
i
iibiiiai
iiii
iiii
qqq
）离散状态方程为：得式（与前类似推导，不难求
，，设
延时，的各、、、、、、
）一般形式为：同，所以式（控制量，延时也不尽相
常常对于不同的个延时，实际系统中，个控制量，时，则有）当（
时（即单个控制变量）即一个控制量，一个延以上讨论中，均为
?
??
?
?
多变量系统
第六章 基于状态空间模型的极点配置设计法
问题：将专门讨论它们的计算
分，下面）所示的矩阵指数及积结为求式（以上各种离散化，均归
个优点。这是离散系统分析的一况。与连续系统相比，
情统一处理包括带延时的种分析和设计法可用来一样，因此离散系统各
全状态方程模型形式上完式，与没有延时的离散以上导出的动态方程形
。）的标准离散状态方程一步求得式（同理利用增广矩阵可进
其中：
6.6
34.6
,1),(),()(),( qimGGmTGmFGTFF
ibiiiai
??????
第六章 基于状态空间模型的极点配置设计法
6.2矩阵指数及其积分的计算
即求：
常用方法：
一,拉普拉斯反变换
二,凯莱 — 哈密尔顿（ Cayley— Hanilton）法
三,特征值和特征向量法
四,直接指数求和法
??? T AtAT d tBeGeF 0
第六章 基于状态空间模型的极点配置设计法
6460
11
1
1
1
1
1
1
1
1
11
~
32
21)(
1
)(
)(
)(
)(
||
)(
)(
)(
PP
nkIaABB
nkABtr
k
a
IB
Ba
BsBsBsB
asasassφ
sφ
sB
AsI
AsIadj
AsI
AsILe
kkk
kk
kk
nn
n
nn
nn
AT
详见
、、
、、
可由下列迭代算出：、
其中：
定理
拉普拉斯反变换法一
?
?
?
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???
???
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?????
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?
6, 1
.
第六章 基于状态空间模型的极点配置设计法
6.3 按极点配置设计控制规律
首先讨论 r(k)=0的情况，按极点配置设计的控制
器通常有两部分：状态控制器和控制规律
控制对象
控制规律 观测器
u(k)
)(? kx
y(k)
控制器
控制对象
u(k)
x(k)
控制规律
第六章 基于状态空间模型的极点配置设计法
)()()1(
83.684.6
)84.6()()(
,
)83.6()()()1(
)(
kXGLFkX
a
kLXku
RuRX
kGukFXkX
nn
???
??
??
???
程为：），得闭环系统状态方）代入式（将式（
）的极点配置（设计目标使闭环系统具有所需要、问题：设计
馈：控制规律为线性状态反、
设对象状态方程为：
设计控制规律非重构部状态首先讨论按实际对象全
L,
第六章 基于状态空间模型的极点配置设计法
? ? nGFFGGr a n k
b
L
nnmLm
L
zaGLFzI
L
azaz
βzβzβzza
niβ
GLFzI
n
c
n
nn
nc
i
?
??
???
?????
????
?
???
?
?
1
1
1
21
,
1
)88.6()(||
)87.6(0
)())(()(
,,2,1
)86.6(0||
?
?
?
?
即
控制对象完全能控：
是具有唯一解的充要条件配置，可证明：对于任意极点
、单输入情况：
能完全确定解耦、干扰解耦等）才
制条件（如输出此时需同时附加其他限所以不能完全确定
个方程，个未知数，而总共有有）时，但多输入（
中的未知元素求得单输入情况下由上式比较系数，便可
应满足，反馈矩阵为获取所需的极点配置
要求闭环方程为：
）（设给定所需闭环极点为
闭环特征方程为：
L
L
适用于单入单出系统
即 m＝ 1（一个控制量）
第六章 基于状态空间模型的极点配置设计法
? ?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
??
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T
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n
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c
d t BeG
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kGukFXkX
BA
x
x
X
BuAXX
L
krT
TT
C o n t r o lD e a d b e a t
zzac
0
2
1
1.0
0 0 5.0
10
1.01
)()()1(
1
0
00
10
0)(1.06.35.0
.2.1
n
,)(
利用前述方法，求得
、、
设连续状态方程为：
。设计状态反馈控制规律
用极点配置法要求按、、
例：控制对象为
该方式一个很大缺点。很大的控制能量，这是
较小时，需要，的选择控制量幅度取决于但该方式特点：
拍后回到零初态。），所有状态最高至（
将导致有限拍控制点，即、若将极点均配置在原
?
??
s1 s1
yx ??2u yx ?1
给定二阶闭环极点用
Matlab设计
第六章 基于状态空间模型的极点配置设计法
? ?
? ?
? ?5.3105.310
7.011.00 0 5.0
6.120 0 5.01.0
11.00 0 5.0)20 0 5.01.0(
1.0
0 0 5.0
10
1.01
10
01
)(
)(:
7.06.1))(()(
8 3 5.0,
12.38.11
21
21
12
2112
2
21
21
2
21
9.17
2
2,1
0
????
?
?
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???
????
???????
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LLL
LL
LL
LLzLLz
LLzGLFzIza
LLL
zzzzzzza
ezez
jjS
S
c
c
jST
nn
n
，、
比较系数得：
闭环特征方程为：
方法一、比较系数法
设计任务设状态反馈
为：得要求的闭环特征方程
求得，利用
平面上两极点为：得闭环系统相应闭环响应性能要求，求、由
????
??
?
-1
?
?
s
?
?
Z
第六章 基于状态空间模型的极点配置设计法
? ?? ?
? ?? ? ? ?? ? ? ?
? ? 时闭环系统的动态特性下图给出了当
软件中矩阵计算该式可由
）计控制规律的实用算法式即为利用极点配置设方法二、矩阵求解（上
求得：
用下面显式直接是系统阶数较高时，可此法计算较烦索，尤其
T
c
c
n
x
a t l a b
IFFFGGFaFGGL
FaGFFGGL
01)0(
M
5.310)7.06.1(10)(10
)(100
211
1
1
?
