返回
第 5章 统计检验
?第 5.1节 统计检验概要
?第 5.2节 单正态总体的统计检验及 Excel实现
?第 5.3节 两正态总体的统计检验及 Excel实现
?第 5.4节 两个需要说明的问题
返回
返回
例 5.1.1 某地旅游者的消费额附从正态分布 X~N(μ,σ2),调查
25个旅游者,得出一组样本观测值 x1,x2,…,x 25,若有专家认为
消费额的期望值为 μ0,如何由这组观测值验证这个说法？
假设检验为 μ=μ0
例 5.1.2 用精确方法测量某化工厂排放的气体中有害气体
的含量服从正态分布 X~N(23,22),现用一简便方法测量 6次
得一组数据 23,21,19,24,18,18(单位,十万分之一 ),问用简便
方法测得的有害气体含量是否有系统偏差?
假设检验 μ=23,σ2=22
第 5.1节 统计检验概要
返回
众所周知,总体 的全部信息可以通过其分布函数
反映出来,但实际上,参数 往往未知,有时甚至
的表达式也未知,因此需要根据实际问题的需要,对总体参
数或分布函数的表达式做出某种假设 (称为 统计假设 ),再
利用从总体中获得的样本信息来对所作假设的真伪做出判
断或进行检验,
),( ?XF
? ),( ?XF
X
这种利用样本检验统计假设真伪的
过程叫做 统计检验 (假设检验 )
返回
例 5.1.3 用精确方法测量某化工厂排放的气体中有害气体
含量服从正态分布 N(23,22),现用一简便方法测量 6次得一组数据
23,21,19,24,18,18(单位,十万分之一 ),若用简便方法测得有害气体含量
的方差不变,问用该方法测得有害气体含量的均值是否有系统偏差?
分析 用简便方法测得有害气体含量 X~N(μ,22),
若 H0成立,则 )1,0(~
/
0 N
n
XZ
?
???
若取 α=0.05,则 P{|Z|>zα/2}=α,即, P{|Z|>1.96}=0.05,
在假设成立的条件下,|Z|>1.96为概率很小事件,一般认为,
小概率事件在一次实验中是不会发生的,
将样本观测值代入 Z得,06.3
/2
23 ???
n
XZ |Z|>1.96,
基本检验 H0,μ=μ0=23; 备择检验 H1,μ≠ μ0= 23;
小概率事件在一次实验中发生了,故假设不合情理,
即,否定原假设,简便方法测得均值有系统偏差,
返回
α/2α/2
X
φ(x)
P(|Z|>zα/2)=α
zα/2- zα/2
1-α
返回
注 检验准则
2
0 || ?
?? z
nX ??
也可改为考察 )
/
|||(| 0
n
XZPp
?
????
其中,Z~N(0,1)
若 p<α,则拒绝 H0,若 p≥α,则接受 H0.
返回
(1)小概率原理 (实际推断原理 )认为概率很小的事件在一
次试验中实际上不会出现,并且小概率事件在一次试验中
出现了,就被认为是不合理的,
(2)基本思想 先对总体的参数或分布函数的表达式 做出某
种假设,然后找出一个在假设成立条件下出现可能性甚小
的 (条件 )小概率事件,如果试验或抽样的 结果使该小概率
事件出现了,这与小概率原理相违背,表明原来的假设有问
题,应予以否定,即 拒绝这个假设,若该 小概率事件在一次
试验或抽样中并未出现,就没有理由否定这个假设,表明试
验或抽样结果支持这个假设,这时称假设与实验结果是 相
容的,或者说可以 接受原来的假设,
1.统计检验的基本思想
返回
小概率原理中,关于, 小概率, 的值通常根据实际问题的
要求而定,如取 α =0.1,0.05,0.01等,
α 为检验的显著性水平 (检验水平 ).
在假设检验过程中,描写（条件）小概率事件的统计量的
取值范围称为该原假设的 否定域 (拒绝域 ),
否定域的边界称为该假设检验的 临界值,
(3) 显著性水平与否定域
返回
α/2α/2
X
φ(x)
接受域
P(|Z|>zα/2)=α
否定域的大小,依赖于显著性水平的取值,
一般说来,显著性水平越高,即 α 越小,否定域也越小,这
时原假设就越难否定,
注意,
否定域 否定域
zα/2- zα/2
返回
(1) 提出待检验的原假设 和备则假设 ;
0H 1H
(2) 选择检验统计量,并找出在假设
成立条件下,该统计量所服从的分布 ; 0
H
(3) 根据所要求的显著性水平 α 和所选取的统计量,确定一
个合理的拒绝 H0的条件 ;
(4) 由样本观察值计算出统计检验量的值,若该值落入否
定域,则拒绝原假设,否则接受原假设
0H,0H
注 若 H1位于 H0的两侧,称之为 双侧检验 ;
若 H1位于 H0的一侧,称之为 单侧检验,
2.统计检验的实施程序
返回
另一方面,当原假设不成立时,却作出接受原假设的结论,
造成犯, 取伪, 的错误,称为 第二类错误,
就是犯第一类错误的概率的最大允许值,?
一般用 表示犯第二类错误的概率,?
根据小概率原理否定原假设,有可能把本来客观上正确的
假设否定了,造成犯, 弃真, 的错误,称为 第一类错误,
?
弃真
取伪
??
?
当样本容量 一定时,小,就大,反之,小,就大,n ?? ? ?
另外,一般,1?? ??
3.两类错误
返回
α/2
α/2
X
φ(x)
增大样本容量 n时,可以使 α 和 β 同时减小,注意,
zα/2- zα/2
β
n/
0
?
?? ?
μ=μ0 )1,0(~
/
0 N
n
XZ
?
???
μ≠μ0(μ>μ0)
)1,
/
(~
/
00
n
N
n
XZ
?
??
?
? ????
返回
原假设的确定一般应遵循以下几条原则
(1).要把, 着重考察的假设, 确定为原假设 ;
(2).要把, 支持旧方法的假设, 确定为原假设 ;
(3).要把等号放在原假设里 ;
(4).要所答是所问,不要所答非所问 ;
(5).“后果严重的错误, 定为第一类错误,
在进行假设检验时,我们采取的 原则 是,
控制犯第一类错误 (即 事先给定且很小 )的同时使犯
第二类错误的概率达到最小,
?
返回
2) 确定检验统计量,
成立0|/
0
Hn
XZ
?
