§ 1-3 圆周运动及其描述
1,切向加速度和法向加速度
在一般圆周运动中, 质点速度的大小和方向都
在改变, 即存在加速度 。 采用自然坐标系, 可以更
好地理解加速度的物理意义 。
在运动轨道上任一点建立正
交坐标系,其一根坐标轴沿轨道
切线方向,正方向为运动的前进
方向；一根沿轨道法线方向,
正方向指向轨道内凹的一侧 。 te
?
ne
? te
?
ne
?
切向单位矢量 te? 法向单位矢量 ne?
显然，轨迹上各点处，自然坐标轴的方位不断变化。
1.1 自然坐标系
ttv ev
?? ?
由于质点速度的方向一定沿着轨迹的切向, 因
此, 自然坐标系中可将速度表示为：
tve
??
tt
s e?dd?
由加速度的定义有
tvdd
?? ?a
tt
v e?dd?
tv
t
d
d e??
切向加速度和法向加速度
1.2 自然坐标系下的加速度
te?
?
o
d?
ds
ne
?
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P
te
?
P
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?
te
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n
t
tt e
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d
d
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d ??
ne
??? n
R
v e?
切向加速度和法向加速度
以圆周运动为例讨论上式中两个分项的物理意义：
如图, 质点在 dt 时间内经历弧长 ds,对应于角
位移 d?,切线的方向改变 d?角度 。
作出 dt始末时刻的切向单位矢，
由矢量三角形法则可求出极限
情况下切向单位矢的增量为
te
?d即 与 P点的切向正交。因此
te?
?
o
ne
?
te
?
P
a?
na
ta
?
于是前面的加速度表达式可写为：
?a? ttv e?dd nRv e?2?
tvat dd? Rvan
2?
即圆周运动的加速度可分解为两
个正交分量：
at称切向加速度, 其大小表示质点速率变化的快慢；
an称法向加速度, 其大小反映质点速度方向变化的
快慢 。
切向加速度和法向加速度
上述加速度表达式对任何平面曲线运动都适用，
但式中半径 R 要用曲率半径 ?代替。
at 等于 0,an等于 0,质点做什么运动？
at 等于 0,an不等于 0,质点做什么运动？
at 不等于 0,an等于 0,质点做什么运动？
at 不等于 0,an不等于 0,质点做什么运动？
例题 讨论下列情况时，质点各作什么运动：
切向加速度和法向加速度
n
t aaa 1t an ???的夹角给出为的方向由它与法线方向?
?a? ttv e?dd nRv e?
2?
由
22
nt aaa ??
222
d
d ?
?
??
?
???
?
??
?
??
R
v
t
v
a? 的大小为
2,圆周运动的角量描述
o x
y
前述用位矢, 速度, 加速度
描写圆周运动的方法, 称线量
描述法；由于做圆周运动的质
点与圆心的距离不变, 因此可
用一个角度来确定其位置, 称
为角量描述法 。
???
A,t
B,t+?t
设质点在 oxy平面内绕 o点、沿半径为 R的轨道作
圆周运动，如图。以 ox轴为参考方向，则质点的
角位置为 ?
角位移为 ?? 规定反时针为正
平均角速度为 t??? ??
圆周运动的角量描述
角速度为 tt ?
?
??
? ??
0
lim tdd??
角加速度 为 2
2
d
d
d
d
tt
??? ??
角 速 度 的 单位,弧度 /秒 (rad?s-1)；
角加速度的单位,弧度 /平方秒 (rad ?s-2) 。
讨论,
(1) 角加速度 ?对 运动的影响：
?等于零, 质点作匀速圆周运动；
?不等于零但为常数, 质点作匀变速圆周运动；
?随时间变化, 质点作一般的圆周运动 。
圆周运动的角量描述
?
?
?
?
?
???
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)(2
2/
0
2
0
2
2
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tt
t
(2) 质点作匀速或匀变速圆周运动时 的角速度、
角位移与角加速度的关系式为
?
?
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)(2
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0
2
0
2
2
00
0
xxavv
attvxx
atvv
与 匀变速直线运动的几个关系式
比较知,两者数学形式完全相同,说明用角量描述,可把
平面圆周运动转化为一维运动形式, 从而简化问题 。
圆周运动的角量描述
R
O x
3,线量与角量之间的关系
圆周运动既可以用速度, 加速度描述, 也可以用
角速度, 角加速度描述, 二者应有一定的对应关系 。
? ? +??
