第四章 常规及复杂控制技术
?数字控制器的设计方法：
连续化设计：采样周期短、控制算法简
单的系统。忽略零阶保持器和采样器，求
出系统的连续控制器，以近似方式离散化
为数字控制器。
离散化设计：采样周期长的或控制复杂
的系统。直接使用采样控制理论设计数字
控制器。
4.1 数字控制器的连续化设计技术
?数字控制器的连续化设计
(1) 忽略控制回路中的零阶保持器和采样器，
在 S域中设计连续控制器。条件是采样周期足够短。
(2)通过近似方法，把连续控制器离散化为数
字控制器，用计算机实现。
实质：在采用周期足够短的情况下，把数字控
制器（ A/D－采样、计算机,D/A－零阶保持）看
作一个整体，其输入和输出为模拟量，将其等效
为连续传递函数。
4.1.1 数字控制器的连续化设计步骤
?5步
－设计假想的连续控制器 D(s)
－选择采样周期 T
－将 D(s)离散化为 D(z)
－设计由计算机实现的控制算法
－ 校验
?第一步：设计假想的连续控制器 D(s)
解决方案：自控原理中的连续系统的频域设
计法、根轨迹法等。
?第二步：选择采样周期 T
－计算机控制系统的信号恢复功能由零阶保
持器 H(s)完成。
频率特性推导，使用欧拉公式。
上式表明，零阶保持器存在滞后。
对于小的采用周期，用幂级数展开：
上式表明,H(s)可用 T/2的时间滞后环节近似。
－采样周期的经验公式，设相位裕量减小 5-15
度,ω c系统剪切频率
结论：采用数字控制器的连续化设计方法，
采样周期应该相当短。
?第三步：将 D(s)离散化为 D(z)
－通过近似方法，把连续控制器离散化为数字控
制器。
方法 1,双线性变换法（ Tustin 突斯汀变换法）
推导 1：级数展开 z=esT,T很小。
得到
?推导 2：梯形法数值积分
积分控制器
用梯形法求积分运算
两边求 Z变换
－映射关系：
双线性变换法置换公式
把 S=σ+jω 代入有：
取模的平方
则,σ=0（ s平面虚轴）,|z|=1 (z平面单位园上）
σ<0（ s左半平面）,|z|<1 (z平面单位园内）
σ>0（ s右半平面）,|z|>1 (z平面单位园外）
结论,1个稳定的系统经过双线性变换仍然是
稳定的。
方法 2,前向差分法
推导 1：级数展开 z=esT,T很小。
得到
推导 2：用一阶前向差分近似代替微分。
微分控制器
用前向差分近似代替
令 n=k+1，并对两边作 Z变换有：
得出：
－映射关系：
前向差分法置换公式
把 S=σ+jω 代入,取模的平方有：
令 |z|=1，则对应到 s平面上是一个圆，有：
即当 D(s)的极点位于左半平面以（ -1/T,0)为圆心,1/T
为半径的圆内,D(z)才在单位圆内，才稳定。
结论：稳定的系统经前向差分法转换后可能不稳定。
方法 3,后向差分法
推导 1：级数展开 z=esT,T很小。
得到
推导 2：用一阶向后差分近似代替微分。
用向后差分近似代替
对两边作 Z变换有：
－映射关系：
根据向后差分法置换公式 有
把 S=σ+jω 代入,取模的平方有：
则,σ=0（ s平面虚轴），
σ<0（ s左半平面），
σ>0（ s右半平面），
后向差分法将 s的左半平面映射到 z平面内半径
为 1/2的圆，因此如果 D(s)稳定，则 D(z)稳定。
?映射比较：双线性变换－保持稳定
前向差分－不能保持稳定
向后差分－保持稳定
?第四步：设计由计算机实现的控制算法
D(z)的一般形式：
m个零点和 n个极点，写为
化为时域表示：
上式称为数字控制器 D(z)的控制算法。
?第五步：校验
通过计算机仿真计算实现。
4.1.2 数字 PID控制器的设计
?PID－比例 P,积分 I,微分 D
?数字 PID控制器－用计算机实现 PID控制，即把
模拟 PID控制规律数字化。
1.模拟 PID调节器
控制规律
拉氏变换求传递函数
其中,Kp为比例系数,Ti为积分时间常数，
Td为微分时间常数。
比例作用：迅速反应误差，但不能消除稳态
误差，过大容易引起不稳定；
积分作用：消除静差，但容易引起超调，甚
至出现振荡；
微分作用：减小超调，克服振荡，提高稳定
性，改善系统的动态特性。
2.数字 PID调节器
－用数值逼近的方法实现 PID控制规律。
－数值逼近的方法：用求和代替积分、用后向
差分代替微分，使模拟 PID离散化为差分方程。
（ 1)数字 PID位置型控制算法
可得：
位置型控制算法提供执行机构的位置 u(k)，
比如阀门的开度，需要累计 e(i)
（ 2)数字 PID增量型控制算法
根据位置型控制算法写出 u(k-1)：
u(k)- u(k-1)可得：
为编程方便，可以整理得到：
其中
增量型控制算法提供执行机构的增量△ u(k)，
比如步进电机的步数。
?增量型算法与位置型算法比较：
（ 1）增量型算法不需做累加，计算误差后产生的
计算精度问题，对控制量的计算影响较小。位置
型算法用到过去的误差的累加，容易产生较大的
累加误差。
（ 2）增量型算法得出的是控制的增量，误动作影
响小，必要时通过逻辑判断限制或禁止本次输出，
不会影响系统的工作。位置型算法的输出是控制
量的全部输出，误动作影响大。
4.数字 PID控制算法流程
式 （ 4.1.35),书上的图 4.6
4.1.3 数字 PID控制器的改进
?积分项的改进
（ 1)积分分离,
－改进原因：当有较大的扰动或大幅度改变给定
值时，存在较大的偏差，以及系统有惯性和滞后，
在积分项的作用下，会产生较大的超调和长时间
的波动。
－改进思路：当被控量和给定值偏差大时，取消
积分控制，以免超调量过大；当被控量和给定值
接近时，积分控制投入，消除静差。
－改进方法：
当 |e(k)|> β时，采用 PD控制；
当 |e(k)|< β时，采用 PID控制。
积分分离阈值 β的确定,β过大，达不到积分
分离的目的； β过小，则一旦控制量 y(t)无法跳出
各积分分离区，只进行 PD控制，将会出现残差。
（ 2）抗积分饱和
－积分饱和：如果执行机构已到极限位置，仍
然不能消除偏差，由于积分的作用，尽管计算 PID
差分方程式所得的运算结果继续增大或减小，但
执行结构已无相应的动作，控制信号则进入深度
饱和区。
－影响：如果系统程序反向偏差,则 u(k)首先
需要从饱和区退出，进入的饱和区越深，退出时
间越长，导致超调量增加。
－改进方法：对控制量 u(k)限幅。
以 8位 D/A为例,u(k)<00H时，取 u(k)=0；
u(k)>FFH时，取 u(k)=FFH。
（ 3）梯形积分
－改进原因：减小残差，提高积分项的运算精
度。
－改进方法：矩形积分改为梯形积分。
（ 4）消除积分不灵敏区
－改进原因：由于计算机字长的限制，当运算
结果小于字长所能表示的数的精度，计算机就作
为, 零, 处理，此时积分作用消失，这就称为积
分不灵敏区。
－改进措施：
①增加 A/D转换位数，加长运算字长，提高运算
精度。
②当积分项连续 n次小于输出精度 ε的情况下，
不要把它们作为, 零, 处理，而是把它们累加起
来，直到累加值大于 ε时才输出，同时把累加单元
清零。
?微分项的改进
（ 1）不完全微分 PID控制
－改进原因：微分具有放大干扰信号的特点－
在 PID控制中，对具有高频扰动的生产过程，微分
作用响应过于灵敏，容易引起控制过程振荡。