??? )1,0(N~
设总体 X~N(μ,σ2),X1,X2,…,X n 为一组样本，
(1) 总体方差 σ2已知时
.21)(
2
?
? ??? Z
① H0:μ=μ0(已知 ); H1:μ≠μ0
1) 提出原假设和备择假设, H0:μ=μ0; H1:μ≠μ0,
3) 对给定 α,由原假设成立时 P(|Z|> zα/2)=α得
拒绝条件为 |Z|> zα/2,其中,
1.期望的检验
第 5.2节 单正态总体的统计检验及
Excel实现
返回
α/2α/2
X
φ(x)
接受域
P(|Z|>zα/2)=α
否定域 否定域
zα/2- zα/2
双侧统计检验
Z检验
返回
2) 对统计量,
设总体 X~N(μ,σ2),X1,X2,…,X n 为一组样本，
.1)( ?? ??? z
1) 提出原假设和备择假设, H0:μ≤μ0; H1:μ>μ0,
3) 故 拒绝条件为 Z> zα,其中,
n
XZ
/
0
?
???
对给定的 α有
在 H0下有,
//
0
n
X
n
X
?
?
?
? ???
}
/
{}
/
{ 0 ??
?
?
?
? z
n
Xz
n
X ?????
所以 ?
?
?
?
?
?? ??
???? )
/
()
/
( 0 z
n
XPz
n
XP
② H0:μ≤μ0(已知 ); H1:μ>μ0
返回
α
X
φ(x)
接受域 否定域
zα
单侧（右侧）统计检验
?? ??? 1)( z
P( >zα)≤αZ
返回
2) 选择统计量,
.1)( ?? ??? z
1) 提出原假设和备择假设, H0:μ≥μ0; H1:μ<μ0,
3) 对给定 α,否定域为 Z<- zα,
其中
n
XZ
/
0
?
???
③ H0:μ≥μ0(已知 ); H1:μ<μ0
返回
2) 选择检验统计量：
1) 提出原假设和备择假设,
H0:μ=μ0; H1:μ≠μ0,
3) 对给定 α,拒绝条件为
|T|> tα/2(n-1)
成立0|/
0
HnS
XT ??? )1n(t~ ?
)1n(t 2/ ?? X
f(x)
α/2α/2
接受域否定域
否定域
(T检验）
(2) σ2未知,μ的检验
返回
类似可得,
σ2未知,期望的单侧统计检验
H0:μ≤μ0; H1:μ>μ0的拒绝条件为统计检验
T> tα(n-1)
H0:μ≥μ0; H1:μ<μ0的拒绝条件为统计检验
T<- tα(n-1)
返回
例 5.2.1 两厂生产同一产品,其质量指标假定都服从正态分
布,标准规格为均值等于 120.现从甲厂抽出 5件产品测得其
指标值为, 119.0,120.0,119.2,119.7,119.6,从乙厂也抽取 5件
产品,测得其指标值为,110.5,106.3,122.2,113.8,117.2.要根
据这些数据去判断这两厂产品是否符合预定规格 120?(显
著性水平 0.05)
解 设甲厂产品指标服从正态分布,乙厂产品指标
服从正态分布, 和 均未知,
),( 211 ??N
),( 222 ??N 22?21?
对甲厂进行 T检验, 1 2 0,011 ?? ??H,120,010 ?? ??H
甲厂产品与预定规格不符,
对乙厂进行 T检验, 120:
021 ??? ??H,1 2 0,020 ??? ??H
乙厂产品与预定规格相符,
返回
例 5.2.2 一家食品加工公司的质量管理部门规定,
某种包装食品每包净重不得少于 20千克,经验表明,重量
近似服从标准差为 1.5的正态分布,假定得到 50包食品构成
的样本为,
19.5,19.0,20.1,21.0,18.9,20.3,21.5,18.8,19.6,19.8,
19.8,19.6,19.6,18.9,17.8,18.0,20.0,20.3,21.0,
21.2,18.5,19.9,20.6,20.1,21.1,22.0,20.8,20.4,20.4,
20.3,19.5,19.5,20.0,21.0,18.9,19.6,19.8,20.0,21.0,
20.1,20.0,18.8,18.9,20.0,21.0,19.6,19.8 19.6,20.0,19.9.
问有无充分证据说明这些包装食品的平均重量减少了?
解 依题意,总体为包装食品每袋净重量 )5.1,(~ 2?NX
假设,20:
00 ?? ??H,,01 ?? ?H
返回
接受域
2) 选择检验统计量,
1) 提出原假设和备择假设,
3) 给定 α,取
H0,σ2 = σ02; H1,σ2 ≠ σ02
成立0|
)1(
2
0
2
2
H
Sn
?
? ?? )1n(~ 2 ??
?
?
?
?
?
??
??
?
)1(
)1(
2
2
2
2
2
1
1
n
n
?
?
??
??
X
f(x)
α/2α/2
λ1 λ2
否定域否定域
设总体 X~N(μ,σ2),X1,X2,…,X n 为一组样本，
(1) σ2的检验（ μ未知） )( 2检验?
有 P(λ1< <λ2)=1-α2?
所以,拒绝条件为
)1(
)1(
2
2
2
2
2
1
2
??
??
?
n
n
?
?
??
??
或
2,方差 σ2的检验
返回
1) 提出原假设和备择假设, H0,σ2 ≤σ02; H1,σ2 >σ02
2
2
2
0
2 )1()1(
??
SnSn ??? )1n(~ 2 ??
2) 选择统计量
2
0
2
2 )1(
?
? Sn ??
则在 H0下
对给定的 α,有
即
3) 所以,拒绝条件为 )1(22 ?? n???
)}1()1({)}1()1({ 22
2
2
2
0
2
??????? nSnnSn ?? ?
?
?
?
??
?
?
? ??
???
?
?
???
? ????
???
?
???
?
??? )1()1()1()1( 22
2
2
2
0
2
nSnPnSnP
总体期望 μ未知时,σ2的单侧假设检验
返回
接受域
X
f(x)
α
否定域
??? ? ??? ))1(( 22 nP
)1(2 ?n??
单侧假设检验
H0,σ2 ≥σ02; H1,σ2 <σ02
)1(212 ?? ? n???