?0
?0+??
t+?t
B
tA
图示 一质点作圆周运动：
在 ?t 时间内, 质点的角位
移为 ??,则 A,B间的 有向
线段 与弧将满足下面的关系
ABAB
tt 00
limlim
??
?
??
?
两边同除以 ?t,得到速度与角速度之间的关系：
?Rv ?
线量与角量之间的关系
将上式两端对时间求导, 得到切向加速度与角加速
度之间的关系：
?Ra t ?
将速度与角速度的关系代入法向加速度的定义式，
得到法向加速度与角速度之间的关系：
R
va
n
2
? 2?R?
例 1 例 2 思考题
线量与角量之间的关系
法向加速度也叫向心加速度。
线量与角量之间的关系
将上式两端对时间求导, 得到切向加速度与角加速
度之间的关系：
?Ra t ?
将速度与角速度的关系代入法向加速度的定义式，
得到法向加速度与角速度之间的关系：
R
va
n
2
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例 1 例 2 思考题
法向加速度也叫向心加速度。
例题 1 计算地球自转时地面上各点的速度和加速度。
解,地球自转周期 T=24?60?60 s,角速度大小为：
T
?? 2?
606024
2
???
?
151027.7 ???? s
如图，地面上纬度为 ?的
P点，在与赤道平行的平面内
作圆周运动,
?c o sRr ?
线量与角量之间的关系
R?
赤道
r
p
其轨道的半径为
rv ?? ?? c o sR?
?c o s1073.61027.7 65 ????? ?
)/(c o s1065.4 2 sm???
ra n 2?? ?? c o s2 R?
?c o s1073.6)1027.7( 625 ????? ?
P点速度的大小为
P点只有运动平面上的向心加速度，其大小为
P点速度的方向与过 P点运动平面上半径为 R的圆相切。
线量与角量之间的关系
)/(c o s1037.3 22 sm????
P点加速度的方向在运动平面上由 P指向地轴。
例如,已知北京、上海和广州三地的纬度分别
是北纬 39?57?,31?12?和 23?00?，则 三地的 v 和 an
分别为：
北京,),/(356 smv ? )/(1058.2 22 sma n ???
上海,),/(398 smv ? )/(1089.2 22 sma n ???
广州,),/(428 smv ? )/(1010.3 22 sma n ???
线量与角量之间的关系
线量与角量之间的关系
例如,已知北京、上海和广州三地的纬度分别
是北纬 39?57?,31?12?和 23?00?，则 三地的 v 和 an
分别为：
北京,),/(356 smv ? )/(1058.2 22 sma n ???
上海,),/(398 smv ? )/(1089.2 22 sma n ???
广州,),/(428 smv ? )/(1010.3 22 sma n ???
R
o
在 t 时刻, 质点运动到位
置 s 处 。
s
解, 先作图如右, t = 0 时,
质点位于 s = 0 的 p点处 。
n?τ?
线量与角量之间的关系
P
（ 1） t 时刻质点的总加速度的大小；
（ 2） t 为何值时，总加速度的大小为 b ；
（ 3）当总加速度大小为 b 时，质点沿圆周运行
了多少圈。
例题 2 一质点沿半径为 R的圆周按规律
运动,v0,b都是正的常量。求：
2/20 bttvs ??
?
?
?
?
?
n
τ
a
a
22
nτ aaa ??
（ 2） 令 a = b, 即
b
R
bRbtv
a ?
??
?
22
0 )()(
R
o
s
（ 1） t 时刻切向加速度, 法向加速度及加速度大小,
t
v
d
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R
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2
2
d
d
t
s? b??
R
btv 20 )( ??
R
bRbtv 220 )()( ???
n?τ?
线量与角量之间的关系
（ 3） 当 a = b 时, t = v0/b, 由此可求得质点历经
的弧长为
/220 bttvs ??
它与圆周长之比即为圈数：
R
sn
?2
?
R
o
s
bvt /0?
bv /220?
Rb
v
?4
2
0?
n?τ?
线量与角量之间的关系
得
线量与角量之间的关系
（ 3） 当 a = b 时, t = v0/b, 由此可求得质点历经
的弧长为
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它与圆周长之比即为圈数：
R
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n?τ?
得
1,质点作匀变速圆周运动，则
切向加速度的大小和方向都在变化
法向加速度的大小和方向都在变化
切向加速度的方向变化，大小不变
切向加速度的方向不变，大小变化
质点作匀变速圆周运动, 速
度的大小方向都在变化；切向加
速度和法向加速度的大小方向都
在变化 。
R
o
思考题
思考题
2.判断下列说法的正、误：
a,加速度恒定不变时，物体的运动方向必定不变。
b,平均速率等于平均速度的大小。
d,运动物体的速率不变时，速度可以变化。
例如：物体做抛体运动，加速度恒定，而速度方
向改变。
c,不论加速度如何，平均速率的表达式总可以写成
2/)( 21 vvv ??
