§ 2-4 牛顿运动定律应用举例
(1)确定研究对象
(2)使用隔离法分析受力情况, 作出受力图
(3)分析运动情况, 判断加速度
(4)建立坐标系, 根据牛顿第二运动定律列方程
(5)求解，进行讨论
解题步骤：
两类力学问题：
?已知力求运动
?已知运动求力
1,常力作用下的连结体问题
例题 2-1 电梯中的连接体
例题 2-2 小车上的摆锤
例题 2-3 圆锥摆
2,变力作用下的单体问题
例题 2-4 小球在水中竖直沉降的速度
例题 2-5 细棒在水中的沉降速度
牛顿运动定律应用举例
牛顿运动定律应用举例
例题 2-1 设电梯中有一质量可以忽略的滑轮, 在滑轮两侧
用轻绳悬挂着质量分别为 m1和 m2的重物 A和 B,已知
m1>m2 。 当电梯 (1)匀速上升, (2)匀加速上升时, 求绳中
的张力和物体 A相对与电梯的加速度 。
ra
ra
m1
m2
o
y
1a m1 2a m2
gm1 gm2
T T
解, 以地面为参考系, 物体 A和 B为研究对象, 分别
进行受力分析 。
物体在竖直方向运动，建立坐标系 oy
(1)电梯匀速上升, 物体对电梯的加速度等于它们对
地面的加速度 。 A的加速度为负, B的加速度为正,
根据牛顿第二定律, 对 A和 B分别得到：
牛顿运动定律应用举例
r11 amgmT ???
r22 amgmT ??
上两式消去 T，得到：
g
mm
mma
21
21
r ?
??
g
mm
mmT
21
212
?
?
将 ar代入上面任一式 T，得到：
牛顿运动定律应用举例
(2)电梯以加速度 a上升时, A对地 的加速度 a-ar,B
的对地的加速度为 a+ar,根据牛顿第二定律, 对 A
和 B分别得到：
)( r11 aamgmT ???
)( r22 aamgmT ???
解此方程组得到：
)(
21
21
r gamm
mma ?
?
??
)(2
21
21 ga
mm
mmT ?
?
?
牛顿运动定律应用举例
讨论：
由 (2)的结果，令 a=0，即得到的结果 g
mm
mma
21
21
r ?
??
g
mm
mmT
21
212
?
?
由 (2)的结果，电梯加速下降时,a<0，即得到
)(
21
21
r agmm
mma ?
?
??
)(2
21
21 ag
mm
mmT ?
?
?
牛顿运动定律应用举例
讨论：
由 (2)的结果，令 a=0，即得到的结果 g
mm
mma
21
21
r ?
??
g
mm
mmT
21
212
?
?
由 (2)的结果，电梯加速下降时,a<0，即得到
)(
21
21
r agmm
mma ?
?
??
)(2
21
21 ag
mm
mmT ?
?
?
牛顿运动定律应用举例
例题 2-2 一个质量为 m,悬线长度为 l的摆锤, 挂在架子上,
架子固定在小车上, 如图所示 。 求在下列情况下悬线的方
向 (用摆的悬线与竖直方向所成的角 ?表示 )和线中的张力：
(1)小车沿水平方向以加速度 a1作匀加速直线运动 。
(2)当小车以加速度 a2沿斜面 (斜面与水平面成 ?角 )向上作
匀加速直线运动 。
m
l
m
l
? a1
?
??
m
l a2
?
g?m
牛顿运动定律应用举例
o
y
x
m
1T
?
解,(1)以小球为研究对象, 当小车沿水平方向作
匀加速运动时, 分析受力：
在竖直方向小球加速度为零, 水平
方向的加速度为 a。 建立图示坐标系：
利用牛顿第二定律，列方程：
x方向：
y方向：
11 s in maT ?? 0c o s
1 ?? mgT ?
解方程组，得到：
,tg 1
g
a??
g
a 1tga r c?? 2121 agmT ??
?
a2
牛顿运动定律应用举例
y
x
o
g?m
m
2T
???
?
(2)以小球为研究对象, 当小车沿斜面作匀加速运
动时, 分析受力：
小球的加速度沿斜面向上, 垂直
于斜面处于平衡状态, 建立图示坐标
系, 重力与轴的夹角为 ?。
利用牛顿第二定律，列方程：
x方向：
y方向：
22 s i n)s i n ( mamgT ???? ???
0c o s)c o s (2 ???? ??? mgT
求解上面方程组，得到：
牛顿运动定律应用举例
?? 22222 co s)s i n( gagmT ???
22222 s i n2 gagam ??? ?
?
???
c o s
s i n)tg ( 2
g
ag ????
