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第 3章 数字特征
?第 3.1节 随机变量的数字特征
?第 3.2节 随机向量的数字特征
?第 3.3节 大数定律与中心极限定理
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例 检验两批灯泡的质量,从中分别随机抽样 5只,
测得使用寿命 (单位：小时 )如下,
A,2000 1500 1000 500 1000;
B,1500 1500 1000 1000 1000;
试比较这两批灯泡质量的好坏,
计算得, 平均寿命 分别为,A:1200,B:1200,
观察得, A中 使用寿命偏离 较大,B中使用寿命偏离较小,
所以,B产品质量较好,
数学期望 方差
第 3.1节 随机变量的数字特征
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某商场准备搞一场促销活动,统计资料表明,若在商场内
搞活动,可获经济效益 3万元 ;在商场外搞活动,不遇到雨
天可获经济效益 12万元,雨天则带来经济损失 5万元,若
设在商场外搞促销活动获经济效益为随机变量 X,其概
率分布为
P(X=12)=0.6,P(X=-5)=0.4
商场外搞促销活动的平均经济效益为
12× 0.6-5× 0.4=5.2万元
平均效益的计算方法就是离散型随机变量数学期望
的计算方法,
1,数学期望
返回
定义 设离散型随机变量 X的概率分布为 P(X=xn)=pn,n=1,2,...,
若级数 绝对收敛,则称该级数为 X的 数学期望,记为?
n
nn px
EX=?
n
nn px
若 ?
n
nn px 非绝对收敛,即级数 ?
n nn
p|x| 发散,
则称 X的数学期望不存在,
例如 X -1 0 1 2
P 0.2 0.1 0.4 0.3
则 EX=?
n
nn px
=-1× 0.2+0× 0.1+1× 0.4+2× 0.3=0.8
注意 数学期望反映了随机变量取值的平均值,
它是一种 加权平均,
(1) 离散型随机变量的数学期望
返回
计算可得
(1)若 X服从参数为 p的 0-1分布,则 EX=p;
(2)若 X~B(n,p),则 EX=np;
(3)若 X服从参数为 λ的泊松分布,则 EX= λ.
返回
例 3.1.1 某种产品的每件表面上的疵点数服从泊松
分布,平均每件上有 0.8个疵点,规定疵点数不超过 1个为一等
品,价值 10元 ;疵点数大于 1个不多于 4个为二等品,价值 8元 ;疵
点数超过 4个为废品,求 (1)产品废品率 ;(2)产品价值的平均值,
解 (1) 设 X表示每件产品上的疵点数,则 X服从 λ=0.8的泊松
分布,EX=0.8,产品的废品率为
?
?
? ???????
4
0
8.0 0 0 1 4 1 2.0
!
8.01)4(1)4(
k
k
ekXPXP
(2) 设产品的价值为随机变量 Y,则 Y的概率分布为
Y 10 8 0
P P(X≤1) P(1<X≤4) P(X>4)
EY=10× P(X≤1)+8× P(1<X≤4)+0× P(X>4) =9.61元
返回
例 3.1.2 某电子元件使用寿命 X~
??
?
?
?
?
??
?
00
0
10 00
1
)(
1 0 0 0
x
xexf
x
使用寿命在 500小时以下为废品,产值 0元 ;500到 1000小时之间
为次品,产值 10元 ;1000到 1500小时之间为二等品,产值 30
元 ;1500小时以上为一等品,产值为 40元,求产品的平均产值,
解 设 Y表示产值,Y取值为 0,10,30,40,
P(Y=0)= P(X<500) ?
???
500 dx)x(f ? ?? 5 0 0
0
1 0 0 0
x
dxe1 00 01 =1-e-0.5
P(Y=10)= P(500≤X<1000) ? ?? 1 0 0 0
5 0 0
1 0 0 0
x
dxe1 00 01 =e-0.5-e-1
类似可得, P(Y=30)=e-1-e-1.5,P(Y=40)=e-1.5
EY=0× (1-e-0.5)+10 × (e-0.5-e-1 )+30× ( e-1-e-1.5 )+40× e-1.5
=15.65(元 )
返回
定义 设 X是连续型随机变量,X~f(x),若 ???
?? dx)x(xf
绝对收敛,则称该积分为 X的数学期望,记为,
EX= ???
?? dx)x(xf
例 3.1.3 若 X服从 [a,b]区间上的均匀分布,求 EX.
??
?
?
? ?
??
其它0
],[1
)(~
bax
abxfX
所以 EX= ???
?? dx)x(xf ? ??
b
a dxab
1x
a
bx
2
1
ab
1 2
?? 2
ba ??
解
否则称 X的数学期望不存在,
(2) 连续型随机变量的数学期望
返回
例 3.1.4 设随机变量 X服从参数为 λ的指数分布,求 EX.
解 X的概率密度函数为
?
?
?
?
?? ?
00
0)(
x
xexf x??
所以,EX= ???
?? dx)x(xf ?
?? ??
0 dxxe
x??
? ?? ???? ??? 00 dxexe xx ?? ? ?? ?? 01 dxe x???
类似计算可得, 若 X~N(μ,σ2),则 EX= μ.
?
1?
? ?? ??? 0 x )e(xd ?
xx e
x
??? ???lim
xx e ??
1lim ??
??? ?
?? ??
0
1 dxe x??
?
返回
例 3.1.5 设随机变量 X~f(x),EX=7/12,且
?
?
? ????
其它0
10)( xbaxxf 求 a与 b的值,并求分布函数 F(x).
解
12)()( 1
0
????? ?? ??
??
badxbaxdxxf
12
7
23)()(
1
0
?????? ?? ??
??
badxbaxxdxxxfEX
解方程组得 a=1,b=1/2
当 x<0时,F( x)=0;
当 0≤x<1时,
22)2
1()()( 2
0
xxdttdttfxF xx ????? ??
??
当 x≥1时,F(x)=1;
所以
?
?
?
?
?
?
?
?
???
?
?
11
10
22
00
)(
2
x
x
xx
x
xF
返回
定理 3.1.1 设 X是随机变量,Y=g(X),且 E(g(X))存在,则 ;
(1)若 X为离散型,P(X=xn)=pn,n=1,2,...,则 ??
n
nn pxgXgE )())((
(2)若 X为连续型随机变量,X~f(x),则 ? ??
??? dx)x(f)x(g))X(g(E
? ??
i j
ijji p)y,x(g)]Y,X(g[E
定理 3.1.2 设 g(X,Y)为随机变量 X,Y的函数,E[g(X,Y)]存在,
(1)若 (X,Y)为离散型随机向量,P(X=xi,Y=yj)=pij,(i,j=1,2…),
则
(2)若 (X,Y)为连续型随机向量,(X,Y)~f(x,y),则
? ?
??
??
??
??
? d x d y)y,x(f)y,x(g)]Y,X(g[E
(3) 随机变量函数的数学期望
返回
例 3.1.6 设随机变量 X服从 [0,π]的均匀分布,求
22 )(),(),( s in EXXEXEXE ?
解 由题意得
??
? 21s i n)(s i n)( s i n
0
??? ?? ??
??
dxxdxxxfXE
??
?
?
? ?
?
其它0
],0[1
)(~
?
?
x
xfX
据定理 3.1.1得
3
1)()( 2
0
222 ?
?
? ??? ?? ??
??
dxxdxxfxXE
? ???? ????? dxxfxXEEXXE )()2()2()( 222 ??
12
1)
2(
2
0
2 ?
?
?? ??? ? dxx
返回
例 3.1.7 设国际市场每年对我国某种商品的需求量
为随机变量 X(单位,吨 ),它服从 [2000,4000]上的均匀分布,已
知该商品每售出 1吨获利 3万美元,若销售不出去,每吨将损
失各种费用 1万美元,问如何组织货源可使收益最大?
解 设 y为组织的货源数量,Y为收益,则
??
?
???
???
yXXyX
yXyXgY
)(3
3)( 其中
??
?
?
? ?
?