,其中 v1是初速度,v2 是末速度。
tsv ??? /依据 平均速率
t??? /rv ??
平均速度的大小
思考题
思考题
2.判断下列说法的正、误：
a,加速度恒定不变时，物体的运动方向必定不变。
b,平均速率等于平均速度的大小。
d,运动物体的速率不变时，速度可以变化。
例如：物体做抛体运动，加速度恒定，而速度方
向改变。
c,不论加速度如何，平均速率的表达式总可以写成
2/)( 21 vvv ??
,其中 v1是初速度,v2 是末速度。
tsv ??? /依据 平均速率
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平均速度的大小
思考题
思考题
1,切向加速度和法向加速度
在一般圆周运动中, 质点速度的大小和方向都
在改变, 即存在加速度 。 采用自然坐标系, 可以更
好地理解加速度的物理意义 。
在运动轨道上任一点建立正
交坐标系,其一根坐标轴沿轨道
切线方向,正方向为运动的前进
方向；一根沿轨道法线方向,
正方向指向轨道内凹的一侧 。 te
?
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切向单位矢量 te? 法向单位矢量 ne?
显然，轨迹上各点处，自然坐标轴的方位不断变化。
1.1 自然坐标系
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由于质点速度的方向一定沿着轨迹的切向, 因
此, 自然坐标系中可将速度表示为：
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由加速度的定义有
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切向加速度和法向加速度
1.2 自然坐标系下的加速度
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R
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切向加速度和法向加速度
以圆周运动为例讨论上式中两个分项的物理意义：
如图, 质点在 dt 时间内经历弧长 ds,对应于角
位移 d?,切线的方向改变 d?角度 。
作出 dt始末时刻的切向单位矢，
由矢量三角形法则可求出极限
情况下切向单位矢的增量为
te
?d即 与 P点的切向正交。因此
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于是前面的加速度表达式可写为：
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2?
即圆周运动的加速度可分解为两
个正交分量：
at称切向加速度, 其大小表示质点速率变化的快慢；
an称法向加速度, 其大小反映质点速度方向变化的
快慢 。
切向加速度和法向加速度
上述加速度表达式对任何平面曲线运动都适用，
但式中半径 R 要用曲率半径 ?代替。
at 等于 0,an等于 0,质点做什么运动？
at 等于 0,an不等于 0,质点做什么运动？
at 不等于 0,an等于 0,质点做什么运动？
at 不等于 0,an不等于 0,质点做什么运动？
例题 讨论下列情况时，质点各作什么运动：
切向加速度和法向加速度
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2,圆周运动的角量描述
o x
y
前述用位矢, 速度, 加速度
描写圆周运动的方法, 称线量
描述法；由于做圆周运动的质
点与圆心的距离不变, 因此可
用一个角度来确定其位置, 称
为角量描述法 。
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A,t
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设质点在 oxy平面内绕 o点、沿半径为 R的轨道作
圆周运动，如图。以 ox轴为参考方向，则质点的
角位置为 ?
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平均角速度为 t??? ??
圆周运动的角量描述
角速度为 tt ?
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角加速度 为 2
2
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角 速 度 的 单位,弧度 /秒 (rad?s-1)；
角加速度的单位,弧度 /平方秒 (rad ?s-2) 。
讨论,
(1) 角加速度 ?对 运动的影响：
?等于零, 质点作匀速圆周运动；
?不等于零但为常数, 质点作匀变速圆周运动；
?随时间变化, 质点作一般的圆周运动 。
圆周运动的角量描述
?
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(2) 质点作匀速或匀变速圆周运动时 的角速度、
角位移与角加速度的关系式为
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与 匀变速直线运动的几个关系式
比较知,两者数学形式完全相同,说明用角量描述,可把
平面圆周运动转化为一维运动形式, 从而简化问题 。
圆周运动的角量描述
R
O x
3,线量与角量之间的关系
圆周运动既可以用速度, 加速度描述, 也可以用
角速度, 角加速度描述, 二者应有一定的对应关系 。
? ? +??
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?0+??
