返回
第 2章 随机向量
?第 2.1节 随机向量及其分布
?第 2.2节 随机向量的联合分布函数
返回
1,n 维随机向量
以 n 个随机变量 X1,X2,…, Xn 为分量的向量
X=(X1,X2,…,X n)称为 n维随机向量 。
以下主要研究 二维 离散型及连续型随机向量 的情形。
2,二维离散型随机向量的联合概率分布、边缘概率分布
定义 如果二维随机向量 （ X,Y） 的全部取值数对为有限
个或至多可列个，则称随机向量 （ X,Y） 为 离散型的 。
易见，二维随机向量 (X,Y)为离散型的等价于它的每个分量
X与 Y分别都是一维离散型的。
第 2.1节 随机向量及其分布
返回
称 pij=P(X=xi,Y=yj),(i,j=1,2,…,) 为 (X,Y)的 联合概率分布,其
中 E={(xi,yj),i,j=1,2,...}为 (X,Y)的取值集合,表格形式如下,
Xx
1
x2
…
x i
…
y1 y2 … y j …
p11 p12 … p 1j …
p21 p22 … p 2j …
… … … … …
pi1 pi2 … p i j …
… … … … …
Y
③ P{(X,Y)∈ D } = ?
?Dyx
ij
ji
p
)(,
联合概率分布性质
① pij≥0 ;i,j=1,2,… ② ∑∑pij = 1;
联合概率分布
返回
(1) 定义 随机向量 X=（ X1,X2,…,X n） 中每一个 Xi的 分布，
称为 X关于 Xi的 边缘分布 。
(2) 边缘分布列
对于离散型随机向量 (X,Y),分量 X,Y的分布列称为
边缘分布列 。
若 (X,Y)的联合概率分布为 pij=P{X=xi,Y=yj),i,j=1,2,...,则
P(X=xi)= ? ???
j
ji ) ] }yY([)xX{(P
)}yY()xX{(P j
j
i ???? ? ? ???
j
ji )yY,xX(P ?? j ijp
(i=1,2,...)
同理 ???
i
ijj p)yY(P
一般地,记, P(X=xi) Pi, P(Y=yj) P,j
(j=1,2,...)
概率分布表如下,
边缘概率分布
返回
X
Y
.?? jyyy 21
?
?
i
x
x
x
2
1
?????
??
?????
??
??
ij2i1i
j22221
j11211
ppp
ppp
ppp
.ip
?
?
.
.2
.1
i
p
p
p
jp,?? j.2.1,ppp
返回
例 2.1.1 将一枚均匀的硬币抛掷 4次,X表示正面向上
次数,Y表示反面朝上次数,求 (X,Y)的联合概率分布,
解 X的所有可能取值为 0,1,2,3,4,Y的所有可能取值为
0,1,2,3,4,因为 X+Y=4,所以 (X,Y)概率非零的数值对为,
X Y
0 4
1 3
2 2
3 1
4 0
P(X=0,Y=4)=
314 5.05.0C ??
P(X=2,Y=2)= 2224 5.05.0C ??
=1/4
=6/16
P(X=3,Y=1)= 133
4 5.05.0C ??
=1/4
P(X=4,Y=0)= 0.54=1/16
X
0
1
2
3
4
Y 0 1 2 3 4
联合概率分布表为,
0 0 0 0 1/16
0 0 0 1/4 0
0 0 6/16 0 0
0 1/4 0 0 0
1/16 0 0 0 0
P(X=1,Y=3)=
0.54=1/16
联合概率分布表为超级联接
返回
例 2.1.2 设随机变量 Y~N(0,1),令
??
?
?
??
??
?
?
??
2|Y|,1
2|Y|,0X,
1|Y|,1
1|Y|,0X
21
解 (X1,X2)的取值数对为 (0,0),(0,1),(1,0),(1,1),
P(X1=0,X2=0)=P(|Y|≥1,|Y|≥2) =P(|Y|≥2)
=1-P(|Y|<2) =2-2Φ(2)=0.0455
P(X1=0,X2=1)=P(|Y|≥1,|Y|<2) =P(1≤|Y|<2)
=P(-2≤Y<-1)+P(1≤Y<2) =2P(1≤Y<2) =2[Φ(2)-Φ(1)] =0.2719
P(X1=1,X2=0)=P(|Y|<1,|Y|≥2) =0
P(X1=1,X2=1)=P(|Y|<1,|Y|<2)=P(|Y|<1)=2Φ(1)-1 =0.6826
联合概率分布表为,
X1
0
1
X2 0 1
0.0455 0.2719
0 0.6826
求 (X1,X2)的联合概率分布。
返回
例 2.1.3 二维随机向量 (X,Y)的联合概率分布为,
X
-1
0
1
Y 0 1 2
0.05 0.1 0.1
0.1 0.2 0.1
a 0.2 0.05
求,(1)常数 a的取值 ;
(2)P(X≥0,Y≤1);
(3) P(X≤1,Y≤1)
解 (1)由 ∑pij=1得, a=0.1
(2)由 P{(X,Y)∈ D}=?
?Dyx
ij
ji
p
)(,
得 P(X≥0,Y≤1)= P(X=0,Y=0)+
P(X=0,Y=1)+P(X=1,Y=0)+P(X=1,Y=1)=0.1+0.2+0.1+0.2=0.6
(3)P(X≤1,Y≤1) =P(X=-1,Y=0)+P(X=-1,Y=1)+P(X=0,Y=0)
+P(X=0,Y=1)+P(X=1,Y=0)+P(X=1,Y=1) =0.75
结
合
下
页
概
率
分
布
图
返回
X
Y
二维随机向量区域概率图,
-1 0 1
2
1
P{X≥0,Y≤1}P(X≤1,Y≤1}
返回
例 2.1.4 设 (X,Y)的联合概率分布为,
X
-1
0
1
Y 0 1 2
0.05 0.1 0.1
0.1 0.2 0.1
0.1 0.2 0.05
求,(1)X,Y的边缘分布 ;
(2)X+Y的概率分布,
解 (1)由分析得,
X -1 0 1
P 0.25 0.4 0.35
Y 0 1 2
P 0.25 0.5 0.25(2)X+Y的取值为 -1,0,1,2,3,
P(X+Y=-1)=P(X=-1,Y=0)=0.05
P(X+Y=0)=P(X=0,Y=0)+P(X=-1,Y=1)=0.2
P(X+Y=1)=P(X=0,Y=1)+P(X=1,Y=0) +P(X=-1,Y=2)=0.4
同理,P(X+Y=2)=0.3,
X+Y -1 0 1 2 3
P 0.05 0.2 0.4 0.3 0.05
P(X+Y=3)=0.05
所以
返回
定义 设（ X,Y)是二维随机向量,若存在非负函数 f(x,y),
使得对于平面上的任意矩形区域 D={(X,Y)|a<X<b,c<Y<d}
都有
? ? ????
D
d x d yyxfDYXP ),(),(
则称 (X,Y)为二维连续型随机向量,f(x,y)为 联合概率密度,
记为 （ X,Y)～ f(x,y)
性质 (1) f(x,y)≥0, (x,y)∈R 2
????
D
y ) d x d yf ( x,D}Y)P { ( X,( 3 )
或 1d x d y)y,x(f ?? ???
??
??
??
