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第 1章 随机变量
?第 1.1节 随机事件及其概率
?第 1.2节 条件概率与独立性及其应用
?第 1.3节 随机变量及其分布
?第 1.4节 随机变量的分布函数
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随机现象
⒈某人射击一次,考察命中情况 ;
⒉ 某人射击一次,考察命中环数 ;
⒊ 掷一枚硬币,观察向上的面 ;
⒋ 从一批产品中抽取一件,考察其质量 ;
……
确定性现象
⒈抛一石块,观察结局 ;
⒉ 导体通电,考察温度 ;
⒊ 异性电菏放置一起,观察其关系 ;
……
第 1.1节 随机事件及其概率
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随机现象
在条件相同的一系列重复观察中，会时而出现时而不
出现，呈现出不确定性，并且在每次观察之前不能准
确预料其是否出现，这类现象称之为随机现象。
随机现象的统计规律性
在相同条件下多次重复某一试验或观察时，其各种结
果会表现出一定的量的规律性，这种规律性称之为统
计规律性。
概率论与数理统计的研究对象
概率论与数理统计是研究随机现象统计规律性的一门
科学。随机现象的普遍存在性决定了它的广泛应用性。
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随机试验（ E） —对随机现象进行的试验与观察,
它具有三个特点,重复性,明确性,随机性,
样本点 (ω)—随机试验的每一个可能结果,
样本空间（ Ω） —全体样本点构 成的集合,
基本事件 —Ω的单元素子集，
即每个样本点构成的集合,
随机事件 —Ω的子集，常用 A,B,C… 表示,
必然事件 —（ Ω）
不可能事件 —（ ）?
1,随机事件
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注意
(1) 在一次试验中,某个事件可能出现也可能不出现；
(2) 在一次试验中，有且仅有一个基本事件出现,
例如 掷一颗质地均匀的骰子,观察其出现的点数,
,),6,,2,1( 为样本点则表示出现的点数为设 ii ii ?? ??
记 A=―出现奇数点,
B=―点数大于零,
C=―点数大于 6‖
},,,{ 621 ??? ???
},,{ 531 ????
},,,{ 621 ??? ????
??
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写出下列各个试验的样本空间,
1 掷一枚均匀硬币，观察正面 (H)反面 (T)出现的情况；
2.将一枚硬币连抛三次，观察正面出现的情况；
3.某袋子中装有 5个球,其中 3个红球,编号 A,B,C,有
2 个黄球，编号 D,F，现从中任取一个球,观察颜色,
若是观察编号呢？
课堂练习
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4.袋中有编号为 1,2,3,…,n的球,从中任取一个,观察球
的号码；
5.从自然数 1,2,3,…,N(N≥ 3) 中接连随意取三个,每取
一个还原后再取下一个,若是不还原呢？若是一次就取三
个呢？
6.接连进行 n次射击,记录命中次数,若是记录 n次射击中
命中的总环数呢？
7.观察某条交通干线中某天交通事故的次数。
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事件的关系与运算
记号 概率论 集合论
Ω 样本空间,必然事件 空间,全集
φ 不可能事件 空集
ω 样本点 元素
A 事件 集合
A的对立事件 (逆事件 ) A的余 (补 )集A
事件之间的关系与运算完全和集合之间的关系与运算
一致，只是术语不同而已。
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,)1( BA ?
A是 B的子集,表示若 事件 A出现,事件 B一定出现,
),()2( BABA ??
A与 B的并 (和 ).表示 事件 A,B至少有一个出现,
),()3( ABBA ? A与 B的交 (积 ).表示 事件 A和 B同时出现,
,)4( ??? BA 表示事件 A和 B不能同时出现,称 A与 B互斥
（或互不相容）,
.,)5( ????? BABA 且?
表示事件 A和 B为 对立事件,记为,ABBA ?? 或
返回
,)6( BA ? 表示 事件 A出现,而事件 B不出现,且,BABA ??
,)7( BABA ??? 表示 事件 A和事件 B都不出现,
,)8( BABA ??? 表示 事件 A和事件 B至少有一个不出现,
注 以上结果可推广为
i
n
ii
n
ii
n
ii
n
i
AAAA
1111
,
????
??????
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1.设事件 A={甲种产品畅销，乙种产品滞销 }，
则 A的对立事件为（ ）
①甲种产品滞销，乙种产品畅销；
②甲、乙两种产品均畅销；
③甲种产品滞销；
④甲种产品滞销或者乙种产品畅销。
2.设 x表示一个沿数轴做随机运动的质点位
置，试说明下列各对事件间的关系
① A={|x-a|＜ σ },B={x-a＜ σ }(σ >0）
② A={x＞ 20},B={x≤20}
③ A={x＞ 22},B={x＜ 19}
课堂练习
④
AB ?
A与 B对立
A与 B互斥
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例 1.1.1 设 A,B,C为任意三个事件,试用它们表
示下列事件,
(1) A,B出现,C不出现；
(2) A,B,C中恰有一个出现；
(3) A,B,C中至多有一个出现；
(4) A,B,C中至少有一个出现,
解,)1( CAB
CBACBACBA ??)2(
CBACBACBACBA ???)3(
CBACBA ???)4(
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(1)古典概型
设 Ω 为试验 E的样本空间，若
①（ 有限性 ） Ω 只含有限个样本点，
②（ 等概性 ）每个基本事件出现的可能性相等，
则称 E为 古典概型 。
(2)古典概型概率的定义
n
k?
?? 中样本点总数样本空间
中包含的样本点数事件 AP ( A )
设 E为古典概型,Ω 为 E的样本空间,A为任意一个事件，
定义事件 A的概率为
2,随机事件的概率
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(1) 古典概型的判断方法，
(2) 古典概率的计算步骤：
①弄清试验与样本点 ;
②数清样本空间与随机事件中的样本点数 ;
③ 列出比式进行计算。
注意,
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(3)复习
排列与组合
① 非重复的选排列 从 n个不同元素中,每次取出 k个
不同的元素,按一定的顺序排成一列称为选排列,选排
列的种数记作
)1kn()2n)(1n(nP kn ????? ?
② 组合 从 n个不同的元素中,每次取出 k(k<n)个不
同的元素,与元素的顺序无关组成一组叫作组合,其
组合数用 表示,其中k
nC
!k/PC knkn ?
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加法原理
完成某件事情有 n类方法,在第一类方法中有 m1种方
法,在第二类方法中有 m2种方法,依次类推,在第 n类方
法中有 mn种方法,则完成这件事共有 N=m1+m2+…+m n
种不同的方法,其中各类方法彼此独立,
乘法原理
完成某件事情需先后分成 n个步骤,做第一步有 m1种方
法,第二步有 m2种方法,依次类推,第 n步有 mn种方法,则
完成这件事共有 N=m1× m2× … × mn种不同的方法,特
点是各个步骤连续完成,
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例如
两批产品各 50件,其中次品各 5件,从这两批产品中各
抽取 1件,
(1)两件都不是次品的选法有多少种?
(2)只有一件次品的选法有多少种?
解 (1) 用乘法原理,结果为
2145145 45,?CC
(2)结合加法原理和乘法原理得选法为,
4 5 04552C.CC.C 1514514515 ?????
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例 1.1.2 箱中有 6个灯泡,其中 2个次品 4个正品,有放回
地从中任取两次,每次取一个,试求下列事件的概率：
（ 1） 取到的两个都是次品 ;（ 2） 取到的两个中正、次
品各一个,（ 3） 取到的两个中至少有一个正品,
解 设 A ={取到的两个都是次品 },B={取到的两个中正、
次品各一个 },C={取到的两个中至少有一个正品 }.
（ 1）样本点总数为 62，事件 A包含的样本点数为 22，
所以 P(A)=4/36=1/9
（ 2）事件 B包含的样本点数为 4× 2+2× 4=16，
所以 P（ B） =16/36=4/9
（ 3）事件 C包好的样本点数为 62-2× 2=32，
所以 P(C )=32/36=8/9思考①若改为无放回地抽取两次呢?
② 若改为一次抽取两个呢？
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设 P(A)为事件的实函数,若 P(A)满足
① 非负性 0≤P(A)≤1;
② 规范性 P(Ω)=1,P(φ)=0;
③ 可加性
??
?
?
?
?
???
?
11
)()(),,(
,),2,1(
i
ii
i
ji
i
APAPjiAA
iA
则即
组是两两互不相容的事件若
?
?
则称 P(A)为 概率的公理化定义,
3,概率的公理化定义
由于实际问题的不同和处理问题的角度不同,有很多计算
随机事件概率的方法,但它们都要求具有下面三个基本性
质,
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概率的重要性质
(1)P(φ)=0,P(Ω)=1，逆不一定成立,
(2)若 AB=φ,则 P(A+B)=P(A)+P(B),可推广 到有限个互斥事
件的情形,即,若 A1,A2,…,A n两两互斥,则
P(A1+A2+…+A n)=P(A1)+P(A2)+…+P(A n)
(3)P(A-B)=P(A)-P(AB),P(Ω-A)=1-P(A).
若 A是 B的子事件,则 P(B-A)=P(B)-P(A)； P(A)≤P(B);
(4)P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB),
P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC)
可推广到有限个事件的情形,
证明 (3) A=(A-B)+AB,A-B和 AB为互斥事件,所以由 (2)得
P(A)=P(A-B)+P(AB),即 P(A-B)=P(A)-P(AB).
P(A+ )=P[A+(B-AB)]证明 (4) =P(A)+P(B-AB)
=P(A)+P(B)-P(AB) 类似可证其他,
返回
得,P(B)=P(A+B)-P(A)=0.8-0.6=0.2，
例 1.1.3 AB=φ,P(A)=0.6,P(A+B)=0.8，
求 B的逆事件的概率。
所以,P（ ） =1-0.2=0.8B
解 由 P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)=P(A)+P(B)
思考 在以上条件下,P（ A-B） =？
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例 1.1.4 设事件 A发生的概率是 0.6,A与 B都发生的
概率是 0.1,A与 B都不发生的概率为 0.15,
求 A发生 B不发生的概率； B发生 A不发生的概率及 P(A+B).
解 由已知得,P(A)=0.6,P(AB)=0.1,P( )=0.15，BA
则 P(A-B)=P(A-AB)=P(A)-P(AB)=0.5
P(B-A)=P(B)-P(AB）
P（ A+B） =1-P（ ） =1-P（ )=0.85BA? BA
又因为 P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB),所以，
P(B)=P(A+B)-P(A)+P(AB)=0.85-0.6+0.1=0.35
从而,P(B-A)=0.35-0.1=0.25
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1,P(A)=0.4,P(B)=0.3,P(A+B)=0.6,求 P(A-B).
2,P(A)=0.7,P(A-B)=0.3，求 P(Ω-AB)
解 (1)P(AB)=P(A)+P(B)- P(A+B) =0.1,
所以 P(A-B)=P(A)-P(AB)=0.3
(2)P(Ω-AB)=1-P(AB)=1-[P(A)-P(A-B)]
=1-0.7+0.3=0.6
课堂练习
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3,P(A)=P(B)= P(C)=1/4,P(AB)=0，
P(AC)=P(BC)=1/6，求 A,B,C都不出现的概率。
4,A,B都出现的概率与 A,B 都不出现的概率相等，
P(A)=p，求 P(B).
解 (3) P( )=P( )=1-P(A+B+C)=7/12CBA CBA ??
(4)P(AB)=P( )=P( )
=1-P(A+B)=1-P(A)-P(B)+P(AB),
BA BA ?
所以,P(B)=1-P(A)=1-p
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第 1.2节 条件概率与独立性及其应用
例如 在 10个产品中有 7个正品,3个次品,按不放回抽样,
每次一个,抽取两次,已知第一次取到次品，第二次又
取到次品的概率。
解 设第一次取到次品为事件 A,第二次又取到次品为事
件 B,记所求概率为 P(B|A),则
9
2)|( ?ABP )(
)(
10
3
910
23
AP
ABP
??
?
?
1.条件概率与独立性
返回
注意 (1)P(B|A)是在 改变了的样本空间下 考虑概率值,
(2)条件概率 P(B|A)满足概率的三条公理,
(3) P(B|Ω)=P(B); P(B|B)=1;
(4) 若 B1,B2互不相容,则有,
P[(B1+B2)|A]=P(B1|A)+P(B2|A)
(5) P( |A)=1-P(B|A)B
定义 对于两个事件 A,B,若 P(A)＞ 0,则称
P(B|A） =P（ AB） /P（ A）
为事件 A出现的条件下，事件 B出现的 条件概率 。
在计算条件概率时,一般有两种方法,
(1) 由条件概率的公式 ;
(2) 由 P(B|A)的实际意义,按古典概型计算,
(1) 条件概率
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例 1.2.1 一批产品 100件 ?