－改进方法：串联一阶惯性环节，作为低通滤
波器抑制高频噪声，组成不完全微分 PID控制器。
两种方式：直接串在微分项；串在 PID调节器
之后，如下图。
一阶惯性环节的传递函数
其拉氏反变换有：
因为 PID调节器：
则有：
离散化有：
式中
由上式可以求得不完全微分 PID控制的增量型
控制算法。
－不完全微分 PID控制的效果：
①抑制高频噪声。
②克服纯微分的不均匀性。
下图，在 t=0时刻出现阶跃信号，纯微分 (a)在第
一个周期出现大跃变信号，容易振荡； (b)中的控制
信号则较均匀、平缓。
（ 2）微分先行 PID控制算式
－改进原因：为避免给定值的升降给系统带来冲
击，如超调过大，调节阀动作剧烈。
－微分先行：把微分运算放在前面，后面跟比例
和积分运算。
－改进方法：把微分提前，只对被控量 y(t)微分，
不对偏差 e(t)微分。
?时间最优 PID控制
－最优控制的含义：某个指标最优。
－ Bang-Bang控制，开关控制，对 |u(t)|<=1，采用
一定的方法在＋ 1，－ 1间切换，使时间最短。
－时间最优 PID控制,Bang-Bang控制和 PID控制
相结合。
?带死区的 PID控制算法
－改进原因：避免控制动作过于频繁
死区阈值 ε
4.1.4 数字 PID控制器的参数整定
?采样周期的选择
（ 1）采样周期上下限的确定
采样周期上限 Tmax的确定：
采样（香农）定理 Tmax =π /ωmax，其中 ωmax为
被采样信号的上限角频率。
采样周期下限 Tmin的确定：
Tmin为计算机执行程序和输入输出所耗费的时间。
（ 2）采样周期的考虑因素
－给定值的频率变化：给定值变化频率越高，采
样频率应越高。
－被控对象的特性：被控对象是慢速对象，采样
周期取得大；被控对象是快速系统，采样周期应取
得较小。
－控制算法的类型：受计算精度和计算时间的影
响。
－控制回路数：采样周期 T应大于等于所有回路控
制程序执行时间和输入输出时间的总和。
??按简易工程法整定 PID参数
－简易工程法的优点：不依赖被控对象的数学模型。
（ 1）扩充临界比例度法
扩充临界比例度法－对模拟调节器中使用的临界
比例度法的扩充和推广
－整定数字控制器参数的步骤：
①选择短的采样频率：一般选择被控对象纯滞后
时间的十分之一。
②去掉积分与微分作用，逐渐较小比例度 δ (δ
=1/kp），直到系统发生持续等幅振荡。纪录发生振
荡的临界比例度和周期 δk及 Tk。
③ 选择控制度
控制度的定义－以模拟调节器为基准，将 DDC
的控制效果过于模拟调节器的控制效果相比较，采
用误差平方积分表示。
控制度的指标含意：控制度 =1.05,DDC与模拟
控制效果相当；控制度 =2.0,DDC比模拟调节器的
效果差。
④ 根据选定的控制度，查表求得 T,kp,TI、
TD的值。
（ 2）扩充响应曲线法
扩充临界比例度法－对模拟调节器中使用的响应
曲线法的扩充和推广
－整定数字控制器参数的步骤：
①数字控制器不接入控制系统，系统开环，并处
于手动状态。再手动给对象输入阶跃信号。
②纪录被控量的过渡过程曲线。
③根据曲线求得滞后时间 τ,被控对象的时间常数
Tm，它们的比值 Tm / τ，以及选择的控制度，查表 4.2，
求得数字控制器的 T,kp,TI,TD的值。
－在过渡过程曲线上求滞后时间 τ,被控对象的
时间常数 Tm：在曲线拐点处（斜率最大）处作一切
线。
（ 3）归一参数整定法
－简化扩充临界比例度法：只需整定一个参数，
称为归一参数整定法。
Tk为纯比例作用下的临界振荡周期，则令 T=0.1 Tk；
TI=0.5 Tk； TD=0.125 Tk有：
只需整定 kp，观察效果，直到满意为止。
－优点：只需整定一个参数；
缺点：各参数比例需要确定，需要工程经验。
?优选法：
①其他参数固定，对其中一参数用 0.618黄金分
割优选法进行寻优。
② 根据 T,kp,TI,TD的寻优结果选择一组最
佳值。
?凑试法：
①只整定比例部分，系数由小变大，得到反应
快，超调小的响应曲线。如果系统已无静差，则
直接使用比例即可。
② 取积分时间为教大值，减小①得到的比例参
数，逐步减小积分时间，直到系统无静差。
③ 加入微分环节，改善系统的动态性能。先取
微分时间为零，逐步增大微分时间，同时改变比
例参数和积分时间，直到系统得到好的动态性能
和效果。
4.2 数字控制器的离散化设计技术
数字控制器的离散化设计－技术采样周期长的或
控制复杂的系统，直接使用采样控制理论设计数字
控制器。其控制规律和算法更具有一般意义。
4.2.1 数字控制器的离散化设计步骤
Gc(s)：被控对象的传递函数,D(z)：数字控制器的
脉冲传递函数,H(s) 零阶保持器的传递函数。
定义广义对象 (零阶保持器与被控过程 )的脉冲传
递函数为；
则上图的闭环脉冲传递函数为：
于是有：
由此推得数字控制器的离散化设计步骤。
?数字控制器的离散化设计步骤
（ 1) 根据控制系统的 性能要求和其它约束条件，
确定所需要的闭环脉冲传递函数 υ(z)。
(2) 求广义对象的脉冲传递函数 G(z)。
(3) 确定数字控制器的脉冲传递函数 D(z)。
(4) 根据 D(z)求取控制算法的递推计算公式。
注意,υ (z)可根据所需要的输入及响应性能确定。
D(z)的一般形式：
数字控制的输出 U(z)
进行 z反变换后，可得到计算机控制算法：
4.2.2 最少拍控制器的设计
－ 最少拍控制：就是要求闭环系统对于某种
特定的输入在最少个采样周期内达到无静差的稳
态，且其闭环脉冲传递函数是中 N是可能情况下
的最小正整数。
闭环脉冲 υ (z)，在 N个周期后变为 0
1、确定闭环脉冲传递函数 υ(z)
(1)定义误差脉冲传递函数：
根据上图有：
则有：
典型输入：
的 z变换为：
B(z)为不含 1-z-1因子的 z-1多项式。
q=1，输入为单位阶跃输入函数，
q=2，输入为单位速度输入函数，
q=3，输入为单位加速度输入函数，
?（ 2)根据 Z变换的终值定理，求系统的稳态误差，
并使其为零（无静差，即准确性约束条件 )。
则有：
要使 e(∞ )=0，则必须：
则有：
（ 3)根据最少拍控制，确定最少拍控值的闭环脉
冲传递函数 υ(z) （快速性约束条件）
－根据式（ 4.2.14)，（ 4.2.15) 可知,υ (z)中 z-1
的最高次幂为 N=p+q，故系统在 N拍可以达到稳
态。
－当 p=0时，系统可以在最少 q拍达到稳态。
上述两点可得－最少拍控制器选 υ(z) 为：
（ 4)最少拍控制器 D(z)为：
2、典型输入下的最少拍控制系统分析
（ 1）单位阶跃输入（ q=1）
这时
则有：
上式说明只在 1拍内有误差
用长除法：
因此系统只需 1拍就可以达到稳态。
（ 2）单位速度输入（ q=2）
这时
则有：
上式说明只在 2拍内有误差
用长除法有：
因此系统只需 2拍就可以达到稳态。
（ 3）单位加速度输入（ q=3）
这时
则有：
上式说明只在 3拍内有误差
因此系统只需 3拍就可以达到稳态。
3、最少拍控制器的局限性
（ 1）最少拍控制器对典型输入的适应性差
最少拍控制器中的最少拍是针对某一典型输入
设计的，对于其它典型输入则不一定为最少拍，
甚至引起大的超调和静差。
