§ 1-4 曲线运动方程的矢量形式
1,圆周运动方程的矢量形式
在直角坐标系中, 作一般曲线运动的质点的 坐
标 x,y,z为时间 t函数：
这就是运动方程的分量形式, 写成矢量形式为
),,( zyxrr ?? ? )(tr??
运动的叠加原理,一个运动可以看成几个各自
独立进行的运动的叠加 。
),(txx ? ),(tyy ? )(tzz ?
以上两个形式的运动方程等价；前者从三个相互垂直
方向的分运动来描述质点的运动，后者是前述三个相
互垂直方向的分运动的叠加，即合运动。
xy平面内圆周运动的讨论：
,s in tRx ??,c o s tRy ?? 0?z
在第一组方程中消去时间参数 t,得到运动
的轨迹方程
,222 Ryx ?? 0?z
圆周运动方程的矢量形式
因此，一个复杂的运动可以分解为几个简单运
动，满足运动的叠加原理。
这显然是 z=0的平面内以原点为圆心、半径为 R的圆。
)c o s( si n jtitRr ??? ?? ??和
两种形式的运动方程可分别写 出为：
对匀速圆周运动, 速度, 加速度的分量式为：
t
xv
x d
d? )s in(
d
d tR
t ?? tR ?? c o s?
t
yv
y d
d? )c o s(
d
d tR
t ?? tR ?? si n??
tRtva xx ?? s indd 2???
tRtva yy ?? c o sdd 2???
jia ??? tRtR ???? c o ss i n 22 ??? r?2???
圆周运动方程的矢量形式
写成矢量形式为
jtRitRv ??? ???? s i nc o s ??
2,抛体运动方程的矢量形式
抛体运动,从地面上某点向空中抛出的物体
在空中所做的运动称抛体运动。
以抛射点为坐标原点建立坐标系, 水平方向为 x
轴, 竖直方向为 y轴 。 设抛出时刻 t=0的速率为 v0,抛
射角为 ?，
,c o s00 ?vv x ? ?s in0vy ?
而加速度恒定 ga ?? ? j?g??
故任意时刻的速度为：
jiv ??? )s in()c o s( 00 gtvv ??? ??
则初速度分量分别为：
曲线运动方程的矢量形式
O
y
x
0v?
xv0
yv0
v?
g??
将上式积分，得到运动方程的矢量形式为
? ??? t tgtvtv0 00 d)s i n(d)c o s( jir ??? ??
ji ?? )21s in()c o s( 200 gttvtv ??? ??
抛体运动方程的矢量形式
消去此方程中的时间参数 t,得到抛体运动的轨迹
方程为
?
? 22
0
2
c o s2
1tg
v
gxxy ??
此为一抛物线方程，故抛体运动也叫抛物线运动。
令 y = 0,得到抛物线与 x 轴的另一个交点坐标 H,
它就是射程：
g
vH ?2s in20?
根据轨迹方程的极值条件，
求得最大射高为：
g
vh
2
s in 220 ??
抛体运动方程的矢量形式
O
y
x
0v?
xv0
yv0
v?
g??
H
h
运动的分解可有多种形式 。 例如, 抛体运动也
可以分解为沿抛射方向的匀速直线运动与竖直方向
的自由落体运动的叠加：
jjir ???? 200 21)s inc o s( gttvv ??? ??
jv ?? 20 21 gtt ??
知, 抛体运动可看作是由水平方向的匀速直线运动
与竖直方向的匀变速直线运动叠加而成 。 这种分析
方法称为运动的分解 。
ji ??? )21s in()c o s( 200 gttvtvr ??? ??由方程
O
y
x
t0v? tg?
r?
这种分解方法可用
下图说明
还可用子弹打猴子的古老演
示来证实：
抛体运动方程的矢量形式
猎人瞄准树上的猴
子射击，猴子一见火光就跳下自
由下落），却不能避开子弹。
抛体运动方程的矢量形式
O
y
x
t0v? tg?
r?
这种分解方法可用
下图说明
1,圆周运动方程的矢量形式
在直角坐标系中, 作一般曲线运动的质点的 坐
标 x,y,z为时间 t函数：
这就是运动方程的分量形式, 写成矢量形式为
),,( zyxrr ?? ? )(tr??
运动的叠加原理,一个运动可以看成几个各自
独立进行的运动的叠加 。
),(txx ? ),(tyy ? )(tzz ?
以上两个形式的运动方程等价；前者从三个相互垂直
方向的分运动来描述质点的运动，后者是前述三个相
互垂直方向的分运动的叠加，即合运动。
xy平面内圆周运动的讨论：
,s in tRx ??,c o s tRy ?? 0?z
在第一组方程中消去时间参数 t,得到运动
的轨迹方程
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圆周运动方程的矢量形式
因此，一个复杂的运动可以分解为几个简单运
动，满足运动的叠加原理。
这显然是 z=0的平面内以原点为圆心、半径为 R的圆。
)c o s( si n jtitRr ??? ?? ??和
两种形式的运动方程可分别写 出为：
对匀速圆周运动, 速度, 加速度的分量式为：
t
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圆周运动方程的矢量形式
写成矢量形式为
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2,抛体运动方程的矢量形式
抛体运动,从地面上某点向空中抛出的物体
在空中所做的运动称抛体运动。
以抛射点为坐标原点建立坐标系, 水平方向为 x
轴, 竖直方向为 y轴 。 设抛出时刻 t=0的速率为 v0,抛
射角为 ?，
,c o s00 ?vv x ? ?s in0vy ?
而加速度恒定 ga ?? ? j?g??
故任意时刻的速度为：
jiv ??? )s in()c o s( 00 gtvv ??? ??
则初速度分量分别为：
曲线运动方程的矢量形式
O
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将上式积分，得到运动方程的矢量形式为
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抛体运动方程的矢量形式
消去此方程中的时间参数 t,得到抛体运动的轨迹
方程为
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此为一抛物线方程，故抛体运动也叫抛物线运动。
令 y = 0,得到抛物线与 x 轴的另一个交点坐标 H,
它就是射程：
g
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根据轨迹方程的极值条件，
求得最大射高为：
g
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抛体运动方程的矢量形式
O
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x
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xv0
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运动的分解可有多种形式 。 例如, 抛体运动也
可以分解为沿抛射方向的匀速直线运动与竖直方向
的自由落体运动的叠加：
jjir ???? 200 21)s inc o s( gttvv ??? ??
jv ?? 20 21 gtt ??
知, 抛体运动可看作是由水平方向的匀速直线运动
与竖直方向的匀变速直线运动叠加而成 。 这种分析
方法称为运动的分解 。
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O
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r?
这种分解方法可用
下图说明
还可用子弹打猴子的古老演
示来证实：
抛体运动方程的矢量形式
猎人瞄准树上的猴
子射击，猴子一见火光就跳下自
由下落），却不能避开子弹。
抛体运动方程的矢量形式
O
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这种分解方法可用
下图说明