70件正品
30件次品
?
甲厂生产 40件
乙厂生产 30件
?
甲厂生产 20件
乙厂生产 10件
从中任取 1件,记 A=―取到正品”,B=―取到甲厂产品”,
试计算 P(A),P(B),P(AB),P(B|A),P(A|B).
解 7.0
1 00
70)( ??AP 6.0
1 00
60)( ??BP
4.010 040)( ??ABP
7
4
70
40)|( ??ABP
3
2
60
40)|( ??BAP
返回
对于两个事件 A与 B，
若 P(A)>0,则有 P(AB)=P(A)P(B|A),
若 P(B)>0,则有 P(AB)=P(B)P(A|B),
推广情形
对 于 n 个 事 件 A1,A2,…,A n,若 P ( A1A2…A n-1 ) > 0，
则 有 P ( A1A2…A n)
=P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)…P(A n|A1A2…A n-1)
若 P(AB)＞ 0,则有 P(ABC)=P(A)P(B|A)P(C|AB)
乘法法则一般用于计算 n个事件同时发生的概率
(2) 乘法公式
返回
B=B1+B2,P(B1)=0.2,P(A| )=0.3,P(B2| )=0.4，1B AB
1
所以,P(A)=P( A)=P( )P(A| )=0.8× 0.3=0.24，
1B 1B 1B
例 1.2.2 假设在空战中,若甲机先向乙机开火,击落乙机
的概率是 0.2;若乙机未被击落,进行还击击落甲机的概率
为 0.3;若甲机亦未被击落,再次进攻,击落乙机的概率是
0.4,分别计算这几个回合中甲、乙被击落的概率。
解 设 A={甲机被击落 },B={乙机被击落 },B1={乙机第一次
被击落 },B2={乙机第二次被击落 }，
,BABA,B 211 ??
P(B2)=P( B2)= P( )P( | )P(B2| )AB
1 AB11B A 1B
=0.8× 0.7× 0.4=0.224
P(B)=P(B1)+P(B2)=0.2+0.224=0.424
由题意得,B1.B2互斥，
返回
例如 箱中装有 10件产品,7件正品,3件次品,甲买走 1件
正品,乙要求另开一箱,也买走 1件正品,
记甲取到正品为事件 A,乙取到正品为事件 B,则
10
7)()|( ?? BPABP
由乘法公式即得
P(AB)=P(A)P(B)
从问题的实际意义理解，就是说事件 A和事件 B出现
的概率彼此不受影响,
(3) 事件的独立性
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定义 若事件 A与 B满足 P(AB)=P(A)P(B),
则称 A与 B相互独立，简称 A与 B独立 。
推论 1 A.B为两个事件,若 P(A)>0,
则 A与 B独立等价于 P(B|A)=P(B).
若 P(B)>0,
则 A与 B独立等价于 P(A|B)=P(A).
证明,A.B独立 <=>P(AB)=P(A)P(B|A)=P(A)P(B)
<=>P(B|A)=P(B)
注意 从直观上讲,A与 B独立就是其中任何一个事件出
现的概率不受另一个事件出现与否的影响,
返回
证明 不妨设 A.B独立,则
)B(P)A(P))B(P1)(A(P
)B(P)A(P)A(P)AB(P)A(P)BA(P)BA(P
???
??????
其他类似可证,
推论 2 在 A 与 B,与 B,A 与, 与 这四对事件中,若
有一对独立,则另外三对也相互独立。
A AB B
注意 判断事件的独立性一般有两种方法,
① 由定义判断,是否满足公式 ;
② 由问题的性质从直观上去判断,
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定义 (n个事件的相互独立性） 设有 n个事件
A1,A2,…,A n,若对任何正整数 m(2≤m≤n)以及
性质 若 n个事件相互独立，则
①它们积事件的概率等于每个事件概率的积,
②它们中的任意一部分事件换成各自事件的对立事
件后，所得的 n个事件也是相互独立的。
)()())
,1
2121
21
mm iiiiii
m
APAPAPAAAP
niii
??
?
（（
都有
?
?????
则称这 n个事件 相互独立,
若上式仅对 m=2成立,则称这 n个事件 两两独立,
注意 从直观上讲,n个事件相互独立就是其中任何一个事
件出现的概率不受其余一个或几个事件出现与否的影响,
返回
例 1.2.3 三个元件串联的电路中,每个元件发生断电的
概率依次为 0.3,0.4,0.6,且各元件是否断电相互独立,求
电路断电的概率是多少?
解 设 A1,A2,A3分别表示第 1,2,3个元件断电,
A表示电路断电,
则 A1,A2,A3相互独立,A= A1+A2+A3,
P(A)=P(A1+A2+A3)= )AAA(P1
321 ???
)A(P)A(P)A(P1 321??
=1-0.168=0.832
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课堂练习
2,甲,乙两人独立地对同一目标射击一 次,其命中率分别
为 0.6和 0.5,现已知目标被击中,则它是甲击中的概率为 ( )
2,设 A=甲击中,B=乙击中,C=目标被击中,所求
P(A|C)=P(AC)/P(C)=P(A)/[P(A)+P(B)-P(A)P(B)]
=0.6/0.8=3/4
解 1,
1,P(A)=0.6,P(A+B)=0.84,P( |A)=0.4,则 P(B)=( ).B
4.0)( )()()( )()( )()|( ?????? AP ABPAPAP BAPAP BAPABP
所以,P(AB)=0.36,又由 P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)得
P(B)=P(A+B)-P(A)+P(AB)=0.6
返回
例 1.2.4 设 10件产品中有 4件不合格品，从 中不放回取
两次，每次一件，求第二件为不合格品的概 率为多少？
解 设 A=第一次取得不合格品,B=第二次取得不合格品,则
)()()( BAPABPBP ??
=(4/10)× (3/9)+(6/10)× (4/9)
=6/15
)|()()|()( ABPAPABPAP ??
2,应用 — 全概率公式和 Bayes公式
返回
(1)全概率公式 设 Ω是随机试验 E的样本空间,事件组
A1,A2,…,A n满足：
),,2,1(0)(,)2(
);()1(
1
niAPA
jiAA
ii
n
i
ji
??????
??
?
?
则 对于任何一个事件 B,有
P(B)=P(A1)P(B|A1)+…+P(A n)P(B|An)
证明
)]()()[(
)]([)()(
21
21
n
n
BABABAP
AAABPBPBP
????
??????
?
?
)()()( 21 nBAPBAPBAP ???? ?
=P(A1)P(B|A1)+…+P(A n)P(B|An)
返回
例 1.2.5 市场上某种商品由三个厂同时供货,其供应量为,
甲厂是乙厂的 2倍,乙、丙两个厂相等,且各厂产品的次品
率分别为 2%,2%,4%,(1)求市场上该种商品的次品率,
(1) 设 Ai表示取到第 i 个工厂产品,i=1,2,3,B表示取到次品,
由题意得,P(A1)=0.5,P(A2)=P(A3)=0.25,
P(B|A1)=0.02,P(B|A2)=0.02,P(B|A3)=0.04
由全概率公式得,
)A|B(P)A(P)B(P i
3
1i
i?
?
? =0.025
即市场上该种商品的次品率为 2.5%.
解
返回
例 1.2.5 市场上某种商品由三个厂家同时供货,其供应量为,
甲厂家是乙厂家的 2倍,乙,丙两个厂家相等,且各厂产品的
次品率为 2%,2%,4%,(1)求市场上该种商品的次品率,
(2)若从市场上的商品中随机抽取一件,发现是次品,求它
是甲厂生产的概率,
解 (2)
分析 所求为条件概率 P(A1|B)=P(A1B)/P(B).
?
?
?? 3
1
111
1
)|()(
)|()(
)(
)(
)|(
i
ii ABPAP
ABPAP
BP
BAP
BAP =0.4
即抽取到的次品是甲厂生产的概率为 0.4.
返回
),...,2,1(
)|()(
)|()(
)|(
1
nj
ABPAP
ABPAP
BAP n
i
ii
jj
j ??
?
?注意
1.以上两个公式中的 A1,A2,...,An可以看作是导致
事件 B出现的因素 ;
2.P(Aj|B)一般称为, 后验概率, ;Bayes公式又
称为, 后验概率公式, 或, 逆概公式, ;P(Aj)对
应可以称为, 先验概率,,
(2) 贝叶斯 (Bayes)公式 设 Ω是随机试验 E的样本空间,事
件组 A1,A2,…,A n满足，
),,2,1(0)(,)2(
);()1(
1
niAPA
jiAA
ii
n
i
ji
??????
??
?
?
则 对于任何一个正概率事件 B,有
返回
例 1.2.6 每箱产品有 10件,其中次品数从 0到 2是等可能的,开
箱检验时,从中依次抽取两件 (不重复 ),如果发现有次品,则
拒收该箱产品,试计算,(1)一箱产品通过验收的概率 ;(2)已知
该箱产品通过验收,则该箱产品中有 2个次品的概率,
".");2,1,0("" 该箱产品通过验收件次品箱中有设 ??? BiiA i解
);2,1,0(
3
1
)(,);(
2
0
???????
?
iAPAjiAA ii
i
ji 且则 ?
.)|(;)|(;1)|( 2
10
2
8
22
10
2
9
10 C
CABP
C
CABPABP ???
(1) P(B)= P(A0)P(B|A0) +P(A1)P(B|A1)+ P(A2)P(B|A2)
807.03131131 2
10
2
8
2
10
2
9 ???????
C
C
C
C
257.0
807.0
3
1
)(
)|()(
)|()2(
2
10
2
8
22
2 ?
?
??
C
C
BP
ABPAP
BAP
返回
例 1.2.7 某射手在相同条件下独立地进行 5次射击,每次击
中目标的概率是 0.6,求：概率最大的击中目标次数,
解 击中目标次数可能取值为 0,1,2,3,4,5,设 Bi(i=0,1,…,5)
表示击中目标 i次,事件 Ai表示第 i次射中,(i=1,2,...,5),
则 Ai (i=1,2,...,5)相互独立,
P(B0)= )AAAAA(P
54321
=(1-0.6)5 =0.45
P(B1)=
)
(
5432154321
543215432154321
AAAAAAAAAA
AAAAAAAAAAAAAAAP
??
??
=5× 0.6× (1-0.6)4
5005 )6.01(6.0C ????
4115 )6.01(6.0C ????
返回
例 1.2.7 某射手在相同条件下独立地进行 5次射击,每次击
中目标的概率是 0.6,求：概率最大的击中目标次数,
即 i5ii
5i 0, 6 )(1 0, 6 C)P( B ?????
(i=0,1,2,3,4,5)
类推得
P(B3) 233
5 )6.01(6.0C ????
P(B4) 144
5 )6.01(6.0C ????
P(B5) 055
5 )6.01(6.0C ????
P(B2) 322
5 )6.01(6.0C ????
解 击中目标次数可能取值为 0,1,2,3,4,5,设 Bi(i=0,1,…,5)
表示击中目标 i次,事件 Ai表示第 i次射中,(i=1,2,...,5),
则 Ai (i=1,2,...,5)相互独立,
返回
易计算：概率最大的击中目标次数为 3.
一般地：设射击次数为 n，每次射击击中
目标的概率为 p，则：
当（ n+1） p为整数时，概率最大
的击中目标次数为 (n+1)p和 (n+1)p-1;
当 （ n+1） p不为整数时，概率最大
的击中目标次数为 (n+1)p的整数部分,
返回
若某个试验由 n次基本试验构成,且具有以下特点,
(1) 每次基本试验有且只有两个可能结果：成功、失败 ;
(2) 每次基本试验中每个结果出现的概率不变 ;
(3) 基本试验之间相互独立 ;
(4) 在相同条件下,试验可以重复进行,
则称此试验为独立重复试验或贝努里 (Bernoulli)试验 ;由于
该试验由 n次基本试验构成,故亦称之为 n重贝努里试验,
贝努里公式 在 n重贝努里试验中,如果“成功”在每次
试验中出现的概率为 p,令 Bk=―在 n 次试验中“成功”
出现 k 次”,则
),,2,1,0()1()( nkppCBP knkknk ???? ?