其它0
]4 00 0,2 00 0[
2 00 0
1
)(~
x
xfX
?? ?? ???? 40002000 )(2 0 0 01)()()( dxxgdxxfxgYE
?? ??? 40002000 32 0 0 01)4(2 0 0 01 yy y d xdxyx )1047000(1000 1 62 ????? yy
，得）令（ 35000 ??? yEY 由实际情况知 EY存在最大值,
所以组织 3500吨货源可使收益最大,
返回
例 3.1.8 设 (X,Y)的联合概率分布为
求 EX,EY,E(XY).
解 X,Y的边缘分布为 X 1 3
P 3/4 1/4
Y 0 1 2 3
P 1/8 3/8 3/8 1/8
所以 EX=3/2,EY=3/2,
8
1
)33(0)23(0)13(
8
1
)03(
0)31(
8
3
)21(
8
3
)11(0)01()(
????????????
????????????XYE
据定理 3.1.2有
4
9?
X
1 0 3/8 3/8 0
3 1/8 0 0 1/8
Y 0 1 2 3
返回
① E(C)=C(C为常数 ) ② E(aX+b)=aEX+b
证明
② 连续型 设 X~f(x),则
③ 如果 (X,Y)是二维随机向量,则 EYEXYXE ??? )(
④ 若 (X,Y)是二维随机向量,且 X与 Y独立,则 E(XY)=EXEY
? ???? ??? dxxfbaxbaXE )()()(
?? ???????? ?? dxxfbdxxxfa )()( =aEX+b
③ 离散型 设 (X,Y)联合分布为 P(X=xi,Y=yj)=pij,(i,j=1,2…)
? ? ???
i j
ijji pyxYXE )()( ? ?? ? ??
i j
ijj
i j
iji pypx
EYEX ??
④ 连续型 设 (X,Y)~f(x,y),则
? ?
??
??
??
??
? d x d yyxfxyXYE ),()()(
由 X,Y相互独立得 ? ???
??
??
??
? d x d yyfxfxyXYE YX )()()()(
??
??
??
??
??
?? dyyyfdxxxf YX )()( )()( YEXE?
(3) 数学期望的性质
注 性质③和④可推广到有限个随机变量情形,
返回
1,已知随机变量 X服从参数为 1/2的指数 分布，则随机
变量 Z=3X-2的数学期望 E（ Z） =（ ）。
解 1,EZ=3EX-2=4
2,EZ=EX-EY=2-(-2)=4
E(XY)==(EX)(EY)=-4
2,已知随机变量 X服从参数为 2的泊松 (Poisson)分布,
Y~N(-2,4),Z=X-Y,则 EZ=( );
若 X,Y独立,则 E(XY)=( ).
课堂练习
返回
2,方差
定义 设 X为随机变量,EX存在,如果 E(X-EX)2存在,则称
E(X-EX)2为 X的方差,记为, DX= E(X-EX)2
特别,称 DX 为 X的 标准差,
注意 方差反映了随机变量相对其均值的偏离程度,
由定理 3.1.1(随机变量函数的数学期望 )可得
① 若 X为离散型随机变量,P(X=xn)=pn,n=1,2,...,则
DX= E(X-EX)2 ? ??
n
n
2
n p)EXx(
② 若 X为连续型随机变量,X~f(x),则
DX= E(X-EX)2 ? ??
?? ?? dx)x(f)EXx(
2
(1)方差的基本概念和性质
返回
① D(C)=0 ② D(aX)=a2D(X)
③ D(X+b)=DX ④ DX=EX2-(EX)2
⑤ 设 X与 Y独立,则 DYDXYXD ??? )(
(常用于计算方差 )
② D(aX)=E[aX -E(aX)]2 =E[a(X-EX)]2
=a2E(X-EX)2 =a2D(X)
④ DX= E(X-EX)2 =E[X2-2X(EX)+(EX)2]
=EX2-E[2X(EX)]+E(EX)2 =EX2-2(EX)(EX)+(EX)2
=EX2-(EX)2
(注,EX是常数 )
证明
方差的性质
推广可得 ??
??
?
n
i
ii
n
i
ii DXcXcD
1
2
1
)(
返回
D(X+Y)=E[(X+Y)-E(X+Y)]2
=E(X-EX)2+E(Y-EY)2+2E[(X-EX)(Y-EY)]
E[(X-EX)(Y-EY)]= E(XY-XEY-YEX+EXEY)
=EXY-E(XEY)-E(YEX)+EXEY
=EXY-EXEY-EYEX+EXEY =EXY-EXEY
X,Y独立 0
=DX+DY+ 2E[(X-EX)(Y-EY)] D(X+Y)=DX+DY
D(X-Y)=DX+DY同理可证,
⑤ 设 X与 Y独立,则 DYDXYXD ??? )(
证明
返回
例 3.1.9 设 X~
?
?
?
?
?
???
??
?
其它0
2x1x2
1x0x
)x(f,求 EX,DX.
解 (1)EX= ???
?? dx)x(xf ??
???? 2110 dx)x2(xx d xx
1
2)x
3
1x(
0
1x
3
1 323 ??? =1
(2)E(X2)=???
?? dx)x(fx
2
?? ??? 21 210 3 dx)x2(xdxx =7/6
所以,DX=EX2-(EX)2 =7/6-1=1/6
返回
计算可得
(1)若 X服从参数为 p的 0-1分布,则 DX=p(1-p)
(2)若 X~B(n,p),则 DX=np(1-p)
(3)若 X服从参数为 λ的泊松分布,则 DX= λ
(4)若 X服从 [a,b]的均匀分布,则 DX= 12 )ab( 2?
(5)若 X服从参数为 λ的指数分布,则 DX=
2
1
?
(6)若 X ~N(μ,σ2),则 DX= σ2
返回
RxexfX
x
??
??
,)(~ 22
2)(
2
1 ?
?
??
f(x)
x0 μ
若 μ 固定,σ改变,则 σ越大,曲线越平坦,
σ越小,曲线越陡峭,
σ
小
σ大
方差的概念直观背景也可以通过正态分布中不同 σ2的
密度曲线反映出来,
返回
例 3.1.10 设
.）达到最小值（时，证明当 xfEXx ?
,,)()( 2 RxxXExf ???
证明 )2()()( 222 xxXXExXExf ?????
)()2( 22 xExXEEX ???
22 2 xx EXEX ???
两边对 x求导,令一阶导数等于 0,得
022)( ????? xEXxf
解得 x=EX 又因为,02)( ???? xf
所以 x=EX时 f(x)有最小值,
最小值为 f(EX)=E(X-EX)2=DX
返回
(切比雪夫不等式 )
例 3.1.11 设 X为随机变量,EX和 DX存在,则对任
意 ε>0有
2
)(}|)({|
?
? XDXEXP ???
2
)(1}|)({|
??
XDXEXP ????
证明 (连续型 )
? ???? ?? dxxfEXxDX )()( 2?
??
??
?||
2 )()(
EXx
dxxfEXx
?
??
?
?
?
||
2 )(
EXx
dxxf ?
??
?
?
?
||
2 )(
EXx
dxxf
)|(|2 ?? ??? EXxP
所以
2
)(}|)({|
?
? XDXEXP ???
其等价形式为
返回
例 3.1.12 设 X~
??
?
?
?
?
?
?
?
0x0
0xe
!n
x
)x(f
x
n
用切比雪夫不等式证明
1n
n)]1n(2X0[P
?????
证明 EX= dxe
!n
xx xn
0
???? =n+1 ]!ndxex[
0
xn ?? ?? ?注：
EX2= dxe
!n
xx xn
0
2 ???? =(n+1)(n+2)
所以,DX=EX2-(EX)2=n+1
]1n|EXX[|P)]1n(2X0[P ???????
2)1n(
1n1
?
???
1n
n
??
[这里,ε=n+1]
返回
1,已知随机变量 X服从二项分布,且 E(X)= 2.4,D(X)=1.44,
则二项分布的参数 n,p的值为（ ）
① n=4,p=0.6 ② n=6,p=0.4
③ n=8,p=0.3 ④ n=24,p=0.1
2,设 X表示 10次独立重复射击命中目标的次数,每次射中
目标的概率为 0.4,则 X2的数学期望 E(X2)=( )
②
18.4
课堂练习
,e)x(f 1x2x1 2 ???? ?
求 EX和 DX.