?????
?
??
?
?
??
L有唯一解的充要条件
第六章 基于状态空间模型的极点配置设计法
u(t) yt)
1.0
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
-0.2
0
2
4
-2
-4
-6
-8
-10
1.0
X(0)=[1 0]T
系统是可控的, 经有限拍后回到零态
第六章 基于状态空间模型的极点配置设计法
6.4 按极点配置设计观测器
6.4.1 预报观测器
6.4.2 现时观测器
6.4.3 降阶观测器
第六章 基于状态空间模型的极点配置设计法
6.4.1 预报观测器
、开环观测器
均为已知对象模型参数、、设、、其中
如已知对象状态方程：
。该算法即为观测器设计
代替实际状态反馈，的重构或估计，则为实际状态状态，记
构全部据所能观测到的输出重法是找到一种算法，根对于高阶系统，通常方
尤其，实际上是不可能的，，可直接用于状态反馈被控制对象状态均可观
1
,
)1 2 5.6(
)()(
)()()1(
)(
?
)()()(
?
CGFRYRuRX
kCXkY
kGukFXkX
kXLkukXkX
rmn
???
?
?
?
?
???
??
第六章 基于状态空间模型的极点配置设计法
对象F,G
模型F,G
u(k)
)(? kx
y(k)
C
C
)( kx
)0(x
)0(?x
)(? ky
开环观测器
第六章 基于状态空间模型的极点配置设计法
克服这一缺点。预报观测器则可较好地
的动态特性。内，但也往往不具有好即使特征根均在单位圆
更不能采用，特性不好的极点）时，具有不稳定特征根（或）当
出量来进行校正。没有利用可测量到的输
进行预报于输入量及模型参数来）重构误差动特性只取
点（即状态重构法）实际应用中存在严重缺
实现状态重构。
）可能特征值均在单位圆内时条件下（理论上讲，该法在一定
小结：
重构误差状态方程
重构误差令
变化？能否跟踪，当
将始终等于则即若与上式有相等初值，
.3
2
1
.2
.1
)()(
~
)1(
~
)()(
?
)()(
~
)()(
?
)0()0(
?
)()(
?
),0()0(
?
)1 2 5.4(
)1 2 6.6()()(
?
)1(
?
F
F
kXFkX
kXkXkX
kXkXXX
kXkXXX
kGukXFkX
??
??
?
?
???
第六章 基于状态空间模型的极点配置设计法
的性能。，使重构误差具有满意根，也可通过适当调整
阵原有的不稳定构性能。即使便可获得要求的状态重增益阵
，只要适当地选择性取决于此时重构误差的动态特
分析：
误差状态方程：）与上式相减，得重构将式（
观测器增益矩阵。
为，，因此称为预报观测器时刻的只用到了因
观测器方程为：
预报观测器
K
K
KCF
kxKCFkX
kykTkX
kXCkyKkGukXFkX
F
K
][
)1 3 0.6()(
~
][)1(
~
1 2 5.6
)()1(
?
)1 2 9.6()](
?
)([)()(
?
)1(
?
.2
?
???
?
?????
对象F,G
模型F,G
u(k)
)(? kx
y(k)
C
C
)( kx
)0(x
?
-
K
)(? ky
预报观测器结构
第六章 基于状态空间模型的极点配置设计法
? ?
)1 3 5.6()(||
)(1 3 3.4
)1 3 4.6(
1
)1 3 3.6()(||
)1 3 2.6(0
)())(()(
,,2,1
)()(
?
)1 3 1.6(0||
""
1
1
1
1
21
zaKCFzI
K
CFCFCn
CF
CF
C
r a n k
r
zaKCFzI
azaz
βzβzβzza
niβ
kXkX
KCFzI
K
c
TTT
T
n
n
c
n
nn
nc
i
???
??
?
?
?
?
?
?
?
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?
?
?
?
?
?
???
????
????
?
???
?
?
?
则：
矩阵转置行列式不变）求出定，由式（假设观测器极点已经给
系统完全能观，即：
是具有唯一解的充要条件定观测器极点，可以证明，对于任意指
）情况：下面只讨论单出（
则应有：
特征方程为：
）（定观测器特征根为根据重构性能要求，给
。性能取决于方程根分布跟随
程为）：（也称为观测器特征方状态重构误差特征方程
在于如何合理地选取所以设计观测器的关键
?
?
?
?
?
K
第六章 基于状态空间模型的极点配置设计法
? ?? ?
预报观测器实用算法该式即为极点配置设计
两边转置得：
）求得：由式（
）式（）式（
）建立对应关系：）、式（对比式（
)137.6(
1
0
0
)(
)()(100
111.6
)()(
135.688.6
88.6135.6
1
1
1
1
?
?
?
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T
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TnTTTTT
cc
T
T
T
CF
CF
C
FaK
FaCFCFCK
zaza
KL
CG
FF
)(zaGLFzI c???
第六章 基于状态空间模型的极点配置设计法
? ?
? ?
2
211
2
2
1
2
1
2
0
2
1
)(
)1.01()2(
1
1.01
01
10
1.01
10
01
)(
)1 4 3.6()](
?
)([)()(
?
)1(
?
01),()(
1.0
0 0 5.0
,
10
1.01
)()()1(
1.0,
1
0
,
00
10
.
zza
kkzkz
zk
kz
k
k
zKCFzI
zza
kXkyKkGukXFkX
CkCXkY
d t BeGeF
kGukFXkX
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x
x
X
BuAXX
c
c
T
AtAT
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?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
配置在原点，即
将观测器两个根速度跟随实际状态，可要求重构状态能以最快假设：
：系统预报观测器方程为
，
器统为例，设计预报观测例：仍以前述双积分系
?
s1 s1
yx ??2u yx ?1
?????????????? 10221kkK
比较系数得：
第六章 基于状态空间模型的极点配置设计法
6.4.2 现时观测器
)1(?)1()1(~ ????? kXkXkX
)(~][ kXKCFF ??