返回
例 1.2.8 同时掷四颗均匀的骰子,试计算,
(1) 恰有一颗是 6点的概率 ;
(2) 至少有一颗是 6点的概率,
解 这是一个 4重贝努里试验,
掷每一颗骰子就是一个基本试验,
每次基本试验中 6点出现的概率是 1/6,所以
(1) 恰有一颗是 6点的概率为
(2) 至少有一颗是 6点的概率为
311
4
1411
4 )6
5()
6
1()
6
11()
6
1( CC ?? ?
4400
4
0400
4 )6
5(1)
6
5()
6
1(1)
6
11()
6
1(1 ?????? ? CC
返回
第 1.3节 随机变量及其分布
例 (1)随机地掷一颗骰子,ω表示所有的样本点,
ω,出现 1点 出现 2点 出现 3点 出现 4点 出现 5点 出现 6点
X(ω),1 2 3 4 5 6
(2)某人接连不断地对同一目标进行射击,直至射中为止，
ω表示射击次数，则
ω 射击 1次 射击 2次,....,射击 n次,.....
X(ω) 1 2,....,n,.....
(3) 某车站每隔 10分钟开出一辆公共汽车,旅客在任意时
间到达车站,ω表示该旅客的候车时间,
ω 候车时间
X(ω) [0,10]
1.随机变量
返回
特别 离散型
连续型
定义 设 E为随机试验,它的样本空间记为 Ω={ω},如果对
于每一个 ω都有实数 X(ω)与之对应,则称这个 定义在 Ω上的
实单值函数 X(ω)为随机变量,
随机变量一般用 X,Y,Z,或 ξ,η,ζ等表示,
?
取值为有限个和至多可列个的
随机变量,
可以取区间内一切值的随机变量,
例如 S=πR2中,其中 R为测量中的随机变量,
S为随机变量 R的函数,
此外,若 X是一个随机变量,则以 X为自变量的函数 Y=f(X)
称为 随机变量 X的函数,随机变量函数也是随机变量,
返回
2.离散型随机变量的概率分布
定义 设随机变量 X的一切可能取值为 x1,x2,...,xn,...,且
pn=P(X=xn),n=1,2,...,称此公式为 X的 概率分布或分布列,
或者 X x1 x2,.,xn,..
P p1 p2,.,pn,.,
性质 (1)pn≥0,n=1,2,..,； (2)p1+p2+...+pn+…=1 ；
(3)对 a<b 有 P(a<X≤b)= ?
?? bxa
i
i
p
例如 在掷一颗骰子的试验中,X表示出现的点数,则
X的概率分布为 X 1 2 3 4 5 6
P 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6
设 A表示出现奇数点,则 P(A)=P(x=1)+P(x=3)+P(x=5)=1/3
返回
例 1.3.1 某试验出现, 成功, 的概率为 p(0<p<1),出现, 失
败, 的概率为 1-p，现进行一次试验,求成功次数的概率分
布,解 设随机变量 X表示成功次数,则 X=0表示试验出现“失
败”,X=1表示试验出现“成功”
P(X=1)=p,P(X=0)=1-p,
所以,X的概率分布为, X 0 1
P 1-p p
两点分布
注 两点分布用于描述只有两种对立结果的随机试验,
常见的离散型随机变量的概率分布
(1) 两点分布 (0-1分布 )
返回
注 二项分布的试验背景是 n重 Bernoulli试 验模型 ;
其中 n是试验独立重复的次数,
p是每一次基本试验, 成功, 的概率,
随机变量 X指 n次 试验中, 成功, 出现的次数,
),...,2,1,0()1()( nkppCkXP knkkn ???? ?
例如 一批产品的合格率为 0.8,有放回地抽取 4次,每次一
件,取得不合格品件数为 X,则
(2) 二项分布 若随机变量 X的 概率分布为
X~B(4,0.2)
记为
的二项分布服从参数为则称其中,,,10 pnXp ??
).,(~ pnBX
返回
(3) 泊松分布
定义 若随机变量 X的概率分布为
),,,,2,1,0(!)( ?? nkekkXP
k
??? ? ??
则称 X服从参数为 λ(>0)的 Possion分布,记为 X~P(λ).
可以证明 当 n很大,p很小,λ=np是一个不太大的常数时,可
以用泊松分布作为二项分布的近似,即
),...,2,1,0(!)1( nkekppC
k
knkk
n ???
?? ??
返回
1,设在一次试验中,事件 A出现的概率为 p,现进行 n次独立
重复试验,则 A至少出现一次的概率为 ( );事件 A至多出
现一次的概率为 ( ).
2,设三次独立重复试验中,事件 A在每次试验中出现的概
率相等,若已知 A至少出现一次的概率等于 26/27,则事件 A
在一次试验中出现的概率为 ( ).
课堂练习
解 1,1-(1-p)n ; (1-p)n +np(1-p)n-1
2,由 1-(1-p)3 =26/27解得 p=2/3
返回
注意
离散型随机变量的概率分布分以下几步来求,
(1)确定随机变量的所有可能取值 ;
(2)设法（如利用古典概率）计算取每个值的概率,
(3)列出随机变量的概率分布表（或写出概率函数）,
返回
例 1.3.2 设一试验成功的概率为 p(0<p<1),接连重复进
行试验,直到首次成功出现为止,求试验次数的概率分布,
解 设 X表示试验次数,X取值为 1,2,...,n,...,
P(X=1)=p,P(X=2)=(1-p)p,...,P(X=n)=(1-p)n-1p,...,
记 q=1-p,则 X的概率分布为,
几何分布
P(X=n)=qn-1p,(n=1,2,...)
返回
例 1.3.3 袋内有 5个黑球 3个白球,每次抽取一个不放回,
直到取得黑球为至。记 X为取到白球的数目,Y为抽取次
数，求 X,Y的概率分布及至少抽取 3次的概率。
解 (1)X的可能取值为 0,1,2,3,
P(X=0)=5/8,
P(X=1)=(3× 5)/(8× 7)=15/56,类似有
P(X=2)=(3× 2× 5)/(8 × 7 × 6)=5/56,
P(X=3)=1/56,
所以,X的概率分布为 X 0 1 2 3
P 5/8 15/56 5/56 1/56
(2) Y的可能取值为 1,2,3,4,
P(Y=1)= /8,P(Y 2)=P(X=1)=15/56,类似有
P(Y=3)=P(X=2)=5/56,P(Y=4)=P(X=3)=1/56,
所以 Y的概率分布为 Y 1 2 3 4
P 5/8 15/56 5/56 1/56
(3) P(Y≥3)=P(Y=3)+P(Y=4)=6/56
返回
例 1.3.4 某车间有 5台同类型的机床,每台机床配备的电
动机功率为 10千瓦,每台机床工作时平均每小时实际开动
20分钟,且每台开动与否相互独立,因电力供应紧张,电力
部门仅提供 30千瓦的电力给这 5台机床,问 5台机床正常工
作的概率有多大?
解 设 A为“机床实际在开动”,X为“同时开动的机床
数”,则
P(A)=1/3,X~B(n,p),其中 n=5,p=1/3,所求概率为
P(X≤3) =1-P(X=4)-P(X=5)
5555
5
4544
5 )3
11()
3
1()
3
11()
3
1(1 ?? ????? CC
≈0.95
返回
离散型随机变量函数的概率分布,
例 1.3.5 设随机变量 X的概率分布如下,Y=2X+1,Z=X2,
求 Y,Z的概率分布, X -1 0 1 2
P 0.2 0.3 0.1 0.4解 (1)Y的对应取值为 -1,1,3,5,
P(Y=-1)=P(2X+1=-1)=P(X=-1) =0.2
P(Y=1)=P(X=0)=0.3,P(Y=3)=P(X=1)=0.1,
P(Y=5)=P(X=2)=0.4,所以 Y的概率分布为
Y -1 1 3 5
P 0.2 0.3 0.1 0.4
(2)Z的取值为 0,1,4,
P(Z=0)=P(X=0)=0.3,
P(Z=1)=P(X=1)+P(X=-1)=0.3,
P(Z=2)=P(X=2)=0.4 Z 0 1 4
P 0.3 0.3 0.4所以 Z的概率分布为,
返回
注意
离散型随机变量函数的概率分布分以下两步来求,
(1)由 y=g(x)计算出随机变量 Y的所有取值 y1,y2,...,yn,...;
(2)P(Y=yn)为 yn 对应的随机变量 X的取值的概率和,
例如 X -2 -1 0 1 2
P 0.1 0.2 0.2 0.3 0.2
Y=X2+1,则 Y 1 2 5
P 0.2 0.5 0.3
返回
例 设某厂生产某产品的规定尺寸为 25.40cm,已知某批产
品的最小尺寸为 25.20cm,最大尺寸为 25.60cm.现从这批产
品中任取 100件,得到 100个测量值,计算得如下数据表,
分组
25.235-25.265
25.265-25.295
25.295-25.325
25.325-25.355
25.355-25.385
25.385-25.415
25.415-25.445
25.445-25.475
25.475-25.505
25.505-25.535
25.535-25.565
1
2
5
12
18
25
16
13
4
2
2
0.01
0.02
0.05
0.12
0.18
0.25
0.16
0.13
0.04
0.02
0.02
频数 频率
3,连续型随机变量的概率密度函数
返回
1 2
25.235 25.565 产品 X尺寸 (mm)
组距
频率
建立频率柱形图如下,
当 n无限增大,组距无限减小时,频率分布直方图就会无限接
近一条光滑曲线,此即为随机变量 X的 概率密度曲线,以该
曲线为图形的函数称为 X的 概率密度函数,记为 X~f(x).
返回 ? ? dxxfbXaPba b
a????? )(3 有）对任意的（
(1)f(x)≥0,－ ∞<x<＋ ∞;
(2) ???
?? ? 1dx)x(f
显然,连续型随机变量的概率密度曲线具有以下 性质
25.235 25.565 产品 X尺寸 (mm)
组距
频率
返回
??
?
?
? ?
??
其它0
],[
1
)(~
bax
abxfX
常见的连续型随机变量的概率密度
(1) 均匀分布
称 X服从 [a,b]上的均匀分布,
记为 X~U(a,b).
对任意 a≤c≤d≤b,有
? ??????? dc ab cddxabdXcP 1)(
即 均匀分布在 [a,b]上任何一个子区间内取值的概率与该
区间的长度成正比,与它在 [a,b]中的位置无关,
0 a b x
f(x)
ab?
1
返回
(2) 指数分布
则称 X服从参数为 λ的指数分布,记为 X~E(λ) (λ>0).
?
?
?
?
?
?
?
00
0
)(~
x
xe
xfX
x??
定义 若随机变量 X的概率密度函数为
概率密度曲线如图,
?
x
f(x)
注 指数分布常用作各种“寿命”分布的近
似,
返回
称 随机变量 X服从参数为
μ,σ2的正态分布,σ>0，
μ是任意实数，记为
Rxexf
x
??
??
,)( 22
2)(
2
1 ?
?
??
(3) 正态分布
定义 若随机变量 X的概率密度函数为
注 (1) 概率密度曲线是以 x=μ为对称轴,以 y=0为渐近线
的 R上的连续函数 ;
f(x)
x0 μ
(2)在 x=μ点 f(x)取得最大值,
X ~N(μ,σ2)
??2
1
(3) 曲线 f(x)与 x轴之间的面积是 1.
返回
特别
若 μ=0,σ2=1,
即
Rx,e)x(~X 2
2x
2
1 ?? ?
??
则称 X服从 标准正态分布,
记为 X~N(0,1)
x0
注 标准正态分布的概率密度曲线以 y轴为对称轴,
)(x?
返回
例 1.3.6 设随机变量
X～ ??
?
?
?
?
?
??
1|x|0
1|x|
x1
A
)x(f 2
求 (1)A;(2)P(-1/2<X≤1/2); (3)P(-3<X≤2)．
解 (1) ? ???
?? ?
?
?
? 1
1 2
1dx
x1
Adx)x(f
即 ?
? 1
1xa r c s inA 所以 A=1/πAπ=1,
(2)P(-1/2<X≤1/2)= ?
? ?
2/1
2/1 dx)x(f ?? ?
2/1
2/1 2
dx
x1
1
?
2/1
2/1xa r c s i n1
?? ?
=1/π(π/6+π/6)=1/3
(3)P(-3<X≤2)= ?
?