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B
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图示 一质点作圆周运动：
在 ?t 时间内, 质点的角位
移为 ??,则 A,B间的 有向
线段 与弧将满足下面的关系
ABAB
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两边同除以 ?t,得到速度与角速度之间的关系：
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线量与角量之间的关系
将上式两端对时间求导, 得到切向加速度与角加速
度之间的关系：
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将速度与角速度的关系代入法向加速度的定义式，
得到法向加速度与角速度之间的关系：
R
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2
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例 1 例 2 思考题
线量与角量之间的关系
法向加速度也叫向心加速度。
线量与角量之间的关系
将上式两端对时间求导, 得到切向加速度与角加速
度之间的关系：
?Ra t ?
将速度与角速度的关系代入法向加速度的定义式，
得到法向加速度与角速度之间的关系：
R
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? 2?R?
例 1 例 2 思考题
法向加速度也叫向心加速度。
例题 1 计算地球自转时地面上各点的速度和加速度。
解,地球自转周期 T=24?60?60 s,角速度大小为：
T
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606024
2
???
?
151027.7 ???? s
如图，地面上纬度为 ?的
P点，在与赤道平行的平面内
作圆周运动,
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线量与角量之间的关系
R?
赤道
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其轨道的半径为
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?c o s1073.61027.7 65 ????? ?
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P点速度的大小为
P点只有运动平面上的向心加速度，其大小为
P点速度的方向与过 P点运动平面上半径为 R的圆相切。
线量与角量之间的关系
)/(c o s1037.3 22 sm????
P点加速度的方向在运动平面上由 P指向地轴。
例如,已知北京、上海和广州三地的纬度分别
是北纬 39?57?,31?12?和 23?00?，则 三地的 v 和 an
分别为：
北京,),/(356 smv ? )/(1058.2 22 sma n ???
上海,),/(398 smv ? )/(1089.2 22 sma n ???
广州,),/(428 smv ? )/(1010.3 22 sma n ???
线量与角量之间的关系
线量与角量之间的关系
例如,已知北京、上海和广州三地的纬度分别
是北纬 39?57?,31?12?和 23?00?，则 三地的 v 和 an
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北京,),/(356 smv ? )/(1058.2 22 sma n ???
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广州,),/(428 smv ? )/(1010.3 22 sma n ???
R
o
在 t 时刻, 质点运动到位
置 s 处 。
s
解, 先作图如右, t = 0 时,
质点位于 s = 0 的 p点处 。
n?τ?
线量与角量之间的关系
P
（ 1） t 时刻质点的总加速度的大小；
（ 2） t 为何值时，总加速度的大小为 b ；
（ 3）当总加速度大小为 b 时，质点沿圆周运行
了多少圈。
例题 2 一质点沿半径为 R的圆周按规律
运动,v0,b都是正的常量。求：
2/20 bttvs ??
?
?
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n
τ
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（ 2） 令 a = b, 即
b
R
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（ 1） t 时刻切向加速度, 法向加速度及加速度大小,
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线量与角量之间的关系
（ 3） 当 a = b 时, t = v0/b, 由此可求得质点历经
的弧长为
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它与圆周长之比即为圈数：
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线量与角量之间的关系
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线量与角量之间的关系
（ 3） 当 a = b 时, t = v0/b, 由此可求得质点历经
的弧长为
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它与圆周长之比即为圈数：
R
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2
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得
1,质点作匀变速圆周运动，则
切向加速度的大小和方向都在变化
法向加速度的大小和方向都在变化
切向加速度的方向变化，大小不变
切向加速度的方向不变，大小变化
质点作匀变速圆周运动, 速
度的大小方向都在变化；切向加
速度和法向加速度的大小方向都
在变化 。
R
o
思考题
思考题
2.判断下列说法的正、误：
a,加速度恒定不变时，物体的运动方向必定不变。
b,平均速率等于平均速度的大小。
d,运动物体的速率不变时，速度可以变化。
例如：物体做抛体运动，加速度恒定，而速度方
向改变。
c,不论加速度如何，平均速率的表达式总可以写成
2/)( 21 vvv ??
,其中 v1是初速度,v2 是末速度。
tsv ??? /依据 平均速率
t??? /rv ??
平均速度的大小
思考题
思考题
2.判断下列说法的正、误：
a,加速度恒定不变时，物体的运动方向必定不变。
b,平均速率等于平均速度的大小。
d,运动物体的速率不变时，速度可以变化。
例如：物体做抛体运动，加速度恒定，而速度方
向改变。
c,不论加速度如何，平均速率的表达式总可以写成
2/)( 21 vvv ??
,其中 v1是初速度,v2 是末速度。
tsv ??? /依据 平均速率
t??? /rv ??
平均速度的大小
思考题
思考题