0)(|| ???? zaK C FFZI c
（ 6.151）
（ 6.152）
??
???
???????
???
)]1()1([)1()1(?
)()(?)1(
kXCkYKkXkX
kGukXFkX
上式即为现时观测器，即根据最新系统的输出量
y(k+1)来修正同一时刻的状态重构。
状态重构误差方程：
（ 6.153）
观测器特征方程：
（ 6.154）
开环观测器，作为状态重构一步预报
替代了预报观测器中的 C
第六章 基于状态空间模型的极点配置设计法
条件,给定观测器极点，即 ac(z)已知,K具有唯一解的
充要条件是系统完全可观 。所以可求得现时观
测器解为：
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? ??
?
0
0
0
)(
0
0
0
)( 11
1
2
???
PFFa
CF
CF
CF
FaK c
n
c （ 6.155）
只有当系统完全能观时, 才能由该式求得 K
与预报观测器条件一致
式中,P为系统能观性矩阵
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?1nCF
CF
C
P ?
第六章 基于状态空间模型的极点配置设计法
设
??????? )( )()( kX kXkX ba
xa(k):能够测量部分，即输出量 y(k)
xb(k):需重构部分（不可观测部分）
原状态方程可分块为,
)()( )()1( )1( kuGGkX kXFF FFkX kX
b
a
b
a
bbba
abaa
b
a ?
?
??
?
???
?
??
?
??
?
??
?
???
?
??
?
?
?
? （ 6.159）
（ 6.158）
? ? ??????? )( )(0)( kX kXIkY
b
a
（ 6.159）
展开并整理上式为：
)()()()1( kuGkXFkXFkX bababbbb ????
)()()()1( kXFkuGkXFkX babaaaaa ????
（ 6.163）
（ 6.164）
6.4.3 降阶观测器
第六章 基于状态空间模型的极点配置设计法
将上两式与（ 6.125）比较及对应关系
式（ 6.125） 式（ 6.163）和（ 6.164）
X(k) Xb(k) 需估状态
F Fbb 系数阵
Gu(k) FbaXa(k)+Gbu(k) 已知输入
y(k) Xa(k+1)-FaaXa(k)-Gau(k) 已知测量
C Fab 测量方程系数阵
观测器方程如下 （ 实质上为降阶预报观测器 ）
)1(?)1()1(~ ????? kXkXkX bbb
)()()()1( kuGkXFkXFkX bababbbb ????
)](?)()()1([ kXFkuGkXFkXK babaaaaa ????? （ 6.165）
状态重构误差方程：
特征方程：
)(~][ kXKFF babbb ??
0)(|| ???? zaKFFzI cabbb
条件,给定降阶观测极点, 只考虑单输出, 即可求出增益阵 K。 K具有唯
一解的充要条件也是系统完全能观 。 （ 与预报, 现时观测器条件一样 ）
第六章 基于状态空间模型的极点配置设计法
求得：
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? 1
0
0
)(
1
11
?
?
n
abab
bbab
ab
bbc
FF
FF
F
FaK
)(kXb
（ 6.168）
式中 n1为 维数, 因假定为单输出, 所以 n1=n-1。
第六章 基于状态空间模型的极点配置设计法
6.5 控制器设计
??
?
?
???
)()(
)()()1(
kCXkY
kGukFXkX
)(?)( kXLku ??
??????? )(?
)()(
kX
kXkZ
? ?)(?)()()(?)1(? kXCkYKkGukXFkX ?????
控制对象,（ 6.173）
预报观测器：
（ 6.174）
控制规律,（ 6.175 ）
令闭环系统状态为,（ 6.176）
预估状态线性反馈
实际状态
重构状态
第六章 基于状态空间模型的极点配置设计法
由 上 式 得,
? ?????? ????? ??? )(?)()(?)(?)1(? )(
?)()1(
kXCkCXKkXGLkXFkX
kXGLkFXkX
)(?( kXKCGLFkKCX ）（） ????
)()1( kZFkZ ??
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
? KCGLFKC
GLF
F
||||)( KCFzIGLFzIFzIza ????????
（ 6.178）
可求得闭环系统状态方程为,（ 6.179）
其中,
（ 闭环系统状态转移阵 ）
闭环特征方程为：
（ 6.181 ）
闭环系统 2n个极点有两部分组成：
（ 1） n个控制极点 （ 设计控制规律用 ）
（ 2） n个观测器极点 （ 设计观测器用 ）
行列式经变换后其值不变
（ 6.180 ）
第六章 基于状态空间模型的极点配置设计法
这就是著名的 分离性原理 。 使得控制规律和观测器设计
可分开进行，简化了控制器设计 。
小结：
（ 1） 控制极点是根据系统性能要求给定的, 因此闭环
系统性能主要取决于控制极点, 即系统的主导极点 。
（ 2） 观测器极点的引入通常使系统性能变差, 为减少
影响, 应使系统观测器极点所决定的状态重构跟随速度
远大于由控制极点所决定的系统响应速度, 极限情况可
将观测器极点均配置在原点, 这时状态重构具有最快的
跟随速度 。
（ 3） 若测量输出存在误差或测量噪声, 那么状态重构
跟随速度越快, 测量误差对系统影响也越大, 下面简要
说明这一点 。
第六章 基于状态空间模型的极点配置设计法
)()(? kGukXF ?
? ?)(?)( kXCkYK ?
（ 1 ）
（ 2 ）
根据初始状态进行的预报
根据初始状态进行的修正
为加快重构跟随速度, 须加大修正项, 即 K须取较大值 。
若输出量测量中存在误差或噪声, 用子式表示为：
)()()( kWkCXkY ?? （ 6.182 ）
式（ 6.174）中状态重构有两部分组成：
第六章 基于状态空间模型的极点配置设计法
则前式 （ 6.178） 将变为：
??
?
?
?
??
?
??
??
???