类似对单侧假设
拒绝 H0,σ2 ≥σ02 的条件为
返回
例 5.2.3 在正常的生产条件下,某产品的测试指标
总体 X~N(μ0,σ02),其中 σ0=0.23.后来改变生产工艺,出了新产
品,假设新产品的测试指标总体仍为 X,且 X~N(μ,σ2),从新产
品中随机地抽取 10件,测得样本值为 x1,x2,…,x10,计算得到
样本标准差 S=0.33,试在检验水平 α=0.05的情况下检验, (1)
方差 σ2有没有显著变化? (2) 方差 σ2是否变大?
解 (1) 建立假设,23.0,22
020 ?? ??H
2021, ?? ?H
新产品指标的方差与正常情况下产品指标的方差比较没有
显著变化,
(2) 建立假设,23.0,22020 ??? ??H 2021, ?? ??H
新产品指标的方差比正常情况下产品指标的方差显著地变
大,
返回
,,2020 ?? ?H 2021, ?? ?H
,,2020 ?? ??H 2021, ?? ??H
,,2020 ?? ???H 2021, ?? ???H
选择检验统计量 )(~|
)(
2
:2
0
1
2
2
2
0
2
0
n
X
H
n
i
i
?
?
?
?
?? 成立?
?
? ?
?
原假设 备择假设 拒绝条件
?
?
?
?
?
?
?
?
)(
)(
2
2
2
2
2
1
2
n
n
?
?
??
??
或
)(22 n??? ?
)(212 n??? ??
(2) σ2的检验（总体期望 μ已知）
返回
例 某地区高考负责人从某年来自 A市中学考生和来自
B市中学考生中抽样获得如下资料,
50,5 4 5,17 11 ??? SXn
55,4 9 5,15 22 ??? SYn
已知两地考生成绩服从正态分布，方差大致相同,由以上
资料 能不能说某年来自 A市中学考生的平均成绩比来自 B
市中学考生的平均成绩高,
设 A市考生成绩 X~N(μ1,σ12),B市考生成绩 Y~ N(μ2,σ22),
21 ?? ?
假设检验
A市中学考生,
B市中学考生,
第 5.3节 两个正态总体的统计检验及
Excel实现
返回
设总体 X~N(μ1,σ12),总体 Y~ N(μ2,σ22),从中分别取相互独立
的容量为 n1,n2的两组样本 X1,…,和 Y1,…,,样本均
值和样本方差分别记为,,;,2
221 SYSX
1nX 2nY
(1) σ12,σ22已知
选择检验统计量,
)1,0(~|
//
)(
021
2
2
21
2
1
0 N
nn
YXZ
???
??
?
??
?
???
H0:μ1-μ2=μ0的拒绝条件为 |Z|> zα/2
:μ1-μ2≤μ0的拒绝条件为 Z> zα0H?
:μ1-μ2≥μ0的拒绝条件为 Z<-zα0H??
对于给定的显著性水平 α:
1.两总体均值差的检验
返回
例 5.3.1 从两个教学班各随机选取 14名学生进行数
学测验,第一教学班与第二教学班测验结果分别由图
中的 A列与 B列单元格所示,已知两教学班数学成绩
的方差分别为 57与 53,在显著性水平 0.05下,可否认
为这两个教学班学生的数学测验成绩有差异?
解 设第一个教学班数学成绩 X~N(μ1,57),
第二个教学班数学成绩 Y~N(μ2,53)
05.0,1421 ???? ?nnn
建立假设 H0:μ1-μ2=0; H1:μ1-μ2 ≠0
返回
选择检验统计量,
)2(~|
/1/1
)(
21
21
0
021
??
?
???
?? nntnnS
YXT
p
???
?
对于给定的显著性水平 α:
H0:μ1-μ2=μ0的拒绝条件为 )2(||
212 ??? nntT ?
:μ1-μ2≤μ0的拒绝条件为0H? )2(
21 ??? nntT ?
:μ1-μ2≥μ0的拒绝条件为0H?? )2(
21 ???? nntT ?
(2) σ12=σ22=σ2,σ2未知
返回
解, 建立假设 H0:μ1-μ2≤0; H1:μ1-μ2 >0
例 5.3.2 某地区高考负责人想知道能不能说某年来
自城市中学考生的平均成绩比来自农村中学考生的平均成
绩高,已知总体服从正态分布且方差大致相同,由抽样获得
资料如图 A列和 B列,
返回
选择检验统计量,
)(~
// 222121
0 dft
nSnS
YXT
?
??? ?(H0:μ1-μ2=μ0成立时 )
对于给定的显著性水平 α:
H0:μ1-μ2=μ0的拒绝条件为 )(||
2
dftT ??
:μ1-μ2≤μ0的拒绝条件为0H? )( dftT
??
:μ1-μ2≥μ0的拒绝条件为0H?? )( dftT ???
其中
)1()1(
)//(
2
2
2
4
2
1
2
1
4
1
2
2
2
21
2
1
?
?
?
?
?
nn
S
nn
S
nSnS
df
(3) σ12,σ22均未知,但 σ12≠σ22
返回
例 5.3.3 已知某市南区与北区近 12个月降雨量分别如下所
示 A列和 B列,现以显著性水平 0.01检验假设 ;南区雨量 不超
过北区雨量,假定观测值均取自正态总体,但其方差不等,
解, 建立假设 H0:μ1-μ2≤0; H1:μ1-μ2 >0
返回
例 为观察 A,B两种药品对某种疾病的治疗效果,
(1) 选择 n1+n2名患者,n1名用 A,n2名用 B.
(2) 选择 n 对患者,每对患者在条件上尽可能一致,
每对中一名用 A,另外一名用 B.
显然,方法 (2)的观察效果更准确,
2,成对数据比较检验法
返回
一般模型,设有两个需要进行比较的“处理”,选择 n 对
“实验单元”,每对中两个实验单元条件尽可能一致,而不
同对之间则不要求一致,在每一对内,随机分配实验单元给
处理 1和处理 2.Xi和 Yi分别表示第 i对实验单元对处理 1和处
理 2的实验结果,假定 Zi =Xi-Yi~N(μ,σ2),则 μ表示处理 1平均
优于处理 2的量,
两个处理的比较归结为对 μ的检验问题,
处理 1平均优于处理 2的量为 μ0:μ= μ0.
处理 1平均优于处理 2的量不超过 μ0:μ≤ μ0.
处理 1平均优于处理 2的量不小于 μ0:μ≥μ0.
返回
）的样本，，（是取自正态总体，，，设 221 ??NZZZ n?
