§ 2-6 动能定理
1,功的概念
功是表示力对空间累积效应的物理量。
物体在力 的作用下发生一无限小的位移
(元位移 )时,此力对它做的功定义为,力在力的位移
上的投影和此元位移大小的乘积 。
F? r?d
r?d)c o s(d ?FA ?
其中 ?为力与位移的夹角 。 可以把上式写成两
个矢量的标积
rF ?? dd ??A
功是标量, 没有方向, 但有正负 。
当 0??<?/2时, dA>0,力对物体做正功 。
当 ??=?/2时, dA=0,力对物体不做功 。
当 ?/2??<?时, dA<0,力对物体做负功 。
功率, 力在单位时间内做的功，用 P 表示
t
AP
d
d?
td
d rF ?? ??
vF ?? ??
功率是反映力做功快慢的物理量 。 功率越大,
做同样的功花费的时间就越少 。
在国际单位制中, 功的单位是 N?m,叫做焦 (J)，
功率的单位是 J/s,叫做 W(瓦 )。
动能定理
2,能量
能量 是反映各种运动形式共性的物理量, 各种
运动形式的相互转化用能量来量度 。 各种运动形式
的相互转化遵循能量的转换和守恒定律 。
到十九世纪, 能量概念才逐步由力的概念中分
离出来 。 实际上, 只有在能量的转换和守恒定律发
现以后, 人们才认识功, 动能和势能的真实含义 。
二十世纪初, 爱因斯坦建立了狭义相对论, 得到了
,质能关系,, 进一步揭示能量和质量的相当性,
对于能量的认识才更深入了一步 。
与机械运动直接相关的能量是机械能。
动能定理
3,牛顿第二定律的又一积分形式
(1)变力的功
b
a
物体在变力的作
用下从 a运动到 b。
怎样计算这个力
的功呢？
采用微元分割法
动能定理
ii rF
?? ??
?iAΔ
?? ??? ?
i
i rF ii
i
ab AA
??
Δ
第 i 段近似功：
总功近似：
第 2段近似功：
第 1段近似功：
222 rFA
?? ????
111 rFA ?
? ????
??????
??????
1F
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2F
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4F
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b
a
3r
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1r
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2r
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动能定理
当 时,可用 表示,称为元位移 ;
用 表示,称为元功。0?? ir? r
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iA?
Ad
微分形式：
rFA ?
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dd ??
rr FF
i0r
i
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? dlim ?? ?? ???
??
b
aiab
A
积分形式：
rF
??
d???
b
aab
A
总功精确值：
在数学形式上, 力的功等于力 沿路径 L
从 a到 b的 线积分 。
F?
动能定理
(2)质点动能定理
根据功的积分形式
? ?? baabA rF ?? d?? ba τ sma d
22
2
1
2
1
ab mvmv ??
2
2
1 mvE
k ?定义质点的动能为：
stvmba ddd??
?? ba τ sF d
?? bavv vmv d
动能定理
kkakbab EEEA ????
质点动能定理,合外力对质点所做的功等于质
点动能的增量。
a.合力做正功时, 质点动能增大；反之, 质
点动能减小 。
d.功是一个过程量, 而动能是一个状态量,
它们之间仅仅是一个等量关系 。
b.动能的量值与参考系有关。
c.动能定理只适用于惯性系。
几点注意：
动能定理
多个质点组成的质点系, 既要考虑外力, 又
要考虑质点间的相互作用力 （ 内力 ） 。
1F
?
2F
?
12f
?
21f
?
m1 m2
二质点组成的
系统
多个质点组
成的系统
两个质点在外力及
内力作用下如图所示：
推
广
(3)质点系动能定理
动能定理
对 m1运用质点动能定理：
2
11
2
11
11211
2
1
2
1
dd
1
1
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ab
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1
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aabb
b
a
b
a
b
a
b
a
vmvmvmvm ????
??????? ???? rfrfrFrF
????????
作为系统考虑时，得到：
推广,上述结论适用多个质点。
动能定理
质点系动能定理,所有外力与所有内力对质点
系做功之和等于质点系总动能的增量。
动能定理
kkakb EEEAA ????? 内外
例题 2-10 装有货物的木箱, 重 G＝ 980N,要把它
运上汽车 。 现将长 l＝ 3m的木板搁在汽车后部, 构成一
斜面, 然后把木箱沿斜面拉上汽车 。 斜面与地面成 30o
角, 木箱与斜面间的滑动摩擦系数 ?=0.20,绳的拉力
与 斜 面 成 10o 角, 大 小 为 700N, 如图 (a) 所示 。
求,（ 1） 木箱所受各力所作的功； （ 2） 合外力对木箱
所作的功； （ 3） 如改用起重机把木箱直接吊上汽车能
不能少做些功？
300
F F
fr
G
N
100
(a) (b)
动能定理
rf
解,木箱所受的力为：拉力 F,方向与斜面成 100
角向上；重力 G，方向竖直向下；斜面对木箱的
支持力 N,方向垂直于斜面向上，斜面对木箱的
摩擦力 方向和斜面平行，与木箱运动方向相
反，如图 (b).已知 l=3m,每个力所作的功可计算如
下。
（ 1）拉力 F 所做的功 A1
JJFlA 31 1007.2985.0370010c o s ?????? ?