K
K
kWKkZFkZ
0
)()()1(
)()(?)()()1(? kKWkXKCGLFkK C XkX ?????? （ 6.183）
相应闭环系统状态方程为：
（ 6.184）
第六章 基于状态空间模型的极点配置设计法
可见, 当要求状态重构较快跟随时, K要求取较大值, 从
而测量误差或噪声对系统的影响也变大, 因此观测器极点也
应根据系统整体性能要求折衷选择 。
按极点配置设计控制器步骤：
（ 1） 按系统性能要求给定 n个控制极点 。
（ 2） 按极点配置设计出控制规律 L。
（ 3） 给定观测器极点, 全阶 n个, 降阶 n-1个 （ y(k)可测 ）
1） 若测量中误差或噪声较小, 则配置观测器极点为原
点 （ 保证快速跟随 ） 。
2） 若测量中包含较大误差或噪声, 则可按 重构速度比
控制极点对应的系统响应速度快 4～ 5倍 来给定观测器极点 。
第六章 基于状态空间模型的极点配置设计法
（ 5） 根据观测器极点及类型计算增益阵 K
（ 4）选择观测器类型
1）若测量比较准确，只是其中的一个状态，则
可选用降阶观测器
2） 若控制器计算延时与采样周期大小为同一数
量级, 则采用预报观测器, 否则考虑采用现时观测
器 。 （ 计算延时小, 采用预报器；计算延时大, 采
样周期大, 则采用现时观测器 ）
第六章 基于状态空间模型的极点配置设计法
例,
???????? 1.0100A
5.0??
??
?
?
???
)(
)()()1(
kCXY
kBukAXkX
)110(
1)(
?? sssG
??
?
?
???
)()(
)()()1(
kCXkY
kGukFXkX
设对象传递函数：
要求闭环系统性能,1,1 ??? 二阶连续系统n?
要求按极点配置法设计控制器。
将连续对象 (包括零阶保持器 )离散化，得：
??????? 1.00B ????????? 01C
用M a t l a b 软件设计
对象
u(t)
y(t)
数控器
y(k)
零保器
u(k)
T
对象状态方程
第六章 基于状态空间模型的极点配置设计法
求得：
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
9 0 4 8.00
9 5 1 6.01
ATeF
5.0?? 1?n?
2
35.01 2
2,1 jjS nn ??????? ????
GLFzI
zzzzzzGLFzIza c
???
????????? 3 6 8.07 8 6.0))(()( 221
? ? ? ?6 4 8.81 1 6.621 ?? llL
???????? ? 09516.0 04833.00 d tBeG T AT
由 可求得 S平面的两个控制极点为：
进一步求得 Z平面根 2 35.02 35.0
2,1
jj eee ???? ???
相应特征多项式为：
比较系数利用式（ 6.111）得：
假定有测量噪声，考虑选用全阶（现时）观测器，计算延时可忽略不计。
由于存在测量噪声，所以按照观测器极点所对应衰减速度比控制极点对
应衰减速度快约 5倍要求考虑。
?
?
Z
第六章 基于状态空间模型的极点配置设计法
选择观测器两个极点为：
08.0)( 5.255.02,1 ??? ?? ee?
? ?TX 01)0( ?
??????? 7 9 0.0 9 9 3.0K
得观测器多项式：
0 0 6 4.016.0)08.0()( 22 ???????? zzzKCFFzIza c
由式（ 6.155）求得：
取
系统仿真曲线见下页图，输出存在较大超调，是由于观测器极点引起
的，使系统性能变差。
前述设计中，假定,r(k)=0,设计控制器目的是使系统从非零初态回到零
状态时具有满意的动态响应性能，即所设计系统能很好的抑制脉冲干扰。
对于阶跃或常值型干扰，系统输出亦将存在误差，以下讨论如何
设计 PI控制器来消除误差。
控制极点的实部幅值
两个重极点
第六章 基于状态空间模型的极点配置设计法
1.0
0.0
0.2
-0.2
0
2
4
u
kT
y
-2
-4
-6
-8
-10
-12
-0.2
-0.4
-0.6
非零初态系统响应曲线
第六章 基于状态空间模型的极点配置设计法
PI控制器设计（ ）0)( ?tv
1）状态完全可观
x(k+1)=Fx(k)+Gu(k)+v(k)
u(k)
y(k)
-L2
C
)( kx
?
+
-
-L1 ?
+
v(k)
PI 规律
按极点配置设计的PI 控制规律
)197.6()()( )()()()1(??? ? ???? kCXkY kvkGukFXkX
设控制对象状态方程为：
第六章 基于状态空间模型的极点配置设计法
V(k)为阶跃干扰
??
???
?
?
?
00
0
k
k常数
定义各差分量为：
?
?
?
??
?
?
????
????
????
????
)1()()(
)1()()(
)1()()(
)1()()(
kvkvkv
kYkYkY
kukuku
kXkXkX
式（ 6.197）两边取差分，则有,0)(1 ??? kvk 时，
??
?
?????
???????
)1()1(
1),()()1(
kXCkY
kkuGkXFkX
)()()()1( kuCGkXCFkYkY ?????? （ 6.203）
令：
???????? )()()( kXkYkZ
关于 Z(k)状态方程：
1),()()1( ????? kkuGkZFkZ （ 6.204）
构造新的状态向量
第六章 基于状态空间模型的极点配置设计法
设系统为 SISO：
针对式（ 6.204）设计出如下增量式状态反馈控制：
?
?
?
?
?
?
?
?
?
F
CFIF
0
??????? GCGG
)()()()( 21 kXLkYLkLZku ??????? （ 6.206）
? ?21 LLL ?
上式两边作求和运算得
?????? ???
???
k
j
k
j
k
j
jXLjYLju
11 21 1
)()()(
?? ????? kj uXLkxLkyLku 1 221 )0()0()()()( （ 6.208）
u(k)与 X(0),u(0)有关，而它们一般难以预先知道，所以工程上实现时
通常不考虑这两个初始条件，实际控制规律为：
?? ??? kj kXLkYLku 1 21 )()()(
（ 6.209）
? ?)0()()()0()( 1 21 XkXLjYLuku kj ????? ??