选择检验统计量,
)1(~
/
0 ??? nt
nS
ZT
d
? (H0:μ=μ0成立时 )
其中
?
?
?????
n
i
id ZZnSYXZ
1
22,)(
1
1,
对于给定的显著性水平 α:
H0:μ=μ0的拒绝条件为
:μ≤μ0的拒绝条件为0H?
:μ≥μ0的拒绝条件为0H??
)1(||
2
?? ntT ?
)1( ?? ntT ?
)1( ??? ntT ?
返回
例 5.3.4 为了解两种教学法对 9名学生实验的结果,经实
验后,测得成绩如图中 A列和 B列,假定总体为正态分布,
以 0.05为显著性水平检验此两种教学法效果是否相同?
解, 检验假设 H0,μ=μ0=0
返回
设总体 X~N(μ1,σ12),总体 Y~ N(μ2,σ22),从中取相互独立
的容量分别为 n1,n2的样本 X1,…,和 Y1,…,,样本均
值和样本方差分别记为,,;,2
221 SYSX
1nX 2nY
均未知21,)1( ??
选择检验统计量, )1,1(~|
212
2
2
1
0
??? nnF
S
SF
H 成立
H0:σ12/σ22=1; H1,σ12/ σ22 ≠1
对于给定的显著性水平 α:
??? ????????? 1))1,1()1,1(( 21
2
21
21
nnFFnnFP
所以拒绝条件为
)1,1()1,1( 21
2
21
21
?????? ? nnFFnnFF ?? 或
3,两总体方差比的检验
返回
类似可得
1,2
2
2
1
0 ?
?
?
?H 的拒绝条件为
)1,1( 21 ??? nnFF ?
1,2
2
2
1
0 ?
??
?
?H 的拒绝条件为
)1,1( 211 ??? ? nnFF ?
返回
例 5.3.5 假定分别抽选男生与女生各 14名进行英语测验
(成绩如下 ),假定男生与女生的英语测验成绩分别服从
正态分布 和,试以 0.05的显
著性水平检验
),(N~X 211 ?? ),(N~Y 222 ??
,:H,:H 2221122210 ???? ??
返回
均已知21,)2( ??
选择检验统计量,
),(~
)(
)(
~
21
1
2
21
1
2
12
2
1
nnF
Yn
Xn
F
n
i
i
n
i
i
?
?
?
?
?
?
?
?
?
当 H0:σ12/σ22=1成立时
对于给定的显著性水平 α:
1,2
2
2
1
0 ?
?
?
?H 的拒绝条件为
),(~ 21 nnFF ??
1,2
2
2
1
0 ?
??
?
?H 的拒绝条件为
),(~ 211 nnFF ???
1,2
2
2
1
0 ??
?H 的拒绝条件为
),(~),(~ 21
2
21
21
nnFFnnFF ?? ??
?
或
返回
1,统计检验与区间估计的关系
(1) 利用统计检验可建立区间估计,反之亦然
设 为取自正态总体 的样本,方差未知n21 X,,X,X ? ),(N 2??
接受条件为, )1n(t|X|
2
n
S
0 ???
?
? 亦即
)1n(tX)1n(tX
22 n
S0
n
S ??????
?? ?
0100,;,???? ?? HH检验
改成,便可得到的 置信度为 1-α的置信区间, 0? ? ?
第 5.4节 两个需要说明的问题
返回
反之,若我们先确定了 的区间估计,?
)1n(tX)1n(tX
22 n
S
0n
S ??????
?? ?
改成,0??
得到了原假设 的接受条件,也就得到了
的拒绝条件,检验水平为 α.
00, ?? ?H
00, ?? ?H
返回
(2) 统计检验和区间估计的结果,在解释上可以有差别
对不同的样本值,以下几种情况都可能出现,
(Ⅰ ) 接受 = 0,区间估计为 (-0.001,0.002);
(Ⅱ ) 接受 = 0,区间估计为 (-1000,1500);
(Ⅲ ) 拒绝 = 0,区间估计为 (1000,2000);
(Ⅳ ) 拒绝 = 0,区间估计为 (0.001,0.002).
00,H ?? ?
00,H ?? ?
00,H ?? ?
00,H ?? ?
检验假设 = 0(水平 α)及作 μ的区间估计 (置信度
为 1-α),
00,H ?? ?
返回
一般说来,用统计检验作出的结论,不如区间估计那么精细,
这一点的根由就在于统计检验这种形式固有的粗糙性,
取检验水平 0.05,拒绝的条件为, 49.0|X| ?
观察可见,在后一场合,作出的 结论根据大
一些,
0??
1621,,,XXX ?在正态总体 N(μ,1)中抽取样本
检验假设,0:
0 ??H 0:1 ??H
假设对一组具体的 有 接受 H0.1621,,,XXX ?,48.0?X
假设对另一组具体的 有 也接受 H0.1621,,,XXX ?,12.0?X
2,检验的 p值
返回
设对某一组具体样本,计算出,则这组样本的 p值
定义为,
bX ?
)1,0(N~Z| ),b|4|Z(|Pp ??
若,但离 很近,则我们虽不能拒绝,但对它抱着很
怀疑的态度,
??p ?
p愈大 (小 ),认为 μ=0的根据就愈足 (不足 ),
当 p值落到给定的水平 α之下时,就要拒绝 μ=0了,
返回
推广到一般情况, 设有一个原假设 H0,其拒绝条件为 |T|>C,
T为检验统计量,
若对一组具体样本计算出统计量 T之值为 T0,则这组样
本的 p值是,
)H||T||T(|Pp 00??
如果拒绝条件为 T>C,则 p值为 )H|TT(Pp 00??
如果拒绝条件为 T<C,则 p值为 )H|TT(Pp 00??
返回
例 5.4.1 从电话公司每月长途电话的帐单中,随机抽取 37张,
计算平均费用为 33.15元,标准差为 21.21元, 假定费用服从
正态分布,未知,要检验假设
,,试计算 p值,
),(N 2?? 2?
30:H 0 ?? 30:H 1 ??
n/S
XT ??? )1n(t~ ?解,取检验统计量
依样本计算检验统计量的值为 9 0 3 3 8.03015.33T
37
21.210 ?
??