3,连续型随机向量的联合概率密度,边缘概率密度
其中 D为任意可度量区域,
返回
对于连续型随机向量 (X,Y)～ f(x,y),分量 X,Y的密度函数称
为 边缘密度函数 。
已知联合密度函数，容易求出边缘密度函数。
?
?
??
??
??
??
??
??
dxyxfyfyf
dyyxfxfxf
Y
X
),()()(
),()()(
2
1
事实上,(1)f1(x)≥0,(2) 若 a<b,则
P{a<X<b}=P{a<X<b,-∞<Y<+∞}= ?? ??
?? dy)y,x(fdx
b
a
?? ba 1 dx)x(f 所以,f1(x)是 X的概率密度,同理可证 f2(y).
边缘密度函数
注 二维连续型随机向量不能简单地定义为“各分量都是
一维连续型随机变量的随机向量”,
返回
??
?
?
? ?
?
其它0
D)y,x(
S
1
)y,x(f D
其中,D为可度量的平面区域,SD为区域 D的面积,
则称 (X,Y)服从区域 D上的均匀分布,
(1) 均匀分布 若二维随机向量 (X,Y)的联合概率密度为
对于 D中任意可度量子区域 G有
D
G
G DG S
Sd x d y
S
d x d yyxfGyxP ???? ???? 1),(}),{(
其中,SG为区域 G的面积,
常见的二维连续型随机向量
返回
例 2.1.5 设随机向量 (X,Y)服从区域 D上的均匀分布,
其中 D={(x,y),x2+y2≤1},求 X,Y的边缘密度函数 f1(x)和 f2(y).
解 (1)由题意得,
??
?
?
? ??
?
其它0
1yx
1
)y,x(f
22
?
? ????? dy)y,x(f)x(f 1
X
Y
-1 1
2x1y ???
2x1y ??
当 |x|>1时,f(x,y)=0,所以,f1(x)=0
当 |x|≤1时,
?? ? ?? ????? ??? ??? 22 2 2 x1x1 x1 x11 dy)y,x(f][)x(f
? ???? 2 2x1 x1 dy1? 2x12 ?? ? 所以,
??
?
?
?
?
??
?
1|x|0
1|x|x1
2
)x(f
2
1 ?
??
?
?
?
?
??
?
1|y|0
1|y|y1
2
)y(f
2
2 ?
同理,
均匀分布的边缘密度不再是一维均匀分布
返回
]})(2)[(
)1(2
1
e x p {
12
1
),(
2
2
2
2
2
1
12
1
1
22
21
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?????
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
yyxx
yxf
),,,,(~),( 222121 ?????NYX
定义 如果 (X,Y)的联合密度函数为
其中
则称 (X,Y)服从参数为 的二维正态分布,
简记为
?????,,,,222121
,1||,0,0,,222121 ????????? ?????
(2) 二维正态分布
返回
则 X,Y的边缘概率密度分别为
X~N(μ1,σ12),Y~ N(μ2,σ22);
可以证明 若
),,,,(~),( 222121 ?????NYX
即 二维正态分布 (X,Y)的边缘概率密度是一维正态分布,
由此可知随机向量的联合概率密度完全决定了它的边缘概
率密度,反之不一定成立,
返回
例 2.1.6 设二维随机向量 (X,Y)的联合概率密度为
),()1(
2
1),( 2
22
????????
??
yxxyeyxf
yx
?
求 (X,Y)关于 X,Y的边缘概率密度,
解 ?? ??
??
????
??
??? dyxyedyyxfxf
yx
X )1(2
1),()( 2
22
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?? ? ?
??
??
??
??
?
?
?
?
dyxyedye
yxyx
)(
2
1 22
2222
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?? ? ?
??
??
??
??
???
dyyexdyee
yyx
222
222
2
1
?
?
??
??
??
? dyee
yx
22
22
2
1
2
1
??
2
2
2
1 xe ??
?
即 2
2
2
1)( x
X exf
?
?
?
同理可得 2
2
2
1)( y
Y eyf
?
?
?
X,Y的边缘概率密度为一维正态分布,
所以,边缘概率密度为一维正态分布的二维随机向量不
一定是二维正态分布,
返回
例 2.1.7 设 (X,Y)～
?
?
? ??? ??
其它,0
0y,0x,Ae)y,x(f )y3x2(
试求,(1)常数 A ;(2)P{ X<2,Y<1};
(4) P（ X≤x,Y≤y）,
解 (1)
? ??? ?? ??0 0 )y3x2( d x d yAe ? ??? ?? ??? 0 0 y3x2 d x d yeAe
? ?? ? ? ba dcba dc dy)y(gdx)x(fdy)y(g)x(fdx 得据
所以,A=6
? ??? ?? ??? 0 0 y3x2 dyedxeA 0)e31(0)e21(A y3x2 ??????? ??
=A/6 =1
(3)P{(X,Y)∈ D},其中 D为 2x+3y≤6.
返回
X
Y
0
所以,P{ X<2,Y<1}=
2
1
????
D
y ) d x d yf ( x,D}Y)P { ( X,( 2 )
??
?? 1}Y2,{X
y ) dx dyf( x,
{X<2,Y<1}? ? ??? 2
0
1
0
)y3x2( dye6dx
? ? ??? 20 10 y3x2 dyedxe6
0
1
)e
3
1(
0
2
)e
2
1(6 y3x2 ?? ??? )e1)(e1( 34 ?? ???
返回
(3)P{(X,Y)∈ D},其中 D为 2x+3y≤6.
3
2 2x+3y=6
????
D
y ) d x d yf ( x,D}Y)P { ( X,
??
??
?
63y2x
y ) dx dyf ( x,
X
Y
0
? ? ? ??? 30 )x26(3
1
0
)y3x2( dye6dx
?
?
?? ??
3
0
y3x2 dx
0
)x26(
3
1
)e
3
1
(e6
? ?? ?? 30 6x2 dx)ee(2 6e71 ???
返回
(4)
x X
Y
0
y
所以,当 x≥0,y≥0时,
y}Yx,P { X ??
? ??? ??? x y d t d stsf ),(
? ? ??x y ts d t d se0 0 )32(6
? ? ??? x0 y0 t3s2 dtedse6 0y)e31(0x)e21(6 t3s2 ?? ??? )e1)(e1( y3x2 ?? ???
即, ?
?
?
? ????
???
??
其它0
0,0)1)(1(),( 32 yxeeyYxXP yx
返回
1.(承例 2.1.7) 求 P{(X,Y)∈ D},其中
D为 y=-x+1,y=x+1,y=0所围区域,
X
Y
0
y=-x+1y=x+1
1
1
P{(X,Y)∈ D}
?? ?? ??? 1x0 )y3x2(10 dye6dx
?
??
?? ??
1
0
y3x2 dx
0
1x
)e
3
1(e6
? ?? ?? 10 3xx2 dx)ee(2 32 e2e31 ?? ???
课堂练习
返回
2,设二维随机变量 （ X,Y） 的概率密度为
?
?
? ??? ?
其他,0
0,),( yxeyxf y⑴ 求随机变量 X的密度函数；
⑵ 求概率 P{X+Y≤1}.
解 (1)x≤0时,f1(x)=0;
x>0时,f1(x)=???
?? dy)y,x(f dyex y?
?? ?? xe??
ye?
所以,
??
?
?
?? ?
0x0
0xe)x(f x
1
⑵ P{X+Y≤1}=
y=x
x+y=1
1/2
? ? ? ?2/10 x1x y dyedx
2
1
1 e2e1 ?? ???