2
3 dx)x(f ?? ?
? 1
1 2
dx
x1
1
?
=1
思考,
P(-1/2<X≤2)=?
返回
例 1.3.7 设连续型随机变量 X满足
?
?
?
?
?
?
?
?
其它0
]6,3[9/2
]1,0[3/1
)(~ x
x
xfX 其中的取值范围求数值,k
,32?? ）（ kXP
解 密度函数曲线如图
0 1 3 6 x
9
2
3
1
f(x)
S1
S2=2/3表示 k点右
侧的面积值,
）（ kXP ?
由 f(x)的几何意义知
又由 S2=2/3可知
时，有31 ?? k,32?? ）（ kXP
返回
例 1.3.8 设 随机变量 X服从 [2,5]上的均匀分布,对 X进行
三次独立观测，试求至少有两次观测值大于 3的概率。
解 由题意得,
??
?
?
? ??
?
其它0
5x2
3
1
)x(f~X
记 A={X>3},则 P(A)=P(X>3)= ? ?5
3
dx31 2/3
设 Y表示三次独立观测中 A出现的次数,则 Y~B(3,2/3)
所求为 P(Y≥2)= P(Y=2)+P(Y=3)
033
3
22
3 )3
1()
3
2(C)
3
1()
3
2(C ?? =20/27
返回
第 1.4节 随机变量的分布函数
定义 设 X是任意一个随机变量,称函数
F(x)=P(X≤x),－ ∞＜ x＜＋ ∞
为随机变量 X的 分布函数,
(1) 0≤F(x)≤1,－ ∞＜ x＜＋ ∞,
(2)F(x)是 x的单调不减函数 ;
(3) ;1)x(Flim)(F,0)x(Flim)(F
xx ???????? ??????
(4)F(x)在每一点处均是右连续的,即,
F(x+0)=F(x)
1,分布函数
性质
返回
?
?xx
k
k
P(1) F(x)=
(3) 对任意 a<b有
P(a<X≤b)=P(X≤b)-P(X≤a)=F(b)-F(a);
P(a ≤ X<b)=P(X<b)-P(X<a)=F(b-0)-F(a-0);
P(X<a)=F(a-0);
P(X≥a)=1-P(X<a)=1-F(a-0),
对于 离散型随机变量 X的分布函数 有
,...)2,1)(0()()()2( ????? kxFxFxXP kkk
返回
对于 连续型随机变量 X的分布函数 有
Rx,dt)t(f}xX{P)x(F
x
???? ?
??
(1)
(3) F(x)是 (-∞,+∞)上的连续函数 ;
(4) P(X=x)=F(x)-F(x-0)=0;
(2) f(x)= )x(F ?
(5) 对任意 a<b有
P(a≤X≤b)= P(a ≤ X<b)= P(a<X≤b)
= P(a < X<b) =F(b)-F(a);
P(X<a)= P(X ≤ a)= F(a);
P(X≥a)= P(X>a) =1-P(X<a)=1-F(a),
返回
例 1.4.1 设随机变量 X服从参数为 0.7的 0-1分布,即,
X 0 1
P 0.3 0.7,求 X的分布函数,
解 (1) 当 x<0时,F(x)=P(X≤x)= ?
?
?
xx
i
i
xXP )( =0
(2)当 0≤x<1时,F(x)=P(X≤x)= ?
?
?
xx
i
i
xXP )( =P(X=0)=0.3
(3)当 1≤x时,F(x)=P(X≤x)= ?
?
?
xx
i
i
xXP )(
=P(X=0)+P(X=1)=1 分布函数图形如下
x
F(x)
1
1
0.3
0
所以
?
?
?
?
?
?
??
?
?
x
x
x
xF
11
103.0
00
)(
返回对应概率值为 P 0.4 0.4 0.2
(1)离散型随机变量的分布函数是分段函数,分段区间是由 X
的取值点划分成的左闭右开区间 ;
(2)函数值从 0到 1逐段递增,图形上表现为阶梯形跳跃递增 ;
(3)函数值跳跃高度是 X取值区间中新增加点的对应概率值,
例 1.4.2 设 X的分布函数为
?
?
?
?
?
?
?
?
??
??
?
?
x21
2x18.0
1x04.0
0x0
)x(F
求 X的概率分布,
解 X的取值为 X 0 1 2
0.3 x
F(x)
1
1
0
由此可见
返回
例 1.4.3 设随机变量 X服从 [-1,2]区间上的均匀分布,
求 X的分布函数,
解
??
?
?
? ??
?
其它0
]2,1[
3
1
)(~
x
xfX
如图,
-1 2
31
分析
F(-2)= ??
??
2 dt)t(f =0
-2 1 3
F(1)=?
??
1 dt)t(f ?
??
1
1 dt3
1 =2/3
F(3)= ?
??
3 dt)t(f ?
??
2
1 dt3
1 =1
F(1)
x
f(x)
F(3)
(1)x<-1时,F(x)= ? ?
?? ???
x x dt0dt)t(f =0
3
1x ??
=1
(2)-1≤x<2时,F(x)= ? ?
?? ?
?x x
1
dt31dt)t(f
(3)2≤x时,F(x)= ? ?
?? ?
?x 2
1
dt31dt)t(f
?
?
?
?
?
?
?
?
???
?
??
?
x21
2x1
3
1x
1x0
)x(F
所求分布函数为
返回
?
?
?
?
?
?
?
?
???
?
??
?
x21
2x1
3
1x
1x0
)x(F
x
F(x)
-1 1 2
1
0
可见 (1)连续型随机变量 X的分布函数 F(x)为单调
递增的连续函数 ;
(2)F(x)为分段函数,区间划分同 f(x)的划分,
区间划分点可以属于该点左右的任何一个区间,
返回
例 1.4.4 设连续型随机变量 X的分布函数为
?
?
?
?
?
?
??
?
?
x11
1x0Ax
0x0
)x(F 2求,(1)A; (2)P(0.3<X<0.7);
(3)X的概率密度 f(x).
解 (1)F(x)在 x=1点连续,由左连续性得, )1(f)x(fl i m
1x ???
即, 1)1(fAxlim 2
1x
???
?
所以,A=1
(2) P(0.3<X<0.7)=F(0.7)-F(0.3)= 0.72-0.32=0.4
(3) f(x)= )x(F ?
?
=
0 x<0
2x 0≤x<1
0 1≤x
即,
?
?
? ???
其它0
1x0x2)x(f
返回
x0
Rx,dte)x( x 21 2
2t
?? ?
??
?
??
注 (1),
2
1)0( ?? 1)x()x( ??? ??
x-x
)x(?? )x(??
)x(?
标准正态分布的分布函数
)(x?
2,正态分布的分布函数及其计算
(2) P(|X|<a)= Φ(a) - Φ(-a) = Φ(a) – [1-Φ(a)]
= 2 Φ(a)-1.
返回
正态分布的分布函数
若 X~N(μ,σ2),则
)( ? ???? x
所以,若 X~N(μ,σ2),则对任意的 a<b有
P(a<X≤b)= )b(
?
?? ? )a(
?
?? ??
RxdtexF x
t
?? ?
??
? ?,)( 2
2
2)(
2
1 ?
?
??
?
??? ty令 dyexF x y? ?
??
?? ?
?
?
2
2
2
1)(
正态分布分布函数的 Excel实现
函数）(xf 统计
函数分类
?
Normsdist 标准正态分布函数值
Normsinv 标准正态分布分位数
Normdist 一般正态分布函数值
Norminv 一般正态分布分位数
返回
例 1.4.5 设 X~N(10,4),求 P(10<X<13),P(|X-10|<2).
解 P(10<X<13)= ?
?
??
?
? ??
2
1013 ?
?
??
?
? ???
2
1010
=Φ(1.5)-Φ(0)= 0.4332
P(|X-10|<2)= P(8<X<12)
=2Φ(1)-1 =0.6826
?????? ??? 2 1012 ?????? ??? 2108
=Φ(1)- Φ(-1) =Φ(1)- [1-Φ(1)]
返回
例 1.4.6 设 X~N(μ,σ2),P(X≤-1.6)=0.036,
P(X≤5.9)=0.758,求 μ及 σ.
解 P(X≤-1.6)=,0 36.0)6.1( ???
?
??,06.1 ???
?
?
,9 6 4.00 3 6.01)6.1( ?????? ? ?? 所以, 8.1
6.1 ??
?
?
又 P(X≤5.9)=,758.0)9.5( ??
?
?? 所以, 7.09.5 ??
?
?
联立解方程组得, μ=3,σ=3.8
特别 Φ(0)=0.5 ;Φ(1.28)=0.90 ; Φ(1.64)=0.95 ;
Φ(1.96)=0.975 ;Φ(2.33)=0.99,
返回
例 1.4.7 某地抽样结果表明，考生的外语成绩（百分制）
近似 服从 正态分布，平均成绩为 72分,96分以上的占考
生总数的 2.3%，试求考生的外语成绩在 60分至 80分之间
的概率。
解 设 X为考生的外语成绩,则 X~N(72,σ2),由题意得,
P(X>96)=0.023 =1-Φ[(96-72)/σ]= 1-Φ(24/σ)
所以,Φ(24/σ)=1-0.023=0.977
24/σ=2,故, σ=12
所求 P(60<X<84)= )12 7260()12 7284( ??? ??
)1()1( ??? ?? =0.682
返回
1,已知 X~N(3,22),且
P{X>C}=P{X≤C}
则 C=（ )
2,设 X~N(μ,42),Y~N(μ,52),
记 p1=P{X≤μ-4},p2=P{Y≥μ+5}则 ( )
① 对任意实数 μ，都有 p1=p2
② 对任意实数 μ，都有 p1<p2
③ 只对 μ的个别值，才有 p1=p2
④ 对任意实数 μ，都有 p1>p2
3
①
)1()44(1 ??????? ??p
课堂练习
?
f(x)
?
x0 μ
P(X≤μ) P(X≥μ)
返回
3,设 X~N(μ,σ2),则随 σ的增大，
概率 P{|X-μ|<σ} （ ）
① 单调增大 ②单调减少
③保持不变 ④增减不定
③
4,设 X ~ N（ 10,0.0004),Φ（ 2.5） =0.9938，
则 X落在区间（ 9.95,10.05）内的概率为 ( ).
5,设 X ~ N（ 2,σ2),且 P{2<X<4}=0.3,
则 P{X<0} =( ).
0.9876
0.2
返回
例 1.4.8 设随机变量 X~
)x1(
1)x(f
2X ?? ?
,Y=2X+1,
求随机变量 Y的概率密度函数 fY(y).
解 (1)求 Y的分布函数 FY(y):
FY(y)=P(Y≤y)= )
2
1y? =FX( )
2
1y?P(2X+1≤y) =P(X≤
(2)对分布函数求导,
f Y(y)= )y(F
dy
d
Y = )2
1y(F
dy
d
X
?,利用复合函数求导链式法则得,
f Y(y)= )
2
1y(
dy
d)
2
1y(f
X
?? = )
2
1(
2
1 ?yf
X
将 fX(x)代入得, f Y(y)=
])
2
1y([1
1
2
1
2??π
=
])1y(4[
2
2???
连续型随机变量函数的概率密度函数
返回
特别,对随机变量 X的线性函数有以下定理,
定理 1 设随机变量 X~FX(x),Y=kX+b(k≠0),则 Y的概率密度为
)k by(f|k| 1)y(f XY ??
例如 设 X为连续型随机变量,X~FX(x),Y= -4X+3,
则 Y的密度函数为
)4 3y(f41)y(f XY ???
返回
例 1.4.9 设 X~N(μ,σ2),,XY
?
??? 则 Y~N(0,1).
证明
利用随机变量线性函数的概率密度求解结果有
,1 ??? ?? XY
)()(|| 1)( ??? ???? yfk byfkyf XXY
),01( ??? ???? bk其中
)(
2
1
2
1 22 )(
2
2
2
yee
yy
?
???
? ?
???
???
?
???
所以 Y~N(0,1)
返回
进一步可以推广得到以下结果：
定理 2 设 X~fX(x),y=g(x)是 x的单调可导函数,其导数不为 0,
值域为 (a,b),-∞<a<b<+∞,记 x=h(y)为 y=g(x)的反函数,则
Y=g(X)的概率密度函数为,
??
? ?????