)H|90.0|T(|P)H||T||T(|Pp 000 ???? = 0.37233
说明样本支持原假设,故要接受原假设,
注意 Excel中 p值应用函数为
37233.0)2,137,90338.0(),,( ??? T D I S TT a i l sdfxT D I S T
第 5章 统计检验
?第 5.1节 统计检验概要
?第 5.2节 单正态总体的统计检验及 Excel实现
?第 5.3节 两正态总体的统计检验及 Excel实现
?第 5.4节 两个需要说明的问题
返回
返回
例 5.1.1 某地旅游者的消费额附从正态分布 X~N(μ,σ2),调查
25个旅游者,得出一组样本观测值 x1,x2,…,x 25,若有专家认为
消费额的期望值为 μ0,如何由这组观测值验证这个说法？
假设检验为 μ=μ0
例 5.1.2 用精确方法测量某化工厂排放的气体中有害气体
的含量服从正态分布 X~N(23,22),现用一简便方法测量 6次
得一组数据 23,21,19,24,18,18(单位,十万分之一 ),问用简便
方法测得的有害气体含量是否有系统偏差?
假设检验 μ=23,σ2=22
第 5.1节 统计检验概要
返回
众所周知,总体 的全部信息可以通过其分布函数
反映出来,但实际上,参数 往往未知,有时甚至
的表达式也未知,因此需要根据实际问题的需要,对总体参
数或分布函数的表达式做出某种假设 (称为 统计假设 ),再
利用从总体中获得的样本信息来对所作假设的真伪做出判
断或进行检验,
),( ?XF
? ),( ?XF
X
这种利用样本检验统计假设真伪的
过程叫做 统计检验 (假设检验 )
返回
例 5.1.3 用精确方法测量某化工厂排放的气体中有害气体
含量服从正态分布 N(23,22),现用一简便方法测量 6次得一组数据
23,21,19,24,18,18(单位,十万分之一 ),若用简便方法测得有害气体含量
的方差不变,问用该方法测得有害气体含量的均值是否有系统偏差?
分析 用简便方法测得有害气体含量 X~N(μ,22),
若 H0成立,则 )1,0(~
/
0 N
n
XZ
?
???
若取 α=0.05,则 P{|Z|>zα/2}=α,即, P{|Z|>1.96}=0.05,
在假设成立的条件下,|Z|>1.96为概率很小事件,一般认为,
小概率事件在一次实验中是不会发生的,
将样本观测值代入 Z得,06.3
/2
23 ???
n
XZ |Z|>1.96,
基本检验 H0,μ=μ0=23; 备择检验 H1,μ≠ μ0= 23;
小概率事件在一次实验中发生了,故假设不合情理,
即,否定原假设,简便方法测得均值有系统偏差,
返回
α/2α/2
X
φ(x)
P(|Z|>zα/2)=α
zα/2- zα/2
1-α
返回
注 检验准则
2
0 || ?
?? z
nX ??
也可改为考察 )
/
|||(| 0
n
XZPp
?
????
其中,Z~N(0,1)
若 p<α,则拒绝 H0,若 p≥α,则接受 H0.
返回
(1)小概率原理 (实际推断原理 )认为概率很小的事件在一
次试验中实际上不会出现,并且小概率事件在一次试验中
出现了,就被认为是不合理的,
(2)基本思想 先对总体的参数或分布函数的表达式 做出某
种假设,然后找出一个在假设成立条件下出现可能性甚小
的 (条件 )小概率事件,如果试验或抽样的 结果使该小概率
事件出现了,这与小概率原理相违背,表明原来的假设有问
题,应予以否定,即 拒绝这个假设,若该 小概率事件在一次
试验或抽样中并未出现,就没有理由否定这个假设,表明试
验或抽样结果支持这个假设,这时称假设与实验结果是 相
容的,或者说可以 接受原来的假设,
1.统计检验的基本思想
返回
小概率原理中,关于, 小概率, 的值通常根据实际问题的
要求而定,如取 α =0.1,0.05,0.01等,
α 为检验的显著性水平 (检验水平 ).
在假设检验过程中,描写（条件）小概率事件的统计量的
取值范围称为该原假设的 否定域 (拒绝域 ),
否定域的边界称为该假设检验的 临界值,
(3) 显著性水平与否定域
返回
α/2α/2
X
φ(x)
接受域
P(|Z|>zα/2)=α
否定域的大小,依赖于显著性水平的取值,
一般说来,显著性水平越高,即 α 越小,否定域也越小,这
时原假设就越难否定,
注意,
否定域 否定域
zα/2- zα/2
返回
(1) 提出待检验的原假设 和备则假设 ;
0H 1H
(2) 选择检验统计量,并找出在假设
成立条件下,该统计量所服从的分布 ; 0
H
(3) 根据所要求的显著性水平 α 和所选取的统计量,确定一
个合理的拒绝 H0的条件 ;
(4) 由样本观察值计算出统计检验量的值,若该值落入否
定域,则拒绝原假设,否则接受原假设
0H,0H
注 若 H1位于 H0的两侧,称之为 双侧检验 ;
若 H1位于 H0的一侧,称之为 单侧检验,
2.统计检验的实施程序
返回
另一方面,当原假设不成立时,却作出接受原假设的结论,
造成犯, 取伪, 的错误,称为 第二类错误,
就是犯第一类错误的概率的最大允许值,?
一般用 表示犯第二类错误的概率,?
根据小概率原理否定原假设,有可能把本来客观上正确的
假设否定了,造成犯, 弃真, 的错误,称为 第一类错误,
?
弃真
取伪
??
?
当样本容量 一定时,小,就大,反之,小,就大,n ?? ? ?
另外,一般,1?? ??
3.两类错误
返回
α/2
α/2
X
φ(x)
增大样本容量 n时,可以使 α 和 β 同时减小,注意,
zα/2- zα/2
β
n/
0
?
?? ?
μ=μ0 )1,0(~
/
0 N
n
XZ
?
???
μ≠μ0(μ>μ0)
)1,
/
(~
/
00
n
N
n
XZ
?
??
?
? ????
返回
原假设的确定一般应遵循以下几条原则
(1).要把, 着重考察的假设, 确定为原假设 ;
(2).要把, 支持旧方法的假设, 确定为原假设 ;
(3).要把等号放在原假设里 ;
(4).要所答是所问,不要所答非所问 ;
(5).“后果严重的错误, 定为第一类错误,
在进行假设检验时,我们采取的 原则 是,
控制犯第一类错误 (即 事先给定且很小 )的同时使犯
第二类错误的概率达到最小,
?
返回
2) 确定检验统计量,
成立0|/
0
Hn
XZ
?