?
?
?? ????
c o s
s i ntga r c 2
g
ag
讨论：如果 ?=0,a1=a2,则实际上是小车在水平
方向作匀加速直线运动；如果 ?=0,加速度为零,
悬线保持在竖直方向 。
牛顿运动定律应用举例
?? 22222 co s)s i n( gagmT ???
22222 s i n2 gagam ??? ?
?
???
c o s
s i n)tg ( 2
g
ag ????
?
?
?? ????
c o s
s i ntga r c 2
g
ag
讨论：如果 ?=0,a1=a2,则实际上是小车在水平
方向作匀加速直线运动；如果 ?=0,加速度为零,
悬线保持在竖直方向 。
牛顿运动定律应用举例
例题 2-3 一重物 m用绳悬起, 绳的另一端系在天花板上,
绳长 l=0.5m,重物经推动后, 在一水平面内作匀速率圆
周运动, 转速 n=1r/s。 这种装置叫做圆锥摆 。 求这时绳
和竖直方向所成的角度 。
g?m
o x
y
g?m
T?
?sinT
?cosT
m
?
解,绳以小球为研究对象,
对其进行受力分析：
T?小球的运动情况, 竖直
方向平衡, 水平方向作匀速
圆周运动, 建立坐标系如图：
拉力的沿两轴进行分解,
竖直方向的分量与重力平衡,
水平方向的分力提供向心力 。
利用牛顿定律, 列方程：
牛顿运动定律应用举例
rmT 2s in ?? ? ?? s in2 lm?
mgT ??c o s
x方向
y方向
由转速可求出角速度,n?? 2?
lmT 2?? mln 224??
ln
g
224co s ?? ? 5.04
8.9
2 ?? ? 4 9 7.0?
3160 ?? ??
求出拉力：
可以看出, 物体的转速 n愈大, ?也愈大,
而与重物的质量 m无关 。
牛顿运动定律应用举例
rmT 2s in ?? ? ?? s in2 lm?
mgT ??c o s
x方向
y方向
由转速可求出角速度,n?? 2?
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224co s ?? ? 5.04
8.9
2 ?? ? 4 9 7.0?
3160 ?? ??
求出拉力：
可以看出, 物体的转速 n愈大, ?也愈
大, 而与重物的质量 m无关 。
牛顿运动定律应用举例
例题 2-4 计算一小球在水中竖直沉降的速度 。 已知小
球的质量为 m,水对小球的浮力为 B,水对小球的粘性
力为 R=-Kv,式中 K是和水的粘性, 小球的半径有关的
一个常量 。
m
B?
R?
g?m
解,以小球为研究对象，分析受力：
小球的运动在竖直方向, 以向
下为正方向, 根据牛顿第二定律,
列出小球运动方程：
maRBmg ???
牛顿运动定律应用举例
m
KvBmg
t
va ????
d
d
小球的加速度
最大加速度为,m
Bmga ??
极限速度为,K
Bmgv ??
T
运动方程变为,m
vvK
t
v )(
d
d T ??
牛顿运动定律应用举例
分离变量，积分得到：
t
m
K
vv
v tv dd
00
T
?? ?? tm
K
v
vv ??
T
Tln
)1(T tm
K
evv ???
o
K
m
v
Tv
T632.0 v
t
作出速度 -时间函数曲线：
,??t Tvv ?
,/ Kmt ? T1T 632.0)1( vevv ??? ?
物体在气体或液体中的沉降
都存在极限速度。
牛顿运动定律应用举例
分离变量，积分得到：
t
m
K
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v tv dd
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T
?? ?? tm
K
v
vv ??
T
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)1(T tm
K
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o
K
m
v
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T632.0 v
t
作出速度 -时间函数曲线：
,??t Tvv ?
,/ Kmt ? T1T 632.0)1( vevv ??? ?
物体在气体或液体中的沉
降都存在极限速度。
牛顿运动定律应用举例
例题 2-5 有一密度为 ?的细棒, 长度为 l,其上端用细线悬
着, 下端紧贴着密度为 ??的液体表面 。 现悬线剪断, 求细
棒在恰好全部没入水中时的沉降速度 。 设液体没有粘性 。
x
l
B?
g?m
解,以棒为研究对象, 在下落的过程
中, 受力如图：
x
o
棒运动在竖直向下的方向, 取竖
直向下建立坐标系 。
当棒的最下端距水面距离为时 x，
浮力大小为：
xgB ? ??
此时棒受到的合外力为：
xgmgF ? ??? )( xlg ?? ???
牛顿运动定律应用举例
利用牛顿第二定律建立运动方程：
)(dd xlgtvm ?? ???