其它0
bya|)y(h|)]y(h[f)y(f X
Y
第 1章 随机变量
?第 1.1节 随机事件及其概率
?第 1.2节 条件概率与独立性及其应用
?第 1.3节 随机变量及其分布
?第 1.4节 随机变量的分布函数
返回
返回
随机现象
⒈某人射击一次,考察命中情况 ;
⒉ 某人射击一次,考察命中环数 ;
⒊ 掷一枚硬币,观察向上的面 ;
⒋ 从一批产品中抽取一件,考察其质量 ;
……
确定性现象
⒈抛一石块,观察结局 ;
⒉ 导体通电,考察温度 ;
⒊ 异性电菏放置一起,观察其关系 ;
……
第 1.1节 随机事件及其概率
返回
随机现象
在条件相同的一系列重复观察中，会时而出现时而不
出现，呈现出不确定性，并且在每次观察之前不能准
确预料其是否出现，这类现象称之为随机现象。
随机现象的统计规律性
在相同条件下多次重复某一试验或观察时，其各种结
果会表现出一定的量的规律性，这种规律性称之为统
计规律性。
概率论与数理统计的研究对象
概率论与数理统计是研究随机现象统计规律性的一门
科学。随机现象的普遍存在性决定了它的广泛应用性。
返回
随机试验（ E） —对随机现象进行的试验与观察,
它具有三个特点,重复性,明确性,随机性,
样本点 (ω)—随机试验的每一个可能结果,
样本空间（ Ω） —全体样本点构 成的集合,
基本事件 —Ω的单元素子集，
即每个样本点构成的集合,
随机事件 —Ω的子集，常用 A,B,C… 表示,
必然事件 —（ Ω）
不可能事件 —（ ）?
1,随机事件
返回
注意
(1) 在一次试验中,某个事件可能出现也可能不出现；
(2) 在一次试验中，有且仅有一个基本事件出现,
例如 掷一颗质地均匀的骰子,观察其出现的点数,
,),6,,2,1( 为样本点则表示出现的点数为设 ii ii ?? ??
记 A=―出现奇数点,
B=―点数大于零,
C=―点数大于 6‖
},,,{ 621 ??? ???
},,{ 531 ????
},,,{ 621 ??? ????
??
返回
写出下列各个试验的样本空间,
1 掷一枚均匀硬币，观察正面 (H)反面 (T)出现的情况；
2.将一枚硬币连抛三次，观察正面出现的情况；
3.某袋子中装有 5个球,其中 3个红球,编号 A,B,C,有
2 个黄球，编号 D,F，现从中任取一个球,观察颜色,
若是观察编号呢？
课堂练习
返回
4.袋中有编号为 1,2,3,…,n的球,从中任取一个,观察球
的号码；
5.从自然数 1,2,3,…,N(N≥ 3) 中接连随意取三个,每取
一个还原后再取下一个,若是不还原呢？若是一次就取三
个呢？
6.接连进行 n次射击,记录命中次数,若是记录 n次射击中
命中的总环数呢？
7.观察某条交通干线中某天交通事故的次数。
返回
事件的关系与运算
记号 概率论 集合论
Ω 样本空间,必然事件 空间,全集
φ 不可能事件 空集
ω 样本点 元素
A 事件 集合
A的对立事件 (逆事件 ) A的余 (补 )集A
事件之间的关系与运算完全和集合之间的关系与运算
一致，只是术语不同而已。
返回
,)1( BA ?
A是 B的子集,表示若 事件 A出现,事件 B一定出现,
),()2( BABA ??
A与 B的并 (和 ).表示 事件 A,B至少有一个出现,
),()3( ABBA ? A与 B的交 (积 ).表示 事件 A和 B同时出现,
,)4( ??? BA 表示事件 A和 B不能同时出现,称 A与 B互斥
（或互不相容）,
.,)5( ????? BABA 且?
表示事件 A和 B为 对立事件,记为,ABBA ?? 或
返回
,)6( BA ? 表示 事件 A出现,而事件 B不出现,且,BABA ??
,)7( BABA ??? 表示 事件 A和事件 B都不出现,
,)8( BABA ??? 表示 事件 A和事件 B至少有一个不出现,
注 以上结果可推广为
i
n
ii
n
ii
n
ii
n
i
AAAA
1111
,
????
??????
返回
1.设事件 A={甲种产品畅销，乙种产品滞销 }，
则 A的对立事件为（ ）
①甲种产品滞销，乙种产品畅销；
②甲、乙两种产品均畅销；
③甲种产品滞销；
④甲种产品滞销或者乙种产品畅销。
2.设 x表示一个沿数轴做随机运动的质点位
置，试说明下列各对事件间的关系
① A={|x-a|＜ σ },B={x-a＜ σ }(σ >0）
② A={x＞ 20},B={x≤20}
③ A={x＞ 22},B={x＜ 19}
课堂练习
④
AB ?
A与 B对立
A与 B互斥
返回
例 1.1.1 设 A,B,C为任意三个事件,试用它们表
示下列事件,
(1) A,B出现,C不出现；
(2) A,B,C中恰有一个出现；
(3) A,B,C中至多有一个出现；
(4) A,B,C中至少有一个出现,
解,)1( CAB
CBACBACBA ??)2(
CBACBACBACBA ???)3(
CBACBA ???)4(
返回
(1)古典概型
设 Ω 为试验 E的样本空间，若
①（ 有限性 ） Ω 只含有限个样本点，
②（ 等概性 ）每个基本事件出现的可能性相等，
则称 E为 古典概型 。
(2)古典概型概率的定义
n
k?
?? 中样本点总数样本空间
中包含的样本点数事件 AP ( A )
设 E为古典概型,Ω 为 E的样本空间,A为任意一个事件，
定义事件 A的概率为
2,随机事件的概率
返回
(1) 古典概型的判断方法，
(2) 古典概率的计算步骤：
①弄清试验与样本点 ;
②数清样本空间与随机事件中的样本点数 ;
③ 列出比式进行计算。
注意,
返回
(3)复习
排列与组合
① 非重复的选排列 从 n个不同元素中,每次取出 k个
不同的元素,按一定的顺序排成一列称为选排列,选排
列的种数记作
)1kn()2n)(1n(nP kn ????? ?
② 组合 从 n个不同的元素中,每次取出 k(k<n)个不
同的元素,与元素的顺序无关组成一组叫作组合,其
组合数用 表示,其中k
nC
!k/PC knkn ?
返回
加法原理
完成某件事情有 n类方法,在第一类方法中有 m1种方
法,在第二类方法中有 m2种方法,依次类推,在第 n类方
法中有 mn种方法,则完成这件事共有 N=m1+m2+…+m n
种不同的方法,其中各类方法彼此独立,
乘法原理
完成某件事情需先后分成 n个步骤,做第一步有 m1种方
法,第二步有 m2种方法,依次类推,第 n步有 mn种方法,则
完成这件事共有 N=m1× m2× … × mn种不同的方法,特
点是各个步骤连续完成,
返回
例如
两批产品各 50件,其中次品各 5件,从这两批产品中各
抽取 1件,
(1)两件都不是次品的选法有多少种?
(2)只有一件次品的选法有多少种?
解 (1) 用乘法原理,结果为
2145145 45,?CC
(2)结合加法原理和乘法原理得选法为,
4 5 04552C.CC.C 1514514515 ?????
返回
例 1.1.2 箱中有 6个灯泡,其中 2个次品 4个正品,有放回
地从中任取两次,每次取一个,试求下列事件的概率：
（ 1） 取到的两个都是次品 ;（ 2） 取到的两个中正、次
品各一个,（ 3） 取到的两个中至少有一个正品,
解 设 A ={取到的两个都是次品 },B={取到的两个中正、
次品各一个 },C={取到的两个中至少有一个正品 }.
（ 1）样本点总数为 62，事件 A包含的样本点数为 22，
所以 P(A)=4/36=1/9
（ 2）事件 B包含的样本点数为 4× 2+2× 4=16，
所以 P（ B） =16/36=4/9
（ 3）事件 C包好的样本点数为 62-2× 2=32，
所以 P(C )=32/36=8/9思考①若改为无放回地抽取两次呢?
② 若改为一次抽取两个呢？
返回
设 P(A)为事件的实函数,若 P(A)满足
① 非负性 0≤P(A)≤1;
② 规范性 P(Ω)=1,P(φ)=0;
③ 可加性
??
?
?
?
?
???
?
11
)()(),,(
,),2,1(
i
ii
i
ji
i
APAPjiAA
iA
则即
组是两两互不相容的事件若
?
?
则称 P(A)为 概率的公理化定义,
3,概率的公理化定义
由于实际问题的不同和处理问题的角度不同,有很多计算
随机事件概率的方法,但它们都要求具有下面三个基本性
质,
返回
概率的重要性质
(1)P(φ)=0,P(Ω)=1，逆不一定成立,
(2)若 AB=φ,则 P(A+B)=P(A)+P(B),可推广 到有限个互斥事
件的情形,即,若 A1,A2,…,A n两两互斥,则
P(A1+A2+…+A n)=P(A1)+P(A2)+…+P(A n)
(3)P(A-B)=P(A)-P(AB),P(Ω-A)=1-P(A).
若 A是 B的子事件,则 P(B-A)=P(B)-P(A)； P(A)≤P(B);
(4)P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB),
P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC)
可推广到有限个事件的情形,
证明 (3) A=(A-B)+AB,A-B和 AB为互斥事件,所以由 (2)得
P(A)=P(A-B)+P(AB),即 P(A-B)=P(A)-P(AB).
P(A+ )=P[A+(B-AB)]证明 (4) =P(A)+P(B-AB)
=P(A)+P(B)-P(AB) 类似可证其他,
返回
得,P(B)=P(A+B)-P(A)=0.8-0.6=0.2，
例 1.1.3 AB=φ,P(A)=0.6,P(A+B)=0.8，
求 B的逆事件的概率。
所以,P（ ） =1-0.2=0.8B
解 由 P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)=P(A)+P(B)
思考 在以上条件下,P（ A-B） =？
返回
例 1.1.4 设事件 A发生的概率是 0.6,A与 B都发生的
概率是 0.1,A与 B都不发生的概率为 0.15,
求 A发生 B不发生的概率； B发生 A不发生的概率及 P(A+B).
解 由已知得,P(A)=0.6,P(AB)=0.1,P( )=0.15，BA
则 P(A-B)=P(A-AB)=P(A)-P(AB)=0.5
P(B-A)=P(B)-P(AB）
P（ A+B） =1-P（ ） =1-P（ )=0.85BA? BA
又因为 P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB),所以，
P(B)=P(A+B)-P(A)+P(AB)=0.85-0.6+0.1=0.35
从而,P(B-A)=0.35-0.1=0.25
返回
1,P(A)=0.4,P(B)=0.3,P(A+B)=0.6,求 P(A-B).
2,P(A)=0.7,P(A-B)=0.3，求 P(Ω-AB)
解 (1)P(AB)=P(A)+P(B)- P(A+B) =0.1,
所以 P(A-B)=P(A)-P(AB)=0.3
(2)P(Ω-AB)=1-P(AB)=1-[P(A)-P(A-B)]
=1-0.7+0.3=0.6
课堂练习
返回
3,P(A)=P(B)= P(C)=1/4,P(AB)=0，
P(AC)=P(BC)=1/6，求 A,B,C都不出现的概率。
4,A,B都出现的概率与 A,B 都不出现的概率相等，
P(A)=p，求 P(B).
解 (3) P( )=P( )=1-P(A+B+C)=7/12CBA CBA ??
(4)P(AB)=P( )=P( )
=1-P(A+B)=1-P(A)-P(B)+P(AB),
BA BA ?
所以,P(B)=1-P(A)=1-p
返回
第 1.2节 条件概率与独立性及其应用
例如 在 10个产品中有 7个正品,3个次品,按不放回抽样,
每次一个,抽取两次,已知第一次取到次品，第二次又
取到次品的概率。
解 设第一次取到次品为事件 A,第二次又取到次品为事
件 B,记所求概率为 P(B|A),则
9
2)|( ?ABP )(
)(
10
3
910
23
AP
ABP
??
?
?
1.条件概率与独立性
返回
注意 (1)P(B|A)是在 改变了的样本空间下 考虑概率值,
(2)条件概率 P(B|A)满足概率的三条公理,
(3) P(B|Ω)=P(B); P(B|B)=1;
(4) 若 B1,B2互不相容,则有,
P[(B1+B2)|A]=P(B1|A)+P(B2|A)
(5) P( |A)=1-P(B|A)B
定义 对于两个事件 A,B,若 P(A)＞ 0,则称
P(B|A） =P（ AB） /P（ A）
为事件 A出现的条件下，事件 B出现的 条件概率 。
在计算条件概率时,一般有两种方法,
(1) 由条件概率的公式 ;
(2) 由 P(B|A)的实际意义,按古典概型计算,
(1) 条件概率
返回
例 1.2.1 一批产品 100件 ?