返回
1,联合分布函数
定义 n元实函数
F(x1,x2,…,xn)=P{X1≤x 1,X2≤x 2,…,Xn≤x n}
(x1,x2,…,x n)∈R n
称为 n维随机向量 (X1,X2,…,Xn)的联合分布函数。
特别 二维随机向量 (X,Y)的 联合分布函数 为
F(x,y )=P{X≤x,Y≤y} (x,y)∈ R2
注意 X1≤x 1,X2≤x 2,…,Xn≤x n 均表示事件,
{X1≤x 1,X2≤x 2,…,Xn≤x n}表示这 n个事件同时出现,
第 2.2节 随机向量的联合分布函数
返回
X
Y
x
y
X≤x Y≤y{,}
二维联合分布函数区域演示图,
(x,y)
返回;1),(0)1( ?? yxF;0),0()0,(),(,1),()2( ???????????????? FFFF
),(),(),(),(
),()3(
11211222
2121
yxFyxFyxFyxF
yYyxXxP
???
?????
? ?
? ?xx yy
ij
i j
p则 F(x,y)=P{X≤x,Y≤y}=
(4)如果 (X,Y)为离散型随机向量,其联合概率分布为
ijji pyYxXP ??? ),( ),2,1,,2,1( ?? ?? ji
(5)若 (X,Y)为二维连续型随机向量,联合概率密度为
f(x,y),则
y}Yx,P { Xy)F ( x,??? ? ?
?? ???
x y d t d s)t,s(f
(区域演示图见下页 )
联合分布函数性质
返回
X
Y
x1
y1 (x1,y1)
x2
y2 (x2,y2)(x1,y2)
(x2,y1)
),(),(),(),(
),()3(
11211222
2121
yxFyxFyxFyxF
yYyxXxP
???
?????
返回
例 2.2.1 设 (X,Y)~
?
?
? ?????
其它0
1y0,1x0xy4)y,x(f
求 (X,Y)的联合分布函数,
1
1解 (1)x<0,或 y<0时,F(x,y)=0
(2)x≥1,y≥1时,F(x,y)=1
(3)0≤x≤1,0≤y≤1时,
F(x,y)= ?? yx s t d tds
00 4
22 yx?
(4)0≤x≤1,y>1时,F(x,y)= ?? 1
00 4 s t d tds
x 2x?
(5)x>1,0≤y≤1时,F(x,y)= ?? y s t d tds
0
1
0 4
2y?
x
y
X
Y
4xy
综合即得,
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
???
???
????
??
?
1,11
10,1
1,10
10,10
000
),(
2
2
22
yx
yxy
yxx
yxyx
yx
yxF
或
返回
定义 设二维随机向量 (X,Y)的联合分布函数为 F(x,y),
则称
)(),(),()( xXPYxXPxFxF X ??????????
)(),(),()( yYPyYXPyFxF Y ??????????
特别
在 f(x,y)的连续点有 ),(),(2 yxf
yx
yxF ?
??
?
分别为 (X,Y)关于 X和 Y的 边缘分布函数,
联合分布函数与边缘分布函数的关系
返回
定义 称随机变量 X,Y相互独立,若对任意 a<b,c<d有,
??
?
?
?
?
?
?
连续型
离散型
是相互独立的与随机变量
)y(f)x(f)y,x(f
ppp
YX
21
j..iij
}dYc{P}bXa{P}dYc,bXa{P ?????????
定理 1
若 X与 Y相互独立，则它们的连续函数 g(X )与 h(Y)也相互
独立。
特别有 aX+b与 cY+d相互独立,
定理 2
2,随机变量的相互独立性
返回
例 2.2.2 (X,Y)的联合概率分布为,
X
0
1
Y 0 1
0.3 0.4
0.2 0.1
(1)求 X,Y的边缘分布 ;
(2)判断 X,Y是否独立,
(3)求 F(0,2).
解,(1)X,Y的概率分布分别为,
X 0 1
P 0.7 0.3
Y 0 1
P 0.5 0.5
(2)P(X=0,Y=0)=0.3 P(X=0)P(Y=0) =0.35
)0Y(P)0X(P)0Y,0X(P ????? X,Y不独立,
注意,X,Y独立时,需对所有的 (xi,yj)一一验证,
=0.7× 0.5
(3)F(0,2)=P(X≤0,Y≤2)=0.3+0.4=0.7
返回
例 2.2.3 设 (X,Y)服从区域 D上的均匀分布,判断 X,Y
的独立性,其中
(1)D={(x,y),|x|≤1,|y|≤1};(2)D={(x,y),x2+y2≤1}
f1(x)=
?
|x|≤1?
?
1
1 dy4
1
2
1?
|x|>10
f2(y)=
??
?
?
?
?
?
1|y|0
1|y|
2
1
解 (1)
?
?
? ???
其它0
1|y|,1|x|)y,x(f 41
同理,
)y(f)x(f)y,x(f 21? 所以,X,Y独立,
(2)
??
?
?
? ??
?
其它0
1yx1
)y,x(f
22
?
??
?
?
?
?
??
?
1|x|0
1|x|x12
)x(f
2
1 ? ?
?
?
?
?
?
??
?
1|y|0
1|y|y12
)y(f
2
2 ?
?
1)0,0(f ?
221
422)0(f)0(f
??? ???
X,Y不独立,
返回
例 2.2.4 设随机变量 X和 Y相互独立,试将下表补充完整,
X
x1
x2
Y y1 y2 y3
1/8
1/8
?ip
jp? 1/6 1
1/24 1/41/12
1/2 1/3
3/43/8 1/4
返回
P(X=0,Y=1)+P(X=1,Y=0)+P(X=1,Y=1)
1,设随机变量 X,Y是相互独立的，且 X,Y等可能地
取 0,1为值，求随机变量 Z=max(X,Y)的分布列。
解 X 0 1
P 1/2 1/2
Y 0 1
P 1/2 1/2
(X,Y)的取值数对为 (0,0),(0,1),(1,0),(1,1),
Z=max(X,Y)的取值为,0,1
P(Z=0)=P(X=0,Y=0)= P(X=0)P(Y=0) =1/4
P(Z=1)= =3/4
所以,Z的分布列为 Z 0 1
P 1/4 3/4
课堂练习
返回
2,已知随机向量 (X,Y)的联合密度为
?
?
? ??
?
??
.,0;0y,0x,e)y,x(f yx
其他
(1)问 X与 Y是否独立？ (2)求概率 P{X〈 Y}.
解 (1)
??
?
?
?
?
??
? ?
?? ???
0x0
0xedye
)x(f 0
x)yx(
1 ?
?
?
?
?
?
??
? ?
?? ???
0y0
0yedxe
)y(f 0
y)yx(
2
(2)P(X<Y)=??
? yx
dx dy)y,x(f ?? ?? ?????
x
)yx(
0 dyedx 2
1?