输出量积分反馈 状态线性反馈
该式称为按极点配置设计的
PI控制规律
第六章 基于状态空间模型的极点配置设计法
为什么该控制器能抑制阶跃干扰而无稳态误差？
稳态误差：由前式（ 6.204）式（ 6.206）得：
)()()1( kZLGFkZ ??? （ 6.210）
该阵特征值即给定的闭环控制极点，应都在单位圆内。
即式（ 4.210）闭环系统一定是渐进稳定的：即 稳态无差。)(),( kXkY ?
因此对于任意初始条件有：
x(k+1)=Fx(k)+Gu(k)+v(k)
u(k)
y(k)
-L2
C
)( kx
?
+
-
-L1 ?
+
v(k)
PI 规律
0)(lim ??? kZk
由于 Y(k)为 Z(k)一状态，显然应有 0)(lim,0)(lim ???
???? kXkY kk
第六章 基于状态空间模型的极点配置设计法
控制对象
u(k)
y(k)
-L2
C
)( kx
?
+
-L1
+
v(k)
PI 控制器
观测器
积分
)(? kx
2)需重构状态
尽管存在常值干扰 v（ k）,输出稳态值终将回到 0，即不存
在稳态稳差。
上图中 PI规律要求全部状态直接反馈，实际上是不现实的，
可通过构造观测器来获得状态重构,然后再线性反馈
如下图。
)(? kX
)(? kX
第六章 基于状态空间模型的极点配置设计法
控制器）组成（
器）按极点配置设计观测（
点）合适地给定观测器极（
预报、现时、降阶））选择观测器类型（
）针对式（规律）按极点配置设计控制（
”个极点。，给定适合的“根据系统设计性能要求
）组成矩阵）按式（（
控制器步骤：按极点配置设计
PI
LL
n
G
7
6
5
(4
)2 0 4.6(3
1)2(
,2 0 5.61
21
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
L
F
PI
第六章 基于状态空间模型的极点配置设计法
输出响应。
时，闭环系统的求，，其中，
控制器。器的按极点配置设计带观测考虑阶跃扰动情况下，
给定系统为：
作业：
T
n
XT
ss
sG
]01[)0(,115.0
)1(
1
)(
????
?
?
??
PI
第六章 基于状态空间模型的极点配置设计法
6.6 跟踪系统设计
6.6.1 调节系统与跟踪系统
6.6.2 参考输入的引入方式
6.6.3 根据零点配置选择
6.6.4 根据静态增益选择 N
6.6.5 一般控制器结构时 M和 N的选择
6.6.6 设计举例
6.6.7 积分控制引入
M
第六章 基于状态空间模型的极点配置设计法
6.6.1 调节系统与跟踪系统
对象对象
u(k) y(k)
控制器r(k)=0
控制对象状态方程为：
??
?
?
???
)()(
)()()1(
kCXkY
kGukFXkX
控制器方程 （以预报器为例） 为,
?
?
?
?
?
?
?
??
????
?????
)(?)(
)()(?)(
)](?)([)()(?)1(?
kXLku
kKYkXKCGLF
kXCkYKkGukXFkX
对象对象
u(k) y(k)
控制器
跟踪系统结构
r(k)
r(k)?0
第六章 基于状态空间模型的极点配置设计法
??
???
???
??????
)()(?)(
)()()(?)()1(?
kNrkXLku
kMrkKYkXKCGLFkX
（ 6.215）
NM
Nn
,
M/ 1
入阵问题：如何确定参考输
标量列向量，出，设系统为单入 ?
控制方程为,
第六章 基于状态空间模型的极点配置设计法
4.6.2 参考输入的引入方式
第六章 基于状态空间模型的极点配置设计法
?
?
?
?
?
??
?????
???
??
????
?????????
)(
?
)(
)()(
?
)()1(
?
0
)()()(
)618617.4(
)()()(
~
)()1(
?
)1()1(
~
)(
?
215.6
kXLku
kKekXKCGLFkX
KMN
kYkrke
NM
NMN
G
N
M
MGNM
kMrkGN rkXKCFkXkXkX
r
kX
控制方程为：
、据此须有：
误差量
参考输入与输出间的使控制器方程中只用到、：合适地选择方式
即可确定。、，则求确定进一步根据静态增益要
或：为满足上述条件须满足
于即状态重构误差不依赖
仍为系统状态重构）中以使式（：合适地选择方式
2
NM,1
r(k)
对象对象
u(k) y(k)
控制器
仅用误差控制的跟踪系统
? e(k)
第六章 基于状态空间模型的极点配置设计法
方式 3：任意地选择 M,N使系统具有满意地动态和静态跟踪性能，由于
增加参考输入不会影响闭环系统特征方程，因而 M,N选取不会
影响闭环极点，因此选择 M,N主要是使闭环系统具有要求的零
点位置和满意的静态精度。 （动静态特性：零点影响动态特性，极点影响静态特性）
反馈控制主要用来改变系统的极点，使系统具有满意的稳定性和
调节性能。
前馈控制主要用来改变系统零点，以使系统具有满意的动态和静
态跟踪性能。
方式 4：在以上任何一种方式中，在参考输入引入前附加输入补偿器
可进一步改善系统跟踪性能或对输入信号滤波，它的设计需
要根据实际系统加以考虑。
第六章 基于状态空间模型的极点配置设计法
6.6.3 根据零点配置选择 M
G(z)
u(k) y(k)
D1(z)
控制器
D2(z)
?
u1(k)
u2(k)
r(k)
+
+
即根据前馈环节 D1(z)零点选择 M
第六章 基于状态空间模型的极点配置设计法
)()(||||||)(
)()(2
)()1
)()()()(
)()(
)()(1
)()(
)(
)(
)(
)()
)223.6(
)(
)(
)(
)(
)()(
)222.6(
)(
)(
)(
)(
)()(
)(
)(
)()(
1
22
1
2
1
21
2
21
2
1
11
1
1
zazaKCFzIGLFzIFzIza
zz
zB
zBzBzAzA
zBzB
zDzG
zGzD
zR
zY
zH
KCGLFzIzAzA
zY
zU
zA
zB
KKCGLFzILzD
zR
zU
zA
zB
NMKCGLFzILzD
zA
zB
FzICzG
ec
?????????
