第六章 扩散
Diffusion
在固体中，原子或分子的迁移只能靠扩散
来进行，因而研究扩散特别重要。物质内
部的原子依靠热运动使其中能量高的部分
脱离束缚跳迁至新的位置，发生原子迁移。
大量的原子迁移造成物质的宏观流动称做
扩散。扩散是物质中原子（或分子）的迁
移现象，是物质传输的一种形式。
第一节 扩散第一定律
Fick’s First Law
一、扩散现象
两块不同浓度的金属焊在一起，在高温下保温，过一段时间，
发现浓度分布发生变化。
浓度
距离 x
x
C=C2 C=C1
C2>C1
C1
C2 原始状态
二、菲克第一定律 （ Fick –1855）
菲克（ A,Fick）于 1855年通过实验得出了关于稳定态扩散的
第一定律，即在扩散过程中，在单位时间内通过垂直于扩散方向
的单位截面积的扩散流量 J与浓度梯度 dC/dx成正比。其数学表达
式为,
式中,J为扩散流量； D为扩散系数； dC/dx为体积浓度梯度；
负号表示物质的扩散流方向与浓度梯度的方向相反。
dx
dCDJ ??
第二节 扩散的原子模型
Diffusion Model
如图, 设 1面和 2面的横截面积均为 A,分别含溶质原子 n1和 n2，
原子跳动频率均为 v,1,2之间晶面间距为 a,而且由晶面 1跳到
晶面 2及由晶面 2跳到晶面 1的几率 P相同, （ 如对简单立方 P=1/6）
则在时间间隔 dt内由晶面 1跳到晶面 2及由晶面 2跳到晶面 1的溶质
原子数分别为
N1-2=n1Pvdt N2-1= n2Pvdt
1 2
设 n1>n2,则及 2净增加的溶质原子摩尔数为
Jdt=（ n1－ n2） Pvdt 所以,J=（ n1－ n2） Pv
选用体积浓度 C=溶质摩尔数 /体积, 所以, 1面和 2面上的溶质原子体
积浓度分别为,C1=n1/a； C2=n2/a
而从连续分布来看, 2面上的溶质体积浓度又可表示为,
代入前面式中, 有,
所以,
与菲克第一定律对比，可知,D=a2Pv
adxdCCC ?? 12
2
12 adx
dCnn ??
dx
dCPvaPv)nn(J 2
21 ????
第三节 扩散第二定律
Fick’s Second Law
一、随时间变化的扩散方程
如图, 某一时间间隔 dt内流入和流出
微小体积的物质扩散流量分别为 J1和 J2,
横截面积为 A,由于,
物质在微小体积内的积存速率 =
也可用体积浓度的变化率来表示, 在微小体积 Adx内的物质积存速率
为,
dx
J1 J2
12 Jdxx
JJ ?
?
??
A d xxJAJAJ ????? 21
A d xtCt )C A d x( ?????
代入前式, 约去 Adx,有,
将扩散第一定律代入, 有,
若 D为常数，则,
这就是一维条件下的菲克第二定律。
对于三维问题, 有,
通常将扩散系数 D看成常数。
x
J
t
C
?
???
?
?
)xCD(ttC ???????
2
2
x
CD
t
C
?
??
?
?
)zCD(z)yCD(y)xCD(xtC zyx ?????????????????
扩散第二方程的解
主要介绍误差
函数解。主要适用于
无限长棒或半无限长
棒的扩散问题。
如图，其初始条件为,
t=0,x>0,C=C1,
x<0,C=C2,
边界条件为,
x=+∞ C=C1；
x=-∞ C=C2
浓
度
距离 x
x
C=C2 C=C1 C2>C1
C1
C2 原始状态
0
由
用特殊函数方法解偏微分 方程。假定
所以
代入,
解,
则,
上述积分函数称为误差函数 erf（ β ），其定义为,
2
2
x
CD
t
C
?
??
?
?
)z(C)Dtx(CC ?? 2
t
xz ?
dz
dC
t
z
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1
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BzdeAC z )D/z( ?? ? ?0 42
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? ?? ? ? ??? 0 22 de)(e r f
可以证明,erf（ ∞ ） =1； erf（ － β ） =－ erf（ β ）
代入初始条件,
t=0,x>0,C=C1,β =∞ ； x<0,C=C2,β =－ ∞
∵ erf(∞ )=1； ∴
代入,
解得,
代入原式,
式中可以看出, 在 x=0处, 保持不变 。
若考虑半无限长, 一端为固定浓度 C0,棒的原始浓度为 0,则该式变为,
举例：钢的渗碳
?? ? ?0 22 ??? de
BAC ' ?? 21 ? BAC ' ??? 22 ?
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2
2 21'
CCA ??
2
21 CCB ??
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2 21
CCC ??
)]2(1[2 0 Dtxe rfCC ??
前面介绍扩散的原子模型时, 只考虑了原子跳动频率, 但是原子跳
动是与温度有关的, 本节就是考虑原子跳动与温度的关系 。
考虑间隙固溶体的情况,
间隙原子扩散一般都是从一
个间隙位置跳动到另一个间
隙位置，即发生间隙扩散。
从 1跳到 2位置，需要挤开旁
边的两个原子，所以产生阻
力，形成所谓, 能垒,,只有
部分自由能超过 G2-G1的原子
才能发生跳动。
第四节 扩散与温度的关系
The Relation Between Diffusion and Temperature
1
2
根据麦克斯韦 —波尔兹曼定律, 在 N个溶质原子中, 自由能大于
G2的原子数为,
n（ G>G2） =Ne－ G2/kT
同样, 自由能大于 G1的原子数为,
n（ G>G1） = Ne － G1/kT
则,
由于 G1是处于平衡位置即最低自由能, 所以 n（ G>G1） = N,则上式
可以写成,n（ G>G2） =e－ （ G2-G1） /kT=e－ ΔG/kT
综合前面扩散第一定律的公式, 有,D=D0e－ ΔE/kT
这就是扩散系数与温度之间的关系。
G2
G1
1 2
位置
kTGGe
GGn
GGn /)(
1
2 12
)(
)( ???