)y(f)x(f)y,x(f 21? 所以,X,Y独立,
返回
离散型随机变量 X1,X2,…, X n相互独立 等价于 联合概率分
布等于边缘概率分布的乘积。
连续型随机变量 X1,X2,…, X n相互独立 等价于 联合概率密
度函数等于边缘概率密度函数的乘积。
定义 称 n个随机变量 X1,X2,…, X n相互独立,若对任意
a i<b i( i=1,2,…, n),有
P{a1<X1<b1,a2<X2<b2,…,a n<X n<b n}=
P{a1<X1<b1}…P{a n<X n<b n}
特别
若 n个随机变量 X1,X2,…,X n相互独立,则它们中的任意
m(1<m≤n)个随机变量 也相互独立,
可以证明
n个随机变量独立性的概念与性质
返回
定义 称随机变量序列 X1,X2,…,X n,… 为相互独立的,
如果它们中任意 m(m=2,3,…) 个随机变量都是相互独立的,
特别若每个 X i(i=1,2,…) 的分布也相同,则称之为
独立同分布 (i.i.d)的随机变量序列 。
随机变量序列独立性的概念
返回
例 2.2.5 设随机变量 X1与 X2相互独立, 分别服从二项分
布 B(n1,p)和 B(n1,p),求 Y=X1+X2的概率分布,
3,随机向量函数的分布
解 依题知 X+Y的可能取值为 0,1,2,...,n1+n2,因此
对于 k (k= 0,1,2,...,n1+n2)，由 独立性有
?
?
??
??
??
???
????
kkk
knkk
n
knkk
n
kkk
ppCppC
kXkXPkYP
21
2222
2
1111
1
21
)1()1(
),()( 2211
?
??
????
kkk
knnkk
n
k
n ppCC
21
212
2
1
1
)1(
k
nn
kkk
k
n
k
n CCC 21
21
2
2
1
1 ??? ??
由 得 knnkk
nn ppC ??? ?? 2121 )1( )( kYP ?
所以 Y=X1+X2服从二项分布 B(n1+n2,p)
离散型随机向量函数的分布
返回
类似可得,
若 X,Y相互独立,X~P(λ1),Y~P(λ2),
则 X+Y~P(λ1+λ2)
Possion分布的可加性
若 X与 Y相互独立,X～ B(n1,p)，Ｙ～ B(n２,p)，
则 X+Y～ B(n1+n2,p)
即,
二项分布的可加性
返回
例 2.2.6 设随机变量 X1和 X2相互独立,概率密度函数分别为
f1(x)和 f2(x),求 Y= X1+X2的概率密度函数,
解 对任何 a<b,令 y=x1+x2,则
??
???
???????
bxxa
dxdxxfxfbXXaPbYaP
21
21221121 )()()()(
212211
2
2
)()( dxdxxfxfxb xa? ????? ?? ??????? 22122 )()( dxdyxyfxf ba? ????? ?????? ??
dydxxfxyfb
a? ? ??
??
?
? ?? ??
??
)()( 21
所以,Y的概率密度函数为 ? ??
?? ?? dxxfxyfyf Y )()()( 21
作变换 t=y-x,又可得 ? ??
?? ?? dxxyfxfyf Y )()()( 21
连续型随机变量和的概率密度函数
返回
结论 1 两个独立的连续型随机变量的和仍为连续型随
机变量,
即 若随机变量 X1和 X2相互独立,概率密度函数分别为 f1(x)
和 f2(x),则 Y= X1+X2的概率密度函数为
? ???? ?? dxxfxyfyf Y )()()( 21
? ???? ?? dxxyfxf )()( 21
返回
例 2.2.7 设随机变量 X1和 X2相互独立,且均服从标准正态分
布 N~(0,1),求 Y= X1+X2的概率密度函数,
解 由题意得
? ???? ?? dxxfxyfyf Y )()()( 21
2
22
2
11
2
2
2
1
2
1)(,
2
1)( xx exfexf ?? ??
??
X1和 X2相互独立,故
?
??
??
???
? ee
xyx
2
)(
2
22
2
1
?
?
??
??
???
? dxee
yxy 22 )
2
(
4
2
1
? 22
yxt ??令
?
??
??
??
? dtee
ty
24
22
22
1
?
)( 2 ??? ???? ? due u
4
2
2
1 ye ??
?
)2,0(~ NY
返回
结论 2 两个独立的正态分布的随机变量的和仍服从
正态分布,
X1+X2~N(μ1+ μ2,σ12+ σ22)
正态分布的可加性
.即,若 X1~N(μ1,σ12),X2~N(μ2,σ22),X1,X2独立,则
返回
推论 有限个独立的正态分布的线性函数仍服从正态分布,
即,若 Xi~N(μi,σi2),(i=1,2,...n),X1,X2,...Xn相互独立,
实数 a1,a2,...,an不全为零,则
)a,a(N~Xa
n
1i
2
i
2
i
n
1i
ii
n
1i
ii ???
???
??
特别,若 X1,X2,...Xn独立同正态分布 N(μ,σ2),记,
?
?
?
n
1i
i,Xn
1X
)n,(N~X
2?
?则
返回
例 2.2.8 设二维随机向量
]})()[(21e x p {2 1)()( 2
2
22
1
1
21 ?
?
?
?
???
????? yxyfxf
YX
),,,,(~),( 222121 ?????NYX
f(x,y)为其联合密度函数,证明 X与 Y独立的充要条件是 ρ=0
证明 由题意得
2
2
2
2
2
1
2
1
2
)(
2
2
)(
1 2
1
)(,
2
1
)( ?
?
?
?
????
?
?
?
?
??
y
Y
x
X eyfexf
充分性 将 ρ=0代入 f(x,y)即得 f(x,y)=fX(x)fY(y).
必要性 若 X和 Y相互独立,则 f(x,y)=fX(x)fY(y),
得特别取,,21 ?? ?? yx
21
2
21 2
1
12
1
??????? ??
0??即
返回
设随机向量 (X,Y)的联合密度函数为 f(x,y),记 Z=g(X,Y).
(1) 求 Z的分布函数
)),(()()( zYXgPzZPzF ????
??
?
?
zyxg
dx dyyxf
),(
),(
(2) 对 F(z)求导即得 Z的概率密度函数 f(z).
随机变量函数的概率密度函数另一求法 ----分布函数法
返回
例 2.2.9 设随机变量 X与 Y独立，概率密度函数为
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
其他其他 0
0
2
)(,
0
0
2
)(
22
ye
yf
xe
xf
y
Y
x
X ??
.22 的概率密度函数求 YXZ ??
解 (X,Y)的联合密度函数为
??
?
?
? ??
?
??
其他0
0,0
4
),(
)( 22 yxe
yxf
yx
?
0)()()(,0)1( 22 ??????? zYXPzZPzFz Z时
d x d yyxfzFz
zYX
Z ??
??
??
22
),()(,0)2( 时 dx dye
zYX
yx??
??
???
22
22 )(4
?
? ? ?? 20 0 24
? ?
?
?
drred r21 ze ???
0)( ?zf Z
22)( z
Z zezf ??
所以,
??
?
?
?
?
?? ?
00
02)( 2
z
zzezf z
Z
返回
例 2.2.10 设随机向量 (X,Y)服从区域
D={(x,y)|1≤x≤3,1≤y≤3}上的均匀分布,求 U=|X-Y|的概率密
度函数,
解 (X,Y)的联合概率密度为
??
?
?
? ????
?
其它0
31,31
4
1
),(
yx
yxf
1 3
3
1
(1) u≤0时,F(u)=0
y-x=u
y-x=-u
y-x=-2
由分析可见,u=2是两种类型积分区域的划分点,
(2) 0<u<2时,d x d yuF
uyx
??
??
?
|| 4
1)(
G
4
2u
uSS
D
G ???
(3) u≥2时,F(u)=1
f (u )=0
f (u )=1-u/2
f (u )=0
所以 ??
?
?
? ???
?