?
?
?
??
?????
???????
????????
???
?
?
?
点，即为：规律和设计观测器的极仍按极点配置设计控制
也即闭环系统极点会影响闭环系统极点，外界参考输入的引入不
根零点，）输入前馈传递函数
根。对象固有零点
：闭环零点由两部分组成
闭环传递函数：
（比较上面两式有：
BD
1
控制极点 观测器极点
)()()()()()( 22 zazazBzBzAzA ec??
r(k)－ u(k)
y(k)－ u(k)
第六章 基于状态空间模型的极点配置设计法
)2 3 5.6(0)(
?
,
,)(
?
)(
)2 3 3.6(
0)()()(
?
0)()(
?
)(
0)(,0)(156
0)()()(
0)(0)(
)(2 1 5.6
)()(
?
)(
)()()(
?
)()1(
?
2 1 5.6
0)(2 1 5.6),(
0010
0010
1
1
1
?????
?
?
?
?
?
?
????
?????
??
??
???
?
?
?
?
?
???
??????
?
?
zXL
N
M
KCGLFzI
kX
N
L
zR
zUzNRzXL
zMRzXKCGLFzI
zUkY
zRzDzU
zRzDzz
z
kNrkXLku
kMrkKYkXKCGLFkX
kYzD
N
M
MzB
））（（
要使上式成立必须有：对于非零
即得条件代入将
）得：变换（令）两边控制器方程式（
，则应有，即使使若
零点）求根据式（
）式（
）中可令式（由于只考虑
的选择题，关系到）的零点选择是主要问（
R( z )
z.2
D
第六章 基于状态空间模型的极点配置设计法
)2 4 2.6(
)()(
)()(
)(
2 3 62 2 62 2 5.6(
2 4 1.6)(||)(
2 1 5.6
)(
)(3
)2 3 9.6(
1
0
0
)(
1 3 7.6)1 3 3.6(
)(
/2 3 5.6
)()(
)()(
)2 3 6.6()()(
)()(
)2 3 5.6(0||)(
11
1
1
1
1
1
1
1
11
111
111
11
1
zaza
zBzBk
zH
zaKCFzIzB
G
N
G
M
zD
M
GM
MzD
FL
FL
L
FB
N
M
M
LMFzIzB
KCGLFF
NMM
zBzD
zBzBk
zBkzB
zDzB
L
N
M
KCGLFzIzB
ec
e
n
?
?
?????
??
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
????
????
???
?
?
?
??
?
???????
?
?
得）、、由式（闭环传递函数
）（
）得：带入式（有方式
自由选择零点均是确定的，不能
都是确定的和，对于方式
是确定的，对于方式
的过程。零点确定，由上式即为根据方式
）比较得：、（与式
令
）可求出从而根据式（
已知，零点，即能要求给定若根据闭环系统跟踪性
为首一多项式中首项系数，为
令
的零点的根即为
即有：
1
N2
1
??
闭环极点即为控制极点
仍为系统期望特性
即前馈补偿器 D1(z)零点
等于观测器极点
已知零点
第六章 基于状态空间模型的极点配置设计法
上式表明：
对于方式 1：物理意义上可解释为，观测器状态重构误差不受 r(k)控制，
即观测器是不能控的子系统，反映在闭环传递函数中观测
器的极点被零点所抵消。
对于方式 2：即误差控制情况，因为 N=0,M= -K，令 y(k)=0
则式（ 6.215）变为：
的零点多项式时上式即为仅用误差控制
要式上式成立须有：对于非零
得：变换，令两边取
)(
)245.6(0|)(|||)(
)244.6(0
)(
)(
0
0)(
)243.6(
)(
?
)(
)()(
~
)()1(
?
1
1
z
KFzILFzIz
zR
zX
L
KKCGLFzI
zUZ
kXLku
kKrkXKCGLFkX
D
B
R ( z ),
1
??????
?
?
?
?
?
?
?
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?
?
?
?
?
???
?
?
?
?
?
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??
?????
?
第六章 基于状态空间模型的极点配置设计法
6.6.4 根据静态增益选择 N
第六章 基于状态空间模型的极点配置设计法
）（
则上式可简化为即含有积分环节若对于控制对象中已包
求得：）及由上式（
式中：
）得：）、）、）、根据前述公式（
即
态误差求对于单位阶跃输入稳，对于跟踪系统通常要闭环系统增益要求来定
可根据对的选择来讨论、式，因此这里主要针对方中必须选方式
2 5 1.6
)
?
(1
)
?
(
,)1(,
)2 5 0.6(
)1(])
?
(1[
)1()
?
(1
1)1(2 4 8.6
)()(
)2 4 8.6(
)()
?
(1
)(])
?
(1[
)()(1
)(])([
)()(1
)()(
)(
2 3 7.6(2 2 3.6(2 2 2.6(2 2 5.6
)2 4 7.6(1
)(
)(
lim)(lim
,0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
11
MFIL
KFIL
N
G
GMFIL
KGFIL
N
H
GFzICzG
zKGFzIL
zGMFzILN
zKGKCGLFzIL
zGMKCGLFzILN
zGzD
zGzD
zH
zR
zY
zH
N
zz
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????
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?
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??
? N312
第六章 基于状态空间模型的极点配置设计法
输入的响应决定））确定（即闭环系统对）或（由式（
）确定。的零点配置由式（根据对方式
即误差控制情况，方式）（
）确定式（
）或由式（响状态重构，即引入参考输入不会影）方式（
的选择方法：和引入方式下，归纳对于不同参考输入
2 5 1.62 5 0.6
2 3 9.6)()3(
0,2
51
2 5 0.6,1
1
N
zDM
NK
NG
3
M2
6, 2
M1
NM
???
?