??? )1,0(N~
设总体 X~N(μ,σ2),X1,X2,…,X n 为一组样本，
(1) 总体方差 σ2已知时
.21)(
2
?
? ??? Z
① H0:μ=μ0(已知 ); H1:μ≠μ0
1) 提出原假设和备择假设, H0:μ=μ0; H1:μ≠μ0,
3) 对给定 α,由原假设成立时 P(|Z|> zα/2)=α得
拒绝条件为 |Z|> zα/2,其中,
1.期望的检验
第 5.2节 单正态总体的统计检验及
Excel实现
返回
α/2α/2
X
φ(x)
接受域
P(|Z|>zα/2)=α
否定域 否定域
zα/2- zα/2
双侧统计检验
Z检验
返回
2) 对统计量,
设总体 X~N(μ,σ2),X1,X2,…,X n 为一组样本，
.1)( ?? ??? z
1) 提出原假设和备择假设, H0:μ≤μ0; H1:μ>μ0,
3) 故 拒绝条件为 Z> zα,其中,
n
XZ
/
0
?
???
对给定的 α有
在 H0下有,
//
0
n
X
n
X
?
?
?
? ???
}
/
{}
/
{ 0 ??
?
?
?
? z
n
Xz
n
X ?????
所以 ?
?
?
?
?
?? ??
???? )
/
()
/
( 0 z
n
XPz
n
XP
② H0:μ≤μ0(已知 ); H1:μ>μ0
返回
α
X
φ(x)
接受域 否定域
zα
单侧（右侧）统计检验
?? ??? 1)( z
P( >zα)≤αZ
返回
2) 选择统计量,
.1)( ?? ??? z
1) 提出原假设和备择假设, H0:μ≥μ0; H1:μ<μ0,
3) 对给定 α,否定域为 Z<- zα,
其中
n
XZ
/
0
?
???
③ H0:μ≥μ0(已知 ); H1:μ<μ0
返回
2) 选择检验统计量：
1) 提出原假设和备择假设,
H0:μ=μ0; H1:μ≠μ0,
3) 对给定 α,拒绝条件为
|T|> tα/2(n-1)
成立0|/
0
HnS
XT ??? )1n(t~ ?
)1n(t 2/ ?? X
f(x)
α/2α/2
接受域否定域
否定域
(T检验）
(2) σ2未知,μ的检验
返回
类似可得,
σ2未知,期望的单侧统计检验
H0:μ≤μ0; H1:μ>μ0的拒绝条件为统计检验
T> tα(n-1)
H0:μ≥μ0; H1:μ<μ0的拒绝条件为统计检验
T<- tα(n-1)
返回
例 5.2.1 两厂生产同一产品,其质量指标假定都服从正态分
布,标准规格为均值等于 120.现从甲厂抽出 5件产品测得其
指标值为, 119.0,120.0,119.2,119.7,119.6,从乙厂也抽取 5件
产品,测得其指标值为,110.5,106.3,122.2,113.8,117.2.要根
据这些数据去判断这两厂产品是否符合预定规格 120?(显
著性水平 0.05)
解 设甲厂产品指标服从正态分布,乙厂产品指标
服从正态分布, 和 均未知,
),( 211 ??N
),( 222 ??N 22?21?
对甲厂进行 T检验, 1 2 0,011 ?? ??H,120,010 ?? ??H
甲厂产品与预定规格不符,
对乙厂进行 T检验, 120:
021 ??? ??H,1 2 0,020 ??? ??H
乙厂产品与预定规格相符,
返回
例 5.2.2 一家食品加工公司的质量管理部门规定,
某种包装食品每包净重不得少于 20千克,经验表明,重量
近似服从标准差为 1.5的正态分布,假定得到 50包食品构成
的样本为,
19.5,19.0,20.1,21.0,18.9,20.3,21.5,18.8,19.6,19.8,
19.8,19.6,19.6,18.9,17.8,18.0,20.0,20.3,21.0,
21.2,18.5,19.9,20.6,20.1,21.1,22.0,20.8,20.4,20.4,
20.3,19.5,19.5,20.0,21.0,18.9,19.6,19.8,20.0,21.0,
20.1,20.0,18.8,18.9,20.0,21.0,19.6,19.8 19.6,20.0,19.9.
问有无充分证据说明这些包装食品的平均重量减少了?
解 依题意,总体为包装食品每袋净重量 )5.1,(~ 2?NX
假设,20:
00 ?? ??H,,01 ?? ?H
返回
接受域
2) 选择检验统计量,
1) 提出原假设和备择假设,
3) 给定 α,取
H0,σ2 = σ02; H1,σ2 ≠ σ02
成立0|
)1(
2
0
2
2
H
Sn
?
? ?? )1n(~ 2 ??
?
?
?
?
?
??
??
?
)1(
)1(
2
2
2
2
2
1
1
n
n
?
?
??
??
X
f(x)
α/2α/2
λ1 λ2
否定域否定域
设总体 X~N(μ,σ2),X1,X2,…,X n 为一组样本，
(1) σ2的检验（ μ未知） )( 2检验?
有 P(λ1< <λ2)=1-α2?
所以,拒绝条件为
)1(
)1(
2
2
2
2
2
1
2
??
??
?
n
n
?
?
??
??
或
2,方差 σ2的检验
返回
1) 提出原假设和备择假设, H0,σ2 ≤σ02; H1,σ2 >σ02
2
2
2
0
2 )1()1(
??
SnSn ??? )1n(~ 2 ??
2) 选择统计量
2
0
2
2 )1(
?
? Sn ??
则在 H0下
对给定的 α,有
即
3) 所以,拒绝条件为 )1(22 ?? n???
)}1()1({)}1()1({ 22
2
2
2
0
2
??????? nSnnSn ?? ?
?
?
?
??
?
?
? ??
???
?
?
???
? ????
???
?
???
?
??? )1()1()1()1( 22
2
2
2
0
2
nSnPnSnP
总体期望 μ未知时,σ2的单侧假设检验
返回
接受域
X
f(x)
α
否定域
??? ? ??? ))1(( 22 nP
)1(2 ?n??
单侧假设检验
H0,σ2 ≥σ02; H1,σ2 <σ02
)1(212 ?? ? n???