重力 所做的功 A2G
JJFlA 32 1047.15.0398060180c o s ?????? －）（－）－（ ??
动能定理
正压力 所做的功 A3N
090c o s3 ?? ?NlA
rf摩擦力 所作的功 A4；分析木箱的受力，由
于木箱在垂直于斜面方向上没有运动，根据牛顿第
二定律得
030c o s10s i n ??? ?? GFN
NFGN 7 2 710s i n30c o s ??? －＝
由此可求得摩擦力
NNNf r 1 4 57 2 720.0 ???? ?
JJlfA r 4353145180co s4 ??????＝
动能定理
因为重力和摩擦力在这里是阻碍物体运动的力
，所以它们对物体所作的功都是负值。
（ 2）根据合力所作功等于各分力功的代数和，算
出合力所作的功
JAAAAA 16 54321 ?????
JJFlA 31047.15.03098030s i n ??????? ?
（ 3）如改用起重机把木箱吊上汽车，这时所用拉力
至少要等于重力 。在这个拉力（ ）
的作用下，木箱移动的竖直距离是 。因此
拉力所作的功为
F? G NF 980'?ol 30sin
动能定理
它等于重力 所作的功，而符号相反（因为这时
合外力所作的功为零）。与（ 1）中 F 作的功相比
较，用了起重机能够少作功。我们还发现，虽然 F'
比 F 大，但所作的功 A'却比 A1为小，这是因为功的
大小不完全取决于力的大小，还和位移的大小及位
移与力之间的夹角有关。为了把木箱装上汽车，我
们所需要作的最小功等于克服重力所作的功，其大
小为 1.47× 103J,这对于斜面或是利用起重机甚至
其他机械都是一样的。机械不能省功，但能省力或
省时间，正是这些场合，使我们对功的概念的重要
性加深了认识。现在，在（ 1）中推力 F 所多作的
功
动能定理
起的是什么作用呢？我们说：第一，为了克
服摩擦力，用去 435J的功，它最后转变成热量；
第二，余下的 165J的功将使木箱的动能增加。
动能定理
JJJ 333 1060.01047.11007.2 ?????
例题 2-11 利用动能定理重做例题 2-5。
解,如图所示, 细棒下落过程中, 合外力对它作的
功为 glglgdxxldxBGA ll 22
00 2
1))( ???? ???????? ??
应用动能定理, 因初速
度为 0,末速度 v可求得如下
2222
2
1
2
1
2
1 lvmvglgl ??? ????
gllv ? ?? )2( ???
所得结果相同, 而现在
的解法无疑大为简便 。
x
x
?
l G
B ??
动能定理
例题 2-12 传送机通过滑道将长为 L,质量为 m的柔
软匀质物体以初速 v0向右送上水平台面, 物体前端
在台面上滑动 S距离后停下来 （ 如图 ） 。 已知滑道
上的磨擦可不计, 物与台面间的摩擦系数为 μ,而
且 S>L,试计算物体的初速度 v0。
L
v0
O x L s解,由于物体是柔软匀质的, 在物体完全滑上台面
之前, 它对台面的正压力可认为与滑上台面的质量
成正比, 所以, 它所受台面的摩擦力 fr是变化的 。
本题如果用牛顿定律的瞬时关系求加速度是不太方
便的 。 我们把变化的摩擦力表示为
动能定理
mgfLx
gx
L
m
fLx
r
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,
,0
当物体前端在 s处停止时, 摩擦力做的功为
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L
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再由动能定理得
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Lsmg ???? ?
动能定理
即得
)2(20 Lsgv ?? ?