第六章 基于状态空间模型的极点配置设计法
6.6.5 一般控制器结构时
M和 N的选择
)2 5 2.6(
)()()()(
)()()()1(
?
?
?
???
????
kNrkyDkXCku
kMrkYGkXFkX
NM
NM
ccc
cccc
程：一般控制器标准状态方
分析：
和即选择器如何引入参考输入，而对于一般结构的控制
的选择。和制器用预报观测器形式的控以上所讨论的只是对采
第六章 基于状态空间模型的极点配置设计法
?
?
?
?
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??????
????
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?????
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?
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???
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?
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?
?
??
??????
)()()(
?
,,
),(
252.6
)257.6()()()(
)()]()([)()(
?
)(
)256.6()()())(()())(()1(
),1()1(
?
)1(
)(
?
)(
)]1()1([)1(
?
)1(
?
)()(
?
)1(
252.6)2(
)253.6(
)()(
?
,0
,
252.6215.6)1(
kKYkXkXLKDLC
KFGGLFKCIF
kNrkL K YkLX
kNrkKYkXLkNrkXLku
kMrkKYGLFKCIkXGLFKCIkX
kKYkXkX
kXLku
kXCkYKkXkX
kGukXFkX
kXkXD
LKKGKCGLFF
ccc
ccc
c
c
cc
c
cc
ccc
）（
转换关系为：）标准型比较，得它们与式（
同时引入参考，得：令
）标准形式换为（对于现时观测器也可转
、
预报观测器比较））得转换关系为：（与）与（比较式（
第六章 基于状态空间模型的极点配置设计法
：根据静态增益要求决定下一步确定
降阶观测器
现时观测器
预报观测器
式。测器形式时，才有该方只有当控制器包括有观）方式（
方式的选择：针对三种输入、）标准型中讨论式
）标准型形式化到式（构形式，也可根据具体对于其它类型控制器结
的转换关系类似求得与标准形式间
对于降阶观测器
,
)(
11
252.6(
252.6
)260.6(
)()()(
?
,
)(
?
)()(
)](
?
)()()1([
)()()(
?
)1(
?
)3(
N
KGGM
GKCIM
G
N
M
M
NM
kKYkXkX
LKLDLC
KFLKGKFLGFG
KFLKGLGFF
kXLkXLku
kXFkuGkXFkXk
kuGkXFkXFkX
ab
cb
abcbc
caaaaabbac
abbabbbbc
bbaa
babaaaaa
bababbbb
??
??
??
?
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?
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??
?????
?????
????
?
?
?
?
?
?
?
???
?????
????
第六章 基于状态空间模型的极点配置设计法
)265.6(
1)(
)(
,)1(
)264.6(
)1(]1)([
)1(])([1
,1)1(),(
1
1
1
1
??
??
??
??
??
???
?
?
?
?
?
?
MFIC
DGFIC
N
G
GMFIC
GDGFIC
N
HzH
cc
cccc
cc
cccc
则，即若对象中含有积分环节
从而求得：再令先求出闭环
）进行。）、（的确定，同样可由式（
应满足下式则的零点多项式为
，若给定点配置即静态精度要求可任意选择，以满足零和：方式
、）显然应有式（
：误差控制方式方式
4 6 5.62 6 4.6
)2 6 8.6(
1
0
0
)(
)(||
),()(
)3(
2 5 2.6
)2(
1
1
1
1
11
N
FC
FC
C
FBM
zBCMFzI
N
M
MzBzD
NM
DNGM
n
cc
cc
c
c
cc
cc
?
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??
????
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?
3
2
第六章 基于状态空间模型的极点配置设计法
6.6.6 设计举例
s
1
s
1yx ??2 yx ?1u
G(z)
u(z) y(k)
D1(z)
D2(z)
?
r(z)
+
+
第六章 基于状态空间模型的极点配置设计法
? ? ? ?
?
?
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?????
????
???????
??????
???
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?
?
?
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?
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?
?
?
?
?
?
45
5.3
25.12
1 7 5.0
2 5 2.6
105.310
1
05.0
10
1.01
abc
bc
caaaaabbac
abbabbbbc
ba
b
a
bbba
abaa
LLD
LC
KFLKGKFLGFG
KFLKGLGFF
KLLL
a
a
G
FF
FF
F
各参数）（标准形），并求解（首先将降维观测器化为
、
、
例 1：仍以双积分系统为例，要求按跟踪系统设计，并希望参考输
入不影响系统状态重构，控制器采用降阶观测器，计算 M,N，仿
真单位阶跃响应。已知有关参数为：
第六章 基于状态空间模型的极点配置设计法
阶跃响应见下页图。
反馈控制传递函数
数为：）求得前馈控制传递函由式（
对象中有积分环节
）求得：影响，由（引入，即状态重构不受采用方式
1 7 5.0
)7 7 8.0(45
)()(
1 7 5.0
10
)()(
2 5 2.6
5.0
10
1)(
)(
)2(
05.0
2 6 3.6)()1(
1
2
1
1
1
1
?
?
????
?
????
??
?
??
???
?
???
?
?
?
?
z
z
DGFICzD
z
z
NMFICzD
NMM
MFIC
DGFIC
N
KGGM
kr
cccc
cc
cc
cccc
ab
1
第六章 基于状态空间模型的极点配置设计法
1.0
0.0
0.2
-0.2
0
2
4
-2
-4
y(k)
y(t)
u(t)
阶跃响应
t
第六章 基于状态空间模型的极点配置设计法
? ?
? ?
）标准型对应参数化为式（
、引入参考输入，并确定、分别以方式，现要求按跟踪系统设计
，＝已知有关参数
为：设控制对象传递函数例
252.6
21
790.0
993.0
,648.8006.6
01,
0 9 5 1 6.0
0 4 8 3 7.0
9 0 4 8.00
9 5 1 6.01
)110(
1
)(2
NM
KL
CGF
ss
G
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?s
按极点配置设计的反馈控制规律 现时观测器增益矩阵
第一步：将现时观测器控制器化为引入 M,N后一般控制器标准形式式（ 4.252)
第六章 基于状态空间模型的极点配置设计法
? ?