例,按等速输入来设计 υ(z)
比较三种不同输入的响应：
－阶跃输入
其输出
输出结果：系统在 1拍后出现 100%超调,2拍
后稳定，并达到设定值。
－等速输入：
其输出
输出结果：系统在 2拍后稳定，并达到设定值，
与分析结果一致。
－等加速输入：
其输出
输出结果,2拍后系统出现稳定的静差。
? 最少拍控制器的适应性特点：
针对某典型输入 R (z)设计得到的最少拍 υ (z)
－用于次数较低的 R (z)，系统将出现大超调，但能
稳定无差；
－用于次数较高的 R (z)，系统将稳定的静差。
?结论：一种典型的最少拍 υ(z)只适用于该类型输入。
（ 2）最少拍控制器的可实现问题
－闭环系统可实现性：闭环系统采用反馈进行控制，
即用过去时刻的量去控制下一个时刻的量，它是滞后的。
滞后－脉冲传递函数不出现 z＋ n正幂次项，因此可实现
系统的脉冲传递函数不会出现 z＋ n正幂次项。
如果广义对象的脉冲传递函数为
则由于广义对象中包含零阶保持器，它是滞后
的，因此有：
degA(z),degB(z)表示 A(z)和 B(z) 的阶数。
设数字控制器 D(z)为
则要求：
含义：要产生 k时刻的控制量 u(k)，最多只能利
用直到 k时刻的误差 e(k),e(k-1),...以及过去的控
制量 u(k-1),u(k-2)...。
闭环系统的脉冲传递函数
因为有,degP(z)－ degQ(z) >=0，则：
上式确定了 D(z) 可实现时 υ (z)应满足的条件：
若 G(z)的分母比分子高 N阶，则确定 υ(z)时必须至
少分母比分子高 N阶。
例：对象有 d个采样周期纯滞后,则其脉冲传函
为：
则 υ (z)中也应该有纯滞后，滞后时间大于等
于 d个采样周期，否则根据：
D(z) 将出现 z＋ n正幂次项，响应超前输入，不
能实现。
（ 3）最少拍控制的稳定性问题
－最少拍 υ (z)
成立的条件：
① G(z)是稳定的。否则系统发散,υ (z)不可
能实现。
② G(z)是不含有纯滞后环节。否则根据最少
拍控制器的可实现条件,D(z) 不能实现。
－改进办法：
对②，在 υ (z)中增加滞后时间大于等于 G(z)
纯滞后时间的纯滞后。
对 ①，则可以在选择 υ(z) 时，增加稳定性约
束条件，保证系统稳定。
应注意：不能采取 D(z)和 G(z)零极点对消方
式，而从理论上得到稳定的闭环系统。
原因：当参数漂移时，零极点对消不能准确实
现，系统将出现不稳定极点。
4.2.3 最少拍有纹波控制器的设计
? 设计时考虑最少拍控制器的可实现和稳定性条件。
? 一般化的广义被控对象
－控制对象传函如下,τ是滞后时间
－采样周期为 T,则令
－则广义对象的 (零阶保持器与被控过程 )的脉冲
传递函数为：
上式中若 GC(z)不含纯滞后,则 d=0；
若 GC(z) 含纯滞后,则 d>=1。
－设 G(z)有 u个零点 b1,b2,…,bu和 v个极点
a1,a2,…,av在单位圆上或圆外，则广义对象的传
递函数可表示为：
G’(z)表示不含单位圆上及圆外零极点部分。
? 对于纯滞后环节，可以直接在 υ(z)中加入滞后时
间大于等于 d个采样周期的纯滞后环节。
? 考虑系统的稳定性。由于 D(z)和 G(z)的单位圆外上及
圆外的零极点不能对消，且 D(z)必须是稳定的，即 D(z)
不能有单位圆上或圆外的零极点（ z=1除外 )。根据上面
三个式子，有：
－ υe (z)的零点包括 G(z)的单位圆上或圆外的极点。
－ υ(z)的零点包括 G(z)的单位圆上或圆外的零点。
? 选择系统闭环脉冲传递函数必须满足的约束条件：
1.υe (z)零点必须包括 G(z)的单位圆上或圆外的极点。
a i为不稳定极点, F1(z) 为：
若 G(z)有 j个极点在单位圆上 z=1，则可确定 υe (z)：
－若 j<=q，
若 j>q,
2.υ(z)零点必须包括 G(z)的单位圆上或圆外的零点。
b i为不稳定零点, F2(z) 为：
3,F1(z)和 F2(z)的阶数选取。
－若 G(z)有 j个极点在单位圆上 z=1，
当 j<=q, 当 j>q
原则, 最少拍要求 υ(z)中的 z-1为最低次幂
υ(z) 和 υe (z)具有同样的阶数。
??根据上面三个约束条件，可以得到最少拍控制器为：
?
?
?
?最少拍有波纹控制器的缺点：
－在最少拍后只能保证采样点的稳态误差为 0，而不
能保证采样点之间的输出为 0。因此系统输出有波纹存
在，这种波纹在采样点无法检测，称为隐蔽振荡。
－形成该缺点的原因：在设计最少拍控制器时只要
求采样点的稳态误差为 0，数字控制器的输出是振荡收
敛的。
?例 4-1，下图中被控对象的传函和零阶保持器传函
为：
?
采样周期 T=1s，针对单位速度输入函数设计
最少拍有纹波系统，并画出数字控制器和系统输出
波形。
解,求广义对象的脉冲传递函数。
d=0,u=0,v=1,j=1,q=2 且 j<q 则：
选择 φ (z) 和 φe (z)：
所以：
解得：
因此：
数字控制器和系统的输出波型：
4.2.3 最少拍无纹波控制器的设计
?最少拍有纹波控制器的出现纹波的原因：数字自
控制器输出 u(k)在若干拍后，不为 0或常值，是振荡
收敛的。
?最少拍有纹波控制器纹波的影响：输出在采样点
外有偏差；执行机构振荡，功耗和磨损增大。
?最少拍无纹波控制器能够消除输出纹波。
?设计最少拍无纹波控制器的必要条件：
－被控对象 Gc(s)中必须有足够的积分环节：
对速度输入必须有 1个积分环节，对对加速度
输入必须有 2个积分环节。
?最少拍无纹波系统 υ(z)的约束条件：
－系统输出无纹波，必须保证稳态是控制 u(k)为
常数或 0。系统 L个周期达到稳态，则要求
u(L)=u(L+1)=u(L+2)=… =0。
设广义对象为：
则有：
为使输出无纹波，则 υu (z)应该是 z-1的有限多
项式，因此 υ(z)必须包含 B(z)，即 υ (z)应包含 G(z)
的所有零点。
w为 G(z)的所有零点数，
b1,b2,…,bw为 G(z)的所有零点。
－从上面的分析也可以知道控制 u(k) 振荡的原
因：由于 G(z)的零点为 U(z)的极点，该极点虽然
可以保证控制输出稳定，但造成系统的输出振荡
收敛。
?最少拍无纹波系统 υ(z)的确定：
(1)被控对象 Gc(s)必须有足够的积分环节；
(2)按下式选择 υ(z)
(3)按下式选择 υe (z)
－若 j<=q，
若 j>q,
?
(4) F1(z)和 F2(z)的阶数选取方法,F1(z)和
F2(z)形式与有纹波系统相同。
－若 G(z)有 j个极点在单位圆上 z=1，
当 j<=q, 当 j>q
?无纹波系统的调整时间比有纹波系统的调整时间
增加若干拍，增加的拍数等于 G(z)在单位圆内的零
点数目。
?例 4-2，在例 4-2
?
针对单位速度输入函数，设计最少拍无纹波系统，
并画出数字控制器和系统输出波形。
解,由 Gc(s)知，对象有两个积分环节，满足要求。
由 d=0,v=1,w=1,j=1,q=2 且 j<q 有：
则：
即
可得方程组：
解得：
所以：
? 例子中,G(z)在单位圆内有一个零点，无纹波系
统经过 3拍后达到稳定，比有纹波系统多 1拍。
?