3,设 X的密度函数为
2
2
2
2 σ
)-(x12xx,πσ2 π ???????
所以,EX=μ=1,DX=σ2=1/2
解 3.
返回
4,设 X是一随机变量,E(X)=μ,D(X)=σ2(μ,
σ>0常数 )，则对任意常数 C，必有（ ）。
])X[(E])CX[(E)4(
])X[(E])CX[(E)3(
])X[(E])CX[(E)2(
C)X(E])CX[(E)1(
22
22
22
222
?
?
?
???
???
???
???
解
E[(X-C)2]=E[X2-2CX+C2]
=EX2-E(2CX)+C2
=EX2-2C E( X)+C2
=[(EX)2+DX] -2C E( X)+C2
=μ2+ σ2-2Cμ+C2
= σ2+(μ-C)2
而
E[(X-μ)2]= E(X-EX)2
=DX= σ2
所以,(4)正确,
返回
5,设
??
?
?
?
?
??
?
0,0
0,)(~ 22
2
2
y
yeyfY a
y
a
y
求 Z= 1/Y 的数学期望 E（ Z）,
解 EZ=E(1/Y)= ? ??
?? dy)y(fy
1 ? ?? ??
0
a2
y
2 dyea
1 22
? ??
?
?
0
)
|a|2
y(
2 dyea
1 2 ? ?? ??
0
)
|a|2
y(
2 )|a|2
y(de|a|2
a
1 2
|a|2
yu ?令 EZ ? ?? ?
?
0
u
2 duea
|a|2 2
2a
|a|2
2
??
|a|2
2??
返回
6,一汽车沿一街道行驶,需要通过三个均设有红绿灯
的路口,每个信号灯为红或 绿与其他信号灯为红或绿
相互独立,且红绿 两种信号显示的时间相等,以 X 表
示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口数,求 X的概率
分布与 E[1/(1+X） ].
解 X的取值为 0,1,2,3
P(X=0)=1/2
P(X=1)=1/2× 1/2=1/4
P(X=2)=1/2× 1/2× 1/2=1/8
P(X=2)=1/2× 1/2× 1/2=1/8
X的概率分布为
X 0 1 2 3
P 1/2 1/4 1/8 1/8
(2)E[1/(X+1)]=1× 1/2
+1/2× 1/4+1/3× 1/8
+1/4× 1/8 =67/96
返回
8,设 (X,Y)服从 [0,a]× [0,a]上的均匀分布,求 E|X-Y|.
解 由题意得
? ?
??
??
??
??
? d x d y)y,x(f)y,x(g)]Y,X(g[E
得
? ?
??
??
??
??
??? d x d y)y,x(f|yx||YX|E
? ? ??
a
0
a
0
2 d x d ya
1|yx|
根据 ??
?
?
? ????
?
其它0
0,01
),(~),( 2
ayax
ayxfYX
a
a y=x
X
Y
0
x-y>0
x-y<0
S1 S
2
?? ??
1S
2 d x d ya
1|yx| ?? ??
2S
2 d x d ya
1|yx|
? ? ?? a0 x0 2 dya1)yx(dx2 3a?
返回
1,随机向量的数学期望和方差
定义 设 (X1,X2,…,X n)是 n维 随机向量,且每个分量的数
学期望和方差都存在 ;
称数值向量 (EX1,EX2,…,EX n)为 (X1,X2,…,X n)的 数学
期望,简称 期望 ;
称数值向量 (DX1,DX2,…,DX n)为 (X1,X2,…,X n)的 方差,
第 3.2节 随机向量的数字特征
返回
定义 对两个随机向量 (X,Y),若 E(X-EX)(Y-EY)存在，
则称 cov(X,Y)=E(X-EX)(Y-EY)
为 X和 Y的协方差。
特别,若 X=Y,则 cov(X,X)=E(X-EX)2=DX
因此,方差是协方差的特例,
协方差刻画两个随机变量之间的“某种”关系,
可以证明 若 (X,Y)服从二维正态分布,即
则
),,,,(N~)Y,X( 222211 ?????
21),c o v ( ????YX
2,协方差
返回
性质 ① cov(X,Y)=EXY-EXEY
推论 D(X± Y)=DX+DY± 2cov(X,Y)
② cov(X,Y)= cov(Y,X)
③ cov(aX,bY)= abcov(X,Y)
④ cov(X1+X2,Y)=cov(X1,Y)+cov(X2,Y)
证明 ④ cov(X1+X2,Y)=E[(X1+X2)Y]-E(X1+X2 )EY
=E(X1Y+X2Y)-(EX1+EX2 )EY
=E(X1Y)+E(X2Y)-(EX1)(EY)- (EX2 )(EY)
=E(X1Y) -(EX1)(EY) +E(X2Y) - (EX2 )(EY)
=cov(X1,Y)+cov(X2,Y)
返回
定义 设随机变量 X和 Y的方差为正值,称
为 X与 Y的 相关系数,
若 (X,Y)服从二维正态分布,则
??? ???? ???
21
21),c o v (
DYDX
YX
XY
DYDX
YX
XY
),c o v (??
DYDXEXEYEXYXY )( ???
D(X± Y)=DX+DY± 2cov(X,Y)= DX+DY± 2 DYDX?
注
3,相关系数
返回
例 3.2.1 设 (X,Y)服从二维正态分布,且 X~N(1,9),Y~N(0,16),
.,,,
23
,
2
1
)2(;),(,0)1(
XZXY
XY
DZEZ
YX
Z
YX
??
?
求若
的联合密度求若
????
?
所以相互独立知由,,0)1( YXXY ??
解
3218
)1( 22
24
1)()(),( yx
YX eyfxfyxf
?????
?
3
10
2
11
3
1
2
1
3
1)2( ??????? EYEXEZ
)2,3c o v (24191 YXDYDXDZ ???
DYDXDYDX XY?314191 ??? =3
)2,c o v ()3,c o v ()23,c o v (),c o v ( YXXXYXXZX ????
),c o v (21),c o v (31 YXXX ??
DYDXDX XY?2131 ?? =0
所以 0),c o v ( ??
DZDX
ZX
XZ?
返回
1)(1)3( ?????? baXYPXY?
1||)1( ?XY? a>0时,ρXY=1
a<0时,ρXY=-1
性质
则若,)2( baXY ?? ?
[cov(X,Y)]2=[E(X-EX)(Y-EY)]2
22 )()( EYYEEXXE ???
=DXDY
所以 1|),c o v (||| ??
DYDX
YX
XY?
证明 (1) 由柯西 -许瓦兹不等式 )()()]([ 222 YEXEXYE ?得(2) cov(X,Y)=E(X-EX)(Y-EY)
=E(X-EX)[(aX+b)-E(aX+b)]
=E(X-EX)(aX-aEX) =aE(X-EX)2 =aDX
DY=D(aX+b)=a2DX
DYDX
)Y,Xc o v (
XY ?? DXaDX
a D X
2
? |a|a? ??? ?? ?? 0a1 0a1
故
证明
(4) 若 X,Y相互独立,则 ρXY=0
返回
DYDX)YX(D ????
不相关与 YX? 0XY ?? ? 0)Y,Xc o v ( ??
E X E YE X Y ??
X,Y独立
注 X,Y不相关,不一定有 X,Y独立,
若 (X,Y)服从二维正态分布,则 X,Y独立 ?X,Y不相关,
注意 |ρXY| 的大小反映了 X,Y之间线性关系的密切程度,
ρXY=0时,X,Y之间无线性关系 ;
|ρXY|=1时,X,Y之间具有线性关系,
由此定义
?
ρXY>0,X,Y正相关
ρXY<0,X,Y负相关ρXY ≠0,X,Y相关
ρXY=0,X,Y不相关 ?
(ρXY=1,X,Y完全正相关 )
(ρXY=-1,X,Y完全负相关 )
显然
返回
例 3.2.2 随机向量 (X,Y)~f(x,y)=
??
?
?
? ?????
其它0
2y02x0)yx(
8
1
求 X,Y的相关系数 ρXY.
解 据定理 3.1.2
? ????? ????? d x d y)y,x(xf)X(E
? ?
??
??
??
??