12.6
1)(
)(
106 9 5.5
103 8 6.3
)(
11
9 0 5.12
6 4 8.81 1 6.6
3 9 8.1
108 4 4.7
3 3 9 4.01 3 8.1
107 3 3.3109 2 9.4
))((
1
1
2
4
3
33
?
??
??
??
?
?
?
?
?
?
?
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???
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?
?
?
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MFIC
DGFIC
N
GKCIM
LKD
LC
KFG
GLFKCIF
CC
CCCC
C
C
CC
C
：）方式（
第二步：计算
第六章 基于状态空间模型的极点配置设计法
?
?
?
?
?
?
?
???
????
????
???
???
????
???
?
?
?
?
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?
???
????
????
???
??
????
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
32
62
1
2
32
62
1
1
3
32
62
1
2
32
2
1
1
105 7 5.23 3 4 5.0
)104 6 2.05 9 8 7.0(9 0 5.12
)()(
105 7 5.23 3 4 5.0
)104 6 2.05 9 8 7.0(9 0 5.12
)()(
9 0 5.12
3 9 8.1
108 4 4.7
2 6 6.622
105 7 5.23 3 4 5.0
)104 6 2.05 9 8 7.0(9 0 5.12
)()
105 7 5.23 3 4 5.0
)0 0 6 4.016.0(12.6
)()(
2 5 2.6
ZZ
ZZ
DGFZICzD
ZZ
ZZ
NMFZICzD
DNGM
ZZ
ZZ
DGFZICzD
ZZ
ZZ
NMFZICzD
CCCC
CC
CC
CCCC
CC
）可得：由式（方式）（
（
）可导出：由一般控制方程（
第六章 基于状态空间模型的极点配置设计法
到较大限制。利用误差控制，所以受
中只能因为方式有较好的跟踪性，较方式由图可见，方式 221
)()( 21 ZDZD ??
1.2
0
6
-1
-2
y(k)
y(t)
u(t)
方式1 阶跃响应2 4 6 8 t
1.0
0.8
0.6
0.4
0
5
4
3
2
1
第六章 基于状态空间模型的极点配置设计法
u(t)
y(t)
0
1.312
8
6
2
0
-2
-4
-6
t
方式 2阶跃响应
2 4 6 8
第六章 基于状态空间模型的极点配置设计法
6.6.7 积分控制引入
。态误差，是有效的控制引入积分控制、消除稳；）则可能存在稳态误差阶跃干扰（或常值干扰
用，但对于干扰具有很好的抑制作此外上述设计对于脉冲；数输入将产生稳态误差
设计对于常参数发生变化时，上述当控制对象模型不准或
.3
.2
.1
x(k+1)=Fx(k)+Gu(k)+v(k)
u(k)
y(k)
L2
C
)( kx
+
L1?
v(k)
?
-
?
e(k)
-
r(k)
ue(k)
控制器
第六章 基于状态空间模型的极点配置设计法
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
??
?
???
??
??
?
?
?
?
?
??
??
?
?
?
?
)()()(
)()(
)2 8 7.6()()()(
)2 8 6.6()()(
)2 8 5.6()()()1(
0)(,)(2
)(,0)(1
)()()(
)()()(
0
1
2
21
0
21
kYkrke
ieLku
kXLkuku
kCXkY
kGukFXkX
kvkr
kvkr
LL
kykrke
kxLieLku
k
i
e
e
k
i
，方程可写为：常值当）（
误差前节已分析不存在稳态常值，当）（
下面来说明这一点：
存在稳态误差值输入及常值干扰均不对于该控制器结构，常
设计。均按上一节极点配置法、其中
控制方程为：
第六章 基于状态空间模型的极点配置设计法
制，见下图：
的前馈控差度，还可引入为进一步提高系统无静
。，即＝的积分，所以是由于
＝常数。＝常数，一定有＝常数时，一定有
，当闭环系统是渐进稳定的因为按极点配置设计的
结合上式可求得：
）（）（对上式整理代入得：
)(
)()(0)()()(
)()()(
)(
)(
1
)(
)()()(
)290.6()()()()1(
285.6287.6
1
2
1
2
2
kr
rYekeku
uYkr
Y
GGLFIC
u
GuGLFICY
kGukXGLFkX
e
e
e
e
e
????
??
?
?
?
?
?
?
??
??
?????
????
?
?
?
第六章 基于状态空间模型的极点配置设计法
r(k)前馈控制
X(k+1)=FX(k)+Gu(k)+v(k)
u(k)
y(k)
L2
C
)( kx
+
L1?
v(k)
?
-
?
e(k)
-
r(k)
ue(k)
L3
+
ur(k)
控制器
第六章 基于状态空间模型的极点配置设计法
GGLFIC
L
rLr
GGLFIC
u
uryk
y
GGLFIC
uukr
kXLkukukuL
LL
r
e
er
er
1
2
3
3
1
2
1
2
23
21
)(
1
)()(
)(
1
)(
0)(),()(
)(
)(
1
)()()(
)()()()(
?
?
?
??
??
??
?
?????
?
??
?????
???
＝进而求得
＝＝所以得到
系统无静差度。
，以提高＝同时希望＝时，有
常数时当
的确定：增益
仍用以前方法设计。
、前馈通道，其他参数该方案仅多了一个输入
第六章 基于状态空间模型的极点配置设计法
。任何一种形式的观测器观测器可选用讨论过的
，如下图所示。然后再反馈来获取状态重构因此可通过构造观测器
，馈，实际上是不现实的求全部实际状态直接反上述两方案中，仍然要
)(?),(? kXkXX(k+1)=FX(k)+Gu(k)+v(k)
Y(k)=CX(k)
u(k)
Y(k)
L2
C
)( kX
+
L1?
v(k)
?
-
?
e(k)
-
r(k)
ue(k)
L3
+
ur(k)
)(
?
kX
控制器
观测器
