§ 2-5 第二定律积分形式一：动量定理
微分形式的牛顿第二定律是关于力与加速度的
瞬时关系, 对于中间的每个过程必须考虑 。 某些情
况下, 并不需要考虑中间过程, 可以由几个状态求
解问题 。 这时候, 采用积分形式的牛顿第二定律更
有效 。 这就是动量定理与动能定理 。
1,动量定理
重写牛顿第二定律的微分形式
?? ? 2
1
2
1
dd pp pF ?? ??tt t
考虑一过程，时间从 t1-t2，两端积分
pF ?? dd ?t
12 pp
?? ??
航天飞机
动量定理
左侧积分表示力对时间的累积量，叫做 冲量 。
?? 21 dtt tFI ??
于是得到积分形式
12 ppI
??? ??
这就是 动量定理, 物体在运动过程中所受到
的合外力的冲量, 等于该物体动量的增量 。
动量定理的几点说明：
(1)冲量的方向：
冲量 的方向一般不是某一瞬时力 的方向，
而是所有元冲量 的合矢量 的方向 。
I? iF?
tF d? ?
2
1 d
t
t tF
?
(2)在直角坐标系中将矢量方程改为标量方程
xx
t
t xx mvmvtFI 12
2
1 d ??? ?
yy
t
t yy mvmvtFI 12
2
1 d ??? ?
zz
t
t zz mvmvtFI 12
2
1 d ??? ?
(3)动量定理在打击或碰撞问题中用来求平均力。
t2t1t
?F
F
动量定理
打击或碰撞, 力 的方向保
持不变, 曲线与 t轴所包围的面积
就是 t1到 t2这段时间内力 的冲量
的大小, 根据改变动量的等效性,
得到平均力 。
F?
F?
(4)对于多个质点组成的质点系，不考虑内力。
(5)动量定理是牛顿第二定律的积分形式，因此其
使用范围是惯性系。
(6)动量定理在处理变质量问题时很方便。
动量定理
例题 2-6 质量 M=3t 的重锤, 从高度
h=1.5m处自由落到受锻压的工件上, 工
件发生形变 。 如果作用的时间 (1)?=0.1s，
(2)?=0.01s。 试求锤对工件的平均冲力 。 h
N?
g?M
解,以重锤为研究对象, 分析受力,
作受力图：
动量定理
解法一,锤对工件的冲力变化范围很大, 采用
平均冲力计算, 其反作用力用平均支持力代替 。
在竖直方向利用动量定理，取竖直向上为正。
0)( MvMvMgN ??? ?
末状态动量为 0初状态动量为 ghM 2
ghMMgN 2)( ??? ?得到
?/2 ghMMgN ??解得
代入 M,h,?的值，求得：
(1) )1.0/5.18.928.9(103 3 ??????N
牛顿51092.1 ??
动量定理
)01.0/5.18.928.9(103 3 ??????N
牛顿6109.1 ??
(2)
解法二,考虑从锤自由下落到静止的整个过
程, 动量变化为零 。
重力作用时间为 gh /2??
支持力的作用时间为 ?
根据动量定理, 整个过程合外力的冲量为零, 即
0)/2( ??? ghMgN ??
得到解法一相同的结果 ?/2 ghMMgN ??
动量定理
例题 2-7 一绳跨过一定滑轮, 两端分别拴有质量为 m及
的 M物体 A和 B,M大于 m。 B静止在地面上, 当 A自由下
落距离 h后, 绳子才被拉紧 。 求绳子刚被拉紧时两物体
的速度, 以及能上升的最大高度 。
M
m
B
A
h
解,以物体 A和 B为系统作为
研究对象, 采用隔离法分析受
力, 作出绳拉紧时的受力图：
A
g?m
1T
?
B
g?M
2T
?
绳子刚好拉紧前的瞬间,
物体 A的速度为：
ghv 2?
取竖直向上为正方向。
动量定理
绳子拉紧后, 经过短暂时间的作用, 两物体速
率相等, 对两个物体分别应用动量定理, 得到：
)()( 1 mvmVtmgT ????? ?
0)( 2 ??? mVtMgT ?
忽略重力, 考虑到绳不可伸长, 有,21 TT ?
解得,mM
ghmV
??
2
当物体 B上升速度为零时，达到最大高度
02 2 ?? VaH
gmM mMa ??? 22
2
mM
hmH
??