?
?
Diffusion
在固体中，原子或分子的迁移只能靠扩散
来进行，因而研究扩散特别重要。物质内
部的原子依靠热运动使其中能量高的部分
脱离束缚跳迁至新的位置，发生原子迁移。
大量的原子迁移造成物质的宏观流动称做
扩散。扩散是物质中原子（或分子）的迁
移现象，是物质传输的一种形式。
第一节 扩散第一定律
Fick’s First Law
一、扩散现象
两块不同浓度的金属焊在一起，在高温下保温，过一段时间，
发现浓度分布发生变化。
浓度
距离 x
x
C=C2 C=C1
C2>C1
C1
C2 原始状态
二、菲克第一定律 （ Fick –1855）
菲克（ A,Fick）于 1855年通过实验得出了关于稳定态扩散的
第一定律，即在扩散过程中，在单位时间内通过垂直于扩散方向
的单位截面积的扩散流量 J与浓度梯度 dC/dx成正比。其数学表达
式为,
式中,J为扩散流量； D为扩散系数； dC/dx为体积浓度梯度；
负号表示物质的扩散流方向与浓度梯度的方向相反。
dx
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第二节 扩散的原子模型
Diffusion Model
如图, 设 1面和 2面的横截面积均为 A,分别含溶质原子 n1和 n2，
原子跳动频率均为 v,1,2之间晶面间距为 a,而且由晶面 1跳到
晶面 2及由晶面 2跳到晶面 1的几率 P相同, （ 如对简单立方 P=1/6）
则在时间间隔 dt内由晶面 1跳到晶面 2及由晶面 2跳到晶面 1的溶质
原子数分别为
N1-2=n1Pvdt N2-1= n2Pvdt
1 2
设 n1>n2,则及 2净增加的溶质原子摩尔数为
Jdt=（ n1－ n2） Pvdt 所以,J=（ n1－ n2） Pv
选用体积浓度 C=溶质摩尔数 /体积, 所以, 1面和 2面上的溶质原子体
积浓度分别为,C1=n1/a； C2=n2/a
而从连续分布来看, 2面上的溶质体积浓度又可表示为,
代入前面式中, 有,
所以,
与菲克第一定律对比，可知,D=a2Pv
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2
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第三节 扩散第二定律
Fick’s Second Law
一、随时间变化的扩散方程
如图, 某一时间间隔 dt内流入和流出
微小体积的物质扩散流量分别为 J1和 J2,
横截面积为 A,由于,
物质在微小体积内的积存速率 =
也可用体积浓度的变化率来表示, 在微小体积 Adx内的物质积存速率
为,
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12 Jdxx
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代入前式, 约去 Adx,有,
将扩散第一定律代入, 有,
若 D为常数，则,
这就是一维条件下的菲克第二定律。
对于三维问题, 有,
通常将扩散系数 D看成常数。
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扩散第二方程的解
主要介绍误差
函数解。主要适用于
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棒的扩散问题。
如图，其初始条件为,
t=0,x>0,C=C1,
x<0,C=C2,
边界条件为,
x=+∞ C=C1；
x=-∞ C=C2
浓
度
距离 x
x
C=C2 C=C1 C2>C1
C1
C2 原始状态
0
由
用特殊函数方法解偏微分 方程。假定
所以
代入,
解,
则,
上述积分函数称为误差函数 erf（ β ），其定义为,
2
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可以证明,erf（ ∞ ） =1； erf（ － β ） =－ erf（ β ）
代入初始条件,
t=0,x>0,C=C1,β =∞ ； x<0,C=C2,β =－ ∞
∵ erf(∞ )=1； ∴
代入,
解得,
代入原式,
式中可以看出, 在 x=0处, 保持不变 。
若考虑半无限长, 一端为固定浓度 C0,棒的原始浓度为 0,则该式变为,
举例：钢的渗碳
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BAC ' ?? 21 ? BAC ' ??? 22 ?
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2
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2 21
CCC ??
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前面介绍扩散的原子模型时, 只考虑了原子跳动频率, 但是原子跳
动是与温度有关的, 本节就是考虑原子跳动与温度的关系 。
考虑间隙固溶体的情况,
间隙原子扩散一般都是从一
个间隙位置跳动到另一个间
隙位置，即发生间隙扩散。
从 1跳到 2位置，需要挤开旁
边的两个原子，所以产生阻
力，形成所谓, 能垒,,只有
部分自由能超过 G2-G1的原子
才能发生跳动。
第四节 扩散与温度的关系
The Relation Between Diffusion and Temperature
1
2
根据麦克斯韦 —波尔兹曼定律, 在 N个溶质原子中, 自由能大于
G2的原子数为,
n（ G>G2） =Ne－ G2/kT
同样, 自由能大于 G1的原子数为,
n（ G>G1） = Ne － G1/kT
则,
由于 G1是处于平衡位置即最低自由能, 所以 n（ G>G1） = N,则上式
可以写成,n（ G>G2） =e－ （ G2-G1） /kT=e－ ΔG/kT
综合前面扩散第一定律的公式, 有,D=D0e－ ΔE/kT
这就是扩散系数与温度之间的关系。
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G1
1 2
位置
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