4.3 纯滞后控制技术
?纯滞后控制对象－存在于石化等行业的工业生产
中，滞后时间过长容易引起系统超调和振荡。
?纯滞后控制方法：施密斯预估器、大林算法等。
4.3.1施密斯 (Smith)预估控制
?施密斯预估控制原理
?
－施密斯预估控制原理：与 D(s)并联 1个预估器，组
成纯滞后补偿器，用于补偿对象的纯滞后部分。
其传函为：
系统闭环传函：
－补偿后，消除了纯滞后部分的影响，而系统
的稳定性无影响,e-τs 将控制作用推移了 τ时间，
系统特性与对象符合。
?具有纯滞后补偿的数字控制器
－纯滞后补偿的数字控制器：数字 PID控制器＋
施密斯预估器。
?施密斯预估器
－滞后环节的实现：在内存设置 FIFO（先进
先出）的队列实现信号的延迟，队列长度 N由 N=
τ/T确定。
其输出
－许多工业对象可以用一阶惯性环节和纯滞后
环节表示：
因此预估器的传函为：
? 纯滞后补偿控制算法步骤：
(1)计算反馈回路偏差 e1(k)
(2)计算施密斯预估器的输出 yτ(k)
写为微分方程式
可得差分方程式
? (3)计算反馈回路偏差 e
2(k)
(4)计算 PID控制器输出 u(k)
Kp为比例系数,Ki=KpT/Ti为积分系数，
Kd=KpTd/T是微分系数。
4.3.2 达林（ Dahlin)算法
?数字控制器 D(z)的形式
－ 控制对象,Gc (z)由一或二阶惯性环节和纯滞
后组成：
－达林算法的设计目标：设计数字控制器使系
统的闭环传函为具有纯滞后的一阶惯性环节，且
其滞后时间等于被控对象的滞后时间。 滞后时间
τ 与 T成整数关系。
－构造数字控制系统，并用零阶保持器离散化
υ (s)。
代入
进行 z变换有：
可由上式求 D(z)
－被控对象为带纯滞后的一阶惯性环节：
代入 τ=NT,z变换后有：
－被控对象为带纯滞后的二阶惯性环节：
代入 τ=NT,z变换后有：
于是：
?振铃现象及消除
－振铃 (Ringing)现象：数字控制器的输出发生
周期为 2T上下摆动。振铃幅度表示为 RA。
－振铃会增加执行机构的磨损，和影响多参数
系统的稳定性。
(1)振铃现象的分析。
由于
则有,令
得：
对单位阶跃函数：
上式含极点 z=1，如果 φu(z)的极点在负实轴上，
且于 z=-1接近，则上述两个极点造成的输出瞬态项
在不同的时刻可能叠加也可能抵消，导致输出出现
波动。
－振铃的原因,φu(z)在左半平面有极点。
－规律：极点距离 z=-1越近，振铃现象越严重；
单位圆内右半平面的零点会加剧振铃；
单位圆内右半平面的极点会减弱振铃；
－带纯滞后的一阶惯性环节的系统
极点为 z=e-T/Tτ>0，不在负实轴上，因此不会出
现振铃现象。
? －带纯滞后的二阶惯性环节的系统
第一个极点为 z=e-T/Tτ因此不会引起振铃现象，
第二个极点为 z=-C2/C1，当 T->0时有：
将引起振铃。
(2)振铃幅度 RA
－振铃幅度 RA,用单位阶跃输入下数字控制
器第 0次输出量和第 1次输出量的差值表示。
φu(z)可以写成：
单位阶跃输入下
对带纯滞后的二阶惯性环节的系统
当 T->0时，
（ 3）振铃现象的消除
－方法 1：找出 D(z)中引起振铃的因子（ z=-1
附近的极点），令其中的 z=1。系统稳态值不变，
但瞬态特性会变化，数字控制器的动态性能也会
影响。
－方法 2：通过选择采样时间 T和闭环系统时
间常数，使系统避免出现振铃。
－方法 1的例子：带纯滞后的二阶惯性环节的
系统。
极点 z=-C2/C1导致振铃，令（ C1+C2z-1)中 z=1，
有：
得到 D(z)为：
?达林算法步骤
(1)确定闭环系统的 Tτ和振铃幅度 RA指标；
(2)确定 RA与 T的关系，尽量选择较大的 T；
(3)确定 N=τ/T；
(4)求 G(z)和 φ (z)；
(5) 求 D(z)。
4.4 串级控制技术
?串级控制主要解决的问题：系统中有几个因素同
时影响被控量。
?串级控制：在单控制回路中，增加控制回路，用
于克服引起被控量变化的其他因素，抑制被控对
象的时滞特性。
4.4.1 串级控制的结构和原理
?以炉温控制系统说明,D1(S)主控制器,D2(S)副
控制器。
4.4.2 数字串级控制算法
?计算机串级控制系统
－双回路串级控制系统,D1(z),D2(z)是 PID控制
器。
?双回路串级控制算法步骤（两次 PID运算）
(1)计算主回路偏差
(2)计算主控制器 D1(z)的输出，采用增量式 PID
算法。
(3)计算副回路偏差
(4)计算副控制器 D2(z)的输出，采用增量式 PID算法。
4.4.3 副回路微分先行串级控制算法
?副回路微分先行串级控制算法
－主要思想：把副回路的微分环节提前到反馈
通道中，防止主控制器的输出影响服回路的稳定
性，同时可以克服副对象的惯性。
??副回路微分先行环节的递推算式推导
微分先行环节的传递函数：
其微分方程为：
差分方程为
递推算式
?副回路微分先行的串级控制算法（ PID＋ D+PI)
(1)计算主回路偏差；
(2)计算主控制器 D1(z)的输出，采用增量式 PID算法；
(3)计算微分先行部分的输出；
(4)计算副回路偏差；
(5)计算副控制器的输出。
?串级控制的优点：
－具有很强的抗扰动能力；
－能克服对象纯滞后的影响，改善系统控制性能；
－副控回路是随动系统，在非线性控制对象出现符
合变化任可以实现良好的控制。
?主、副控制器的选型
－主控制器,PID
－副控制器,PI
4.5 前馈 -反馈控制技术
?反馈和前馈
－反馈：利用被控量和设定值的偏差进行控制，
回路闭环。
－前馈：利用扰动量进行控制，回路开环。
4.5.1 前馈控制的结构和原理
?前馈控制器的传递函数推导，若 u=0
?
这时输入为 0，输出也应该为 0，有：
4.5.2 前馈 -反馈控制结构
?前馈 -反馈控制结构结合了两者的优点：前馈控制
抗扰动，反馈控制减小偏差。
?
?前馈 -串级控制结构
?
?
?
－前馈 -串级控制的优点：能克服加入前馈回路
和串级副控回路的扰动对被控量的影响，控制精
度高。
?例：锅炉的水位控制系统：
?
?
?
?