其它0
20
2
11
)(
uu
uf
第 2章 随机向量
?第 2.1节 随机向量及其分布
?第 2.2节 随机向量的联合分布函数
返回
1,n 维随机向量
以 n 个随机变量 X1,X2,…, Xn 为分量的向量
X=(X1,X2,…,X n)称为 n维随机向量 。
以下主要研究 二维 离散型及连续型随机向量 的情形。
2,二维离散型随机向量的联合概率分布、边缘概率分布
定义 如果二维随机向量 （ X,Y） 的全部取值数对为有限
个或至多可列个，则称随机向量 （ X,Y） 为 离散型的 。
易见，二维随机向量 (X,Y)为离散型的等价于它的每个分量
X与 Y分别都是一维离散型的。
第 2.1节 随机向量及其分布
返回
称 pij=P(X=xi,Y=yj),(i,j=1,2,…,) 为 (X,Y)的 联合概率分布,其
中 E={(xi,yj),i,j=1,2,...}为 (X,Y)的取值集合,表格形式如下,
Xx
1
x2
…
x i
…
y1 y2 … y j …
p11 p12 … p 1j …
p21 p22 … p 2j …
… … … … …
pi1 pi2 … p i j …
… … … … …
Y
③ P{(X,Y)∈ D } = ?
?Dyx
ij
ji
p
)(,
联合概率分布性质
① pij≥0 ;i,j=1,2,… ② ∑∑pij = 1;
联合概率分布
返回
(1) 定义 随机向量 X=（ X1,X2,…,X n） 中每一个 Xi的 分布，
称为 X关于 Xi的 边缘分布 。
(2) 边缘分布列
对于离散型随机向量 (X,Y),分量 X,Y的分布列称为
边缘分布列 。
若 (X,Y)的联合概率分布为 pij=P{X=xi,Y=yj),i,j=1,2,...,则
P(X=xi)= ? ???
j
ji ) ] }yY([)xX{(P
)}yY()xX{(P j
j
i ???? ? ? ???
j
ji )yY,xX(P ?? j ijp
(i=1,2,...)
同理 ???
i
ijj p)yY(P
一般地,记, P(X=xi) Pi, P(Y=yj) P,j
(j=1,2,...)
概率分布表如下,
边缘概率分布
返回
X
Y
.?? jyyy 21
?
?
i
x
x
x
2
1
?????
??
?????
??
??
ij2i1i
j22221
j11211
ppp
ppp
ppp
.ip
?
?
.
.2
.1
i
p
p
p
jp,?? j.2.1,ppp
返回
例 2.1.1 将一枚均匀的硬币抛掷 4次,X表示正面向上
次数,Y表示反面朝上次数,求 (X,Y)的联合概率分布,
解 X的所有可能取值为 0,1,2,3,4,Y的所有可能取值为
0,1,2,3,4,因为 X+Y=4,所以 (X,Y)概率非零的数值对为,
X Y
0 4
1 3
2 2
3 1
4 0
P(X=0,Y=4)=
314 5.05.0C ??
P(X=2,Y=2)= 2224 5.05.0C ??
=1/4
=6/16
P(X=3,Y=1)= 133
4 5.05.0C ??
=1/4
P(X=4,Y=0)= 0.54=1/16
X
0
1
2
3
4
Y 0 1 2 3 4
联合概率分布表为,
0 0 0 0 1/16
0 0 0 1/4 0
0 0 6/16 0 0
0 1/4 0 0 0
1/16 0 0 0 0
P(X=1,Y=3)=
0.54=1/16
联合概率分布表为超级联接
返回
例 2.1.2 设随机变量 Y~N(0,1),令
??
?
?
??
??
?
?
??
2|Y|,1
2|Y|,0X,
1|Y|,1
1|Y|,0X
21
解 (X1,X2)的取值数对为 (0,0),(0,1),(1,0),(1,1),
P(X1=0,X2=0)=P(|Y|≥1,|Y|≥2) =P(|Y|≥2)
=1-P(|Y|<2) =2-2Φ(2)=0.0455
P(X1=0,X2=1)=P(|Y|≥1,|Y|<2) =P(1≤|Y|<2)
=P(-2≤Y<-1)+P(1≤Y<2) =2P(1≤Y<2) =2[Φ(2)-Φ(1)] =0.2719
P(X1=1,X2=0)=P(|Y|<1,|Y|≥2) =0
P(X1=1,X2=1)=P(|Y|<1,|Y|<2)=P(|Y|<1)=2Φ(1)-1 =0.6826
联合概率分布表为,
X1
0
1
X2 0 1
0.0455 0.2719
0 0.6826
求 (X1,X2)的联合概率分布。
返回
例 2.1.3 二维随机向量 (X,Y)的联合概率分布为,
X
-1
0
1
Y 0 1 2
0.05 0.1 0.1
0.1 0.2 0.1
a 0.2 0.05
求,(1)常数 a的取值 ;
(2)P(X≥0,Y≤1);
(3) P(X≤1,Y≤1)
解 (1)由 ∑pij=1得, a=0.1
(2)由 P{(X,Y)∈ D}=?
?Dyx
ij
ji
p
)(,
得 P(X≥0,Y≤1)= P(X=0,Y=0)+
P(X=0,Y=1)+P(X=1,Y=0)+P(X=1,Y=1)=0.1+0.2+0.1+0.2=0.6
(3)P(X≤1,Y≤1) =P(X=-1,Y=0)+P(X=-1,Y=1)+P(X=0,Y=0)
+P(X=0,Y=1)+P(X=1,Y=0)+P(X=1,Y=1) =0.75
结
合
下
页
概
率
分
布
图
返回
X
Y
二维随机向量区域概率图,
-1 0 1
2
1
P{X≥0,Y≤1}P(X≤1,Y≤1}
返回
例 2.1.4 设 (X,Y)的联合概率分布为,
X
-1
0
1
Y 0 1 2
0.05 0.1 0.1
0.1 0.2 0.1
0.1 0.2 0.05
求,(1)X,Y的边缘分布 ;
(2)X+Y的概率分布,
解 (1)由分析得,
X -1 0 1
P 0.25 0.4 0.35
Y 0 1 2
P 0.25 0.5 0.25(2)X+Y的取值为 -1,0,1,2,3,
P(X+Y=-1)=P(X=-1,Y=0)=0.05
P(X+Y=0)=P(X=0,Y=0)+P(X=-1,Y=1)=0.2
P(X+Y=1)=P(X=0,Y=1)+P(X=1,Y=0) +P(X=-1,Y=2)=0.4
同理,P(X+Y=2)=0.3,
X+Y -1 0 1 2 3
P 0.05 0.2 0.4 0.3 0.05
P(X+Y=3)=0.05
所以
返回
定义 设（ X,Y)是二维随机向量,若存在非负函数 f(x,y),
使得对于平面上的任意矩形区域 D={(X,Y)|a<X<b,c<Y<d}
都有
? ? ????
D
d x d yyxfDYXP ),(),(
则称 (X,Y)为二维连续型随机向量,f(x,y)为 联合概率密度,
记为 （ X,Y)～ f(x,y)
性质 (1) f(x,y)≥0, (x,y)∈R 2
????
D
y ) d x d yf ( x,D}Y)P { ( X,( 3 )
或 1d x d y)y,x(f ?? ???
??
??
??
3,连续型随机向量的联合概率密度,边缘概率密度
其中 D为任意可度量区域,
返回
对于连续型随机向量 (X,Y)～ f(x,y),分量 X,Y的密度函数称
为 边缘密度函数 。
已知联合密度函数，容易求出边缘密度函数。
?