? d x d y)y,x(f)y,x(g)]Y,X(g[E
? ? ?? 20 20 d x d y)yx(81x =7/6
? ? ?? 20 20 2 d x d y)yx(81x =5/3
由对称性得 =7/6 EY2=5/3
? ????? ????? d x d y)y,x(fx)X(E 22
? ????? ????? d x d y)y,x(yf)Y(E
所以,DX=11/36,DY=11/36
? ????? ????? d x d y)y,x(f)xy()XY(E ? ? ?? 20 20 d x d y)yx(81xy =4/3
DYDX)EXE YEXY(XY ??? 11
1??
返回
例 3.2.3 (X,Y)的联合分布为,
X
-1
0
1
Y -1 0 1
1/8 1/8 1/8
1/8 0 1/8
1/8 1/8 1/8
求相关系数 ρXY,并判断 X,Y是
否相关,是否独立,
解 ? ??
i j
iji px)X(E
? ??
i j
ijji p)yx()XY(E
=0
{或者 ?
??
i
ii px)X(E
=0}
由对称性得
EY=EX=0 EY2=EX2=3/4
另外
=1/8-1/8-1/8+1/8 =0
所以
Cov(X,Y)=EXY-EXEY=0
即 X与 Y不相关,
? ??
i j
ij
2
i
2 px)X(E =3/4
{或者 ?
??
i
i
2
i
2 px)X(E =3/4}
亦即 ρXY=0
另一方面
P(X=-1,Y=-1)=1/8≠
P(X=-1)P(Y=-1)=(3/8)× (3/8)
所以 X与 Y不独立,
返回
1,大数定律
定义 设随机变量序列 {Xn},如果存在一个常数 a,使得对
任意的 ε>0,有
? ? 1lim ????? ?aXP nn
则称 {Xn}依概率收敛于 a,记作 aX pn ? ??
定理 3.3.1(切比雪夫大数定律 ) 设随机变量序列 {Xn}相互
独立,数学期望和方差均存在,E(Xn)=un,D(Xn)=σn2 <k
(n=1,2,...),其中常数 k与 n无关,则对任意的 ε>0,有
111lim
11
?
?
?
?
?
?
? ?? ??
????
??
n
i
i
n
i
in nXnP
第 3节 大数定律与中心极限定理
返回
定理 3.3.2 设 {Xn}为相互独立的随机变量序列,且有相同
期望与方差,E(Xi)=u,方差 D(Xi)=σ2(i=1,2,...),则对任意 的
ε>0,有
11lim
1
?
?
?
?
?
?
? ???
???
??
n
i
in XnP
1lim ?
?
?
?
?
?
? ??
??
?? pnP n
n
定理 3.3.3（ 贝努里利大数定律 ） 设每次试验中事件 A
发生的概率为 p,n次重复独立试验中事件 A发生的次
数为 un,则对任意 ε>0,事件的频率 有
nn
?
返回
定理 3.3.4 林德贝格 -勒维定理 (i.i.d下中心极限定理 )
设 X1,X2,…,X n,… 为独立同分布序列,期望 μ,方差 σ 2>0,设
)n,n(N~X 2
n
1i
i ???
?
注 以上定理表明只要 n比较大,就有近似结果,
)(}{lim)(lim 1 xx
n
nX
PxF
n
i
i
n
Y
n n
???
?
?
?
?
???? ?
?
有则对任意）（分布函数为 xxF
n
nX
Y
nY
n
i
i
n,
1
?
??
?
?
?
2.中心极限定理
返回
例 3.3.1 用机器包装味精,每袋味精净重为随机变量,
期望值为 100克,标准差为 10克,一箱内装 200袋味精,
求一箱味精净重大于 20500克的概率?
解 设一箱净重为 X,箱中第 i袋味精净重为 Xi,(i=1,2,…,200)
则 X1,X2,…,X 200独立同分布,EXi=100,DXi=102=100,且
?
?
?
2 0 0
1i
iXX 由中心极限定理得 X近似服从正态分布,
EX=200EXi=20000,DX=200DXi=20000,
所求为 P(X>20500)= 1-P(X≤20500)
)2 0 0 0 02 0 0 0 02 0 5 0 0(1 ??? ? )54.3(1 ??? =0.0002
故一箱味精净重大于 20500的概率为 0.0002.
返回
例 3.3.2 一生产线生产的产品成箱包装,每箱的重
量是随机的,假设每箱平均重 50kg,标准差为 5kg.若用最大
载重量为 5吨的汽车承运,试用中心极限定理说明每车最多
可以装多少箱,才能保障不超载的概率大于 0.977.
解 设 Xi(i=1,2,…,n) 为装运的第 i箱的重量,n是所求的箱数,则
X1,X2,…,X n独立同分布,EXi=50,DXi=52=25,令,
1
?
?
?
n
i
in XY
由中心极限定理得 nYDnYE
nn 25)(,50)( ??则
)2(977.05 505 0 0 0)5 0 0 0( ????
?
??
?
? ????
n
nYP
n
所以
,2101 0 0 0 ??n n 0199.98?n
即最多可以装 98箱,
返回
例 3.3.3 设 X12,X22,…,X n2是独立同分布的随机变
量序列,其中 Xi~N(0,1)(i=1,2,…),令
,
2
1
2
n
nX
Y
n
i
i
n
?
?
?
? 证明 Yn 近似服从标准正态分布,
证明 由题意得
)()()(
1)()()(
2242
22
iii
iii
XEXEXD
XEXDXE
??
???
),,2,1(2131
2
1 24
2
nidxex
x
??????? ?
??
??
?
?
所以 nXDnXE n
i
i
n
i
i 2)(,)(
1
2
1
2 ?? ??
??
由中心极限定理得
)(
2
lim 1
2
xx
n
nX
P
n
i
i
n
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?? 即 Yn近似服从标准正态分布,
返回
)()()
)1(
(lim abb
pnp
npa n
n
?????
?
??
??
?
定理 3.3.5 若随机变量 μn～Ｂ (n,p)(n=1,2,…),则对
任意 a<b有
注 (1)以上定理也称为 棣莫佛 -拉普拉斯定理,
(2)它表示当 n很大时,二项分布可用正态分布近似逼近,
即 若 X~B(n,p),当 n很大时,有近似结果 X~N[np,np(1-p)].
(3)P(X=m)=P(m-0.5<X≤m+0.5)
.)5.0()5.0(
npq
npm
npq
npm ????????
返回
例 3.3.4 某保险公司多年的统计资料表明,在索赔户
中被盗索赔户占 20%,随机抽查 100户,利用 棣莫佛 -拉普拉斯
积分定理求被盗索赔户不少于 14户且不多于 30户的近似值,
解 设 X表示 100户中被盗索赔户数,则 X~B(100,0.2)
由 棣莫佛 -拉普拉斯定理得,X近似服从正态分布,
EX=np=20,DX=np(1-p)=16,
所以 X~N(20,16)
所求 P(14≤X≤30) )
4
2014()
4
2030( ??????
)5.1()5.2( ??? ??
)]5.1(1[)5.2( ?? ??? =0.927
返回
例 3.3.5 分别利用切比雪夫不等式和中心极限定理
估计概率 其中 是 n次贝努里试验中事件 A
发生的次数,p为事件 A在每次试验中发生的概率,并就
n=600,p=1/6,ε=0.02时进行比较,
,??
?
?
???
? ?? ?? p
nP
n
n?
解 由 得 ),(~ pnBn?,)1()(,)(
n
pp
nDpnE
nn ??? ??
由切比雪夫不等式得
22
)1()1(1
???
?
n
pp
n
ppp
nP
n ??????
?
?
???
? ??
由中心极限定理得
???
?
???
? ????
???
?
???
? ?? ???? p
nPpnP
nn 1
? ?)()(1 ??? ?????? pnpnP n
?
?
?
?
?
?
?
?
???
?
???
?
?
????
???
?
???
?
?
?????
)1(
)(
)1(
)(1
pnp
nppn
pnp
nppn ??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
)1(
12
pnp
n ?