要求出速度与位置的关系式, 利用速度定义式
消去时间
t
xxlgv
t
vm
d
d)(
d
d ?? ???
xxlgvlv d)(d ??? ???
积分得到 222 2 glgllv ??? ???
?
?? glglv ??? 2
牛顿运动定律应用举例
利用牛顿第二定律建立运动方程：
)(dd xlgtvm ?? ???
要求出速度与位置的关系式, 利用速度定义式
消去时间
t
xxlgv
t
vm
d
d)(
d
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xxlgvlv d)(d ??? ???
积分得到 222 2 glgllv ??? ???
?
?? glglv ??? 2
(1)确定研究对象
(2)使用隔离法分析受力情况, 作出受力图
(3)分析运动情况, 判断加速度
(4)建立坐标系, 根据牛顿第二运动定律列方程
(5)求解，进行讨论
解题步骤：
两类力学问题：
?已知力求运动
?已知运动求力
1,常力作用下的连结体问题
例题 2-1 电梯中的连接体
例题 2-2 小车上的摆锤
例题 2-3 圆锥摆
2,变力作用下的单体问题
例题 2-4 小球在水中竖直沉降的速度
例题 2-5 细棒在水中的沉降速度
牛顿运动定律应用举例
牛顿运动定律应用举例
例题 2-1 设电梯中有一质量可以忽略的滑轮, 在滑轮两侧
用轻绳悬挂着质量分别为 m1和 m2的重物 A和 B,已知
m1>m2 。 当电梯 (1)匀速上升, (2)匀加速上升时, 求绳中
的张力和物体 A相对与电梯的加速度 。
ra
ra
m1
m2
o
y
1a m1 2a m2
gm1 gm2
T T
解, 以地面为参考系, 物体 A和 B为研究对象, 分别
进行受力分析 。
物体在竖直方向运动，建立坐标系 oy
(1)电梯匀速上升, 物体对电梯的加速度等于它们对
地面的加速度 。 A的加速度为负, B的加速度为正,
根据牛顿第二定律, 对 A和 B分别得到：
牛顿运动定律应用举例
r11 amgmT ???
r22 amgmT ??
上两式消去 T，得到：
g
mm
mma
21
21
r ?
??
g
mm
mmT
21
212
?
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将 ar代入上面任一式 T，得到：
牛顿运动定律应用举例
(2)电梯以加速度 a上升时, A对地 的加速度 a-ar,B
的对地的加速度为 a+ar,根据牛顿第二定律, 对 A
和 B分别得到：
)( r11 aamgmT ???
)( r22 aamgmT ???
解此方程组得到：
)(
21
21
r gamm
mma ?
?
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)(2
21
21 ga
mm
mmT ?
?
?
牛顿运动定律应用举例
讨论：
由 (2)的结果，令 a=0，即得到的结果 g
mm
mma
21
21
r ?
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?
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由 (2)的结果，电梯加速下降时,a<0，即得到
)(
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21
21 ag
mm
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?
?
牛顿运动定律应用举例
讨论：
由 (2)的结果，令 a=0，即得到的结果 g
mm
mma
21
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21
212
?
?
由 (2)的结果，电梯加速下降时,a<0，即得到
)(
21
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21 ag
mm
mmT ?
?
?
牛顿运动定律应用举例
例题 2-2 一个质量为 m,悬线长度为 l的摆锤, 挂在架子上,
架子固定在小车上, 如图所示 。 求在下列情况下悬线的方
向 (用摆的悬线与竖直方向所成的角 ?表示 )和线中的张力：
(1)小车沿水平方向以加速度 a1作匀加速直线运动 。
(2)当小车以加速度 a2沿斜面 (斜面与水平面成 ?角 )向上作
匀加速直线运动 。
m
l
m
l
? a1
?
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m
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牛顿运动定律应用举例
o
y
x
m
1T
?
解,(1)以小球为研究对象, 当小车沿水平方向作
匀加速运动时, 分析受力：
在竖直方向小球加速度为零, 水平
方向的加速度为 a。 建立图示坐标系：
利用牛顿第二定律，列方程：
x方向：
y方向：
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1 ?? mgT ?
解方程组，得到：
,tg 1
g
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?
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牛顿运动定律应用举例
y
x
o
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m
2T
???
?
(2)以小球为研究对象, 当小车沿斜面作匀加速运
动时, 分析受力：
小球的加速度沿斜面向上, 垂直
于斜面处于平衡状态, 建立图示坐标
系, 重力与轴的夹角为 ?。
利用牛顿第二定律，列方程：
x方向：
y方向：
22 s i n)s i n ( mamgT ???? ???