?
??
??
??
??
??
??
dxyxfyfyf
dyyxfxfxf
Y
X
),()()(
),()()(
2
1
事实上,(1)f1(x)≥0,(2) 若 a<b,则
P{a<X<b}=P{a<X<b,-∞<Y<+∞}= ?? ??
?? dy)y,x(fdx
b
a
?? ba 1 dx)x(f 所以,f1(x)是 X的概率密度,同理可证 f2(y).
边缘密度函数
注 二维连续型随机向量不能简单地定义为“各分量都是
一维连续型随机变量的随机向量”,
返回
??
?
?
? ?
?
其它0
D)y,x(
S
1
)y,x(f D
其中,D为可度量的平面区域,SD为区域 D的面积,
则称 (X,Y)服从区域 D上的均匀分布,
(1) 均匀分布 若二维随机向量 (X,Y)的联合概率密度为
对于 D中任意可度量子区域 G有
D
G
G DG S
Sd x d y
S
d x d yyxfGyxP ???? ???? 1),(}),{(
其中,SG为区域 G的面积,
常见的二维连续型随机向量
返回
例 2.1.5 设随机向量 (X,Y)服从区域 D上的均匀分布,
其中 D={(x,y),x2+y2≤1},求 X,Y的边缘密度函数 f1(x)和 f2(y).
解 (1)由题意得,
??
?
?
? ??
?
其它0
1yx
1
)y,x(f
22
?
? ????? dy)y,x(f)x(f 1
X
Y
-1 1
2x1y ???
2x1y ??
当 |x|>1时,f(x,y)=0,所以,f1(x)=0
当 |x|≤1时,
?? ? ?? ????? ??? ??? 22 2 2 x1x1 x1 x11 dy)y,x(f][)x(f
? ???? 2 2x1 x1 dy1? 2x12 ?? ? 所以,
??
?
?
?
?
??
?
1|x|0
1|x|x1
2
)x(f
2
1 ?
??
?
?
?
?
??
?
1|y|0
1|y|y1
2
)y(f
2
2 ?
同理,
均匀分布的边缘密度不再是一维均匀分布
返回
]})(2)[(
)1(2
1
e x p {
12
1
),(
2
2
2
2
2
1
12
1
1
22
21
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?????
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
yyxx
yxf
),,,,(~),( 222121 ?????NYX
定义 如果 (X,Y)的联合密度函数为
其中
则称 (X,Y)服从参数为 的二维正态分布,
简记为
?????,,,,222121
,1||,0,0,,222121 ????????? ?????
(2) 二维正态分布
返回
则 X,Y的边缘概率密度分别为
X~N(μ1,σ12),Y~ N(μ2,σ22);
可以证明 若
),,,,(~),( 222121 ?????NYX
即 二维正态分布 (X,Y)的边缘概率密度是一维正态分布,
由此可知随机向量的联合概率密度完全决定了它的边缘概
率密度,反之不一定成立,
返回
例 2.1.6 设二维随机向量 (X,Y)的联合概率密度为
),()1(
2
1),( 2
22
????????
??
yxxyeyxf
yx
?
求 (X,Y)关于 X,Y的边缘概率密度,
解 ?? ??
??
????
??
??? dyxyedyyxfxf
yx
X )1(2
1),()( 2
22
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?? ? ?
??
??
??
??
?
?
?
?
dyxyedye
yxyx
)(
2
1 22
2222
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?? ? ?
??
??
??
??
???
dyyexdyee
yyx
222
222
2
1
?
?
??
??
??
? dyee
yx
22
22
2
1
2
1
??
2
2
2
1 xe ??
?
即 2
2
2
1)( x
X exf
?
?
?
同理可得 2
2
2
1)( y
Y eyf
?
?
?
X,Y的边缘概率密度为一维正态分布,
所以,边缘概率密度为一维正态分布的二维随机向量不
一定是二维正态分布,
返回
例 2.1.7 设 (X,Y)～
?
?
? ??? ??
其它,0
0y,0x,Ae)y,x(f )y3x2(
试求,(1)常数 A ;(2)P{ X<2,Y<1};
(4) P（ X≤x,Y≤y）,
解 (1)
? ??? ?? ??0 0 )y3x2( d x d yAe ? ??? ?? ??? 0 0 y3x2 d x d yeAe
? ?? ? ? ba dcba dc dy)y(gdx)x(fdy)y(g)x(fdx 得据
所以,A=6
? ??? ?? ??? 0 0 y3x2 dyedxeA 0)e31(0)e21(A y3x2 ??????? ??
=A/6 =1
(3)P{(X,Y)∈ D},其中 D为 2x+3y≤6.
返回
X
Y
0
所以,P{ X<2,Y<1}=
2
1
????
D
y ) d x d yf ( x,D}Y)P { ( X,( 2 )
??
?? 1}Y2,{X
y ) dx dyf( x,
{X<2,Y<1}? ? ??? 2
0
1
0
)y3x2( dye6dx
? ? ??? 20 10 y3x2 dyedxe6
0
1
)e
3
1(
0
2
)e
2
1(6 y3x2 ?? ??? )e1)(e1( 34 ?? ???
返回
(3)P{(X,Y)∈ D},其中 D为 2x+3y≤6.
3
2 2x+3y=6
????
D
y ) d x d yf ( x,D}Y)P { ( X,
??
??
?
63y2x
y ) dx dyf ( x,
X
Y
0
? ? ? ??? 30 )x26(3
1
0
)y3x2( dye6dx
?
?
?? ??
3
0
y3x2 dx
0
)x26(
3
1
)e
3
1
(e6
? ?? ?? 30 6x2 dx)ee(2 6e71 ???
返回
(4)
x X
Y
0
y
所以,当 x≥0,y≥0时,
y}Yx,P { X ??
? ??? ??? x y d t d stsf ),(
? ? ??x y ts d t d se0 0 )32(6
? ? ??? x0 y0 t3s2 dtedse6 0y)e31(0x)e21(6 t3s2 ?? ??? )e1)(e1( y3x2 ?? ???
即, ?
?
?
? ????
???
??
其它0
0,0)1)(1(),( 32 yxeeyYxXP yx
返回
1.(承例 2.1.7) 求 P{(X,Y)∈ D},其中
D为 y=-x+1,y=x+1,y=0所围区域,
X
Y
0
y=-x+1y=x+1
1
1
P{(X,Y)∈ D}
?? ?? ??? 1x0 )y3x2(10 dye6dx
?
??
?? ??
1
0
y3x2 dx
0
1x
)e
3
1(e6
? ?? ?? 10 3xx2 dx)ee(2 32 e2e31 ?? ???
课堂练习
返回
2,设二维随机变量 （ X,Y） 的概率密度为
?
?
? ??? ?
其他,0
0,),( yxeyxf y⑴ 求随机变量 X的密度函数；
⑵ 求概率 P{X+Y≤1}.
解 (1)x≤0时,f1(x)=0;
x>0时,f1(x)=???
?? dy)y,x(f dyex y?
?? ?? xe??
ye?
所以,
??
?
?
?? ?
0x0
0xe)x(f x
1
⑵ P{X+Y≤1}=
y=x
x+y=1
1/2
? ? ? ?2/10 x1x y dyedx
2
1
1 e2e1 ?? ???