－前馈 -串级控制结构，三冲量给水控制。
－给定值：水位 H0；被控对象：水位 H
－前馈：控制蒸汽流量 G
－串级副回路：控制给水量 D
－主控回路：控制水位 H
副控
前馈主控
－控制系统框图
－图中的 kx为仪表和执行机构的传递函数，为
线性器件。
?4.5.3 数字前馈 -反馈控制算法
?数字前馈 -反馈控制系统框图
? 推导前馈 -反馈的递推算式
若
则
其微分方程为
但采样频率足够高，用差分近似微分有：
得差分方程：
?计算机前馈 -反馈控制的算法步骤
(1)计算反馈控制的偏差；
(2)计算反馈控制器的输出，采用增量式 PID算法；
(3)计算前馈调节其的输出；
(4)计算前馈 -反馈调节器的输出。
?达林算法步骤
(1)确定闭环系统的 Tτ和振铃幅度 RA指标；
(2)确定 RA与 T的关系，尽量选择较大的 T；
(3)确定 N=τ/T；
(4)求 G(z)和 φ (z)；
(5) 求 D(z)。
?数字控制器的设计方法：
连续化设计：采样周期短、控制算法简
单的系统。忽略零阶保持器和采样器，求
出系统的连续控制器，以近似方式离散化
为数字控制器。
离散化设计：采样周期长的或控制复杂
的系统。直接使用采样控制理论设计数字
控制器。
4.1 数字控制器的连续化设计技术
?数字控制器的连续化设计
(1) 忽略控制回路中的零阶保持器和采样器，
在 S域中设计连续控制器。条件是采样周期足够短。
(2)通过近似方法，把连续控制器离散化为数
字控制器，用计算机实现。
实质：在采用周期足够短的情况下，把数字控
制器（ A/D－采样、计算机,D/A－零阶保持）看
作一个整体，其输入和输出为模拟量，将其等效
为连续传递函数。
4.1.1 数字控制器的连续化设计步骤
?5步
－设计假想的连续控制器 D(s)
－选择采样周期 T
－将 D(s)离散化为 D(z)
－设计由计算机实现的控制算法
－ 校验
?第一步：设计假想的连续控制器 D(s)
解决方案：自控原理中的连续系统的频域设
计法、根轨迹法等。
?第二步：选择采样周期 T
－计算机控制系统的信号恢复功能由零阶保
持器 H(s)完成。
频率特性推导，使用欧拉公式。
上式表明，零阶保持器存在滞后。
对于小的采用周期，用幂级数展开：
上式表明,H(s)可用 T/2的时间滞后环节近似。
－采样周期的经验公式，设相位裕量减小 5-15
度,ω c系统剪切频率
结论：采用数字控制器的连续化设计方法，
采样周期应该相当短。
?第三步：将 D(s)离散化为 D(z)
－通过近似方法，把连续控制器离散化为数字控
制器。
方法 1,双线性变换法（ Tustin 突斯汀变换法）
推导 1：级数展开 z=esT,T很小。
得到
?推导 2：梯形法数值积分
积分控制器
用梯形法求积分运算
两边求 Z变换
－映射关系：
双线性变换法置换公式
把 S=σ+jω 代入有：
取模的平方
则,σ=0（ s平面虚轴）,|z|=1 (z平面单位园上）
σ<0（ s左半平面）,|z|<1 (z平面单位园内）
σ>0（ s右半平面）,|z|>1 (z平面单位园外）
结论,1个稳定的系统经过双线性变换仍然是
稳定的。
方法 2,前向差分法
推导 1：级数展开 z=esT,T很小。
得到
推导 2：用一阶前向差分近似代替微分。
微分控制器
用前向差分近似代替
令 n=k+1，并对两边作 Z变换有：
得出：
－映射关系：
前向差分法置换公式
把 S=σ+jω 代入,取模的平方有：
令 |z|=1，则对应到 s平面上是一个圆，有：
即当 D(s)的极点位于左半平面以（ -1/T,0)为圆心,1/T
为半径的圆内,D(z)才在单位圆内，才稳定。
结论：稳定的系统经前向差分法转换后可能不稳定。
方法 3,后向差分法
推导 1：级数展开 z=esT,T很小。
得到
推导 2：用一阶向后差分近似代替微分。
用向后差分近似代替
对两边作 Z变换有：
－映射关系：
根据向后差分法置换公式 有
把 S=σ+jω 代入,取模的平方有：
则,σ=0（ s平面虚轴），
σ<0（ s左半平面），
σ>0（ s右半平面），
后向差分法将 s的左半平面映射到 z平面内半径
为 1/2的圆，因此如果 D(s)稳定，则 D(z)稳定。
?映射比较：双线性变换－保持稳定
前向差分－不能保持稳定
向后差分－保持稳定
?第四步：设计由计算机实现的控制算法
D(z)的一般形式：
m个零点和 n个极点，写为
化为时域表示：
上式称为数字控制器 D(z)的控制算法。
?第五步：校验
通过计算机仿真计算实现。
4.1.2 数字 PID控制器的设计
?PID－比例 P,积分 I,微分 D
?数字 PID控制器－用计算机实现 PID控制，即把
模拟 PID控制规律数字化。
1.模拟 PID调节器
控制规律
拉氏变换求传递函数
其中,Kp为比例系数,Ti为积分时间常数，
Td为微分时间常数。
比例作用：迅速反应误差，但不能消除稳态
误差，过大容易引起不稳定；
积分作用：消除静差，但容易引起超调，甚
至出现振荡；
微分作用：减小超调，克服振荡，提高稳定
性，改善系统的动态特性。
2.数字 PID调节器
－用数值逼近的方法实现 PID控制规律。
－数值逼近的方法：用求和代替积分、用后向
差分代替微分，使模拟 PID离散化为差分方程。
（ 1)数字 PID位置型控制算法
可得：
位置型控制算法提供执行机构的位置 u(k)，
比如阀门的开度，需要累计 e(i)
（ 2)数字 PID增量型控制算法
根据位置型控制算法写出 u(k-1)：
u(k)- u(k-1)可得：
为编程方便，可以整理得到：
其中
增量型控制算法提供执行机构的增量△ u(k)，
比如步进电机的步数。
?增量型算法与位置型算法比较：
（ 1）增量型算法不需做累加，计算误差后产生的
计算精度问题，对控制量的计算影响较小。位置
型算法用到过去的误差的累加，容易产生较大的
累加误差。
（ 2）增量型算法得出的是控制的增量，误动作影
响小，必要时通过逻辑判断限制或禁止本次输出，
不会影响系统的工作。位置型算法的输出是控制
量的全部输出，误动作影响大。
4.数字 PID控制算法流程
式 （ 4.1.35),书上的图 4.6
4.1.3 数字 PID控制器的改进
?积分项的改进
（ 1)积分分离,
－改进原因：当有较大的扰动或大幅度改变给定
值时，存在较大的偏差，以及系统有惯性和滞后，
在积分项的作用下，会产生较大的超调和长时间
的波动。
－改进思路：当被控量和给定值偏差大时，取消
积分控制，以免超调量过大；当被控量和给定值
接近时，积分控制投入，消除静差。
－改进方法：
当 |e(k)|> β时，采用 PD控制；
当 |e(k)|< β时，采用 PID控制。
积分分离阈值 β的确定,β过大，达不到积分
分离的目的； β过小，则一旦控制量 y(t)无法跳出
各积分分离区，只进行 PD控制，将会出现残差。
（ 2）抗积分饱和
－积分饱和：如果执行机构已到极限位置，仍
然不能消除偏差，由于积分的作用，尽管计算 PID
差分方程式所得的运算结果继续增大或减小，但
执行结构已无相应的动作，控制信号则进入深度
饱和区。
－影响：如果系统程序反向偏差,则 u(k)首先
需要从饱和区退出，进入的饱和区越深，退出时
间越长，导致超调量增加。
－改进方法：对控制量 u(k)限幅。
以 8位 D/A为例,u(k)<00H时，取 u(k)=0；
u(k)>FFH时，取 u(k)=FFH。
（ 3）梯形积分
－改进原因：减小残差，提高积分项的运算精
度。
－改进方法：矩形积分改为梯形积分。
（ 4）消除积分不灵敏区