将 n=600,p=1/6,ε=0.02代入
0.5787
0.1886
可见由中心极限定理计算的结果要比切比雪夫不等式
精确的多,
第 3章 数字特征
?第 3.1节 随机变量的数字特征
?第 3.2节 随机向量的数字特征
?第 3.3节 大数定律与中心极限定理
返回
例 检验两批灯泡的质量,从中分别随机抽样 5只,
测得使用寿命 (单位：小时 )如下,
A,2000 1500 1000 500 1000;
B,1500 1500 1000 1000 1000;
试比较这两批灯泡质量的好坏,
计算得, 平均寿命 分别为,A:1200,B:1200,
观察得, A中 使用寿命偏离 较大,B中使用寿命偏离较小,
所以,B产品质量较好,
数学期望 方差
第 3.1节 随机变量的数字特征
返回
某商场准备搞一场促销活动,统计资料表明,若在商场内
搞活动,可获经济效益 3万元 ;在商场外搞活动,不遇到雨
天可获经济效益 12万元,雨天则带来经济损失 5万元,若
设在商场外搞促销活动获经济效益为随机变量 X,其概
率分布为
P(X=12)=0.6,P(X=-5)=0.4
商场外搞促销活动的平均经济效益为
12× 0.6-5× 0.4=5.2万元
平均效益的计算方法就是离散型随机变量数学期望
的计算方法,
1,数学期望
返回
定义 设离散型随机变量 X的概率分布为 P(X=xn)=pn,n=1,2,...,
若级数 绝对收敛,则称该级数为 X的 数学期望,记为?
n
nn px
EX=?
n
nn px
若 ?
n
nn px 非绝对收敛,即级数 ?
n nn
p|x| 发散,
则称 X的数学期望不存在,
例如 X -1 0 1 2
P 0.2 0.1 0.4 0.3
则 EX=?
n
nn px
=-1× 0.2+0× 0.1+1× 0.4+2× 0.3=0.8
注意 数学期望反映了随机变量取值的平均值,
它是一种 加权平均,
(1) 离散型随机变量的数学期望
返回
计算可得
(1)若 X服从参数为 p的 0-1分布,则 EX=p;
(2)若 X~B(n,p),则 EX=np;
(3)若 X服从参数为 λ的泊松分布,则 EX= λ.
返回
例 3.1.1 某种产品的每件表面上的疵点数服从泊松
分布,平均每件上有 0.8个疵点,规定疵点数不超过 1个为一等
品,价值 10元 ;疵点数大于 1个不多于 4个为二等品,价值 8元 ;疵
点数超过 4个为废品,求 (1)产品废品率 ;(2)产品价值的平均值,
解 (1) 设 X表示每件产品上的疵点数,则 X服从 λ=0.8的泊松
分布,EX=0.8,产品的废品率为
?
?
? ???????
4
0
8.0 0 0 1 4 1 2.0
!
8.01)4(1)4(
k
k
ekXPXP
(2) 设产品的价值为随机变量 Y,则 Y的概率分布为
Y 10 8 0
P P(X≤1) P(1<X≤4) P(X>4)
EY=10× P(X≤1)+8× P(1<X≤4)+0× P(X>4) =9.61元
返回
例 3.1.2 某电子元件使用寿命 X~
??
?
?
?
?
??
?
00
0
10 00
1
)(
1 0 0 0
x
xexf
x
使用寿命在 500小时以下为废品,产值 0元 ;500到 1000小时之间
为次品,产值 10元 ;1000到 1500小时之间为二等品,产值 30
元 ;1500小时以上为一等品,产值为 40元,求产品的平均产值,
解 设 Y表示产值,Y取值为 0,10,30,40,
P(Y=0)= P(X<500) ?
???
500 dx)x(f ? ?? 5 0 0
0
1 0 0 0
x
dxe1 00 01 =1-e-0.5
P(Y=10)= P(500≤X<1000) ? ?? 1 0 0 0
5 0 0
1 0 0 0
x
dxe1 00 01 =e-0.5-e-1
类似可得, P(Y=30)=e-1-e-1.5,P(Y=40)=e-1.5
EY=0× (1-e-0.5)+10 × (e-0.5-e-1 )+30× ( e-1-e-1.5 )+40× e-1.5
=15.65(元 )
返回
定义 设 X是连续型随机变量,X~f(x),若 ???
?? dx)x(xf
绝对收敛,则称该积分为 X的数学期望,记为,
EX= ???
?? dx)x(xf
例 3.1.3 若 X服从 [a,b]区间上的均匀分布,求 EX.
??
?
?
? ?
??
其它0
],[1
)(~
bax
abxfX
所以 EX= ???
?? dx)x(xf ? ??
b
a dxab
1x
a
bx
2
1
ab
1 2
?? 2
ba ??
解
否则称 X的数学期望不存在,
(2) 连续型随机变量的数学期望
返回
例 3.1.4 设随机变量 X服从参数为 λ的指数分布,求 EX.
解 X的概率密度函数为
?
?
?
?
?? ?
00
0)(
x
xexf x??
所以,EX= ???
?? dx)x(xf ?
?? ??
0 dxxe
x??
? ?? ???? ??? 00 dxexe xx ?? ? ?? ?? 01 dxe x???
类似计算可得, 若 X~N(μ,σ2),则 EX= μ.
?
1?
? ?? ??? 0 x )e(xd ?
xx e
x
??? ???lim
xx e ??
1lim ??
??? ?
?? ??
0
1 dxe x??
?
返回
例 3.1.5 设随机变量 X~f(x),EX=7/12,且
?
?
? ????
其它0
10)( xbaxxf 求 a与 b的值,并求分布函数 F(x).
解
12)()( 1
0
????? ?? ??
??
badxbaxdxxf
12
7
23)()(
1
0
?????? ?? ??
??
badxbaxxdxxxfEX
解方程组得 a=1,b=1/2
当 x<0时,F( x)=0;
当 0≤x<1时,
22)2
1()()( 2
0
xxdttdttfxF xx ????? ??
??
当 x≥1时,F(x)=1;
所以
?
?
?
?
?
?
?
?
???
?
?
11
10
22
00
)(
2
x
x
xx
x
xF
返回
定理 3.1.1 设 X是随机变量,Y=g(X),且 E(g(X))存在,则 ;
(1)若 X为离散型,P(X=xn)=pn,n=1,2,...,则 ??
n
nn pxgXgE )())((
(2)若 X为连续型随机变量,X~f(x),则 ? ??
??? dx)x(f)x(g))X(g(E
? ??
i j
ijji p)y,x(g)]Y,X(g[E
定理 3.1.2 设 g(X,Y)为随机变量 X,Y的函数,E[g(X,Y)]存在,
(1)若 (X,Y)为离散型随机向量,P(X=xi,Y=yj)=pij,(i,j=1,2…),
则
(2)若 (X,Y)为连续型随机向量,(X,Y)~f(x,y),则
? ?
??
??
??
??
? d x d y)y,x(f)y,x(g)]Y,X(g[E
(3) 随机变量函数的数学期望
返回
例 3.1.6 设随机变量 X服从 [0,π]的均匀分布,求
22 )(),(),( s in EXXEXEXE ?
解 由题意得
??
? 21s i n)(s i n)( s i n
0
??? ?? ??
??
dxxdxxxfXE
??
?
?
? ?
?
其它0
],0[1
)(~
?
?
x
xfX
据定理 3.1.1得
3
1)()( 2
0
222 ?
?
? ??? ?? ??
??
dxxdxxfxXE
? ???? ????? dxxfxXEEXXE )()2()2()( 222 ??
12
1)
2(
2
0
2 ?
?
?? ??? ? dxx
返回
例 3.1.7 设国际市场每年对我国某种商品的需求量
为随机变量 X(单位,吨 ),它服从 [2000,4000]上的均匀分布,已
知该商品每售出 1吨获利 3万美元,若销售不出去,每吨将损
失各种费用 1万美元,问如何组织货源可使收益最大?
解 设 y为组织的货源数量,Y为收益,则
??
?
???
???
yXXyX
yXyXgY
)(3
3)( 其中
??
?
?
? ?
?