类似对单侧假设
拒绝 H0,σ2 ≥σ02 的条件为
返回
例 5.2.3 在正常的生产条件下,某产品的测试指标
总体 X~N(μ0,σ02),其中 σ0=0.23.后来改变生产工艺,出了新产
品,假设新产品的测试指标总体仍为 X,且 X~N(μ,σ2),从新产
品中随机地抽取 10件,测得样本值为 x1,x2,…,x10,计算得到
样本标准差 S=0.33,试在检验水平 α=0.05的情况下检验, (1)
方差 σ2有没有显著变化? (2) 方差 σ2是否变大?
解 (1) 建立假设,23.0,22
020 ?? ??H
2021, ?? ?H
新产品指标的方差与正常情况下产品指标的方差比较没有
显著变化,
(2) 建立假设,23.0,22020 ??? ??H 2021, ?? ??H
新产品指标的方差比正常情况下产品指标的方差显著地变
大,
返回
,,2020 ?? ?H 2021, ?? ?H
,,2020 ?? ??H 2021, ?? ??H
,,2020 ?? ???H 2021, ?? ???H
选择检验统计量 )(~|
)(
2
:2
0
1
2
2
2
0
2
0
n
X
H
n
i
i
?
?
?
?
?? 成立?
?
? ?
?
原假设 备择假设 拒绝条件
?
?
?
?
?
?
?
?
)(
)(
2
2
2
2
2
1
2
n
n
?
?
??
??
或
)(22 n??? ?
)(212 n??? ??
(2) σ2的检验（总体期望 μ已知）
返回
例 某地区高考负责人从某年来自 A市中学考生和来自
B市中学考生中抽样获得如下资料,
50,5 4 5,17 11 ??? SXn
55,4 9 5,15 22 ??? SYn
已知两地考生成绩服从正态分布，方差大致相同,由以上
资料 能不能说某年来自 A市中学考生的平均成绩比来自 B
市中学考生的平均成绩高,
设 A市考生成绩 X~N(μ1,σ12),B市考生成绩 Y~ N(μ2,σ22),
21 ?? ?
假设检验
A市中学考生,
B市中学考生,
第 5.3节 两个正态总体的统计检验及
Excel实现
返回
设总体 X~N(μ1,σ12),总体 Y~ N(μ2,σ22),从中分别取相互独立
的容量为 n1,n2的两组样本 X1,…,和 Y1,…,,样本均
值和样本方差分别记为,,;,2
221 SYSX
1nX 2nY
(1) σ12,σ22已知
选择检验统计量,
)1,0(~|
//
)(
021
2
2
21
2
1
0 N
nn
YXZ
???
??
?
??
?
???
H0:μ1-μ2=μ0的拒绝条件为 |Z|> zα/2
:μ1-μ2≤μ0的拒绝条件为 Z> zα0H?
:μ1-μ2≥μ0的拒绝条件为 Z<-zα0H??
对于给定的显著性水平 α:
1.两总体均值差的检验
返回
例 5.3.1 从两个教学班各随机选取 14名学生进行数
学测验,第一教学班与第二教学班测验结果分别由图
中的 A列与 B列单元格所示,已知两教学班数学成绩
的方差分别为 57与 53,在显著性水平 0.05下,可否认
为这两个教学班学生的数学测验成绩有差异?
解 设第一个教学班数学成绩 X~N(μ1,57),
第二个教学班数学成绩 Y~N(μ2,53)
05.0,1421 ???? ?nnn
建立假设 H0:μ1-μ2=0; H1:μ1-μ2 ≠0
返回
选择检验统计量,
)2(~|
/1/1
)(
21
21
0
021
??
?
???
?? nntnnS
YXT
p
???
?
对于给定的显著性水平 α:
H0:μ1-μ2=μ0的拒绝条件为 )2(||
212 ??? nntT ?
:μ1-μ2≤μ0的拒绝条件为0H? )2(
21 ??? nntT ?
:μ1-μ2≥μ0的拒绝条件为0H?? )2(
21 ???? nntT ?
(2) σ12=σ22=σ2,σ2未知
返回
解, 建立假设 H0:μ1-μ2≤0; H1:μ1-μ2 >0
例 5.3.2 某地区高考负责人想知道能不能说某年来
自城市中学考生的平均成绩比来自农村中学考生的平均成
绩高,已知总体服从正态分布且方差大致相同,由抽样获得
资料如图 A列和 B列,
返回
选择检验统计量,
)(~
// 222121
0 dft
nSnS
YXT
?
??? ?(H0:μ1-μ2=μ0成立时 )
对于给定的显著性水平 α:
H0:μ1-μ2=μ0的拒绝条件为 )(||
2
dftT ??
:μ1-μ2≤μ0的拒绝条件为0H? )( dftT
??
:μ1-μ2≥μ0的拒绝条件为0H?? )( dftT ???
其中
)1()1(
)//(
2
2
2
4
2
1
2
1
4
1
2
2
2
21
2
1
?
?
?
?
?
nn
S
nn
S
nSnS
df
(3) σ12,σ22均未知,但 σ12≠σ22
返回
例 5.3.3 已知某市南区与北区近 12个月降雨量分别如下所
示 A列和 B列,现以显著性水平 0.01检验假设 ;南区雨量 不超
过北区雨量,假定观测值均取自正态总体,但其方差不等,
解, 建立假设 H0:μ1-μ2≤0; H1:μ1-μ2 >0
返回
例 为观察 A,B两种药品对某种疾病的治疗效果,
(1) 选择 n1+n2名患者,n1名用 A,n2名用 B.
(2) 选择 n 对患者,每对患者在条件上尽可能一致,
每对中一名用 A,另外一名用 B.
显然,方法 (2)的观察效果更准确,
2,成对数据比较检验法
返回
一般模型,设有两个需要进行比较的“处理”,选择 n 对
“实验单元”,每对中两个实验单元条件尽可能一致,而不
同对之间则不要求一致,在每一对内,随机分配实验单元给
处理 1和处理 2.Xi和 Yi分别表示第 i对实验单元对处理 1和处
理 2的实验结果,假定 Zi =Xi-Yi~N(μ,σ2),则 μ表示处理 1平均
优于处理 2的量,
两个处理的比较归结为对 μ的检验问题,
处理 1平均优于处理 2的量为 μ0:μ= μ0.
处理 1平均优于处理 2的量不超过 μ0:μ≤ μ0.
处理 1平均优于处理 2的量不小于 μ0:μ≥μ0.
返回
）的样本，，（是取自正态总体，，，设 221 ??NZZZ n?