－改进原因：由于计算机字长的限制，当运算
结果小于字长所能表示的数的精度，计算机就作
为, 零, 处理，此时积分作用消失，这就称为积
分不灵敏区。
－改进措施：
①增加 A/D转换位数，加长运算字长，提高运算
精度。
②当积分项连续 n次小于输出精度 ε的情况下，
不要把它们作为, 零, 处理，而是把它们累加起
来，直到累加值大于 ε时才输出，同时把累加单元
清零。
?微分项的改进
（ 1）不完全微分 PID控制
－改进原因：微分具有放大干扰信号的特点－
在 PID控制中，对具有高频扰动的生产过程，微分
作用响应过于灵敏，容易引起控制过程振荡。
－改进方法：串联一阶惯性环节，作为低通滤
波器抑制高频噪声，组成不完全微分 PID控制器。
两种方式：直接串在微分项；串在 PID调节器
之后，如下图。
一阶惯性环节的传递函数
其拉氏反变换有：
因为 PID调节器：
则有：
离散化有：
式中
由上式可以求得不完全微分 PID控制的增量型
控制算法。
－不完全微分 PID控制的效果：
①抑制高频噪声。
②克服纯微分的不均匀性。
下图，在 t=0时刻出现阶跃信号，纯微分 (a)在第
一个周期出现大跃变信号，容易振荡； (b)中的控制
信号则较均匀、平缓。
（ 2）微分先行 PID控制算式
－改进原因：为避免给定值的升降给系统带来冲
击，如超调过大，调节阀动作剧烈。
－微分先行：把微分运算放在前面，后面跟比例
和积分运算。
－改进方法：把微分提前，只对被控量 y(t)微分，
不对偏差 e(t)微分。
?时间最优 PID控制
－最优控制的含义：某个指标最优。
－ Bang-Bang控制，开关控制，对 |u(t)|<=1，采用
一定的方法在＋ 1，－ 1间切换，使时间最短。
－时间最优 PID控制,Bang-Bang控制和 PID控制
相结合。
?带死区的 PID控制算法
－改进原因：避免控制动作过于频繁
死区阈值 ε
4.1.4 数字 PID控制器的参数整定
?采样周期的选择
（ 1）采样周期上下限的确定
采样周期上限 Tmax的确定：
采样（香农）定理 Tmax =π /ωmax，其中 ωmax为
被采样信号的上限角频率。
采样周期下限 Tmin的确定：
Tmin为计算机执行程序和输入输出所耗费的时间。
（ 2）采样周期的考虑因素
－给定值的频率变化：给定值变化频率越高，采
样频率应越高。
－被控对象的特性：被控对象是慢速对象，采样
周期取得大；被控对象是快速系统，采样周期应取
得较小。
－控制算法的类型：受计算精度和计算时间的影
响。
－控制回路数：采样周期 T应大于等于所有回路控
制程序执行时间和输入输出时间的总和。
??按简易工程法整定 PID参数
－简易工程法的优点：不依赖被控对象的数学模型。
（ 1）扩充临界比例度法
扩充临界比例度法－对模拟调节器中使用的临界
比例度法的扩充和推广
－整定数字控制器参数的步骤：
①选择短的采样频率：一般选择被控对象纯滞后
时间的十分之一。
②去掉积分与微分作用，逐渐较小比例度 δ (δ
=1/kp），直到系统发生持续等幅振荡。纪录发生振
荡的临界比例度和周期 δk及 Tk。
③ 选择控制度
控制度的定义－以模拟调节器为基准，将 DDC
的控制效果过于模拟调节器的控制效果相比较，采
用误差平方积分表示。
控制度的指标含意：控制度 =1.05,DDC与模拟
控制效果相当；控制度 =2.0,DDC比模拟调节器的
效果差。
④ 根据选定的控制度，查表求得 T,kp,TI、
TD的值。
（ 2）扩充响应曲线法
扩充临界比例度法－对模拟调节器中使用的响应
曲线法的扩充和推广
－整定数字控制器参数的步骤：
①数字控制器不接入控制系统，系统开环，并处
于手动状态。再手动给对象输入阶跃信号。
②纪录被控量的过渡过程曲线。
③根据曲线求得滞后时间 τ,被控对象的时间常数
Tm，它们的比值 Tm / τ，以及选择的控制度，查表 4.2，
求得数字控制器的 T,kp,TI,TD的值。
－在过渡过程曲线上求滞后时间 τ,被控对象的
时间常数 Tm：在曲线拐点处（斜率最大）处作一切
线。
（ 3）归一参数整定法
－简化扩充临界比例度法：只需整定一个参数，
称为归一参数整定法。
Tk为纯比例作用下的临界振荡周期，则令 T=0.1 Tk；
TI=0.5 Tk； TD=0.125 Tk有：
只需整定 kp，观察效果，直到满意为止。
－优点：只需整定一个参数；
缺点：各参数比例需要确定，需要工程经验。
?优选法：
①其他参数固定，对其中一参数用 0.618黄金分
割优选法进行寻优。
② 根据 T,kp,TI,TD的寻优结果选择一组最
佳值。
?凑试法：
①只整定比例部分，系数由小变大，得到反应
快，超调小的响应曲线。如果系统已无静差，则
直接使用比例即可。
② 取积分时间为教大值，减小①得到的比例参
数，逐步减小积分时间，直到系统无静差。
③ 加入微分环节，改善系统的动态性能。先取
微分时间为零，逐步增大微分时间，同时改变比
例参数和积分时间，直到系统得到好的动态性能
和效果。
4.2 数字控制器的离散化设计技术
数字控制器的离散化设计－技术采样周期长的或
控制复杂的系统，直接使用采样控制理论设计数字
控制器。其控制规律和算法更具有一般意义。
4.2.1 数字控制器的离散化设计步骤
Gc(s)：被控对象的传递函数,D(z)：数字控制器的
脉冲传递函数,H(s) 零阶保持器的传递函数。
定义广义对象 (零阶保持器与被控过程 )的脉冲传
递函数为；
则上图的闭环脉冲传递函数为：
于是有：
由此推得数字控制器的离散化设计步骤。
?数字控制器的离散化设计步骤
（ 1) 根据控制系统的 性能要求和其它约束条件，
确定所需要的闭环脉冲传递函数 υ(z)。
(2) 求广义对象的脉冲传递函数 G(z)。
(3) 确定数字控制器的脉冲传递函数 D(z)。
(4) 根据 D(z)求取控制算法的递推计算公式。
注意,υ (z)可根据所需要的输入及响应性能确定。
D(z)的一般形式：
数字控制的输出 U(z)
进行 z反变换后，可得到计算机控制算法：
4.2.2 最少拍控制器的设计
－ 最少拍控制：就是要求闭环系统对于某种
特定的输入在最少个采样周期内达到无静差的稳
态，且其闭环脉冲传递函数是中 N是可能情况下
的最小正整数。
闭环脉冲 υ (z)，在 N个周期后变为 0
1、确定闭环脉冲传递函数 υ(z)
(1)定义误差脉冲传递函数：
根据上图有：
则有：
典型输入：
的 z变换为：
B(z)为不含 1-z-1因子的 z-1多项式。
q=1，输入为单位阶跃输入函数，
q=2，输入为单位速度输入函数，
q=3，输入为单位加速度输入函数，
?（ 2)根据 Z变换的终值定理，求系统的稳态误差，
并使其为零（无静差，即准确性约束条件 )。
则有：
要使 e(∞ )=0，则必须：
则有：
（ 3)根据最少拍控制，确定最少拍控值的闭环脉
冲传递函数 υ(z) （快速性约束条件）
－根据式（ 4.2.14)，（ 4.2.15) 可知,υ (z)中 z-1
的最高次幂为 N=p+q，故系统在 N拍可以达到稳
态。
－当 p=0时，系统可以在最少 q拍达到稳态。
上述两点可得－最少拍控制器选 υ(z) 为：
（ 4)最少拍控制器 D(z)为：
2、典型输入下的最少拍控制系统分析
（ 1）单位阶跃输入（ q=1）
这时
则有：
上式说明只在 1拍内有误差
用长除法：
因此系统只需 1拍就可以达到稳态。
（ 2）单位速度输入（ q=2）
这时
则有：
上式说明只在 2拍内有误差
用长除法有：
因此系统只需 2拍就可以达到稳态。
（ 3）单位加速度输入（ q=3）