70件正品
30件次品
?
甲厂生产 40件
乙厂生产 30件
?
甲厂生产 20件
乙厂生产 10件
从中任取 1件,记 A=―取到正品”,B=―取到甲厂产品”,
试计算 P(A),P(B),P(AB),P(B|A),P(A|B).
解 7.0
1 00
70)( ??AP 6.0
1 00
60)( ??BP
4.010 040)( ??ABP
7
4
70
40)|( ??ABP
3
2
60
40)|( ??BAP
返回
对于两个事件 A与 B，
若 P(A)>0,则有 P(AB)=P(A)P(B|A),
若 P(B)>0,则有 P(AB)=P(B)P(A|B),
推广情形
对 于 n 个 事 件 A1,A2,…,A n,若 P ( A1A2…A n-1 ) > 0，
则 有 P ( A1A2…A n)
=P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)…P(A n|A1A2…A n-1)
若 P(AB)＞ 0,则有 P(ABC)=P(A)P(B|A)P(C|AB)
乘法法则一般用于计算 n个事件同时发生的概率
(2) 乘法公式
返回
B=B1+B2,P(B1)=0.2,P(A| )=0.3,P(B2| )=0.4，1B AB
1
所以,P(A)=P( A)=P( )P(A| )=0.8× 0.3=0.24，
1B 1B 1B
例 1.2.2 假设在空战中,若甲机先向乙机开火,击落乙机
的概率是 0.2;若乙机未被击落,进行还击击落甲机的概率
为 0.3;若甲机亦未被击落,再次进攻,击落乙机的概率是
0.4,分别计算这几个回合中甲、乙被击落的概率。
解 设 A={甲机被击落 },B={乙机被击落 },B1={乙机第一次
被击落 },B2={乙机第二次被击落 }，
,BABA,B 211 ??
P(B2)=P( B2)= P( )P( | )P(B2| )AB
1 AB11B A 1B
=0.8× 0.7× 0.4=0.224
P(B)=P(B1)+P(B2)=0.2+0.224=0.424
由题意得,B1.B2互斥，
返回
例如 箱中装有 10件产品,7件正品,3件次品,甲买走 1件
正品,乙要求另开一箱,也买走 1件正品,
记甲取到正品为事件 A,乙取到正品为事件 B,则
10
7)()|( ?? BPABP
由乘法公式即得
P(AB)=P(A)P(B)
从问题的实际意义理解，就是说事件 A和事件 B出现
的概率彼此不受影响,
(3) 事件的独立性
返回
定义 若事件 A与 B满足 P(AB)=P(A)P(B),
则称 A与 B相互独立，简称 A与 B独立 。
推论 1 A.B为两个事件,若 P(A)>0,
则 A与 B独立等价于 P(B|A)=P(B).
若 P(B)>0,
则 A与 B独立等价于 P(A|B)=P(A).
证明,A.B独立 <=>P(AB)=P(A)P(B|A)=P(A)P(B)
<=>P(B|A)=P(B)
注意 从直观上讲,A与 B独立就是其中任何一个事件出
现的概率不受另一个事件出现与否的影响,
返回
证明 不妨设 A.B独立,则
)B(P)A(P))B(P1)(A(P
)B(P)A(P)A(P)AB(P)A(P)BA(P)BA(P
???
??????
其他类似可证,
推论 2 在 A 与 B,与 B,A 与, 与 这四对事件中,若
有一对独立,则另外三对也相互独立。
A AB B
注意 判断事件的独立性一般有两种方法,
① 由定义判断,是否满足公式 ;
② 由问题的性质从直观上去判断,
返回
定义 (n个事件的相互独立性） 设有 n个事件
A1,A2,…,A n,若对任何正整数 m(2≤m≤n)以及
性质 若 n个事件相互独立，则
①它们积事件的概率等于每个事件概率的积,
②它们中的任意一部分事件换成各自事件的对立事
件后，所得的 n个事件也是相互独立的。
)()())
,1
2121
21
mm iiiiii
m
APAPAPAAAP
niii
??
?
（（
都有
?
?????
则称这 n个事件 相互独立,
若上式仅对 m=2成立,则称这 n个事件 两两独立,
注意 从直观上讲,n个事件相互独立就是其中任何一个事
件出现的概率不受其余一个或几个事件出现与否的影响,
返回
例 1.2.3 三个元件串联的电路中,每个元件发生断电的
概率依次为 0.3,0.4,0.6,且各元件是否断电相互独立,求
电路断电的概率是多少?
解 设 A1,A2,A3分别表示第 1,2,3个元件断电,
A表示电路断电,
则 A1,A2,A3相互独立,A= A1+A2+A3,
P(A)=P(A1+A2+A3)= )AAA(P1
321 ???
)A(P)A(P)A(P1 321??
=1-0.168=0.832
返回
课堂练习
2,甲,乙两人独立地对同一目标射击一 次,其命中率分别
为 0.6和 0.5,现已知目标被击中,则它是甲击中的概率为 ( )
2,设 A=甲击中,B=乙击中,C=目标被击中,所求
P(A|C)=P(AC)/P(C)=P(A)/[P(A)+P(B)-P(A)P(B)]
=0.6/0.8=3/4
解 1,
1,P(A)=0.6,P(A+B)=0.84,P( |A)=0.4,则 P(B)=( ).B
4.0)( )()()( )()( )()|( ?????? AP ABPAPAP BAPAP BAPABP
所以,P(AB)=0.36,又由 P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)得
P(B)=P(A+B)-P(A)+P(AB)=0.6
返回
例 1.2.4 设 10件产品中有 4件不合格品，从 中不放回取
两次，每次一件，求第二件为不合格品的概 率为多少？
解 设 A=第一次取得不合格品,B=第二次取得不合格品,则
)()()( BAPABPBP ??
=(4/10)× (3/9)+(6/10)× (4/9)
=6/15
)|()()|()( ABPAPABPAP ??
2,应用 — 全概率公式和 Bayes公式
返回
(1)全概率公式 设 Ω是随机试验 E的样本空间,事件组
A1,A2,…,A n满足：
),,2,1(0)(,)2(
);()1(
1
niAPA
jiAA
ii
n
i
ji
??????
??
?
?
则 对于任何一个事件 B,有
P(B)=P(A1)P(B|A1)+…+P(A n)P(B|An)
证明
)]()()[(
)]([)()(
21
21
n
n
BABABAP
AAABPBPBP
????
??????
?
?
)()()( 21 nBAPBAPBAP ???? ?
=P(A1)P(B|A1)+…+P(A n)P(B|An)
返回
例 1.2.5 市场上某种商品由三个厂同时供货,其供应量为,
甲厂是乙厂的 2倍,乙、丙两个厂相等,且各厂产品的次品
率分别为 2%,2%,4%,(1)求市场上该种商品的次品率,
(1) 设 Ai表示取到第 i 个工厂产品,i=1,2,3,B表示取到次品,
由题意得,P(A1)=0.5,P(A2)=P(A3)=0.25,
P(B|A1)=0.02,P(B|A2)=0.02,P(B|A3)=0.04
由全概率公式得,
)A|B(P)A(P)B(P i
3
1i
i?
?
? =0.025
即市场上该种商品的次品率为 2.5%.
解
返回
例 1.2.5 市场上某种商品由三个厂家同时供货,其供应量为,
甲厂家是乙厂家的 2倍,乙,丙两个厂家相等,且各厂产品的
次品率为 2%,2%,4%,(1)求市场上该种商品的次品率,
(2)若从市场上的商品中随机抽取一件,发现是次品,求它
是甲厂生产的概率,
解 (2)
分析 所求为条件概率 P(A1|B)=P(A1B)/P(B).
?
?
?? 3
1
111
1
)|()(
)|()(
)(
)(
)|(
i
ii ABPAP
ABPAP
BP
BAP
BAP =0.4
即抽取到的次品是甲厂生产的概率为 0.4.
返回
),...,2,1(
)|()(
)|()(
)|(
1
nj
ABPAP
ABPAP
BAP n
i
ii
jj
j ??
?
?注意
1.以上两个公式中的 A1,A2,...,An可以看作是导致
事件 B出现的因素 ;
2.P(Aj|B)一般称为, 后验概率, ;Bayes公式又
称为, 后验概率公式, 或, 逆概公式, ;P(Aj)对
应可以称为, 先验概率,,
(2) 贝叶斯 (Bayes)公式 设 Ω是随机试验 E的样本空间,事
件组 A1,A2,…,A n满足，
),,2,1(0)(,)2(
);()1(
1
niAPA
jiAA
ii
n
i
ji
??????
??
?
?
则 对于任何一个正概率事件 B,有
返回
例 1.2.6 每箱产品有 10件,其中次品数从 0到 2是等可能的,开
箱检验时,从中依次抽取两件 (不重复 ),如果发现有次品,则
拒收该箱产品,试计算,(1)一箱产品通过验收的概率 ;(2)已知
该箱产品通过验收,则该箱产品中有 2个次品的概率,
".");2,1,0("" 该箱产品通过验收件次品箱中有设 ??? BiiA i解
);2,1,0(
3
1
)(,);(
2
0
???????
?
iAPAjiAA ii
i
ji 且则 ?
.)|(;)|(;1)|( 2
10
2
8
22
10
2
9
10 C
CABP
C
CABPABP ???
(1) P(B)= P(A0)P(B|A0) +P(A1)P(B|A1)+ P(A2)P(B|A2)
807.03131131 2
10
2
8
2
10
2
9 ???????
C
C
C
C
257.0
807.0
3
1
)(
)|()(
)|()2(
2
10
2
8
22
2 ?
?
??
C
C
BP
ABPAP
BAP
返回
例 1.2.7 某射手在相同条件下独立地进行 5次射击,每次击
中目标的概率是 0.6,求：概率最大的击中目标次数,
解 击中目标次数可能取值为 0,1,2,3,4,5,设 Bi(i=0,1,…,5)
表示击中目标 i次,事件 Ai表示第 i次射中,(i=1,2,...,5),
则 Ai (i=1,2,...,5)相互独立,
P(B0)= )AAAAA(P
54321
=(1-0.6)5 =0.45
P(B1)=
)
(
5432154321
543215432154321
AAAAAAAAAA
AAAAAAAAAAAAAAAP
??
??
=5× 0.6× (1-0.6)4
5005 )6.01(6.0C ????
4115 )6.01(6.0C ????
返回
例 1.2.7 某射手在相同条件下独立地进行 5次射击,每次击
中目标的概率是 0.6,求：概率最大的击中目标次数,
即 i5ii
5i 0, 6 )(1 0, 6 C)P( B ?????
(i=0,1,2,3,4,5)
类推得
P(B3) 233
5 )6.01(6.0C ????
P(B4) 144
5 )6.01(6.0C ????
P(B5) 055
5 )6.01(6.0C ????
P(B2) 322
5 )6.01(6.0C ????
解 击中目标次数可能取值为 0,1,2,3,4,5,设 Bi(i=0,1,…,5)
表示击中目标 i次,事件 Ai表示第 i次射中,(i=1,2,...,5),
则 Ai (i=1,2,...,5)相互独立,
返回
易计算：概率最大的击中目标次数为 3.
一般地：设射击次数为 n，每次射击击中
目标的概率为 p，则：
当（ n+1） p为整数时，概率最大
的击中目标次数为 (n+1)p和 (n+1)p-1;
当 （ n+1） p不为整数时，概率最大
的击中目标次数为 (n+1)p的整数部分,
返回
若某个试验由 n次基本试验构成,且具有以下特点,
(1) 每次基本试验有且只有两个可能结果：成功、失败 ;
(2) 每次基本试验中每个结果出现的概率不变 ;
(3) 基本试验之间相互独立 ;
(4) 在相同条件下,试验可以重复进行,
则称此试验为独立重复试验或贝努里 (Bernoulli)试验 ;由于
该试验由 n次基本试验构成,故亦称之为 n重贝努里试验,
贝努里公式 在 n重贝努里试验中,如果“成功”在每次
试验中出现的概率为 p,令 Bk=―在 n 次试验中“成功”
出现 k 次”,则
),,2,1,0()1()( nkppCBP knkknk ???? ?