其它0
]4 00 0,2 00 0[
2 00 0
1
)(~
x
xfX
?? ?? ???? 40002000 )(2 0 0 01)()()( dxxgdxxfxgYE
?? ??? 40002000 32 0 0 01)4(2 0 0 01 yy y d xdxyx )1047000(1000 1 62 ????? yy
，得）令（ 35000 ??? yEY 由实际情况知 EY存在最大值,
所以组织 3500吨货源可使收益最大,
返回
例 3.1.8 设 (X,Y)的联合概率分布为
求 EX,EY,E(XY).
解 X,Y的边缘分布为 X 1 3
P 3/4 1/4
Y 0 1 2 3
P 1/8 3/8 3/8 1/8
所以 EX=3/2,EY=3/2,
8
1
)33(0)23(0)13(
8
1
)03(
0)31(
8
3
)21(
8
3
)11(0)01()(
????????????
????????????XYE
据定理 3.1.2有
4
9?
X
1 0 3/8 3/8 0
3 1/8 0 0 1/8
Y 0 1 2 3
返回
① E(C)=C(C为常数 ) ② E(aX+b)=aEX+b
证明
② 连续型 设 X~f(x),则
③ 如果 (X,Y)是二维随机向量,则 EYEXYXE ??? )(
④ 若 (X,Y)是二维随机向量,且 X与 Y独立,则 E(XY)=EXEY
? ???? ??? dxxfbaxbaXE )()()(
?? ???????? ?? dxxfbdxxxfa )()( =aEX+b
③ 离散型 设 (X,Y)联合分布为 P(X=xi,Y=yj)=pij,(i,j=1,2…)
? ? ???
i j
ijji pyxYXE )()( ? ?? ? ??
i j
ijj
i j
iji pypx
EYEX ??
④ 连续型 设 (X,Y)~f(x,y),则
? ?
??
??
??
??
? d x d yyxfxyXYE ),()()(
由 X,Y相互独立得 ? ???
??
??
??
? d x d yyfxfxyXYE YX )()()()(
??
??
??
??
??
?? dyyyfdxxxf YX )()( )()( YEXE?
(3) 数学期望的性质
注 性质③和④可推广到有限个随机变量情形,
返回
1,已知随机变量 X服从参数为 1/2的指数 分布，则随机
变量 Z=3X-2的数学期望 E（ Z） =（ ）。
解 1,EZ=3EX-2=4
2,EZ=EX-EY=2-(-2)=4
E(XY)==(EX)(EY)=-4
2,已知随机变量 X服从参数为 2的泊松 (Poisson)分布,
Y~N(-2,4),Z=X-Y,则 EZ=( );
若 X,Y独立,则 E(XY)=( ).
课堂练习
返回
2,方差
定义 设 X为随机变量,EX存在,如果 E(X-EX)2存在,则称
E(X-EX)2为 X的方差,记为, DX= E(X-EX)2
特别,称 DX 为 X的 标准差,
注意 方差反映了随机变量相对其均值的偏离程度,
由定理 3.1.1(随机变量函数的数学期望 )可得
① 若 X为离散型随机变量,P(X=xn)=pn,n=1,2,...,则
DX= E(X-EX)2 ? ??
n
n
2
n p)EXx(
② 若 X为连续型随机变量,X~f(x),则
DX= E(X-EX)2 ? ??
?? ?? dx)x(f)EXx(
2
(1)方差的基本概念和性质
返回
① D(C)=0 ② D(aX)=a2D(X)
③ D(X+b)=DX ④ DX=EX2-(EX)2
⑤ 设 X与 Y独立,则 DYDXYXD ??? )(
(常用于计算方差 )
② D(aX)=E[aX -E(aX)]2 =E[a(X-EX)]2
=a2E(X-EX)2 =a2D(X)
④ DX= E(X-EX)2 =E[X2-2X(EX)+(EX)2]
=EX2-E[2X(EX)]+E(EX)2 =EX2-2(EX)(EX)+(EX)2
=EX2-(EX)2
(注,EX是常数 )
证明
方差的性质
推广可得 ??
??
?
n
i
ii
n
i
ii DXcXcD
1
2
1
)(
返回
D(X+Y)=E[(X+Y)-E(X+Y)]2
=E(X-EX)2+E(Y-EY)2+2E[(X-EX)(Y-EY)]
E[(X-EX)(Y-EY)]= E(XY-XEY-YEX+EXEY)
=EXY-E(XEY)-E(YEX)+EXEY
=EXY-EXEY-EYEX+EXEY =EXY-EXEY
X,Y独立 0
=DX+DY+ 2E[(X-EX)(Y-EY)] D(X+Y)=DX+DY
D(X-Y)=DX+DY同理可证,
⑤ 设 X与 Y独立,则 DYDXYXD ??? )(
证明
返回
例 3.1.9 设 X~
?
?
?
?
?
???
??
?
其它0
2x1x2
1x0x
)x(f,求 EX,DX.
解 (1)EX= ???
?? dx)x(xf ??
???? 2110 dx)x2(xx d xx
1
2)x
3
1x(
0
1x
3
1 323 ??? =1
(2)E(X2)=???
?? dx)x(fx
2
?? ??? 21 210 3 dx)x2(xdxx =7/6
所以,DX=EX2-(EX)2 =7/6-1=1/6
返回
计算可得
(1)若 X服从参数为 p的 0-1分布,则 DX=p(1-p)
(2)若 X~B(n,p),则 DX=np(1-p)
(3)若 X服从参数为 λ的泊松分布,则 DX= λ
(4)若 X服从 [a,b]的均匀分布,则 DX= 12 )ab( 2?
(5)若 X服从参数为 λ的指数分布,则 DX=
2
1
?
(6)若 X ~N(μ,σ2),则 DX= σ2
返回
RxexfX
x
??
??
,)(~ 22
2)(
2
1 ?
?
??
f(x)
x0 μ
若 μ 固定,σ改变,则 σ越大,曲线越平坦,
σ越小,曲线越陡峭,
σ
小
σ大
方差的概念直观背景也可以通过正态分布中不同 σ2的
密度曲线反映出来,
返回
例 3.1.10 设
.）达到最小值（时，证明当 xfEXx ?
,,)()( 2 RxxXExf ???
证明 )2()()( 222 xxXXExXExf ?????
)()2( 22 xExXEEX ???
22 2 xx EXEX ???
两边对 x求导,令一阶导数等于 0,得
022)( ????? xEXxf
解得 x=EX 又因为,02)( ???? xf
所以 x=EX时 f(x)有最小值,
最小值为 f(EX)=E(X-EX)2=DX
返回
(切比雪夫不等式 )
例 3.1.11 设 X为随机变量,EX和 DX存在,则对任
意 ε>0有
2
)(}|)({|
?
? XDXEXP ???
2
)(1}|)({|
??
XDXEXP ????
证明 (连续型 )
? ???? ?? dxxfEXxDX )()( 2?
??
??
?||
2 )()(
EXx
dxxfEXx
?
??
?
?
?
||
2 )(
EXx
dxxf ?
??
?
?
?
||
2 )(
EXx
dxxf
)|(|2 ?? ??? EXxP
所以
2
)(}|)({|
?
? XDXEXP ???
其等价形式为
返回
例 3.1.12 设 X~
??
?
?
?
?
?
?
?
0x0
0xe
!n
x
)x(f
x
n
用切比雪夫不等式证明
1n
n)]1n(2X0[P
?????
证明 EX= dxe
!n
xx xn
0
???? =n+1 ]!ndxex[
0
xn ?? ?? ?注：
EX2= dxe
!n
xx xn
0
2 ???? =(n+1)(n+2)
所以,DX=EX2-(EX)2=n+1
]1n|EXX[|P)]1n(2X0[P ???????
2)1n(
1n1
?
???
1n
n
??
[这里,ε=n+1]
返回
1,已知随机变量 X服从二项分布,且 E(X)= 2.4,D(X)=1.44,
则二项分布的参数 n,p的值为（ ）
① n=4,p=0.6 ② n=6,p=0.4
③ n=8,p=0.3 ④ n=24,p=0.1
2,设 X表示 10次独立重复射击命中目标的次数,每次射中
目标的概率为 0.4,则 X2的数学期望 E(X2)=( )
②
18.4
课堂练习
,e)x(f 1x2x1 2 ???? ?
求 EX和 DX.