这时
则有：
上式说明只在 3拍内有误差
因此系统只需 3拍就可以达到稳态。
3、最少拍控制器的局限性
（ 1）最少拍控制器对典型输入的适应性差
最少拍控制器中的最少拍是针对某一典型输入
设计的，对于其它典型输入则不一定为最少拍，
甚至引起大的超调和静差。
例,按等速输入来设计 υ(z)
比较三种不同输入的响应：
－阶跃输入
其输出
输出结果：系统在 1拍后出现 100%超调,2拍
后稳定，并达到设定值。
－等速输入：
其输出
输出结果：系统在 2拍后稳定，并达到设定值，
与分析结果一致。
－等加速输入：
其输出
输出结果,2拍后系统出现稳定的静差。
? 最少拍控制器的适应性特点：
针对某典型输入 R (z)设计得到的最少拍 υ (z)
－用于次数较低的 R (z)，系统将出现大超调，但能
稳定无差；
－用于次数较高的 R (z)，系统将稳定的静差。
?结论：一种典型的最少拍 υ(z)只适用于该类型输入。
（ 2）最少拍控制器的可实现问题
－闭环系统可实现性：闭环系统采用反馈进行控制，
即用过去时刻的量去控制下一个时刻的量，它是滞后的。
滞后－脉冲传递函数不出现 z＋ n正幂次项，因此可实现
系统的脉冲传递函数不会出现 z＋ n正幂次项。
如果广义对象的脉冲传递函数为
则由于广义对象中包含零阶保持器，它是滞后
的，因此有：
degA(z),degB(z)表示 A(z)和 B(z) 的阶数。
设数字控制器 D(z)为
则要求：
含义：要产生 k时刻的控制量 u(k)，最多只能利
用直到 k时刻的误差 e(k),e(k-1),...以及过去的控
制量 u(k-1),u(k-2)...。
闭环系统的脉冲传递函数
因为有,degP(z)－ degQ(z) >=0，则：
上式确定了 D(z) 可实现时 υ (z)应满足的条件：
若 G(z)的分母比分子高 N阶，则确定 υ(z)时必须至
少分母比分子高 N阶。
例：对象有 d个采样周期纯滞后,则其脉冲传函
为：
则 υ (z)中也应该有纯滞后，滞后时间大于等
于 d个采样周期，否则根据：
D(z) 将出现 z＋ n正幂次项，响应超前输入，不
能实现。
（ 3）最少拍控制的稳定性问题
－最少拍 υ (z)
成立的条件：
① G(z)是稳定的。否则系统发散,υ (z)不可
能实现。
② G(z)是不含有纯滞后环节。否则根据最少
拍控制器的可实现条件,D(z) 不能实现。
－改进办法：
对②，在 υ (z)中增加滞后时间大于等于 G(z)
纯滞后时间的纯滞后。
对 ①，则可以在选择 υ(z) 时，增加稳定性约
束条件，保证系统稳定。
应注意：不能采取 D(z)和 G(z)零极点对消方
式，而从理论上得到稳定的闭环系统。
原因：当参数漂移时，零极点对消不能准确实
现，系统将出现不稳定极点。
4.2.3 最少拍有纹波控制器的设计
? 设计时考虑最少拍控制器的可实现和稳定性条件。
? 一般化的广义被控对象
－控制对象传函如下,τ是滞后时间
－采样周期为 T,则令
－则广义对象的 (零阶保持器与被控过程 )的脉冲
传递函数为：
上式中若 GC(z)不含纯滞后,则 d=0；
若 GC(z) 含纯滞后,则 d>=1。
－设 G(z)有 u个零点 b1,b2,…,bu和 v个极点
a1,a2,…,av在单位圆上或圆外，则广义对象的传
递函数可表示为：
G’(z)表示不含单位圆上及圆外零极点部分。
? 对于纯滞后环节，可以直接在 υ(z)中加入滞后时
间大于等于 d个采样周期的纯滞后环节。
? 考虑系统的稳定性。由于 D(z)和 G(z)的单位圆外上及
圆外的零极点不能对消，且 D(z)必须是稳定的，即 D(z)
不能有单位圆上或圆外的零极点（ z=1除外 )。根据上面
三个式子，有：
－ υe (z)的零点包括 G(z)的单位圆上或圆外的极点。
－ υ(z)的零点包括 G(z)的单位圆上或圆外的零点。
? 选择系统闭环脉冲传递函数必须满足的约束条件：
1.υe (z)零点必须包括 G(z)的单位圆上或圆外的极点。
a i为不稳定极点, F1(z) 为：
若 G(z)有 j个极点在单位圆上 z=1，则可确定 υe (z)：
－若 j<=q，
若 j>q,
2.υ(z)零点必须包括 G(z)的单位圆上或圆外的零点。
b i为不稳定零点, F2(z) 为：
3,F1(z)和 F2(z)的阶数选取。
－若 G(z)有 j个极点在单位圆上 z=1，
当 j<=q, 当 j>q
原则, 最少拍要求 υ(z)中的 z-1为最低次幂
υ(z) 和 υe (z)具有同样的阶数。
??根据上面三个约束条件，可以得到最少拍控制器为：
?
?
?
?最少拍有波纹控制器的缺点：
－在最少拍后只能保证采样点的稳态误差为 0，而不
能保证采样点之间的输出为 0。因此系统输出有波纹存
在，这种波纹在采样点无法检测，称为隐蔽振荡。
－形成该缺点的原因：在设计最少拍控制器时只要
求采样点的稳态误差为 0，数字控制器的输出是振荡收
敛的。
?例 4-1，下图中被控对象的传函和零阶保持器传函
为：
?
采样周期 T=1s，针对单位速度输入函数设计
最少拍有纹波系统，并画出数字控制器和系统输出
波形。
解,求广义对象的脉冲传递函数。
d=0,u=0,v=1,j=1,q=2 且 j<q 则：
选择 φ (z) 和 φe (z)：
所以：
解得：
因此：
数字控制器和系统的输出波型：
4.2.3 最少拍无纹波控制器的设计
?最少拍有纹波控制器的出现纹波的原因：数字自
控制器输出 u(k)在若干拍后，不为 0或常值，是振荡
收敛的。
?最少拍有纹波控制器纹波的影响：输出在采样点
外有偏差；执行机构振荡，功耗和磨损增大。
?最少拍无纹波控制器能够消除输出纹波。
?设计最少拍无纹波控制器的必要条件：
－被控对象 Gc(s)中必须有足够的积分环节：
对速度输入必须有 1个积分环节，对对加速度
输入必须有 2个积分环节。
?最少拍无纹波系统 υ(z)的约束条件：
－系统输出无纹波，必须保证稳态是控制 u(k)为
常数或 0。系统 L个周期达到稳态，则要求
u(L)=u(L+1)=u(L+2)=… =0。
设广义对象为：
则有：
为使输出无纹波，则 υu (z)应该是 z-1的有限多
项式，因此 υ(z)必须包含 B(z)，即 υ (z)应包含 G(z)
的所有零点。
w为 G(z)的所有零点数，
b1,b2,…,bw为 G(z)的所有零点。
－从上面的分析也可以知道控制 u(k) 振荡的原
因：由于 G(z)的零点为 U(z)的极点，该极点虽然
可以保证控制输出稳定，但造成系统的输出振荡
收敛。
?最少拍无纹波系统 υ(z)的确定：
(1)被控对象 Gc(s)必须有足够的积分环节；
(2)按下式选择 υ(z)
(3)按下式选择 υe (z)
－若 j<=q，
若 j>q,
?
(4) F1(z)和 F2(z)的阶数选取方法,F1(z)和
F2(z)形式与有纹波系统相同。
－若 G(z)有 j个极点在单位圆上 z=1，
当 j<=q, 当 j>q
?无纹波系统的调整时间比有纹波系统的调整时间
增加若干拍，增加的拍数等于 G(z)在单位圆内的零
点数目。
?例 4-2，在例 4-2
?
针对单位速度输入函数，设计最少拍无纹波系统，
并画出数字控制器和系统输出波形。
解,由 Gc(s)知，对象有两个积分环节，满足要求。
由 d=0,v=1,w=1,j=1,q=2 且 j<q 有：
则：
即
可得方程组：
解得：
所以：
? 例子中,G(z)在单位圆内有一个零点，无纹波系
统经过 3拍后达到稳定，比有纹波系统多 1拍。
?