2,变质量物体的运动方程
物体 m与质元 dm在 t时刻的速度以及在 t+dt时
刻 合并后的共同速度如图所示：
m dm
v?
u?
t tt d?
m+dm
vv ?? d?
F?
把物体与质元作为系统考虑, 初始时刻与末时
刻的动量分别为：
uv ?? mm d?
初始时刻
)d)(d( vv ?? ?? mm
末时刻
动量定理
变质量问题
对系统利用动量定理
uvvv ???? mmmm d)d)(d( ???? tdF??
vvv ??? mmm dddd ??tdF??
略去二阶小量，两端除 dt
Fuv ??? ?? tmmt dd)(dd
变质量物
体运动微
分方程
值得注意的是, dm可正可负, 当 dm取负时,
表明物体质量减小, 对于火箭之类喷射问题,
u?tmdd 为尾气推力。
变质量问题
用火箭发射卫星
变质量问题
(1)确定研究系统
(2)写出系统动量表达式
(3)求出系统动量变化率
(4)分析系统受力
(5)应用动量定理求解
变质量问题的处理方法
例 1,匀加速提 柔软链条
例 2,装煤车的牵引力
变质量问题
(1) 确定研究系统
(2)写出系统动量表达式
(3)求出系统动量变化率
(4)分析系统受力
(5)应用动量定理求解
变质量问题的处理方法
例 1,匀加速提 柔软链条
例 2,装煤车的牵引力
变质量问题
例 1：一长为 l，密度均匀的柔软链条，其单位长度的质量
为 ?，将其卷成一堆放在地面上，如图所示。若用手握住
链条的一端，以加速度 a从静止匀加速上提。当链条端点
离地面的高度为 x时，求手提力的大小。
v?
a?
解,以链条为系统, 向上为 X正向, 地面为原点建立
坐标系 。
t时刻，系统总动量 xvP ??
t
xv
t
P
d
)(d
d
d ??
t
vx
t
xv
d
d
d
d ?? ??
axv ?? ?? 2 O
x
X
变质量问题
F?
axaxtP ?? ?? 2dd ax?3?
t时刻，系统受合外力
g?)( xl??
gxlNxgF )( ???? ??
xgF ???
t
PxgF
d
d?? ?
a?
O
x
X
g?x?
N?
系统动量对时间的变化率为：
根据动量定理，得到
ax?3?
xaxgF ?? 3??
变质量问题
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根据动量定理，得到
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变质量问题
例 2：列车在平直铁轨上装煤,列车空载时质量为 m0,煤炭
以速率 v1竖直流入车厢,每秒流入质量为 ?。 假设列车与轨
道间的摩擦系数为 ?,列车相对于地面的运动速度 v2保持不
变,求机车的牵引力 。
1v?
2v?
解,车和煤为系统,向下为 Y正向，
向左为 X正向，建立坐标系。
t?t+dt时刻,dm = ?dt
120 d)()( vvP ??
? ???? ttmt ??
20 )d()d( vP ?
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)()d(d ttt PPP ??? ??? td)( 1 ?vv 2 ?? ??
X
Y
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2v?
X
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变质量问题
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1d
d
t
P
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10 )( vNgtm ?? ????
fvF ??? 2?
Nv ?? ?? 2
)()( 120 vvgtm ???? ????
12 vv ?? ?? ??
gtmvN )( 01 ?? ???
竖直
水平
1v?
2v?
X
Y
变质量问题
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竖直
水平
微分形式的牛顿第二定律是关于力与加速度的
瞬时关系, 对于中间的每个过程必须考虑 。 某些情
况下, 并不需要考虑中间过程, 可以由几个状态求
解问题 。 这时候, 采用积分形式的牛顿第二定律更
有效 。 这就是动量定理与动能定理 。
1,动量定理
重写牛顿第二定律的微分形式
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1
2
1
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考虑一过程，时间从 t1-t2，两端积分
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航天飞机
动量定理
左侧积分表示力对时间的累积量，叫做 冲量 。
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于是得到积分形式
12 ppI
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这就是 动量定理, 物体在运动过程中所受到
的合外力的冲量, 等于该物体动量的增量 。
动量定理的几点说明：
(1)冲量的方向：
冲量 的方向一般不是某一瞬时力 的方向，
而是所有元冲量 的合矢量 的方向 。
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(2)在直角坐标系中将矢量方程改为标量方程
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(3)动量定理在打击或碰撞问题中用来求平均力。
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动量定理
打击或碰撞, 力 的方向保
持不变, 曲线与 t轴所包围的面积
就是 t1到 t2这段时间内力 的冲量
的大小, 根据改变动量的等效性,
得到平均力 。
F?