返回
例 1.2.8 同时掷四颗均匀的骰子,试计算,
(1) 恰有一颗是 6点的概率 ;
(2) 至少有一颗是 6点的概率,
解 这是一个 4重贝努里试验,
掷每一颗骰子就是一个基本试验,
每次基本试验中 6点出现的概率是 1/6,所以
(1) 恰有一颗是 6点的概率为
(2) 至少有一颗是 6点的概率为
311
4
1411
4 )6
5()
6
1()
6
11()
6
1( CC ?? ?
4400
4
0400
4 )6
5(1)
6
5()
6
1(1)
6
11()
6
1(1 ?????? ? CC
返回
第 1.3节 随机变量及其分布
例 (1)随机地掷一颗骰子,ω表示所有的样本点,
ω,出现 1点 出现 2点 出现 3点 出现 4点 出现 5点 出现 6点
X(ω),1 2 3 4 5 6
(2)某人接连不断地对同一目标进行射击,直至射中为止，
ω表示射击次数，则
ω 射击 1次 射击 2次,....,射击 n次,.....
X(ω) 1 2,....,n,.....
(3) 某车站每隔 10分钟开出一辆公共汽车,旅客在任意时
间到达车站,ω表示该旅客的候车时间,
ω 候车时间
X(ω) [0,10]
1.随机变量
返回
特别 离散型
连续型
定义 设 E为随机试验,它的样本空间记为 Ω={ω},如果对
于每一个 ω都有实数 X(ω)与之对应,则称这个 定义在 Ω上的
实单值函数 X(ω)为随机变量,
随机变量一般用 X,Y,Z,或 ξ,η,ζ等表示,
?
取值为有限个和至多可列个的
随机变量,
可以取区间内一切值的随机变量,
例如 S=πR2中,其中 R为测量中的随机变量,
S为随机变量 R的函数,
此外,若 X是一个随机变量,则以 X为自变量的函数 Y=f(X)
称为 随机变量 X的函数,随机变量函数也是随机变量,
返回
2.离散型随机变量的概率分布
定义 设随机变量 X的一切可能取值为 x1,x2,...,xn,...,且
pn=P(X=xn),n=1,2,...,称此公式为 X的 概率分布或分布列,
或者 X x1 x2,.,xn,..
P p1 p2,.,pn,.,
性质 (1)pn≥0,n=1,2,..,； (2)p1+p2+...+pn+…=1 ；
(3)对 a<b 有 P(a<X≤b)= ?
?? bxa
i
i
p
例如 在掷一颗骰子的试验中,X表示出现的点数,则
X的概率分布为 X 1 2 3 4 5 6
P 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6
设 A表示出现奇数点,则 P(A)=P(x=1)+P(x=3)+P(x=5)=1/3
返回
例 1.3.1 某试验出现, 成功, 的概率为 p(0<p<1),出现, 失
败, 的概率为 1-p，现进行一次试验,求成功次数的概率分
布,解 设随机变量 X表示成功次数,则 X=0表示试验出现“失
败”,X=1表示试验出现“成功”
P(X=1)=p,P(X=0)=1-p,
所以,X的概率分布为, X 0 1
P 1-p p
两点分布
注 两点分布用于描述只有两种对立结果的随机试验,
常见的离散型随机变量的概率分布
(1) 两点分布 (0-1分布 )
返回
注 二项分布的试验背景是 n重 Bernoulli试 验模型 ;
其中 n是试验独立重复的次数,
p是每一次基本试验, 成功, 的概率,
随机变量 X指 n次 试验中, 成功, 出现的次数,
),...,2,1,0()1()( nkppCkXP knkkn ???? ?
例如 一批产品的合格率为 0.8,有放回地抽取 4次,每次一
件,取得不合格品件数为 X,则
(2) 二项分布 若随机变量 X的 概率分布为
X~B(4,0.2)
记为
的二项分布服从参数为则称其中,,,10 pnXp ??
).,(~ pnBX
返回
(3) 泊松分布
定义 若随机变量 X的概率分布为
),,,,2,1,0(!)( ?? nkekkXP
k
??? ? ??
则称 X服从参数为 λ(>0)的 Possion分布,记为 X~P(λ).
可以证明 当 n很大,p很小,λ=np是一个不太大的常数时,可
以用泊松分布作为二项分布的近似,即
),...,2,1,0(!)1( nkekppC
k
knkk
n ???
?? ??
返回
1,设在一次试验中,事件 A出现的概率为 p,现进行 n次独立
重复试验,则 A至少出现一次的概率为 ( );事件 A至多出
现一次的概率为 ( ).
2,设三次独立重复试验中,事件 A在每次试验中出现的概
率相等,若已知 A至少出现一次的概率等于 26/27,则事件 A
在一次试验中出现的概率为 ( ).
课堂练习
解 1,1-(1-p)n ; (1-p)n +np(1-p)n-1
2,由 1-(1-p)3 =26/27解得 p=2/3
返回
注意
离散型随机变量的概率分布分以下几步来求,
(1)确定随机变量的所有可能取值 ;
(2)设法（如利用古典概率）计算取每个值的概率,
(3)列出随机变量的概率分布表（或写出概率函数）,
返回
例 1.3.2 设一试验成功的概率为 p(0<p<1),接连重复进
行试验,直到首次成功出现为止,求试验次数的概率分布,
解 设 X表示试验次数,X取值为 1,2,...,n,...,
P(X=1)=p,P(X=2)=(1-p)p,...,P(X=n)=(1-p)n-1p,...,
记 q=1-p,则 X的概率分布为,
几何分布
P(X=n)=qn-1p,(n=1,2,...)
返回
例 1.3.3 袋内有 5个黑球 3个白球,每次抽取一个不放回,
直到取得黑球为至。记 X为取到白球的数目,Y为抽取次
数，求 X,Y的概率分布及至少抽取 3次的概率。
解 (1)X的可能取值为 0,1,2,3,
P(X=0)=5/8,
P(X=1)=(3× 5)/(8× 7)=15/56,类似有
P(X=2)=(3× 2× 5)/(8 × 7 × 6)=5/56,
P(X=3)=1/56,
所以,X的概率分布为 X 0 1 2 3
P 5/8 15/56 5/56 1/56
(2) Y的可能取值为 1,2,3,4,
P(Y=1)= /8,P(Y 2)=P(X=1)=15/56,类似有
P(Y=3)=P(X=2)=5/56,P(Y=4)=P(X=3)=1/56,
所以 Y的概率分布为 Y 1 2 3 4
P 5/8 15/56 5/56 1/56
(3) P(Y≥3)=P(Y=3)+P(Y=4)=6/56
返回
例 1.3.4 某车间有 5台同类型的机床,每台机床配备的电
动机功率为 10千瓦,每台机床工作时平均每小时实际开动
20分钟,且每台开动与否相互独立,因电力供应紧张,电力
部门仅提供 30千瓦的电力给这 5台机床,问 5台机床正常工
作的概率有多大?
解 设 A为“机床实际在开动”,X为“同时开动的机床
数”,则
P(A)=1/3,X~B(n,p),其中 n=5,p=1/3,所求概率为
P(X≤3) =1-P(X=4)-P(X=5)
5555
5
4544
5 )3
11()
3
1()
3
11()
3
1(1 ?? ????? CC
≈0.95
返回
离散型随机变量函数的概率分布,
例 1.3.5 设随机变量 X的概率分布如下,Y=2X+1,Z=X2,
求 Y,Z的概率分布, X -1 0 1 2
P 0.2 0.3 0.1 0.4解 (1)Y的对应取值为 -1,1,3,5,
P(Y=-1)=P(2X+1=-1)=P(X=-1) =0.2
P(Y=1)=P(X=0)=0.3,P(Y=3)=P(X=1)=0.1,
P(Y=5)=P(X=2)=0.4,所以 Y的概率分布为
Y -1 1 3 5
P 0.2 0.3 0.1 0.4
(2)Z的取值为 0,1,4,
P(Z=0)=P(X=0)=0.3,
P(Z=1)=P(X=1)+P(X=-1)=0.3,
P(Z=2)=P(X=2)=0.4 Z 0 1 4
P 0.3 0.3 0.4所以 Z的概率分布为,
返回
注意
离散型随机变量函数的概率分布分以下两步来求,
(1)由 y=g(x)计算出随机变量 Y的所有取值 y1,y2,...,yn,...;
(2)P(Y=yn)为 yn 对应的随机变量 X的取值的概率和,
例如 X -2 -1 0 1 2
P 0.1 0.2 0.2 0.3 0.2
Y=X2+1,则 Y 1 2 5
P 0.2 0.5 0.3
返回
例 设某厂生产某产品的规定尺寸为 25.40cm,已知某批产
品的最小尺寸为 25.20cm,最大尺寸为 25.60cm.现从这批产
品中任取 100件,得到 100个测量值,计算得如下数据表,
分组
25.235-25.265
25.265-25.295
25.295-25.325
25.325-25.355
25.355-25.385
25.385-25.415
25.415-25.445
25.445-25.475
25.475-25.505
25.505-25.535
25.535-25.565
1
2
5
12
18
25
16
13
4
2
2
0.01
0.02
0.05
0.12
0.18
0.25
0.16
0.13
0.04
0.02
0.02
频数 频率
3,连续型随机变量的概率密度函数
返回
1 2
25.235 25.565 产品 X尺寸 (mm)
组距
频率
建立频率柱形图如下,
当 n无限增大,组距无限减小时,频率分布直方图就会无限接
近一条光滑曲线,此即为随机变量 X的 概率密度曲线,以该
曲线为图形的函数称为 X的 概率密度函数,记为 X~f(x).
返回 ? ? dxxfbXaPba b
a????? )(3 有）对任意的（
(1)f(x)≥0,－ ∞<x<＋ ∞;
(2) ???
?? ? 1dx)x(f
显然,连续型随机变量的概率密度曲线具有以下 性质
25.235 25.565 产品 X尺寸 (mm)
组距
频率
返回
??
?
?
? ?
??
其它0
],[
1
)(~
bax
abxfX
常见的连续型随机变量的概率密度
(1) 均匀分布
称 X服从 [a,b]上的均匀分布,
记为 X~U(a,b).
对任意 a≤c≤d≤b,有
? ??????? dc ab cddxabdXcP 1)(
即 均匀分布在 [a,b]上任何一个子区间内取值的概率与该
区间的长度成正比,与它在 [a,b]中的位置无关,
0 a b x
f(x)
ab?
1
返回
(2) 指数分布
则称 X服从参数为 λ的指数分布,记为 X~E(λ) (λ>0).
?
?
?
?
?
?
?
00
0
)(~
x
xe
xfX
x??
定义 若随机变量 X的概率密度函数为
概率密度曲线如图,
?
x
f(x)
注 指数分布常用作各种“寿命”分布的近
似,
返回
称 随机变量 X服从参数为
μ,σ2的正态分布,σ>0，
μ是任意实数，记为
Rxexf
x
??
??
,)( 22
2)(
2
1 ?
?
??
(3) 正态分布
定义 若随机变量 X的概率密度函数为
注 (1) 概率密度曲线是以 x=μ为对称轴,以 y=0为渐近线
的 R上的连续函数 ;
f(x)
x0 μ
(2)在 x=μ点 f(x)取得最大值,
X ~N(μ,σ2)
??2
1
(3) 曲线 f(x)与 x轴之间的面积是 1.
返回
特别
若 μ=0,σ2=1,
即
Rx,e)x(~X 2
2x
2
1 ?? ?
??
则称 X服从 标准正态分布,
记为 X~N(0,1)
x0
注 标准正态分布的概率密度曲线以 y轴为对称轴,
)(x?
返回
例 1.3.6 设随机变量
X～ ??
?
?
?
?
?
??
1|x|0
1|x|
x1
A
)x(f 2
求 (1)A;(2)P(-1/2<X≤1/2); (3)P(-3<X≤2)．
解 (1) ? ???
?? ?
?
?
? 1
1 2
1dx
x1
Adx)x(f
即 ?
? 1
1xa r c s inA 所以 A=1/πAπ=1,
(2)P(-1/2<X≤1/2)= ?
? ?
2/1
2/1 dx)x(f ?? ?
2/1
2/1 2
dx
x1
1
?
2/1
2/1xa r c s i n1
?? ?