3,设 X的密度函数为
2
2
2
2 σ
)-(x12xx,πσ2 π ???????
所以,EX=μ=1,DX=σ2=1/2
解 3.
返回
4,设 X是一随机变量,E(X)=μ,D(X)=σ2(μ,
σ>0常数 )，则对任意常数 C，必有（ ）。
])X[(E])CX[(E)4(
])X[(E])CX[(E)3(
])X[(E])CX[(E)2(
C)X(E])CX[(E)1(
22
22
22
222
?
?
?
???
???
???
???
解
E[(X-C)2]=E[X2-2CX+C2]
=EX2-E(2CX)+C2
=EX2-2C E( X)+C2
=[(EX)2+DX] -2C E( X)+C2
=μ2+ σ2-2Cμ+C2
= σ2+(μ-C)2
而
E[(X-μ)2]= E(X-EX)2
=DX= σ2
所以,(4)正确,
返回
5,设
??
?
?
?
?
??
?
0,0
0,)(~ 22
2
2
y
yeyfY a
y
a
y
求 Z= 1/Y 的数学期望 E（ Z）,
解 EZ=E(1/Y)= ? ??
?? dy)y(fy
1 ? ?? ??
0
a2
y
2 dyea
1 22
? ??
?
?
0
)
|a|2
y(
2 dyea
1 2 ? ?? ??
0
)
|a|2
y(
2 )|a|2
y(de|a|2
a
1 2
|a|2
yu ?令 EZ ? ?? ?
?
0
u
2 duea
|a|2 2
2a
|a|2
2
??
|a|2
2??
返回
6,一汽车沿一街道行驶,需要通过三个均设有红绿灯
的路口,每个信号灯为红或 绿与其他信号灯为红或绿
相互独立,且红绿 两种信号显示的时间相等,以 X 表
示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口数,求 X的概率
分布与 E[1/(1+X） ].
解 X的取值为 0,1,2,3
P(X=0)=1/2
P(X=1)=1/2× 1/2=1/4
P(X=2)=1/2× 1/2× 1/2=1/8
P(X=2)=1/2× 1/2× 1/2=1/8
X的概率分布为
X 0 1 2 3
P 1/2 1/4 1/8 1/8
(2)E[1/(X+1)]=1× 1/2
+1/2× 1/4+1/3× 1/8
+1/4× 1/8 =67/96
返回
8,设 (X,Y)服从 [0,a]× [0,a]上的均匀分布,求 E|X-Y|.
解 由题意得
? ?
??
??
??
??
? d x d y)y,x(f)y,x(g)]Y,X(g[E
得
? ?
??
??
??
??
??? d x d y)y,x(f|yx||YX|E
? ? ??
a
0
a
0
2 d x d ya
1|yx|
根据 ??
?
?
? ????
?
其它0
0,01
),(~),( 2
ayax
ayxfYX
a
a y=x
X
Y
0
x-y>0
x-y<0
S1 S
2
?? ??
1S
2 d x d ya
1|yx| ?? ??
2S
2 d x d ya
1|yx|
? ? ?? a0 x0 2 dya1)yx(dx2 3a?
返回
1,随机向量的数学期望和方差
定义 设 (X1,X2,…,X n)是 n维 随机向量,且每个分量的数
学期望和方差都存在 ;
称数值向量 (EX1,EX2,…,EX n)为 (X1,X2,…,X n)的 数学
期望,简称 期望 ;
称数值向量 (DX1,DX2,…,DX n)为 (X1,X2,…,X n)的 方差,
第 3.2节 随机向量的数字特征
返回
定义 对两个随机向量 (X,Y),若 E(X-EX)(Y-EY)存在，
则称 cov(X,Y)=E(X-EX)(Y-EY)
为 X和 Y的协方差。
特别,若 X=Y,则 cov(X,X)=E(X-EX)2=DX
因此,方差是协方差的特例,
协方差刻画两个随机变量之间的“某种”关系,
可以证明 若 (X,Y)服从二维正态分布,即
则
),,,,(N~)Y,X( 222211 ?????
21),c o v ( ????YX
2,协方差
返回
性质 ① cov(X,Y)=EXY-EXEY
推论 D(X± Y)=DX+DY± 2cov(X,Y)
② cov(X,Y)= cov(Y,X)
③ cov(aX,bY)= abcov(X,Y)
④ cov(X1+X2,Y)=cov(X1,Y)+cov(X2,Y)
证明 ④ cov(X1+X2,Y)=E[(X1+X2)Y]-E(X1+X2 )EY
=E(X1Y+X2Y)-(EX1+EX2 )EY
=E(X1Y)+E(X2Y)-(EX1)(EY)- (EX2 )(EY)
=E(X1Y) -(EX1)(EY) +E(X2Y) - (EX2 )(EY)
=cov(X1,Y)+cov(X2,Y)
返回
定义 设随机变量 X和 Y的方差为正值,称
为 X与 Y的 相关系数,
若 (X,Y)服从二维正态分布,则
??? ???? ???
21
21),c o v (
DYDX
YX
XY
DYDX
YX
XY
),c o v (??
DYDXEXEYEXYXY )( ???
D(X± Y)=DX+DY± 2cov(X,Y)= DX+DY± 2 DYDX?
注
3,相关系数
返回
例 3.2.1 设 (X,Y)服从二维正态分布,且 X~N(1,9),Y~N(0,16),
.,,,
23
,
2
1
)2(;),(,0)1(
XZXY
XY
DZEZ
YX
Z
YX
??
?
求若
的联合密度求若
????
?
所以相互独立知由,,0)1( YXXY ??
解
3218
)1( 22
24
1)()(),( yx
YX eyfxfyxf
?????
?
3
10
2
11
3
1
2
1
3
1)2( ??????? EYEXEZ
)2,3c o v (24191 YXDYDXDZ ???
DYDXDYDX XY?314191 ??? =3
)2,c o v ()3,c o v ()23,c o v (),c o v ( YXXXYXXZX ????
),c o v (21),c o v (31 YXXX ??
DYDXDX XY?2131 ?? =0
所以 0),c o v ( ??
DZDX
ZX
XZ?
返回
1)(1)3( ?????? baXYPXY?
1||)1( ?XY? a>0时,ρXY=1
a<0时,ρXY=-1
性质
则若,)2( baXY ?? ?
[cov(X,Y)]2=[E(X-EX)(Y-EY)]2
22 )()( EYYEEXXE ???
=DXDY
所以 1|),c o v (||| ??
DYDX
YX
XY?
证明 (1) 由柯西 -许瓦兹不等式 )()()]([ 222 YEXEXYE ?得(2) cov(X,Y)=E(X-EX)(Y-EY)
=E(X-EX)[(aX+b)-E(aX+b)]
=E(X-EX)(aX-aEX) =aE(X-EX)2 =aDX
DY=D(aX+b)=a2DX
DYDX
)Y,Xc o v (
XY ?? DXaDX
a D X
2
? |a|a? ??? ?? ?? 0a1 0a1
故
证明
(4) 若 X,Y相互独立,则 ρXY=0
返回
DYDX)YX(D ????
不相关与 YX? 0XY ?? ? 0)Y,Xc o v ( ??
E X E YE X Y ??
X,Y独立
注 X,Y不相关,不一定有 X,Y独立,
若 (X,Y)服从二维正态分布,则 X,Y独立 ?X,Y不相关,
注意 |ρXY| 的大小反映了 X,Y之间线性关系的密切程度,
ρXY=0时,X,Y之间无线性关系 ;
|ρXY|=1时,X,Y之间具有线性关系,
由此定义
?
ρXY>0,X,Y正相关
ρXY<0,X,Y负相关ρXY ≠0,X,Y相关
ρXY=0,X,Y不相关 ?
(ρXY=1,X,Y完全正相关 )
(ρXY=-1,X,Y完全负相关 )
显然
返回
例 3.2.2 随机向量 (X,Y)~f(x,y)=
??
?
?
? ?????
其它0
2y02x0)yx(
8
1
求 X,Y的相关系数 ρXY.
解 据定理 3.1.2
? ????? ????? d x d y)y,x(xf)X(E
? ?
??
??
??
??