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求解上面方程组，得到：
牛顿运动定律应用举例
?? 22222 co s)s i n( gagmT ???
22222 s i n2 gagam ??? ?
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g
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讨论：如果 ?=0,a1=a2,则实际上是小车在水平
方向作匀加速直线运动；如果 ?=0,加速度为零,
悬线保持在竖直方向 。
牛顿运动定律应用举例
?? 22222 co s)s i n( gagmT ???
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g
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讨论：如果 ?=0,a1=a2,则实际上是小车在水平
方向作匀加速直线运动；如果 ?=0,加速度为零,
悬线保持在竖直方向 。
牛顿运动定律应用举例
例题 2-3 一重物 m用绳悬起, 绳的另一端系在天花板上,
绳长 l=0.5m,重物经推动后, 在一水平面内作匀速率圆
周运动, 转速 n=1r/s。 这种装置叫做圆锥摆 。 求这时绳
和竖直方向所成的角度 。
g?m
o x
y
g?m
T?
?sinT
?cosT
m
?
解,绳以小球为研究对象,
对其进行受力分析：
T?小球的运动情况, 竖直
方向平衡, 水平方向作匀速
圆周运动, 建立坐标系如图：
拉力的沿两轴进行分解,
竖直方向的分量与重力平衡,
水平方向的分力提供向心力 。
利用牛顿定律, 列方程：
牛顿运动定律应用举例
rmT 2s in ?? ? ?? s in2 lm?
mgT ??c o s
x方向
y方向
由转速可求出角速度,n?? 2?
lmT 2?? mln 224??
ln
g
224co s ?? ? 5.04
8.9
2 ?? ? 4 9 7.0?
3160 ?? ??
求出拉力：
可以看出, 物体的转速 n愈大, ?也愈大,
而与重物的质量 m无关 。
牛顿运动定律应用举例
rmT 2s in ?? ? ?? s in2 lm?
mgT ??c o s
x方向
y方向
由转速可求出角速度,n?? 2?
lmT 2?? mln 224??
ln
g
224co s ?? ? 5.04
8.9
2 ?? ? 4 9 7.0?
3160 ?? ??
求出拉力：
可以看出, 物体的转速 n愈大, ?也愈
大, 而与重物的质量 m无关 。
牛顿运动定律应用举例
例题 2-4 计算一小球在水中竖直沉降的速度 。 已知小
球的质量为 m,水对小球的浮力为 B,水对小球的粘性
力为 R=-Kv,式中 K是和水的粘性, 小球的半径有关的
一个常量 。
m
B?
R?
g?m
解,以小球为研究对象，分析受力：
小球的运动在竖直方向, 以向
下为正方向, 根据牛顿第二定律,
列出小球运动方程：
maRBmg ???
牛顿运动定律应用举例
m
KvBmg
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小球的加速度
最大加速度为,m
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极限速度为,K
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T
运动方程变为,m
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牛顿运动定律应用举例
分离变量，积分得到：
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作出速度 -时间函数曲线：
,??t Tvv ?
,/ Kmt ? T1T 632.0)1( vevv ??? ?
物体在气体或液体中的沉降
都存在极限速度。
牛顿运动定律应用举例
分离变量，积分得到：
t
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T
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T
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K
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v
Tv
T632.0 v
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作出速度 -时间函数曲线：
,??t Tvv ?
,/ Kmt ? T1T 632.0)1( vevv ??? ?
物体在气体或液体中的沉
降都存在极限速度。
牛顿运动定律应用举例
例题 2-5 有一密度为 ?的细棒, 长度为 l,其上端用细线悬
着, 下端紧贴着密度为 ??的液体表面 。 现悬线剪断, 求细
棒在恰好全部没入水中时的沉降速度 。 设液体没有粘性 。
x
l
B?
g?m
解,以棒为研究对象, 在下落的过程
中, 受力如图：
x
o
棒运动在竖直向下的方向, 取竖
直向下建立坐标系 。
当棒的最下端距水面距离为时 x，
浮力大小为：
xgB ? ??
此时棒受到的合外力为：
xgmgF ? ??? )( xlg ?? ???
牛顿运动定律应用举例
利用牛顿第二定律建立运动方程：
)(dd xlgtvm ?? ???
要求出速度与位置的关系式, 利用速度定义式
消去时间
t
xxlgv
t
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积分得到 222 2 glgllv ??? ???
?
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牛顿运动定律应用举例
利用牛顿第二定律建立运动方程：
)(dd xlgtvm ?? ???
要求出速度与位置的关系式, 利用速度定义式
消去时间
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积分得到 222 2 glgllv ??? ???
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