=1/π(π/6+π/6)=1/3
(3)P(-3<X≤2)= ?
?
2
3 dx)x(f ?? ?
? 1
1 2
dx
x1
1
?
=1
思考,
P(-1/2<X≤2)=?
返回
例 1.3.7 设连续型随机变量 X满足
?
?
?
?
?
?
?
?
其它0
]6,3[9/2
]1,0[3/1
)(~ x
x
xfX 其中的取值范围求数值,k
,32?? ）（ kXP
解 密度函数曲线如图
0 1 3 6 x
9
2
3
1
f(x)
S1
S2=2/3表示 k点右
侧的面积值,
）（ kXP ?
由 f(x)的几何意义知
又由 S2=2/3可知
时，有31 ?? k,32?? ）（ kXP
返回
例 1.3.8 设 随机变量 X服从 [2,5]上的均匀分布,对 X进行
三次独立观测，试求至少有两次观测值大于 3的概率。
解 由题意得,
??
?
?
? ??
?
其它0
5x2
3
1
)x(f~X
记 A={X>3},则 P(A)=P(X>3)= ? ?5
3
dx31 2/3
设 Y表示三次独立观测中 A出现的次数,则 Y~B(3,2/3)
所求为 P(Y≥2)= P(Y=2)+P(Y=3)
033
3
22
3 )3
1()
3
2(C)
3
1()
3
2(C ?? =20/27
返回
第 1.4节 随机变量的分布函数
定义 设 X是任意一个随机变量,称函数
F(x)=P(X≤x),－ ∞＜ x＜＋ ∞
为随机变量 X的 分布函数,
(1) 0≤F(x)≤1,－ ∞＜ x＜＋ ∞,
(2)F(x)是 x的单调不减函数 ;
(3) ;1)x(Flim)(F,0)x(Flim)(F
xx ???????? ??????
(4)F(x)在每一点处均是右连续的,即,
F(x+0)=F(x)
1,分布函数
性质
返回
?
?xx
k
k
P(1) F(x)=
(3) 对任意 a<b有
P(a<X≤b)=P(X≤b)-P(X≤a)=F(b)-F(a);
P(a ≤ X<b)=P(X<b)-P(X<a)=F(b-0)-F(a-0);
P(X<a)=F(a-0);
P(X≥a)=1-P(X<a)=1-F(a-0),
对于 离散型随机变量 X的分布函数 有
,...)2,1)(0()()()2( ????? kxFxFxXP kkk
返回
对于 连续型随机变量 X的分布函数 有
Rx,dt)t(f}xX{P)x(F
x
???? ?
??
(1)
(3) F(x)是 (-∞,+∞)上的连续函数 ;
(4) P(X=x)=F(x)-F(x-0)=0;
(2) f(x)= )x(F ?
(5) 对任意 a<b有
P(a≤X≤b)= P(a ≤ X<b)= P(a<X≤b)
= P(a < X<b) =F(b)-F(a);
P(X<a)= P(X ≤ a)= F(a);
P(X≥a)= P(X>a) =1-P(X<a)=1-F(a),
返回
例 1.4.1 设随机变量 X服从参数为 0.7的 0-1分布,即,
X 0 1
P 0.3 0.7,求 X的分布函数,
解 (1) 当 x<0时,F(x)=P(X≤x)= ?
?
?
xx
i
i
xXP )( =0
(2)当 0≤x<1时,F(x)=P(X≤x)= ?
?
?
xx
i
i
xXP )( =P(X=0)=0.3
(3)当 1≤x时,F(x)=P(X≤x)= ?
?
?
xx
i
i
xXP )(
=P(X=0)+P(X=1)=1 分布函数图形如下
x
F(x)
1
1
0.3
0
所以
?
?
?
?
?
?
??
?
?
x
x
x
xF
11
103.0
00
)(
返回对应概率值为 P 0.4 0.4 0.2
(1)离散型随机变量的分布函数是分段函数,分段区间是由 X
的取值点划分成的左闭右开区间 ;
(2)函数值从 0到 1逐段递增,图形上表现为阶梯形跳跃递增 ;
(3)函数值跳跃高度是 X取值区间中新增加点的对应概率值,
例 1.4.2 设 X的分布函数为
?
?
?
?
?
?
?
?
??
??
?
?
x21
2x18.0
1x04.0
0x0
)x(F
求 X的概率分布,
解 X的取值为 X 0 1 2
0.3 x
F(x)
1
1
0
由此可见
返回
例 1.4.3 设随机变量 X服从 [-1,2]区间上的均匀分布,
求 X的分布函数,
解
??
?
?
? ??
?
其它0
]2,1[
3
1
)(~
x
xfX
如图,
-1 2
31
分析
F(-2)= ??
??
2 dt)t(f =0
-2 1 3
F(1)=?
??
1 dt)t(f ?
??
1
1 dt3
1 =2/3
F(3)= ?
??
3 dt)t(f ?
??
2
1 dt3
1 =1
F(1)
x
f(x)
F(3)
(1)x<-1时,F(x)= ? ?
?? ???
x x dt0dt)t(f =0
3
1x ??
=1
(2)-1≤x<2时,F(x)= ? ?
?? ?
?x x
1
dt31dt)t(f
(3)2≤x时,F(x)= ? ?
?? ?
?x 2
1
dt31dt)t(f
?
?
?
?
?
?
?
?
???
?
??
?
x21
2x1
3
1x
1x0
)x(F
所求分布函数为
返回
?
?
?
?
?
?
?
?
???
?
??
?
x21
2x1
3
1x
1x0
)x(F
x
F(x)
-1 1 2
1
0
可见 (1)连续型随机变量 X的分布函数 F(x)为单调
递增的连续函数 ;
(2)F(x)为分段函数,区间划分同 f(x)的划分,
区间划分点可以属于该点左右的任何一个区间,
返回
例 1.4.4 设连续型随机变量 X的分布函数为
?
?
?
?
?
?
??
?
?
x11
1x0Ax
0x0
)x(F 2求,(1)A; (2)P(0.3<X<0.7);
(3)X的概率密度 f(x).
解 (1)F(x)在 x=1点连续,由左连续性得, )1(f)x(fl i m
1x ???
即, 1)1(fAxlim 2
1x
???
?
所以,A=1
(2) P(0.3<X<0.7)=F(0.7)-F(0.3)= 0.72-0.32=0.4
(3) f(x)= )x(F ?
?
=
0 x<0
2x 0≤x<1
0 1≤x
即,
?
?
? ???
其它0
1x0x2)x(f
返回
x0
Rx,dte)x( x 21 2
2t
?? ?
??
?
??
注 (1),
2
1)0( ?? 1)x()x( ??? ??
x-x
)x(?? )x(??
)x(?
标准正态分布的分布函数
)(x?
2,正态分布的分布函数及其计算
(2) P(|X|<a)= Φ(a) - Φ(-a) = Φ(a) – [1-Φ(a)]
= 2 Φ(a)-1.
返回
正态分布的分布函数
若 X~N(μ,σ2),则
)( ? ???? x
所以,若 X~N(μ,σ2),则对任意的 a<b有
P(a<X≤b)= )b(
?
?? ? )a(
?
?? ??
RxdtexF x
t
?? ?
??
? ?,)( 2
2
2)(
2
1 ?
?
??
?
??? ty令 dyexF x y? ?
??
?? ?
?
?
2
2
2
1)(
正态分布分布函数的 Excel实现
函数）(xf 统计
函数分类
?
Normsdist 标准正态分布函数值
Normsinv 标准正态分布分位数
Normdist 一般正态分布函数值
Norminv 一般正态分布分位数
返回
例 1.4.5 设 X~N(10,4),求 P(10<X<13),P(|X-10|<2).
解 P(10<X<13)= ?
?
??
?
? ??
2
1013 ?
?
??
?
? ???
2
1010
=Φ(1.5)-Φ(0)= 0.4332
P(|X-10|<2)= P(8<X<12)
=2Φ(1)-1 =0.6826
?????? ??? 2 1012 ?????? ??? 2108
=Φ(1)- Φ(-1) =Φ(1)- [1-Φ(1)]
返回
例 1.4.6 设 X~N(μ,σ2),P(X≤-1.6)=0.036,
P(X≤5.9)=0.758,求 μ及 σ.
解 P(X≤-1.6)=,0 36.0)6.1( ???
?
??,06.1 ???
?
?
,9 6 4.00 3 6.01)6.1( ?????? ? ?? 所以, 8.1
6.1 ??
?
?
又 P(X≤5.9)=,758.0)9.5( ??
?
?? 所以, 7.09.5 ??
?
?
联立解方程组得, μ=3,σ=3.8
特别 Φ(0)=0.5 ;Φ(1.28)=0.90 ; Φ(1.64)=0.95 ;
Φ(1.96)=0.975 ;Φ(2.33)=0.99,
返回
例 1.4.7 某地抽样结果表明，考生的外语成绩（百分制）
近似 服从 正态分布，平均成绩为 72分,96分以上的占考
生总数的 2.3%，试求考生的外语成绩在 60分至 80分之间
的概率。
解 设 X为考生的外语成绩,则 X~N(72,σ2),由题意得,
P(X>96)=0.023 =1-Φ[(96-72)/σ]= 1-Φ(24/σ)
所以,Φ(24/σ)=1-0.023=0.977
24/σ=2,故, σ=12
所求 P(60<X<84)= )12 7260()12 7284( ??? ??
)1()1( ??? ?? =0.682
返回
1,已知 X~N(3,22),且
P{X>C}=P{X≤C}
则 C=（ )
2,设 X~N(μ,42),Y~N(μ,52),
记 p1=P{X≤μ-4},p2=P{Y≥μ+5}则 ( )
① 对任意实数 μ，都有 p1=p2
② 对任意实数 μ，都有 p1<p2
③ 只对 μ的个别值，才有 p1=p2
④ 对任意实数 μ，都有 p1>p2
3
①
)1()44(1 ??????? ??p
课堂练习
?
f(x)
?
x0 μ
P(X≤μ) P(X≥μ)
返回
3,设 X~N(μ,σ2),则随 σ的增大，
概率 P{|X-μ|<σ} （ ）
① 单调增大 ②单调减少
③保持不变 ④增减不定
③
4,设 X ~ N（ 10,0.0004),Φ（ 2.5） =0.9938，
则 X落在区间（ 9.95,10.05）内的概率为 ( ).
5,设 X ~ N（ 2,σ2),且 P{2<X<4}=0.3,
则 P{X<0} =( ).
0.9876
0.2
返回
例 1.4.8 设随机变量 X~
)x1(
1)x(f
2X ?? ?
,Y=2X+1,
求随机变量 Y的概率密度函数 fY(y).
解 (1)求 Y的分布函数 FY(y):
FY(y)=P(Y≤y)= )
2
1y? =FX( )
2
1y?P(2X+1≤y) =P(X≤
(2)对分布函数求导,
f Y(y)= )y(F
dy
d
Y = )2
1y(F
dy
d
X
?,利用复合函数求导链式法则得,
f Y(y)= )
2
1y(
dy
d)
2
1y(f
X
?? = )
2
1(
2
1 ?yf
X
将 fX(x)代入得, f Y(y)=
])
2
1y([1
1
2
1
2??π
=
])1y(4[
2
2???
连续型随机变量函数的概率密度函数
返回
特别,对随机变量 X的线性函数有以下定理,
定理 1 设随机变量 X~FX(x),Y=kX+b(k≠0),则 Y的概率密度为
)k by(f|k| 1)y(f XY ??
例如 设 X为连续型随机变量,X~FX(x),Y= -4X+3,
则 Y的密度函数为
)4 3y(f41)y(f XY ???
返回
例 1.4.9 设 X~N(μ,σ2),,XY
?
??? 则 Y~N(0,1).
证明
利用随机变量线性函数的概率密度求解结果有
,1 ??? ?? XY
)()(|| 1)( ??? ???? yfk byfkyf XXY
),01( ??? ???? bk其中
)(
2
1
2
1 22 )(
2
2
2
yee
yy
?
???
? ?
???
???
?
???
所以 Y~N(0,1)
返回
进一步可以推广得到以下结果：
定理 2 设 X~fX(x),y=g(x)是 x的单调可导函数,其导数不为 0,
值域为 (a,b),-∞<a<b<+∞,记 x=h(y)为 y=g(x)的反函数,则
Y=g(X)的概率密度函数为,
??
? ?????
其它0
bya|)y(h|)]y(h[f)y(f X
Y