返回
1,联合分布函数
定义 n元实函数
F(x1,x2,…,xn)=P{X1≤x 1,X2≤x 2,…,Xn≤x n}
(x1,x2,…,x n)∈R n
称为 n维随机向量 (X1,X2,…,Xn)的联合分布函数。
特别 二维随机向量 (X,Y)的 联合分布函数 为
F(x,y )=P{X≤x,Y≤y} (x,y)∈ R2
注意 X1≤x 1,X2≤x 2,…,Xn≤x n 均表示事件,
{X1≤x 1,X2≤x 2,…,Xn≤x n}表示这 n个事件同时出现,
第 2.2节 随机向量的联合分布函数
返回
X
Y
x
y
X≤x Y≤y{,}
二维联合分布函数区域演示图,
(x,y)
返回;1),(0)1( ?? yxF;0),0()0,(),(,1),()2( ???????????????? FFFF
),(),(),(),(
),()3(
11211222
2121
yxFyxFyxFyxF
yYyxXxP
???
?????
? ?
? ?xx yy
ij
i j
p则 F(x,y)=P{X≤x,Y≤y}=
(4)如果 (X,Y)为离散型随机向量,其联合概率分布为
ijji pyYxXP ??? ),( ),2,1,,2,1( ?? ?? ji
(5)若 (X,Y)为二维连续型随机向量,联合概率密度为
f(x,y),则
y}Yx,P { Xy)F ( x,??? ? ?
?? ???
x y d t d s)t,s(f
(区域演示图见下页 )
联合分布函数性质
返回
X
Y
x1
y1 (x1,y1)
x2
y2 (x2,y2)(x1,y2)
(x2,y1)
),(),(),(),(
),()3(
11211222
2121
yxFyxFyxFyxF
yYyxXxP
???
?????
返回
例 2.2.1 设 (X,Y)~
?
?
? ?????
其它0
1y0,1x0xy4)y,x(f
求 (X,Y)的联合分布函数,
1
1解 (1)x<0,或 y<0时,F(x,y)=0
(2)x≥1,y≥1时,F(x,y)=1
(3)0≤x≤1,0≤y≤1时,
F(x,y)= ?? yx s t d tds
00 4
22 yx?
(4)0≤x≤1,y>1时,F(x,y)= ?? 1
00 4 s t d tds
x 2x?
(5)x>1,0≤y≤1时,F(x,y)= ?? y s t d tds
0
1
0 4
2y?
x
y
X
Y
4xy
综合即得,
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
???
???
????
??
?
1,11
10,1
1,10
10,10
000
),(
2
2
22
yx
yxy
yxx
yxyx
yx
yxF
或
返回
定义 设二维随机向量 (X,Y)的联合分布函数为 F(x,y),
则称
)(),(),()( xXPYxXPxFxF X ??????????
)(),(),()( yYPyYXPyFxF Y ??????????
特别
在 f(x,y)的连续点有 ),(),(2 yxf
yx
yxF ?
??
?
分别为 (X,Y)关于 X和 Y的 边缘分布函数,
联合分布函数与边缘分布函数的关系
返回
定义 称随机变量 X,Y相互独立,若对任意 a<b,c<d有,
??
?
?
?
?
?
?
连续型
离散型
是相互独立的与随机变量
)y(f)x(f)y,x(f
ppp
YX
21
j..iij
}dYc{P}bXa{P}dYc,bXa{P ?????????
定理 1
若 X与 Y相互独立，则它们的连续函数 g(X )与 h(Y)也相互
独立。
特别有 aX+b与 cY+d相互独立,
定理 2
2,随机变量的相互独立性
返回
例 2.2.2 (X,Y)的联合概率分布为,
X
0
1
Y 0 1
0.3 0.4
0.2 0.1
(1)求 X,Y的边缘分布 ;
(2)判断 X,Y是否独立,
(3)求 F(0,2).
解,(1)X,Y的概率分布分别为,
X 0 1
P 0.7 0.3
Y 0 1
P 0.5 0.5
(2)P(X=0,Y=0)=0.3 P(X=0)P(Y=0) =0.35
)0Y(P)0X(P)0Y,0X(P ????? X,Y不独立,
注意,X,Y独立时,需对所有的 (xi,yj)一一验证,
=0.7× 0.5
(3)F(0,2)=P(X≤0,Y≤2)=0.3+0.4=0.7
返回
例 2.2.3 设 (X,Y)服从区域 D上的均匀分布,判断 X,Y
的独立性,其中
(1)D={(x,y),|x|≤1,|y|≤1};(2)D={(x,y),x2+y2≤1}
f1(x)=
?
|x|≤1?
?
1
1 dy4
1
2
1?
|x|>10
f2(y)=
??
?
?
?
?
?
1|y|0
1|y|
2
1
解 (1)
?
?
? ???
其它0
1|y|,1|x|)y,x(f 41
同理,
)y(f)x(f)y,x(f 21? 所以,X,Y独立,
(2)
??
?
?
? ??
?
其它0
1yx1
)y,x(f
22
?
??
?
?
?
?
??
?
1|x|0
1|x|x12
)x(f
2
1 ? ?
?
?
?
?
?
??
?
1|y|0
1|y|y12
)y(f
2
2 ?
?
1)0,0(f ?
221
422)0(f)0(f
??? ???
X,Y不独立,
返回
例 2.2.4 设随机变量 X和 Y相互独立,试将下表补充完整,
X
x1
x2
Y y1 y2 y3
1/8
1/8
?ip
jp? 1/6 1
1/24 1/41/12
1/2 1/3
3/43/8 1/4
返回
P(X=0,Y=1)+P(X=1,Y=0)+P(X=1,Y=1)
1,设随机变量 X,Y是相互独立的，且 X,Y等可能地
取 0,1为值，求随机变量 Z=max(X,Y)的分布列。
解 X 0 1
P 1/2 1/2
Y 0 1
P 1/2 1/2
(X,Y)的取值数对为 (0,0),(0,1),(1,0),(1,1),
Z=max(X,Y)的取值为,0,1
P(Z=0)=P(X=0,Y=0)= P(X=0)P(Y=0) =1/4
P(Z=1)= =3/4
所以,Z的分布列为 Z 0 1
P 1/4 3/4
课堂练习
返回
2,已知随机向量 (X,Y)的联合密度为
?
?
? ??
?
??
.,0;0y,0x,e)y,x(f yx
其他
(1)问 X与 Y是否独立？ (2)求概率 P{X〈 Y}.
解 (1)
??
?
?
?
?
??
? ?
?? ???
0x0
0xedye
)x(f 0
x)yx(
1 ?
?
?
?
?
?
??
? ?
?? ???
0y0
0yedxe
)y(f 0
y)yx(
2
(2)P(X<Y)=??
? yx
dx dy)y,x(f ?? ?? ?????
x
)yx(
0 dyedx 2
1?