4.3 纯滞后控制技术
?纯滞后控制对象－存在于石化等行业的工业生产
中，滞后时间过长容易引起系统超调和振荡。
?纯滞后控制方法：施密斯预估器、大林算法等。
4.3.1施密斯 (Smith)预估控制
?施密斯预估控制原理
?
－施密斯预估控制原理：与 D(s)并联 1个预估器，组
成纯滞后补偿器，用于补偿对象的纯滞后部分。
其传函为：
系统闭环传函：
－补偿后，消除了纯滞后部分的影响，而系统
的稳定性无影响,e-τs 将控制作用推移了 τ时间，
系统特性与对象符合。
?具有纯滞后补偿的数字控制器
－纯滞后补偿的数字控制器：数字 PID控制器＋
施密斯预估器。
?施密斯预估器
－滞后环节的实现：在内存设置 FIFO（先进
先出）的队列实现信号的延迟，队列长度 N由 N=
τ/T确定。
其输出
－许多工业对象可以用一阶惯性环节和纯滞后
环节表示：
因此预估器的传函为：
? 纯滞后补偿控制算法步骤：
(1)计算反馈回路偏差 e1(k)
(2)计算施密斯预估器的输出 yτ(k)
写为微分方程式
可得差分方程式
? (3)计算反馈回路偏差 e
2(k)
(4)计算 PID控制器输出 u(k)
Kp为比例系数,Ki=KpT/Ti为积分系数，
Kd=KpTd/T是微分系数。
4.3.2 达林（ Dahlin)算法
?数字控制器 D(z)的形式
－ 控制对象,Gc (z)由一或二阶惯性环节和纯滞
后组成：
－达林算法的设计目标：设计数字控制器使系
统的闭环传函为具有纯滞后的一阶惯性环节，且
其滞后时间等于被控对象的滞后时间。 滞后时间
τ 与 T成整数关系。
－构造数字控制系统，并用零阶保持器离散化
υ (s)。
代入
进行 z变换有：
可由上式求 D(z)
－被控对象为带纯滞后的一阶惯性环节：
代入 τ=NT,z变换后有：
－被控对象为带纯滞后的二阶惯性环节：
代入 τ=NT,z变换后有：
于是：
?振铃现象及消除
－振铃 (Ringing)现象：数字控制器的输出发生
周期为 2T上下摆动。振铃幅度表示为 RA。
－振铃会增加执行机构的磨损，和影响多参数
系统的稳定性。
(1)振铃现象的分析。
由于
则有,令
得：
对单位阶跃函数：
上式含极点 z=1，如果 φu(z)的极点在负实轴上，
且于 z=-1接近，则上述两个极点造成的输出瞬态项
在不同的时刻可能叠加也可能抵消，导致输出出现
波动。
－振铃的原因,φu(z)在左半平面有极点。
－规律：极点距离 z=-1越近，振铃现象越严重；
单位圆内右半平面的零点会加剧振铃；
单位圆内右半平面的极点会减弱振铃；
－带纯滞后的一阶惯性环节的系统
极点为 z=e-T/Tτ>0，不在负实轴上，因此不会出
现振铃现象。
? －带纯滞后的二阶惯性环节的系统
第一个极点为 z=e-T/Tτ因此不会引起振铃现象，
第二个极点为 z=-C2/C1，当 T->0时有：
将引起振铃。
(2)振铃幅度 RA
－振铃幅度 RA,用单位阶跃输入下数字控制
器第 0次输出量和第 1次输出量的差值表示。
φu(z)可以写成：
单位阶跃输入下
对带纯滞后的二阶惯性环节的系统
当 T->0时，
（ 3）振铃现象的消除
－方法 1：找出 D(z)中引起振铃的因子（ z=-1
附近的极点），令其中的 z=1。系统稳态值不变，
但瞬态特性会变化，数字控制器的动态性能也会
影响。
－方法 2：通过选择采样时间 T和闭环系统时
间常数，使系统避免出现振铃。
－方法 1的例子：带纯滞后的二阶惯性环节的
系统。
极点 z=-C2/C1导致振铃，令（ C1+C2z-1)中 z=1，
有：
得到 D(z)为：
?达林算法步骤
(1)确定闭环系统的 Tτ和振铃幅度 RA指标；
(2)确定 RA与 T的关系，尽量选择较大的 T；
(3)确定 N=τ/T；
(4)求 G(z)和 φ (z)；
(5) 求 D(z)。
4.4 串级控制技术
?串级控制主要解决的问题：系统中有几个因素同
时影响被控量。
?串级控制：在单控制回路中，增加控制回路，用
于克服引起被控量变化的其他因素，抑制被控对
象的时滞特性。
4.4.1 串级控制的结构和原理
?以炉温控制系统说明,D1(S)主控制器,D2(S)副
控制器。
4.4.2 数字串级控制算法
?计算机串级控制系统
－双回路串级控制系统,D1(z),D2(z)是 PID控制
器。
?双回路串级控制算法步骤（两次 PID运算）
(1)计算主回路偏差
(2)计算主控制器 D1(z)的输出，采用增量式 PID
算法。
(3)计算副回路偏差
(4)计算副控制器 D2(z)的输出，采用增量式 PID算法。
4.4.3 副回路微分先行串级控制算法
?副回路微分先行串级控制算法
－主要思想：把副回路的微分环节提前到反馈
通道中，防止主控制器的输出影响服回路的稳定
性，同时可以克服副对象的惯性。
??副回路微分先行环节的递推算式推导
微分先行环节的传递函数：
其微分方程为：
差分方程为
递推算式
?副回路微分先行的串级控制算法（ PID＋ D+PI)
(1)计算主回路偏差；
(2)计算主控制器 D1(z)的输出，采用增量式 PID算法；
(3)计算微分先行部分的输出；
(4)计算副回路偏差；
(5)计算副控制器的输出。
?串级控制的优点：
－具有很强的抗扰动能力；
－能克服对象纯滞后的影响，改善系统控制性能；
－副控回路是随动系统，在非线性控制对象出现符
合变化任可以实现良好的控制。
?主、副控制器的选型
－主控制器,PID
－副控制器,PI
4.5 前馈 -反馈控制技术
?反馈和前馈
－反馈：利用被控量和设定值的偏差进行控制，
回路闭环。
－前馈：利用扰动量进行控制，回路开环。
4.5.1 前馈控制的结构和原理
?前馈控制器的传递函数推导，若 u=0
?
这时输入为 0，输出也应该为 0，有：
4.5.2 前馈 -反馈控制结构
?前馈 -反馈控制结构结合了两者的优点：前馈控制
抗扰动，反馈控制减小偏差。
?
?前馈 -串级控制结构
?
?
?
－前馈 -串级控制的优点：能克服加入前馈回路
和串级副控回路的扰动对被控量的影响，控制精
度高。
?例：锅炉的水位控制系统：
?
?
?
?
－前馈 -串级控制结构，三冲量给水控制。
－给定值：水位 H0；被控对象：水位 H
－前馈：控制蒸汽流量 G
－串级副回路：控制给水量 D
－主控回路：控制水位 H
副控
前馈主控
－控制系统框图
－图中的 kx为仪表和执行机构的传递函数，为
线性器件。
?4.5.3 数字前馈 -反馈控制算法
?数字前馈 -反馈控制系统框图
? 推导前馈 -反馈的递推算式
若
则
其微分方程为
但采样频率足够高，用差分近似微分有：
得差分方程：
?计算机前馈 -反馈控制的算法步骤
(1)计算反馈控制的偏差；
(2)计算反馈控制器的输出，采用增量式 PID算法；
(3)计算前馈调节其的输出；
(4)计算前馈 -反馈调节器的输出。
?达林算法步骤
(1)确定闭环系统的 Tτ和振铃幅度 RA指标；
(2)确定 RA与 T的关系，尽量选择较大的 T；
(3)确定 N=τ/T；
(4)求 G(z)和 φ (z)；
(5) 求 D(z)。