? d x d y)y,x(f)y,x(g)]Y,X(g[E
? ? ?? 20 20 d x d y)yx(81x =7/6
? ? ?? 20 20 2 d x d y)yx(81x =5/3
由对称性得 =7/6 EY2=5/3
? ????? ????? d x d y)y,x(fx)X(E 22
? ????? ????? d x d y)y,x(yf)Y(E
所以,DX=11/36,DY=11/36
? ????? ????? d x d y)y,x(f)xy()XY(E ? ? ?? 20 20 d x d y)yx(81xy =4/3
DYDX)EXE YEXY(XY ??? 11
1??
返回
例 3.2.3 (X,Y)的联合分布为,
X
-1
0
1
Y -1 0 1
1/8 1/8 1/8
1/8 0 1/8
1/8 1/8 1/8
求相关系数 ρXY,并判断 X,Y是
否相关,是否独立,
解 ? ??
i j
iji px)X(E
? ??
i j
ijji p)yx()XY(E
=0
{或者 ?
??
i
ii px)X(E
=0}
由对称性得
EY=EX=0 EY2=EX2=3/4
另外
=1/8-1/8-1/8+1/8 =0
所以
Cov(X,Y)=EXY-EXEY=0
即 X与 Y不相关,
? ??
i j
ij
2
i
2 px)X(E =3/4
{或者 ?
??
i
i
2
i
2 px)X(E =3/4}
亦即 ρXY=0
另一方面
P(X=-1,Y=-1)=1/8≠
P(X=-1)P(Y=-1)=(3/8)× (3/8)
所以 X与 Y不独立,
返回
1,大数定律
定义 设随机变量序列 {Xn},如果存在一个常数 a,使得对
任意的 ε>0,有
? ? 1lim ????? ?aXP nn
则称 {Xn}依概率收敛于 a,记作 aX pn ? ??
定理 3.3.1(切比雪夫大数定律 ) 设随机变量序列 {Xn}相互
独立,数学期望和方差均存在,E(Xn)=un,D(Xn)=σn2 <k
(n=1,2,...),其中常数 k与 n无关,则对任意的 ε>0,有
111lim
11
?
?
?
?
?
?
? ?? ??
????
??
n
i
i
n
i
in nXnP
第 3节 大数定律与中心极限定理
返回
定理 3.3.2 设 {Xn}为相互独立的随机变量序列,且有相同
期望与方差,E(Xi)=u,方差 D(Xi)=σ2(i=1,2,...),则对任意 的
ε>0,有
11lim
1
?
?
?
?
?
?
? ???
???
??
n
i
in XnP
1lim ?
?
?
?
?
?
? ??
??
?? pnP n
n
定理 3.3.3（ 贝努里利大数定律 ） 设每次试验中事件 A
发生的概率为 p,n次重复独立试验中事件 A发生的次
数为 un,则对任意 ε>0,事件的频率 有
nn
?
返回
定理 3.3.4 林德贝格 -勒维定理 (i.i.d下中心极限定理 )
设 X1,X2,…,X n,… 为独立同分布序列,期望 μ,方差 σ 2>0,设
)n,n(N~X 2
n
1i
i ???
?
注 以上定理表明只要 n比较大,就有近似结果,
)(}{lim)(lim 1 xx
n
nX
PxF
n
i
i
n
Y
n n
???
?
?
?
?
???? ?
?
有则对任意）（分布函数为 xxF
n
nX
Y
nY
n
i
i
n,
1
?
??
?
?
?
2.中心极限定理
返回
例 3.3.1 用机器包装味精,每袋味精净重为随机变量,
期望值为 100克,标准差为 10克,一箱内装 200袋味精,
求一箱味精净重大于 20500克的概率?
解 设一箱净重为 X,箱中第 i袋味精净重为 Xi,(i=1,2,…,200)
则 X1,X2,…,X 200独立同分布,EXi=100,DXi=102=100,且
?
?
?
2 0 0
1i
iXX 由中心极限定理得 X近似服从正态分布,
EX=200EXi=20000,DX=200DXi=20000,
所求为 P(X>20500)= 1-P(X≤20500)
)2 0 0 0 02 0 0 0 02 0 5 0 0(1 ??? ? )54.3(1 ??? =0.0002
故一箱味精净重大于 20500的概率为 0.0002.
返回
例 3.3.2 一生产线生产的产品成箱包装,每箱的重
量是随机的,假设每箱平均重 50kg,标准差为 5kg.若用最大
载重量为 5吨的汽车承运,试用中心极限定理说明每车最多
可以装多少箱,才能保障不超载的概率大于 0.977.
解 设 Xi(i=1,2,…,n) 为装运的第 i箱的重量,n是所求的箱数,则
X1,X2,…,X n独立同分布,EXi=50,DXi=52=25,令,
1
?
?
?
n
i
in XY
由中心极限定理得 nYDnYE
nn 25)(,50)( ??则
)2(977.05 505 0 0 0)5 0 0 0( ????
?
??
?
? ????
n
nYP
n
所以
,2101 0 0 0 ??n n 0199.98?n
即最多可以装 98箱,
返回
例 3.3.3 设 X12,X22,…,X n2是独立同分布的随机变
量序列,其中 Xi~N(0,1)(i=1,2,…),令
,
2
1
2
n
nX
Y
n
i
i
n
?
?
?
? 证明 Yn 近似服从标准正态分布,
证明 由题意得
)()()(
1)()()(
2242
22
iii
iii
XEXEXD
XEXDXE
??
???
),,2,1(2131
2
1 24
2
nidxex
x
??????? ?
??
??
?
?
所以 nXDnXE n
i
i
n
i
i 2)(,)(
1
2
1
2 ?? ??
??
由中心极限定理得
)(
2
lim 1
2
xx
n
nX
P
n
i
i
n
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?? 即 Yn近似服从标准正态分布,
返回
)()()
)1(
(lim abb
pnp
npa n
n
?????
?
??
??
?
定理 3.3.5 若随机变量 μn～Ｂ (n,p)(n=1,2,…),则对
任意 a<b有
注 (1)以上定理也称为 棣莫佛 -拉普拉斯定理,
(2)它表示当 n很大时,二项分布可用正态分布近似逼近,
即 若 X~B(n,p),当 n很大时,有近似结果 X~N[np,np(1-p)].
(3)P(X=m)=P(m-0.5<X≤m+0.5)
.)5.0()5.0(
npq
npm
npq
npm ????????
返回
例 3.3.4 某保险公司多年的统计资料表明,在索赔户
中被盗索赔户占 20%,随机抽查 100户,利用 棣莫佛 -拉普拉斯
积分定理求被盗索赔户不少于 14户且不多于 30户的近似值,
解 设 X表示 100户中被盗索赔户数,则 X~B(100,0.2)
由 棣莫佛 -拉普拉斯定理得,X近似服从正态分布,
EX=np=20,DX=np(1-p)=16,
所以 X~N(20,16)
所求 P(14≤X≤30) )
4
2014()
4
2030( ??????
)5.1()5.2( ??? ??
)]5.1(1[)5.2( ?? ??? =0.927
返回
例 3.3.5 分别利用切比雪夫不等式和中心极限定理
估计概率 其中 是 n次贝努里试验中事件 A
发生的次数,p为事件 A在每次试验中发生的概率,并就
n=600,p=1/6,ε=0.02时进行比较,
,??
?
?
???
? ?? ?? p
nP
n
n?
解 由 得 ),(~ pnBn?,)1()(,)(
n
pp
nDpnE
nn ??? ??
由切比雪夫不等式得
22
)1()1(1
???
?
n
pp
n
ppp
nP
n ??????
?
?
???
? ??
由中心极限定理得
???
?
???
? ????
???
?
???
? ?? ???? p
nPpnP
nn 1
? ?)()(1 ??? ?????? pnpnP n
?
?
?
?
?
?
?
?
???
?
???
?
?
????
???
?
???
?
?
?????
)1(
)(
)1(
)(1
pnp
nppn
pnp
nppn ??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
)1(
12
pnp
n ?
将 n=600,p=1/6,ε=0.02代入
0.5787
0.1886
可见由中心极限定理计算的结果要比切比雪夫不等式
精确的多,