动能定理
即得
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动能定理
1,功的概念
功是表示力对空间累积效应的物理量。
物体在力 的作用下发生一无限小的位移
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上的投影和此元位移大小的乘积 。
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功率, 力在单位时间内做的功，用 P 表示
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功率是反映力做功快慢的物理量 。 功率越大,
做同样的功花费的时间就越少 。
在国际单位制中, 功的单位是 N?m,叫做焦 (J)，
功率的单位是 J/s,叫做 W(瓦 )。
动能定理
2,能量
能量 是反映各种运动形式共性的物理量, 各种
运动形式的相互转化用能量来量度 。 各种运动形式
的相互转化遵循能量的转换和守恒定律 。
到十九世纪, 能量概念才逐步由力的概念中分
离出来 。 实际上, 只有在能量的转换和守恒定律发
现以后, 人们才认识功, 动能和势能的真实含义 。
二十世纪初, 爱因斯坦建立了狭义相对论, 得到了
,质能关系,, 进一步揭示能量和质量的相当性,
对于能量的认识才更深入了一步 。
与机械运动直接相关的能量是机械能。
动能定理
3,牛顿第二定律的又一积分形式
(1)变力的功
b
a
物体在变力的作
用下从 a运动到 b。
怎样计算这个力
的功呢？
采用微元分割法
动能定理
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第 i 段近似功：
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动能定理
(2)质点动能定理
根据功的积分形式
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动能定理
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质点动能定理,合外力对质点所做的功等于质
点动能的增量。
a.合力做正功时, 质点动能增大；反之, 质
点动能减小 。
d.功是一个过程量, 而动能是一个状态量,
它们之间仅仅是一个等量关系 。
b.动能的量值与参考系有关。
c.动能定理只适用于惯性系。
几点注意：
动能定理
多个质点组成的质点系, 既要考虑外力, 又
要考虑质点间的相互作用力 （ 内力 ） 。
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二质点组成的
系统
多个质点组
成的系统
两个质点在外力及
内力作用下如图所示：
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(3)质点系动能定理
动能定理
对 m1运用质点动能定理：
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动能定理
质点系动能定理,所有外力与所有内力对质点
系做功之和等于质点系总动能的增量。
动能定理
kkakb EEEAA ????? 内外
例题 2-10 装有货物的木箱, 重 G＝ 980N,要把它
运上汽车 。 现将长 l＝ 3m的木板搁在汽车后部, 构成一
斜面, 然后把木箱沿斜面拉上汽车 。 斜面与地面成 30o
角, 木箱与斜面间的滑动摩擦系数 ?=0.20,绳的拉力
与 斜 面 成 10o 角, 大 小 为 700N, 如图 (a) 所示 。
求,（ 1） 木箱所受各力所作的功； （ 2） 合外力对木箱
所作的功； （ 3） 如改用起重机把木箱直接吊上汽车能
不能少做些功？
300
F F
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(a) (b)
动能定理
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解,木箱所受的力为：拉力 F,方向与斜面成 100
角向上；重力 G，方向竖直向下；斜面对木箱的
支持力 N,方向垂直于斜面向上，斜面对木箱的
摩擦力 方向和斜面平行，与木箱运动方向相
反，如图 (b).已知 l=3m,每个力所作的功可计算如
下。
（ 1）拉力 F 所做的功 A1
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于木箱在垂直于斜面方向上没有运动，根据牛顿第
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动能定理
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动能定理
它等于重力 所作的功，而符号相反（因为这时
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比 F 大，但所作的功 A'却比 A1为小，这是因为功的
大小不完全取决于力的大小，还和位移的大小及位
移与力之间的夹角有关。为了把木箱装上汽车，我
们所需要作的最小功等于克服重力所作的功，其大
小为 1.47× 103J,这对于斜面或是利用起重机甚至
其他机械都是一样的。机械不能省功，但能省力或
省时间，正是这些场合，使我们对功的概念的重要
性加深了认识。现在，在（ 1）中推力 F 所多作的
功
动能定理
起的是什么作用呢？我们说：第一，为了克
服摩擦力，用去 435J的功，它最后转变成热量；
第二，余下的 165J的功将使木箱的动能增加。
动能定理
JJJ 333 1060.01047.11007.2 ?????
例题 2-11 利用动能定理重做例题 2-5。
解,如图所示, 细棒下落过程中, 合外力对它作的
功为 glglgdxxldxBGA ll 22
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应用动能定理, 因初速
度为 0,末速度 v可求得如下
2222
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所得结果相同, 而现在
的解法无疑大为简便 。
x
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动能定理
例题 2-12 传送机通过滑道将长为 L,质量为 m的柔
软匀质物体以初速 v0向右送上水平台面, 物体前端
在台面上滑动 S距离后停下来 （ 如图 ） 。 已知滑道
上的磨擦可不计, 物与台面间的摩擦系数为 μ,而
且 S>L,试计算物体的初速度 v0。
L
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之前, 它对台面的正压力可认为与滑上台面的质量
成正比, 所以, 它所受台面的摩擦力 fr是变化的 。
本题如果用牛顿定律的瞬时关系求加速度是不太方
便的 。 我们把变化的摩擦力表示为
动能定理
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