选择检验统计量,
)1(~
/
0 ??? nt
nS
ZT
d
? (H0:μ=μ0成立时 )
其中
?
?
?????
n
i
id ZZnSYXZ
1
22,)(
1
1,
对于给定的显著性水平 α:
H0:μ=μ0的拒绝条件为
:μ≤μ0的拒绝条件为0H?
:μ≥μ0的拒绝条件为0H??
)1(||
2
?? ntT ?
)1( ?? ntT ?
)1( ??? ntT ?
返回
例 5.3.4 为了解两种教学法对 9名学生实验的结果,经实
验后,测得成绩如图中 A列和 B列,假定总体为正态分布,
以 0.05为显著性水平检验此两种教学法效果是否相同?
解, 检验假设 H0,μ=μ0=0
返回
设总体 X~N(μ1,σ12),总体 Y~ N(μ2,σ22),从中取相互独立
的容量分别为 n1,n2的样本 X1,…,和 Y1,…,,样本均
值和样本方差分别记为,,;,2
221 SYSX
1nX 2nY
均未知21,)1( ??
选择检验统计量, )1,1(~|
212
2
2
1
0
??? nnF
S
SF
H 成立
H0:σ12/σ22=1; H1,σ12/ σ22 ≠1
对于给定的显著性水平 α:
??? ????????? 1))1,1()1,1(( 21
2
21
21
nnFFnnFP
所以拒绝条件为
)1,1()1,1( 21
2
21
21
?????? ? nnFFnnFF ?? 或
3,两总体方差比的检验
返回
类似可得
1,2
2
2
1
0 ?
?
?
?H 的拒绝条件为
)1,1( 21 ??? nnFF ?
1,2
2
2
1
0 ?
??
?
?H 的拒绝条件为
)1,1( 211 ??? ? nnFF ?
返回
例 5.3.5 假定分别抽选男生与女生各 14名进行英语测验
(成绩如下 ),假定男生与女生的英语测验成绩分别服从
正态分布 和,试以 0.05的显
著性水平检验
),(N~X 211 ?? ),(N~Y 222 ??
,:H,:H 2221122210 ???? ??
返回
均已知21,)2( ??
选择检验统计量,
),(~
)(
)(
~
21
1
2
21
1
2
12
2
1
nnF
Yn
Xn
F
n
i
i
n
i
i
?
?
?
?
?
?
?
?
?
当 H0:σ12/σ22=1成立时
对于给定的显著性水平 α:
1,2
2
2
1
0 ?
?
?
?H 的拒绝条件为
),(~ 21 nnFF ??
1,2
2
2
1
0 ?
??
?
?H 的拒绝条件为
),(~ 211 nnFF ???
1,2
2
2
1
0 ??
?H 的拒绝条件为
),(~),(~ 21
2
21
21
nnFFnnFF ?? ??
?
或
返回
1,统计检验与区间估计的关系
(1) 利用统计检验可建立区间估计,反之亦然
设 为取自正态总体 的样本,方差未知n21 X,,X,X ? ),(N 2??
接受条件为, )1n(t|X|
2
n
S
0 ???
?
? 亦即
)1n(tX)1n(tX
22 n
S0
n
S ??????
?? ?
0100,;,???? ?? HH检验
改成,便可得到的 置信度为 1-α的置信区间, 0? ? ?
第 5.4节 两个需要说明的问题
返回
反之,若我们先确定了 的区间估计,?
)1n(tX)1n(tX
22 n
S
0n
S ??????
?? ?
改成,0??
得到了原假设 的接受条件,也就得到了
的拒绝条件,检验水平为 α.
00, ?? ?H
00, ?? ?H
返回
(2) 统计检验和区间估计的结果,在解释上可以有差别
对不同的样本值,以下几种情况都可能出现,
(Ⅰ ) 接受 = 0,区间估计为 (-0.001,0.002);
(Ⅱ ) 接受 = 0,区间估计为 (-1000,1500);
(Ⅲ ) 拒绝 = 0,区间估计为 (1000,2000);
(Ⅳ ) 拒绝 = 0,区间估计为 (0.001,0.002).
00,H ?? ?
00,H ?? ?
00,H ?? ?
00,H ?? ?
检验假设 = 0(水平 α)及作 μ的区间估计 (置信度
为 1-α),
00,H ?? ?
返回
一般说来,用统计检验作出的结论,不如区间估计那么精细,
这一点的根由就在于统计检验这种形式固有的粗糙性,
取检验水平 0.05,拒绝的条件为, 49.0|X| ?
观察可见,在后一场合,作出的 结论根据大
一些,
0??
1621,,,XXX ?在正态总体 N(μ,1)中抽取样本
检验假设,0:
0 ??H 0:1 ??H
假设对一组具体的 有 接受 H0.1621,,,XXX ?,48.0?X
假设对另一组具体的 有 也接受 H0.1621,,,XXX ?,12.0?X
2,检验的 p值
返回
设对某一组具体样本,计算出,则这组样本的 p值
定义为,
bX ?
)1,0(N~Z| ),b|4|Z(|Pp ??
若,但离 很近,则我们虽不能拒绝,但对它抱着很
怀疑的态度,
??p ?
p愈大 (小 ),认为 μ=0的根据就愈足 (不足 ),
当 p值落到给定的水平 α之下时,就要拒绝 μ=0了,
返回
推广到一般情况, 设有一个原假设 H0,其拒绝条件为 |T|>C,
T为检验统计量,
若对一组具体样本计算出统计量 T之值为 T0,则这组样
本的 p值是,
)H||T||T(|Pp 00??
如果拒绝条件为 T>C,则 p值为 )H|TT(Pp 00??
如果拒绝条件为 T<C,则 p值为 )H|TT(Pp 00??
返回
例 5.4.1 从电话公司每月长途电话的帐单中,随机抽取 37张,
计算平均费用为 33.15元,标准差为 21.21元, 假定费用服从
正态分布,未知,要检验假设
,,试计算 p值,
),(N 2?? 2?
30:H 0 ?? 30:H 1 ??
n/S
XT ??? )1n(t~ ?解,取检验统计量
依样本计算检验统计量的值为 9 0 3 3 8.03015.33T
37
21.210 ?
??
)H|90.0|T(|P)H||T||T(|Pp 000 ???? = 0.37233
说明样本支持原假设,故要接受原假设,
注意 Excel中 p值应用函数为
37233.0)2,137,90338.0(),,( ??? T D I S TT a i l sdfxT D I S T