F?
(4)对于多个质点组成的质点系，不考虑内力。
(5)动量定理是牛顿第二定律的积分形式，因此其
使用范围是惯性系。
(6)动量定理在处理变质量问题时很方便。
动量定理
例题 2-6 质量 M=3t 的重锤, 从高度
h=1.5m处自由落到受锻压的工件上, 工
件发生形变 。 如果作用的时间 (1)?=0.1s，
(2)?=0.01s。 试求锤对工件的平均冲力 。 h
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解,以重锤为研究对象, 分析受力,
作受力图：
动量定理
解法一,锤对工件的冲力变化范围很大, 采用
平均冲力计算, 其反作用力用平均支持力代替 。
在竖直方向利用动量定理，取竖直向上为正。
0)( MvMvMgN ??? ?
末状态动量为 0初状态动量为 ghM 2
ghMMgN 2)( ??? ?得到
?/2 ghMMgN ??解得
代入 M,h,?的值，求得：
(1) )1.0/5.18.928.9(103 3 ??????N
牛顿51092.1 ??
动量定理
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牛顿6109.1 ??
(2)
解法二,考虑从锤自由下落到静止的整个过
程, 动量变化为零 。
重力作用时间为 gh /2??
支持力的作用时间为 ?
根据动量定理, 整个过程合外力的冲量为零, 即
0)/2( ??? ghMgN ??
得到解法一相同的结果 ?/2 ghMMgN ??
动量定理
例题 2-7 一绳跨过一定滑轮, 两端分别拴有质量为 m及
的 M物体 A和 B,M大于 m。 B静止在地面上, 当 A自由下
落距离 h后, 绳子才被拉紧 。 求绳子刚被拉紧时两物体
的速度, 以及能上升的最大高度 。
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解,以物体 A和 B为系统作为
研究对象, 采用隔离法分析受
力, 作出绳拉紧时的受力图：
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绳子刚好拉紧前的瞬间,
物体 A的速度为：
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取竖直向上为正方向。
动量定理
绳子拉紧后, 经过短暂时间的作用, 两物体速
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当物体 B上升速度为零时，达到最大高度
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2,变质量物体的运动方程
物体 m与质元 dm在 t时刻的速度以及在 t+dt时
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把物体与质元作为系统考虑, 初始时刻与末时
刻的动量分别为：
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动量定理
变质量问题
对系统利用动量定理
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略去二阶小量，两端除 dt
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变质量物
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值得注意的是, dm可正可负, 当 dm取负时,
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变质量问题
用火箭发射卫星
变质量问题
(1)确定研究系统
(2)写出系统动量表达式
(3)求出系统动量变化率
(4)分析系统受力
(5)应用动量定理求解
变质量问题的处理方法
例 1,匀加速提 柔软链条
例 2,装煤车的牵引力
变质量问题
(1) 确定研究系统
(2)写出系统动量表达式
(3)求出系统动量变化率
(4)分析系统受力
(5)应用动量定理求解
变质量问题的处理方法
例 1,匀加速提 柔软链条
例 2,装煤车的牵引力
变质量问题
例 1：一长为 l，密度均匀的柔软链条，其单位长度的质量
为 ?，将其卷成一堆放在地面上，如图所示。若用手握住
链条的一端，以加速度 a从静止匀加速上提。当链条端点
离地面的高度为 x时，求手提力的大小。
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解,以链条为系统, 向上为 X正向, 地面为原点建立
坐标系 。
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系统动量对时间的变化率为：
根据动量定理，得到
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xaxgF ?? 3??
变质量问题
例 2：列车在平直铁轨上装煤,列车空载时质量为 m0,煤炭
以速率 v1竖直流入车厢,每秒流入质量为 ?。 假设列车与轨
道间的摩擦系数为 ?,列车相对于地面的运动速度 v2保持不
变,求机车的牵引力 。
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解,车和煤为系统,向下为 Y正向，
向左为 X正向，建立坐标系。
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