)y(f)x(f)y,x(f 21? 所以,X,Y独立,
返回
离散型随机变量 X1,X2,…, X n相互独立 等价于 联合概率分
布等于边缘概率分布的乘积。
连续型随机变量 X1,X2,…, X n相互独立 等价于 联合概率密
度函数等于边缘概率密度函数的乘积。
定义 称 n个随机变量 X1,X2,…, X n相互独立,若对任意
a i<b i( i=1,2,…, n),有
P{a1<X1<b1,a2<X2<b2,…,a n<X n<b n}=
P{a1<X1<b1}…P{a n<X n<b n}
特别
若 n个随机变量 X1,X2,…,X n相互独立,则它们中的任意
m(1<m≤n)个随机变量 也相互独立,
可以证明
n个随机变量独立性的概念与性质
返回
定义 称随机变量序列 X1,X2,…,X n,… 为相互独立的,
如果它们中任意 m(m=2,3,…) 个随机变量都是相互独立的,
特别若每个 X i(i=1,2,…) 的分布也相同,则称之为
独立同分布 (i.i.d)的随机变量序列 。
随机变量序列独立性的概念
返回
例 2.2.5 设随机变量 X1与 X2相互独立, 分别服从二项分
布 B(n1,p)和 B(n1,p),求 Y=X1+X2的概率分布,
3,随机向量函数的分布
解 依题知 X+Y的可能取值为 0,1,2,...,n1+n2,因此
对于 k (k= 0,1,2,...,n1+n2)，由 独立性有
?
?
??
??
??
???
????
kkk
knkk
n
knkk
n
kkk
ppCppC
kXkXPkYP
21
2222
2
1111
1
21
)1()1(
),()( 2211
?
??
????
kkk
knnkk
n
k
n ppCC
21
212
2
1
1
)1(
k
nn
kkk
k
n
k
n CCC 21
21
2
2
1
1 ??? ??
由 得 knnkk
nn ppC ??? ?? 2121 )1( )( kYP ?
所以 Y=X1+X2服从二项分布 B(n1+n2,p)
离散型随机向量函数的分布
返回
类似可得,
若 X,Y相互独立,X~P(λ1),Y~P(λ2),
则 X+Y~P(λ1+λ2)
Possion分布的可加性
若 X与 Y相互独立,X～ B(n1,p)，Ｙ～ B(n２,p)，
则 X+Y～ B(n1+n2,p)
即,
二项分布的可加性
返回
例 2.2.6 设随机变量 X1和 X2相互独立,概率密度函数分别为
f1(x)和 f2(x),求 Y= X1+X2的概率密度函数,
解 对任何 a<b,令 y=x1+x2,则
??
???
???????
bxxa
dxdxxfxfbXXaPbYaP
21
21221121 )()()()(
212211
2
2
)()( dxdxxfxfxb xa? ????? ?? ??????? 22122 )()( dxdyxyfxf ba? ????? ?????? ??
dydxxfxyfb
a? ? ??
??
?
? ?? ??
??
)()( 21
所以,Y的概率密度函数为 ? ??
?? ?? dxxfxyfyf Y )()()( 21
作变换 t=y-x,又可得 ? ??
?? ?? dxxyfxfyf Y )()()( 21
连续型随机变量和的概率密度函数
返回
结论 1 两个独立的连续型随机变量的和仍为连续型随
机变量,
即 若随机变量 X1和 X2相互独立,概率密度函数分别为 f1(x)
和 f2(x),则 Y= X1+X2的概率密度函数为
? ???? ?? dxxfxyfyf Y )()()( 21
? ???? ?? dxxyfxf )()( 21
返回
例 2.2.7 设随机变量 X1和 X2相互独立,且均服从标准正态分
布 N~(0,1),求 Y= X1+X2的概率密度函数,
解 由题意得
? ???? ?? dxxfxyfyf Y )()()( 21
2
22
2
11
2
2
2
1
2
1)(,
2
1)( xx exfexf ?? ??
??
X1和 X2相互独立,故
?
??
??
???
? ee
xyx
2
)(
2
22
2
1
?
?
??
??
???
? dxee
yxy 22 )
2
(
4
2
1
? 22
yxt ??令
?
??
??
??
? dtee
ty
24
22
22
1
?
)( 2 ??? ???? ? due u
4
2
2
1 ye ??
?
)2,0(~ NY
返回
结论 2 两个独立的正态分布的随机变量的和仍服从
正态分布,
X1+X2~N(μ1+ μ2,σ12+ σ22)
正态分布的可加性
.即,若 X1~N(μ1,σ12),X2~N(μ2,σ22),X1,X2独立,则
返回
推论 有限个独立的正态分布的线性函数仍服从正态分布,
即,若 Xi~N(μi,σi2),(i=1,2,...n),X1,X2,...Xn相互独立,
实数 a1,a2,...,an不全为零,则
)a,a(N~Xa
n
1i
2
i
2
i
n
1i
ii
n
1i
ii ???
???
??
特别,若 X1,X2,...Xn独立同正态分布 N(μ,σ2),记,
?
?
?
n
1i
i,Xn
1X
)n,(N~X
2?
?则
返回
例 2.2.8 设二维随机向量
]})()[(21e x p {2 1)()( 2
2
22
1
1
21 ?
?
?
?
???
????? yxyfxf
YX
),,,,(~),( 222121 ?????NYX
f(x,y)为其联合密度函数,证明 X与 Y独立的充要条件是 ρ=0
证明 由题意得
2
2
2
2
2
1
2
1
2
)(
2
2
)(
1 2
1
)(,
2
1
)( ?
?
?
?
????
?
?
?
?
??
y
Y
x
X eyfexf
充分性 将 ρ=0代入 f(x,y)即得 f(x,y)=fX(x)fY(y).
必要性 若 X和 Y相互独立,则 f(x,y)=fX(x)fY(y),
得特别取,,21 ?? ?? yx
21
2
21 2
1
12
1
??????? ??
0??即
返回
设随机向量 (X,Y)的联合密度函数为 f(x,y),记 Z=g(X,Y).
(1) 求 Z的分布函数
)),(()()( zYXgPzZPzF ????
??
?
?
zyxg
dx dyyxf
),(
),(
(2) 对 F(z)求导即得 Z的概率密度函数 f(z).
随机变量函数的概率密度函数另一求法 ----分布函数法
返回
例 2.2.9 设随机变量 X与 Y独立，概率密度函数为
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
其他其他 0
0
2
)(,
0
0
2
)(
22
ye
yf
xe
xf
y
Y
x
X ??
.22 的概率密度函数求 YXZ ??
解 (X,Y)的联合密度函数为
??
?
?
? ??
?
??
其他0
0,0
4
),(
)( 22 yxe
yxf
yx
?
0)()()(,0)1( 22 ??????? zYXPzZPzFz Z时
d x d yyxfzFz
zYX
Z ??
??
??
22
),()(,0)2( 时 dx dye
zYX
yx??
??
???
22
22 )(4
?
? ? ?? 20 0 24
? ?
?
?
drred r21 ze ???
0)( ?zf Z
22)( z
Z zezf ??
所以,
??
?
?
?
?
?? ?
00
02)( 2
z
zzezf z
Z
返回
例 2.2.10 设随机向量 (X,Y)服从区域
D={(x,y)|1≤x≤3,1≤y≤3}上的均匀分布,求 U=|X-Y|的概率密
度函数,
解 (X,Y)的联合概率密度为
??
?
?
? ????
?
其它0
31,31
4
1
),(
yx
yxf
1 3
3
1
(1) u≤0时,F(u)=0
y-x=u
y-x=-u
y-x=-2
由分析可见,u=2是两种类型积分区域的划分点,
(2) 0<u<2时,d x d yuF
uyx
??
??
?
|| 4
1)(
G
4
2u
uSS
D
G ???
(3) u≥2时,F(u)=1
f (u )=0
f (u )=1-u/2
f (u )=0
所以 ??
?
?
? ???
?
其它0
20
2
11
)(
uu
uf
